第三章时间响应分析

s2 7s 12
s2 7s 12
若r (t )
u(t ), r(0
)
0,
y(0
)
1,
y(0
)
1, 此时，R( s )
1 s
y(t ) L1[ 6(s 2) . 1] L1[ (s 7) 1 ]
s2 7s 12 s
s2 7s 12
L1[1 2 3 ] L1[ 5 4 ]
A e sit 2i
i 1
i 1
n
n
y(t) B(t)
A e sit 1i
A e sit 2i
i 1
i 1
若无特殊说明，通常所述时间响应仅指零状态响应
制作：华中科技大学
3. 系统特征根与自由响应的关系
n
n
y(t)
A e sit 1i
A e sit 2i
i 1
i 1
e e e sit
制作：华中科技大学
2.时间响应的组成
求 y 7 y 12 y 6r 12r (其中，r(t ), y(t )分别为 系统的输入和输出)在r(0 ), y(0 ), y(0 )时的解。
解：在初始条件下，对 微分方程两边分别进行 Laplace变化得：
[s2Y (s) sy(0 ) y(0 )] 7[sY (s) y(0 )] 12Y (s) 6[sR(s) r(0 )] 12R(s)
制作：华中科技大学
制作：华中科技大学
制作：华中科技大学
特征根实部Re[si]的正负决定自由响应的收敛性.Re[si]<0,自由响 应收敛，绝对值越大收敛越快； Re[si]>0,自由响应发散，绝对 值越大发散越快。
特征根实部Im[si]的大小决定自由响应的振荡频率
制作：华中科技大学
Im
[s]
Y (s) 6(s 2) R(s) (s 7) y(0 ) y(0 ) 6r(0 )
s2 7s 12
s2 7s 12
y(t ) L1[Y (s)] L1[ 6(s 2) R(s)] L1[ (s 7) y(0 ) y(0 ) 6r(0 ) ]
s2 7s 12
s2 7s 12
1 Xo (s) G(s) Xi (s) Ts 1
wt
L-1[
X
o
(s)]
L-1[ 1 Ts
] 1
1 T
et
T
瞬态响应 1 et T T
稳态响应 0
单位脉冲响应函数与
传递函数为Laplace变换
对
制作：华中科技大学
三、一阶系统的时间响应
2. 一阶系统单位阶跃响应
xi (t) u(t 1
0
t
0
t
xi (t )
1 2
t2
Xi (s) 1/ s3
xi (t) sin t
X i制(作s)：华中s科2 技大学2
三、一阶系统的时间响应
微分方程 传递函数
T
dxo (t) dt
xo
(t)
xi
(t)
G(s) 1
Ts 1
1.一阶系统单位脉冲响应
T为时间常数
xi (t) (t
Xi(s) 1
系统稳定性判据
4.特征根实部Im[si]的大小决定自由响应的振荡频率
制作：华中科技大学
二、典型的输入信号
xi(t)
xi
(t
)
(t
)
0
Xi (s) 1
xi(t)
(t 0) (t 0)
xi (t) u(t) 1
Xi (s) 1/ s
0
t
xi (t) r(t) t
Xi (s) 1/ s2
xi(t)
s s3 s4
s3 s4
1 2e 3t 3e 4t 5e 3t 4e 4t u(t ) 7e 3t 7e 4t
零状态响应 零输入响应
强迫响应 自由响应
-3，-4是系统传递函数的极点（特征根）
2
零状态响应项：B(t)
A e sit 1i
2
零输入响应项：
A e sit 2i
i 1
i 1
L1[G(s)R(s)]
L1[ (s
7) y(0
)
y(0
)
6r(0
) ]
s2 7s 12
零状态响应（零初始状态下， 零输入响应（系统无输入，
完全由输入所引起）。
完全由初始状态所决定）。
制作：华中科技大学
y(t ) L1[
6(s 2)
R(s)]
L1[ (s
7) y(0
)
y(0
)
6r(0
) ]
Xi(s) 1 s
X
o
(s)
G(s)
X
i源自文库
(s)
1 Ts 1
1 s
xo
t
L-1[
X
o
(s)]
L-1[ 1 Ts
1
1] s
1 et T
瞬态响应：et T
稳态响应： 1
制作：华中科技大学
3. 一阶系统单位斜坡响应
xi (t) r(t t
Xi (s) 1 s2
X
o
第三章 时间响应分析
一、时间响应及其组成
1.时间响应 时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式，即 系统微分方程在一定初始条件下的解。 系统在外界（输入或扰动）的作用下，从一定的初始状 态出发，所经历的由其固有特性所决定的动态历程。亦 即系统微分方程在一定初始条件下的解。 研究时间响应的目的在于分析系统的稳定性、响应的快 速性与响应的准确性等系统的动态性能。
Re[ si ]t jIm [ si ]t
e sit e si *t 2 cos( I m [si ]t )e Re[si ]t
Im [s]
y
Re
t
Im [s] y
Re
t
Im
y
[s]
Re
t
Im [s]
y
Im [s]
Re
t
Re
t
制作：华中科技大学
虚部绝对值增大，频率增高 实部绝对值增大，收敛增快
Re
若所有特征根具有负实部 系统自由响应收敛 系统稳定 自由响应称为瞬态响应 强迫响应称为稳态响应
Im
[s]
若存在特征根的实部大于零
系统自由响应发散
Re
系统不稳定
若有一对特征根的实部为零 其余特征根均小于零 系统自由响应最终为等幅振荡 系统临界稳定
制作：华中科技大学
结论：
1.若所有特征根实部均为负值（所有极点均位于[s]平面左半平 面），系统自由响应收敛。系统稳定。 2.若存在特征根实部正值（ [s]平面右半平面存在极点），系统 自由响应发散。系统不稳定。 3.若存在一对特征根实部为零，而其余特征根实部均为负值 （ [s]平面虚轴上存在一对极点，其余极点位于左半平面），系 统最终为自由等幅振荡。系统临界稳定。
2
2
y(t) B(t)
A e sit 1i
A e sit 2i
i 1
i 1
制作：华中科技大学
对于一个n阶系统，其微分方程为
an
y(n)
a n1
y ( n1)
...
a1
y
a0
y
bm
x(m)
b x (m1) m1
...
b1 x
b0
x
n
零状态响应项：B(t)
A e sit 1i
n
零输入响应项：