数学模型课件节水洗衣机问题

第十四章 赛题选讲

§14.1 节水洗衣机问题

问题（CUMCM1996 B 题）我国淡水量有限，节约用水人人有责，洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要，假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水—漂水—脱水—加水—漂洗—脱水—…—加水—漂洗—脱水（称“加水—漂水—脱水”为运行一轮）。请为洗衣机设计一种程序，确定洗涤轮数以及每一轮的加水量等，使得在满足一定洗剂效果的条件下，总的用水量达最少。选用合理的数据进行计算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果做出评价。

一． 模型假设

1．

衣物有相同的质地，0≥λ为一仅与布料有关的参数，表示衣服布料的亲水性，即在普通的空气湿度、布料被充分浸湿的前提下，再经一定强度（洗衣机）下充分脱水后，（衣物湿重-衣物干重）/衣物干重； 2．

假设在放入衣物和洗涤剂（有害物）后洗衣机的运行过程为：加水—漂水—脱水—加水—漂洗—脱水—…—加水—漂洗—脱水，即除了首轮洗涤外，不再投放洗涤剂，且洗涤剂的一次投放量足够多，在首轮洗涤过程中，洗涤剂以及衣物上附着的污物可以得到充分溶解；

3．

W 为待洗衣物的（干）重量，所附着污物的质量可以忽略，0D 为投放洗涤剂的重量，而)..1(n t D t =表示经连续t 轮洗涤后，残留在衣物中洗涤剂的量，n 表示总的洗涤轮数；

4．

0C 为清洁衣物的健康指标，表示在单位重量的衣物中存留的洗涤剂量

的上限，即只有在0/C W D n ≤，方才达到洗涤要求。

5．

1V W +⋅λ、)..2(n t V t =分别表示在首轮、第)..2(n t t =轮洗涤时的加水

量；max min ,V V 分别表示最小、最大加水量，即)..1(max min n t V V V t =≤≤；

6． 经每轮洗涤，洗涤剂在水中和衣物中的分配可达到平衡，即经充分漂洗；这里假设经连续t 轮洗涤后，残留在衣物中洗涤剂的量t D 相当于

1-t D 完全均匀地溶于t V W +λ，经脱水将溶于W ⋅λ的部分残留在衣物

中。

二． 模型建立：

N n n

t V V V C W V W W V W W V W W D t s V W Min t n n

t t

∈=≤≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅∑=..1....

.max min 02101

λλλλλλλ

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧∈=≤≤≤

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⋅⋅⋅⇔∏∑==N

n n

t V V V C W

V W W D t s V

Min t n

t t n

t t

..1..max

min 0101

λλ

记W λα1=，

00

0~D W C C ⋅=，则模型可表示为：

N

n n t V V V C V t s V

Min t n t t n

t t

∈=≤≤≤⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+∏∑==..1~11.

.max min 01

1

α

N

n n t V V V C V t s V

Min t n t t n

t t

∈=≤≤≥⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅+⇔∏∑== ..1~

/1)1(.

.max min 011

α

三． 模型求解

定理：在总用水量W V ⋅+λ*

一定的条件下，平均分配每次加水量，实现的洗涤

效果最好。即

n

V V V V n /...*21====为最优化问题

⎭⎬

⎫⎩⎨⎧=≤≤<⋅+∑∏==n

t t t n t t V V V V V V Max 1*max min 1,0)1( α的解。

证明： 1）

若)..1( max min n t

V V V t =≤≤，必有max 1

*min V n V n V V n t t

≤⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=≤∑=，即

n V V V V n /...*21====为该最优化问题的一个可行解；

2）

0,0>>t V αΘ，0)1(>⋅+∴t V α；又*

1

V V n

t t =∑=Θ，

()*=⋅+=⋅+∴∑V n V n

t t αα1

1；根据在算术平均数一定的有些个正实数变量，

当且仅当它们相等时，它们的几何平均数最大，可得本定理结论。

因此，本文模型的求解归结为求解：

N

n V V V C V t s V n Min

n ∈≤≤≥⋅+⋅max

min 0

~/1)1(.

.α

显然，当max V V =需要的洗涤轮数最少：⎡

⎤

)1ln(/~

ln max 0min V C T α+-=；当min V V =需

要的洗涤轮数最多：⎡

⎤)1ln(/~

ln min 0max V C T α+-=（⎡⎤x 表示对x 上取整）。因此就1,...,1,max min min -+=T T T n ，必对应解：α

1

~/10-=

n C V ，相应的用水量为

α

1

~/10-⋅

=⋅n C n V n ，而max T n =对应的用水量为max min T V ⋅，从中取最小。

四． 结果分析

以下几个表是直接从当年竞赛优秀论文中摘抄的，我们在学习其在处理类似问题所采用的形式之余，同时也应当注意到这种方式以及相应结果的不足——对于本例，采用解析的方式加以讨论将更加简洁并可得到更为深入的结果。

1）

表一：洗涤剂添加量0D 的变化对结果的影响，这里3=W kg ，

301005.0-⨯=C ，56.0/1=λ，())40,25(,max min =V V 升。