实变函数

b
n
(R)

f (x)dx lim ||T ||0 i1
f (i )xi
(积分与分割、介点集的取法无关)
2.Lebesgue积分思想简介
yi
Ei {x : yi1 f (x) yi}
yi-1
yi1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
n
(L)
[ a ,b ]
f
( x)dx
2）理论性强
教材：实变函数论与泛函分析基础（第三版）,程其襄 等编 高等教育出版社，2010年6月.
参考文献
周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001) 周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9 胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7 徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002 郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987 夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2 Halmos，测度论(Measure theory) Rudin , 实分析与复分析(Real and complex analysis).
前两节属于复习性质。不过，无限集合的 交与并，是以前没有接受过的。它在本课 中常常要遇到。
§1 集合概念
一、描述定义：具有某种特定性质的事物 （具体或抽象）的全体称为集合。记为 A,B,…等等。集合的成员称为它的元素， 记为a,b,c…等等。
二、表示法： 1.列举 法： A=｛a，b，c，…｝ 例1 A=｛4，7，8，3｝. 2.描述法： A=｛x | x满足性质p｝
(2) Riemann可积的充分条件
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积的充分条件是？
注：连续函数、只有有限个 间断点的有界函数和闭区间 上的单调函数Riemann可积
例：Dirichlet函数不Riemann可积。
D(x) 1 x[0,1]Q 0 x[0,1]Q
上积分
实变函数理论也是在此基础上产生的。 实变函数理论的中心是建立一种新的积 分理论，即勒贝格Lebesgue积分。
数学分析 讨论定义在区间上的连续函数。 复变函数 讨论定义在域上的解析函数。 实变函数 讨论定义在集合上的可测函数 。
早在中学里就已经接触过集合的概念， 以及集合的并、交、补、的运算，因此本章
第一章 集合， 第二章 点集， 第六章 微分与不定积分
4.实变函数论的特点
1）高度抽象；
a) “似是而非”
例1.有许多学生排成一列，且男女生交叉排列，在其中任取一片段， 男女生的个数有三种可能：或男女一样多、或男生多一个、或女生 多一个。 也就是说在任意片段中男女生个数至多相差一个。 直线上的有理数、无理数表面看来很类似，任意两个有理数之间 有无理数，任意两个无理数之间有有理数，任取一节线段，有理 数、无理数的个数似乎只有三种可能：或有理数无理数一样多、 或有理数多一个、或无理数多一个。也就是说人一片段中有理数 和无理数的个数至多相差一个。
b
n
a
f
(x)dx lim ||T ||0
i 1
M ixi
1
0
1
下积分
b
n
a
f
(x)dx
lim
||T ||0
i 1
mi xi
0
n
分划T，有 ixi 1 i 1
注：D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线
段组成。
Riemann积分
xi-1 xi
为使f(x)在[a,b]上Riemann可积， 按Riemann积分思想，必须使得 分划后在多数小区间上的振幅 足够小，这迫使在较多地方振动 的函数不可积。Lebesgue提出， 不从分割定义域入手， 而从分割值域入手；
lim
0
i mEi
i 1
1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积” 中提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响， 数学进展，2002.1）
Lebesgue积分思想
即： 0,作分划m y0 y1 y2 yn M
其中yi yi1 , m f (x) M
取点集Ei {x : yi1 f (x) yi}
x在A中记为x∈A，x不在A中记为x ∈A.
2. 集合A、B间的关系： A的每一个元素都是B的
元素，则称A是B的子集，记为AB 或B A.
如果A B且A B，则称A B;
如果A B且x B, x A,则称A为B的真子集。
为方便起见，引进不含任何元素的集合，称之 为空集，记为.
