二重积分的变量变换公式
重积分的变量变换.
o
f ( x, y)dxdy
D
f (r cos , r sin )rdrd
D
d 2( )
1( )
f (r cos ,
r sin ) r dr.
r 2( )
A
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
r ( )
D： ,
D
其中正号及负号分别由 t 从 变 到时，是对
应于 LD 的正向或是负方向所决定．由（6）及
（7）得到
D =
L
xu,
v
y u
du
y v
dv
= 令
Pu,
L
v
xu, v xu,
v
y du u
y
u
xu,v y dv
v
Qu, v xu,
v
y v
在平面 uv 上对上式应用格林公式，得到
D
vdv
1
sin
1.
20
2
二、利用极坐标系计算二重积分
面积元素
d r drd . 或 dxdy r drd .
f ( x, y)dxdy
D
f (r cos , r sin )rdrd .
D
r ri ri r ri
o
i i
i D
i A
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
x, y u, v
0，
= f xu,v, yu,v Ju,vdudv
D
定理21.13 设 f (x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x(u, v), y y(u, v) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x(u, v), y(u, v) 在 D 上具有一阶连续偏导数； (2) 在 D 上雅可比式 J (u, v) (x, y) 0;
21(3)二重积分的极坐标计算方法.
o
x
结束
x k o( ) x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) v (u , v) 同理得 y2 y1 y h o( ) u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v) 当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1
2 c
D
1 x2
a
2
y2 2 d xd b
y
D : r 1 , 0 2 ( x, y ) a cos a r sin J abr b sin b r cos ( r , )
V 2 c
D
1 r a b r d r d
(3)在变换下确定u,v的范围
D
;
(4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分;
(5)用§2求二重积分化为累次积分的方法求出其值。
题型一：引入变量替换后，化为累次积分； P242习题3
题型二：作适当的变量替换，计算二重积分。
P242习题4
d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 e y 所围成的闭域. x y 2 解: 令 u y x , v y x , 则 D o x vu vu ( D D ) x ,y v v2 2 2 1 D ( x, y ) 1 1 2 2 u v uv J 1 1 (u , v) 2 2 2 o u
§4 二重积分的变量交换
教学内容： 1.二重积分的换元法; 2.二重积分的极坐标变换; 教学重点： 二重积分的变量变换: 1.线性变换;
二重积分的变量变换
则有
f ( x , y )dxdy f ( x(u, v ), y(u, v )) | J ( u, v ) |dudv .
D
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例1 求
e
D
x y x y
dxdy , 其中
y
1
D是由 x 0, y 0, x y 1 所围的区域(图21-23). 解 为了简化被积函数, 令
0
4 3 2 R r r dr R . 3 2 3
2 2
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o
2 cos
D
2
x
D
x y d
2 2
d
2 2
0
r rdr
32 16 8 3 3 2 2 cos d 0 cos d . 9 3 3 2
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例5 计算
I
D
d 1 x y
2 2
,
其中 D 为圆域: x y 1.
二、二重积分的极坐标变换
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数
的形式为 f ( x 2 y 2 ) 时, 采用极坐标变换
x r cos , T : 0 r , 0 2π , y r sin ,
变换 T 的函数行列式为
(8)
往往能达到简化积分区域或被积函数的目的. 此时,
T : x x ( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面由按段光滑封
闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 xy 平面上 的闭区域 D, 函数 x( u , v ), y( u , v ) 在 内分别具有 一阶连续偏导数且它们的函数行列式
二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分知识讲解
y
M3
D M 4
M1 M2
令 h2 k2, 则
o
x
x2
x1
x(u
h,
v)
x(u,
v)
x u
(u, v)
h
o(
)
x4 x1 同理得 y2 y1
x(u,v k)
y u
(u,
)r
d
O
r
0
D
x
(iv) 若区域 D 可表示为
2(r) r r2
D : 1(r) 2(r), r1 r r2,
f (r cos , r sin )r d r d r r1
D
O
r1 r d r 2(r) f (r cos , r sin )d
D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
J (x, y) cos (r, ) sin
r sin
r cos
r
D f (x, y) d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
x y
xy e x y dxdy
e
u v
1
dudv
1
1
dv
u v
e v du
D
D
2
20
v
1 2
u
1 0
(ve
v
)
|vv
dv
1 2
1 v(e - e1 )dv
二重积分变量变换
M 2 {x u u , y u u } M1
M 2 M1 M 4 | | M 1
M 4 {x (u, v v ) x (u, v ), y (u, v v ) y (u, v )} M1
y
y y
x v du y v dv
vv
S
u A( u0 , v 0 )
B
u
C S uu
B
A( x0 , y0 )
O
O
x
dxdy
dx 0
0 dy
xu yu
x v du yv 0
(x , y ) dudv dv (u, v )
b
a
f ( x )dx f ( ( t )) ( t )dt .
