边角边证明三角形的全等

边角边证明三角形的全等

一、学习目标

1.掌握三角形全等的判定方法“边角边”公理，能初步应用“边角边”公理判定两个三角形全等;认识两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

2.经历探索三角形全等的条件的过程，体验通过实践、归纳获得数学结论的过程.

3.会运用“边角边”公理证明两个三角形全等，掌握综合法证明的格式.

4.通过探究三角形全等条件的活动，培养大胆猜想的良好思维品质以及发现问题的能力.

二、指导自学

问题:1 .什么样的两个三角形叫做全等三角形?

回答:能够完全重合的两个

三角形叫做全等三角形.

2 .如果△ABC与△A’B’C’满足三条边对应相等，三个角对应相等，那么△ABC与△A’B’C’全等吗?为什么?

回答:△ABC与△A’B’C’全等.

因为能够完全重合的两个三角形全等.

3.如果△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一部分，△ABC与△A′B′C′全等吗?

回答:△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等.

△ABC与△A′B′C′满足三边对应相等，△ABC与△A′B′C′一定全等.

3.如果△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一部分，△ABC与△A′B′C′全等吗?

回答:△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等.

△ABC与△A′B′C′满足三边对应相等，△ABC与△A′B′C′一定全等.

4.△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的三个还有几种情形?

回答:除“三条边对应相等”外，还有五种情形:

(2)两边及其夹角对应相等;

(3)两边及其中一边的对角对应相等;

(4)两角及其夹边对应相等;

(5)两角及其中一角的对边对应相等;

(6)三个角对应相等.

(一)探究条件，获得结论

探究5:满足两边及其夹角对应相等的△ABC与△A′B′C′全等吗?

(1)先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使AB=A′B′，∠A=∠A′，AC= A′C′.

(2)把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

画法:1.画∠DA′E=∠A;

2.在射线A′D、A′E上分别截取A′B′=AB，A′C′=AC;

3.连接线段B′C′.

△A′B′C′为所求的三角形.

(2)把画好的△A’B’C’剪下，放到△ABC上，它们全等.

三、教师讲解(一)探究条件，获的结论

探究5的结果反映了什么规律?

得到判定两个三角形全等的一个方法:

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

(可以简写成“边角边”或“SAS”).

符号表述:在△ABC与△A’B’C’中，

∴△ABC≌△A’B’C’(SAS).

例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可

以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA.连接BC并延长到E，使CE=CB.连接DE，那么量出的DE长就是A、B的距离.为什么?

证明:在△ABO和△DEO中，

∴△ABO≌△DEO(SAS).

∴AB=DE(全等三角形对应边相等).

即量出的DE长就是A、B的距离.

探究6:我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定△ABC与△A′B′C′全等吗?为什么? 我们可以通过画图回答:

(1)先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使AB=A′B′，∠B=∠B′，AC=A′C′，其中AB＞AC.

(2)把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

我们可以通过画图回答:

(1)先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使AB=A′B′，∠B=∠B′，AC=A′C′，其中AB＞AC.

(2)把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

画法:1.画∠DB′E=∠B;

2.在射线B′D上截取A′B′=AB.

3.由于线段A′C′不在射线B′E上，且A′C′=AC，所以，射线B′E上可能有两个C′点，均使A′C′=AC.

因此，满足条件的△A′B′C′可能不唯一.

(2)把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们也不一定全等.

我们还可以通过实验回答:

把一长一短两根细木棍的一端A用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合.适当调整好长木棍与射线BE所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来，使短木棍的另一端分别落在射线BE的两个不同位置C、D 处.

如图，△ABC与△ABD满足两边及其中一边的对角对应相等的条件，但△ABC 与△ABD不全等.

思考:探究6的结果反映了什么规律?

回答:有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

1.如图，两车从南北方向的路段AB的一端A出发，分别向东，向西行进相同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗?为什么?

解:此时C，D到B的距离相等.

∵BA⊥DC

∴∠DAB=∠CAB=90°

在△DAB和△CAB中，

∴△DAB≌△CAB (SAS)

∴DB=CB(全等三角形的对应边相等).

即此时C，D到B的距离相等.