数学模型课件节水洗衣机问题

第十四章 赛题选讲
§14.1 节水洗衣机问题
问题（CUMCM1996 B 题）我国淡水量有限，节约用水人人有责，洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要，假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水—漂水—脱水—加水—漂洗—脱水—…—加水—漂洗—脱水（称“加水—漂水—脱水”为运行一轮）。

请为洗衣机设计一种程序，确定洗涤轮数以及每一轮的加水量等，使得在满足一定洗剂效果的条件下，总的用水量达最少。

选用合理的数据进行计算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果做出评价。

一． 模型假设
1．
衣物有相同的质地，0≥λ为一仅与布料有关的参数，表示衣服布料的亲水性，即在普通的空气湿度、布料被充分浸湿的前提下，再经一定强度（洗衣机）下充分脱水后，（衣物湿重-衣物干重）/衣物干重； 2．
假设在放入衣物和洗涤剂（有害物）后洗衣机的运行过程为：加水—漂水—脱水—加水—漂洗—脱水—…—加水—漂洗—脱水，即除了首轮洗涤外，不再投放洗涤剂，且洗涤剂的一次投放量足够多，在首轮洗涤过程中，洗涤剂以及衣物上附着的污物可以得到充分溶解；
3．
W 为待洗衣物的（干）重量，所附着污物的质量可以忽略，0D 为投放洗涤剂的重量，而)..1(n t D t =表示经连续t 轮洗涤后，残留在衣物中洗涤剂的量，n 表示总的洗涤轮数；
4．
0C 为清洁衣物的健康指标，表示在单位重量的衣物中存留的洗涤剂量
的上限，即只有在0/C W D n ≤，方才达到洗涤要求。

5．
1V W +⋅λ、)..2(n t V t =分别表示在首轮、第)..2(n t t =轮洗涤时的加水
量；max min ,V V 分别表示最小、最大加水量，即)..1(max min n t V V V t =≤≤；
6． 经每轮洗涤，洗涤剂在水中和衣物中的分配可达到平衡，即经充分漂洗；这里假设经连续t 轮洗涤后，残留在衣物中洗涤剂的量t D 相当于
1-t D 完全均匀地溶于t V W +λ，经脱水将溶于W ⋅λ的部分残留在衣物
中。

二． 模型建立：
N n n
t V V V C W V W W V W W V W W D t s V W Min t n n
t t
∈=≤≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅∑=..1....
.max min 02101
λλλλλλλ
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧∈=≤≤≤
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⋅⋅⋅⇔∏∑==N
n n
t V V V C W
V W W D t s V
Min t n
t t n
t t
..1..max
min 0101
λλ
记W λα1=，
00
0~D W C C ⋅=，则模型可表示为：
N
n n t V V V C V t s V
Min t n t t n
t t
∈=≤≤≤⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+∏∑==..1~11.
.max min 01
1
α
N
n n t V V V C V t s V
Min t n t t n
t t
∈=≤≤≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⇔∏∑== ..1~
/1)1(.
.max min 011
α
三． 模型求解
定理：在总用水量W V ⋅+λ*
一定的条件下，平均分配每次加水量，实现的洗涤
效果最好。

即
n
V V V V n /...*21====为最优化问题
⎭⎬
⎫⎩⎨⎧=≤≤<⋅+∑∏==n
t t t n t t V V V V V V Max 1*max min 1,0)1( α的解。

证明： 1）
若)..1( max min n t
V V V t =≤≤，必有max 1
*min V n V n V V n t t
≤⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=≤∑=，即
n V V V V n /...*21====为该最优化问题的一个可行解；
2）
0,0>>t V αΘ，0)1(>⋅+∴t V α；又*
1
V V n
t t =∑=Θ，
()*=⋅+=⋅+∴∑V n V n
t t αα1
1；根据在算术平均数一定的有些个正实数变量，
当且仅当它们相等时，它们的几何平均数最大，可得本定理结论。

因此，本文模型的求解归结为求解：
N
n V V V C V t s V n Min
n ∈≤≤≥⋅+⋅max
min 0
~/1)1(.
.α
显然，当max V V =需要的洗涤轮数最少：⎡
⎤
)1ln(/~
ln max 0min V C T α+-=；当min V V =需
要的洗涤轮数最多：⎡
⎤)1ln(/~
ln min 0max V C T α+-=（⎡⎤x 表示对x 上取整）。

因此就1,...,1,max min min -+=T T T n ，必对应解：α
1
~/10-=
n C V ，相应的用水量为
α
1
~/10-⋅
=⋅n C n V n ，而max T n =对应的用水量为max min T V ⋅，从中取最小。

四． 结果分析
以下几个表是直接从当年竞赛优秀论文中摘抄的，我们在学习其在处理类似问题所采用的形式之余，同时也应当注意到这种方式以及相应结果的不足——对于本例，采用解析的方式加以讨论将更加简洁并可得到更为深入的结果。

1）
表一：洗涤剂添加量0D 的变化对结果的影响，这里3=W kg ，
301005.0-⨯=C ，56.0/1=λ，())40,25(,max min =V V 升。

结论：在其它条件一定的情况下，洗涤剂添加量越少越省水；
2）
表二：衣物亲（吸）水性系数μλ/1=的变化对结果的影响，这里
3=W kg ，3
01005.0-⨯=C ，300=D g ，())40,20(,max min =V V 升。

结论：在其它条件一定的情况下，亲水性越小越省水（洗涤剂的洗涤效果μ越大越省水）；
3）
表三：衣物重量W 的变化对结果的影响，这里，3
01005.0-⨯=C ，
300=D g ，56.0/1=λ，())40,20(,max min =V V 升。

五． 讨论（不考虑加水有上下界的限制）：
1） 用水量为
α
1
~/10-⋅
=⋅n C n V n ，视n 为连续变量，考虑
1~00<<<C
?x f @x D
Limit @f @x D ,x ?+?D
2.99573
2）
事实上，⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅=1),,,;(0000*
n W C D n W C D W n V λλ，可以完全利
用解析的方式对各个变量、参量进行灵敏度、稳定性等一系列分析；
3）
进而发现把一般的洗衣问题仅仅视作节水的问题进行建模是有缺陷的，应同时考虑节能、节时。