(1)
当 (即 ( t ) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1 ( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成
X
二重积分的变量变换 与反常二重积分
二重积分的变量变换公式, 并对常用的 极坐标变换作详细的讨论.
一、二重积分的变量变换公式
二、二重积分的广义极坐标变换 三、反常二重积分
一、二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f ( x ) 在区间 [a , b]上连续, x ( t ) 当 t 从 变到 时严格 单调地从a 变到 b, 且 ( t ) 连续可导, 则
f (x (u, v ), y (u, v )) ? dudv
数学分析(下)21-4二重积分的变量变换
§4二重积分的变量变换本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标变换方法作了详细的讨论.一、二重积分的变量变换公式二、二重积分的极坐标变换三、二重积分的广义极坐标变换返回一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设()f x [,]a b ()x t j =t a b 在区间上连续, 当从变到时严格单调地从a 变到b , 且()t j 连续可导, 则()d (())()d .(1)b a f x x f t t t b a j j ¢=òòa b <()0t j ¢>[,],[,],X a b Y a b ==当(即)时, 记则1(),().X Y Y X j j -==利用这些记号, 公式(1)又可写成1()()d (())()d .(2)X X f x x f t t t j j j -¢=òòa b >()0t j ¢<当(即)时, (1)式可写成1()()d (())()d .(3)X X f x x f t t t j j j -¢=-òò故当()t j 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可统一写成如下的形式:1()()d (())|()|d .(4)X X f x x f t t t j j j -¢=òò下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给出下面的引理.引理设变换:(,),(,)==将uv平面T x x u v y y u v(,)y u v D 证下面给出当在内具有二阶连续偏导数时的证明. ( 注: 对(,)y u v 具有一阶连续偏导数条件下的一般下的一般证明证明,将在本章将在本章§§9 中给出. ) (,)0,J u v ¹D 由于T 是一对一变换, 且因而T 把的D L D 内点变为D 的内点, 所以的按段光滑边界曲线D L 也变换为D 的按段光滑按段光滑边界曲线边界曲线. 设曲线L D 的参数方程为(),()().u u t v v t t a b ==££L D (),()u t v t ¢¢[,]a b 由于按段光滑, 因此在上至多除去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续. 又另一方面, 在uv平面上y y ¶¶()(,)d d .D J u v u v m D=±òò()D m (,)J u v D 又因为总是非负的, 而在上不为零且连续, 故其函数值在D 上不变号, 所以()|(,)|d d .D J u v u v m D=òò定理21.13设(,)f x y 在有界闭区域D 上可积, 变换:(,),(,)T x x u v y y u v ==将uv 平面由按段光滑平面由按段光滑封封闭曲线所围成的闭区域D 一对一地映成xy 平面上(,),(,)x u v y u v D 的闭区域D , 函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式加强条件下,由引理及二重积分中值定理, 有n åx y -2123-图1D11O 2124-图1Du =v=-111e e u--D2y=图2125-u()12121212,,.y t xy u x t u y t u -====即证令则二、二重积分的极坐标变换容易知道, 极坐标变换T 把r q 平面上的矩形[0,]R ´此对应不是一对一的,例如,xy 平面上原点(0,0)O 于r q 平面上两条直线段CD 和EF (图21-26). 又当0r =(,)0,J r q =时, 因此不满足因此不满足定理定理21.13 的条件.但是仍然有下面的结论.222:.D x y R +£变换成xy 平面上的圆域[0,2]p 但r q 0r =与平面上直线相对相对应应,x 轴上线段对应AA ¢21.平面上的有界闭域OyB ¢A BeD e(a)OqeFE(,)d d (cos ,sin )d d .