我们来看集合中的几个常用的关系式：
关系名 称
属于
不属于 相等
表示方法 关系名称 表示方法
xA
A
xA
AB
子集 真子集
A B
A B
在这几个概念中，我们必须注意：
1 . 表示集合与它元素之间的关系。
2 . 表示集合与集合之间的关系。
关于“集合”，我们要注意两方面： 第一：集合中的元素互异。 第二：集合中的元素确定。
例如：全体大个子。不构成集合
（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会， 《高等理科教学》，2000.1）
0
1
3.Lebesgue积分构思产生的问题
yi
yi-1
Ei {x : yi1 f (x) yi}
(1) 集合Ei 的“长度”如何定义（第三章 测度论）； (2)怎样的函数可使 Ei 都有“长度”（第四章 可测函数）； (3)定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章 积分论）；
yi-1
即按函数值的大小对定义域的点加以归类
对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：
假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值 的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加， 这就是Lebesgue积分思想；
如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序 来计算总数，那就是Riemann积分思想
序言
Lebesgue积分思想简介
微积分基本定理
若f(x)在[a,b]上连续，则
d ((R) x f (t)dt) f (x)
dx
a
导数（切线斜率）
定积分（面积）
若F `(x) 在[a,b]上连续，则
x
(R)a F '(t)dt F (x) F (a)
xi-1 xi
微积分发展的三个阶段
创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小)
Riemann 积分的局限性：
（1）1881年Volterra作出一可微函数，导函数 有界但不Riemann可积；
例：Dirichlet函数不Riemann可积。
D(x)
1 0
x [0,1] Q x [0,1] Q
上积分
b
n
a
f
(x)dx
lim
||T ||0
i 1
M ixi
1
下积分
其目的是想克服牛顿和莱布尼茨
所建立的微积分学存在的缺点，
使得微分和积分的运算更加对称、 更加完美．
1.Riemann积分回顾
(1) Riemann积分的定义
积分与分割、介点集的取法无关
几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。
xi-1 xi
其中 xi xi xi1
b
n
(R)
a
f (x)dx lim ||T ||0 i1
b
n
a
f
(x)dx
lim
||T ||0
i 1
mi xi
0
（2）积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）
• 在Riemann积分意义下极限运算与积分运算不一定 可交换次序，即：
b
b
lim
n a
fn (x)dx a
lim
n
fn (x)dx
不一定成立。
1902年Lebesgue在其论文“积分、长度
与面积”中提出新见解，由此推进了积分理 论的发展。（参见：Lebesgue积分的产生及 其影响，数学进展，2002.1）
mi inf{ f (x) : xi1 x xi}
(2) Riemann可积的充要条件
其中：
xi-1 xi
M i sup{f (x) : xi1 x xi} mi inf{ f (x) : xi1 x xi}
i M i mi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
n
0, 分划T，使得 ixi i 1
例7： 例8： 例9： 例10：
康托尔（Cantoy 1*845-1918）在19世
创立了“集合论”，把无限集合也分成大小 多少。例如他断言：全体实数比全体有理
数“多”。这是数学向无限王国挺进的里程 碑，也是实变函数理论的出发点。
勒贝格思路： 集合 集合“长度”（测度）
定义新的积分（L- 积分） 积分与微分关系
从这个知识脉络图，我们可以看 到，在实变函数中，集合的概念被经 常应用，所以，我们要先研究集合。
从今天开始，我门来学习第一章有 关集合的知识。
实变函数论产生于19世纪末， 20世纪初，主要由法国数学家勒 贝格（Lebesgue,1875—1941）创 建．它是普通微积分学的继续，
严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass (极限理论(ε-N, ε-δ语言)，实数理论)
外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微积分基本定理如何在高维空间得到体现）
微积分继续发展的三个方向
外微分形式 (整体微分几何) （微积分基本定理如何在高维空间得到体现） 复数域上的微积分（复变函数） 微积分的深化和拓展（实变函数）
例2 A=｛x | x 为自然数｝=IN； 例3 A=｛x | x为0与1之间的实数｝=[0，1]; 例4 A=｛x | x为平面上的向量｝=IR2; 例5 A=｛f | f 为[0,1]上的实函数｝
={ f:[0，1]→IR}; 三、简单概念
1.事物x与集合A的关系： x在A中或不在A中， 两者居且必居其一。
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第一章 集合简介 §1.集 合 概 念
§2.集合的运算 §3.对等与基数 §4.可数集合 §5.不可数集合
集合的概念是十九世纪七十年代康托尔 （Cantor 1845-1918）首先引入的，创立了 “集合论”。而后集合的观点与方法迅速渗透 到数学的各个分支。
严密的逻辑推理告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数 要比无理数少得多。少到什么程度？ 有理数相对无理数而言是那 样的微不足道，由它不多，无它不少。即无理数居然和实数一样 多。
b) “似非而是”
例2.有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果 以前有人说有理数和自然数一样多的话，没人敢承认，而我们可 以通过严密的证明该结论是正确的。
四、包含关系具有如下性质
定理1 对任意的集合A、B、C均有 (1) 自反性：A A;
(2) 反对称性： A B，B A，则A B;
(3) 传递性：A B，B C,则A C.
注意：通常证明两个集合相等，总是 利用（2）。
A
B
xx
A, B,
x x
B A
BA
B A
例 A={x|x是小于等于5的正整数} B={1，2，3，4，5} A=B
f (i )xi
xi1 i xi
(2) Riemann可积的充要条件
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
xi-1 xi
b
n
n
b
a
f (x)dx lim ||T ||0
i 1
M ixi
lim ||T ||0
i 1
mi xi
a
f (x)dx
其中： Mi sup{f (x) : xi1 x xi}
yi yi-1
f(x)在 Ei上的振幅不会大于δ
n
作和s i mEi i 1
其中 mEi 表示 Ei 的“长度”yi，1 i yi
n
取“极限”(L)
[ a ,b ]
f
( x)dx
lim
0
i mEi
i 1
即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划
（每一块不一定是区间），
yi
使得在每一块上的振幅都很小，