(9)Df x y x y f r r r r q q q D =òòòò222,[0,][0,2].D x y R R p 为一圆:则+£D =´证若BB A A ¢¢e 为的扇形后所得的区域(图21-26(a )),则( 图21-26 (b ) ). 又因在D e e D 与之间是一一对应的设{}2222(,)|D x y x y Re e £+£为圆环除去中心角在变换(8)下, D e 对应于[,][0,2],R e e p e D =´-且上(,)0,J r q >于是由定理21.13, 有Dòòòòòòf r r r r(cos,sin)d dq q q(,),(,),(,)0,(,)\.R f x y x y D F x y x y D D Îì=íÎîR D 在中函数F 至多在有限条按段光滑曲线上至多在有限条按段光滑曲线上间断间断,因此因此由前述得到由前述得到(,)d d (cos ,sin )d d ,RRD F x y x y F r r r r q q q D =òòòòR D r q [0,][0,2].R p ´其中为平面上矩形区域由函数(,)F x y 的定义, (9)式对一般的D 也成立.R D 上定义函数并且在由定理21.14 看到, 用极坐标变换计算二重积分时, 除变量作相应的替换外, 还须把“面积微元”d d x y 换成d d .r r q 下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分来计算.12()(),,r r r q q a q b ££££D r q q 1.常用的是将分解为平面中的型区域. ,O D Ï(i) 若原点则型区域型区域必可表示成必可表示成(图21-27) q 于是有r D0(),02.r r q q p ££££Dab()r r q =ODq r r =(iii)若原点在D 的边界上(图21-28(b)), 则为:DD() r rq12G 1x y +=1G 0x y +=y(a)13D 4D 1D 2D (b)π1ìüìüπ1例5计算2222x y z R ++£22x y Rx +=例6求球体被圆柱面2131-R2132-图cos r R =D积. 在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体, 其底为例7计算22()ed ,x y DI s -+=òò其中D 为圆域:22x y +£2.R 解利用极坐标变换, 由公式(12),容易求得2220d ed (1e).Rr R I r r pq p --==-òò若不用极坐标变换, 而直接在直角坐标系下化为累次积分计算, 则会遇到无法算出2ed y y -ò的难的难题题.三、二重积分的广义极坐标变换里就不再赘述了.为底的曲顶柱体, 所以作业P254：2（1）（3）；3（3）；4（2）；6（2）。
数学分析21.4二重积分的变量变换(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 4二重积分的变量变换一、二重积分的变量变换公式定积分的变量变换：设f(x) 在[a,b]上连续，x=φ(t)当t 从α变到β时，严格单调地从a 变到b ，且φ(t)连续可导，则⎰b a dx x f )(=⎰'βαϕϕdt t t f )())((. 当α<β(即φ’(t)>0)时，记X=[a,b], Y=[α,β]，则X=φ(Y), Y=φ-1(X)，则 上面的公式可以写成⎰X dx x f )(=⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ.当α>β(即φ’(t)<0)时，又可改写成⎰X dx x f )(=-⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ，即当φ(t)严格单调且连续可微时，有⎰X dx x f )(=⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ.引理：设变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则区域D 的面积μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(. 证：当y(u,v)在△内具有二阶连续偏导数时， (后面章节证明只具有一阶连续导数的情况)∵T 为一对一变换, 且J(u,v)≠0, ∴T 把△的内点变成D 的内点， △的按段光滑边界曲线L △变换到D 时，其边界曲线L D 也按段光滑. 设曲线L △的参数方程为u=u(t), v=v(t) (α≤t ≤β), 由L △光滑知， u ’(t), v ’(t)在[α,β]上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点上连续. ∵L D =T(L △), ∴x=x(t)=x(u(t),v(t)), y=y(t)=y(u(t),v(t)) (α≤t ≤β). 若规定t 从α变到β时，对应于L D 的正向，则根据格林公式，取P(x,y)=0, Q(x,y)=x, 有 μ(D)=⎰DL xdy =⎰'βαdt t y t x )()( =⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂βαdt t v v y t u u y t v t u x )()())(),((, 又在uv 平面上，⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂L dv v y du u y v u x ),(=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂±βαdt t v v y t u u y t v t u x )()())(),((, 其中t 从α变到β时，对应于L △的方向决定了上式的符号性质. ∴μ(D)=⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂±L dv v y du uy v u x ),(=⎰∆∂∂+∂∂±L dv v y v u x du u y v u x ),(),(. 令P(u,v)=x(u,v)u y ∂∂, Q(u,v)=x(u,v)vy∂∂, 在uv 平面上应用格林公式，得 μ(D)=⎰⎰∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂±dudv v P u Q , 又y(u,v)具有二阶连续偏导数，即有 u v y v u y ∂∂∂=∂∂∂22，∴v P u Q ∂∂-∂∂=J(u,v). ∴μ(D)=⎰⎰∆±dudv v u J ),(. 又μ(D)非负，而J(u,v)在△上不为零且连续，即其函数值在△上不变号， ∴μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(.定理21.13：设f(x,y)在有界闭域D 上可积，变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则 ⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆dudv v u J v u y v u x f ),()),(),,((.证：用曲线网把△分成n 个小区域△i ,在变换T 作用下，区域D 也相应地被分成n 个小区域D i . 记△i 及D i 的面积为μ(△i )及μ(D i ) (i=1,2,…,n).由引理及二重积分中值定理，有μ(D i )=⎰⎰∆idudv v u J ),(=|J(u i ,v i )|μ(△i ),其中(u i ,v i )∈△i (i=1,2,…,n). 令ξi =x(u i ,v i ), ηi =y(u i ,v i ), 则 (ξi ,ηi )∈D i (i=1,2,…,n). 作二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的积分和，则得△上f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|的积分和，即σ=)(),(1i ni i i D f μηξ∑==)(),()),(),,((1i ni i i i i i i v u J v u y v u x f ∆∑=μ. 由变换T 连续知，当区域△的分割T △：{△1,△2,…,△n }的细度∆T →0时， 区域D 相应的分割T D ：{D 1,D 2,…,D n }的细度D T →0. ∴⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆dudv v u J v u y v u x f ),()),(),,((.例1：求⎰⎰+-Dyx y x dxdy e，其中D 是由x=0, y=0, x+y=1所围区域.解：令u=x-y, v=x+y, 则得变换T ：x=21(u+v), y=21(v-u), 且J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂=v y uyv x ux∂∂∂∂∂∂∂∂=21212121- =21>0. 在变换T 的作用下，得 区域D={(x,y)|x ≥0, y ≥0, x+y ≤1}的原象△={(u,v)|-v ≤u ≤v, 0≤v ≤1}, ∴⎰⎰+-Dyx y x dxdy e=⎰⎰∆⋅dudv e vu21=⎰⎰-v v v udu e dv 1021=⎰--101)(21vdv e e =)(411--e e .例2：求抛物线y 2=mx, y 2=nx 和直线y=ax, y=bx 所围区域D 的面积μ(D) (0<m<n, 0<a<b). 解：D={(x,y)|2b m ≤x ≤2a n ,ax ≤y ≤bx,nx ≤y 2≤mx}.作变换x=2v u , y=v u ,把D 对应到uv 平面上的△=[m,n]×[a,b]且J(u,v)=232121vu vv uv--=4v u >0. ∴μ(D)=⎰⎰Ddxdy =⎰⎰∆dudv v u4=⎰⎰n m b a du v u dv 4=⎰-b a dv v m n 42221 =3333226))((b a a b m n --.二、用极坐标计算二重积分定理21.14：设f(x,y)满足定理21.13的条件，且有极坐标变换 T ：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x , 0≤r<+∞, 0≤θ≤2π, 则J(r,θ)=θθθθcos sin sin cos r r -=r>0.xy 平面上的有界闭域D 与r θ平面上区域△对应，则成立⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.证：若D 为圆域{(x,y)|x 2+y 2≤R 2}, 则△为r θ平面上的区域[0,R]×[0,2π]. 设D ε为在圆环{(x,y)|0<ε2≤x 2+y 2≤R 2}中除去圆心角为ε的扇形所得 区域BB ’A ’A(如图1)，则在变换T 下，D ε对应r θ平面上的矩形区域 △ε=[ε,R] ×[0,2π-ε](如图2). T 在D ε与△ε之间为一一变换，且J(r,θ)>0. 由定理21.13，有⎰⎰εD dxdy y x f ),(=⎰⎰∆εθθθrdrd r r f )sin ,cos (.∵f(x,y)在有界闭域D 上有界，令ε→0即得⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.若D 是一般的有界闭区域，则取足够大的R>0，使D 包含在圆域D R ={(x,y)|x 2+y 2≤R 2}内, 并在D R 上定义函数： F(x,y)=⎩⎨⎧∉∈D y x ，Dy x ，y x f ),(0),(),( ,F 在D R 内至多在有限条按段光滑曲线上间断， ∴⎰⎰RD dxdy y x F ),(=⎰⎰∆Rrdrd r r F θθθ)sin ,cos (, 其中△R 为r θ平面上的矩形区域[0,R] ×[0,2π]. 由F 的定义即得：⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.二重积分在极坐标下化为累次积分.1、若原点O ∉D ，且xy 平面上射线θ=常数与D 的边界至多交于两点(如图1)，则△必可表示为r 1(θ)≤r ≤r 2(θ), α≤θ≤β, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)()(21)sin ,cos (θθβαθθθr r rdr r r f d .同理，若xy 平面上的圆r=常数与D 的边界至多交于两点(如图2)，则△必可表示为θ1(r)≤θ≤θ2(r),r 1≤r ≤r 2, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)()(2121)sin ,cos (r r r r d r r f rdr θθθθθ.(2)若原点为D 的内点(如图3)，D 的边界的极坐标方程为r=r(θ)，则 △必可表示为0≤r ≤r(θ),0≤θ≤2π, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)(020)sin ,cos (θπθθθr rdr r r f d .(3)若原点O 在D 的边界上(如图4)，则 △可表示为0≤r ≤r(θ),α≤θ≤β, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)(0)sin ,cos (θβαθθθr rdr r r f d .例3：计算I=⎰⎰--Dy x d 221σ, 其中D 为圆域x 2+y 2≤1.解：∵原点是D 的内点， ∴⎰⎰--Dy x d 221σ=⎰⎰--1222220sin cos 1dr r r rd θθθπ=⎰πθ20d =2π.例4：求球体x 2+y 2+z 2≤R 2被圆柱面x 2+y 2=Rx 所割下部分的体积(称为维维安尼体)解：由对称性，求出第一卦限内的部分体积，就能得到所求立体体积. 第一卦限内底为D={(x,y)|y ≥0, x 2+y 2≤Rx}, 曲顶方程：z=222y x R --. ∴V=4⎰⎰--Dd y x R σ222=4⎰⎰-θπθcos 02220R drr R r d=⎰-2033)sin 1(34πθθd R =)322(343-πR .例5：计算I=⎰⎰+-Dy x d eσ)(22，其中D 为圆域x 2+y 2≤R 2.解：I=⎰⎰+-Dy x d e σ)(22=⎰⎰-Rr dr re d 0202πθ=⎰--πθ20)1(212d e R =)1(2R e --π.注：与极坐标类似的，可作以下广义极坐标变换： T ：⎩⎨⎧==θθsin cos br y ar x , 0≤r<+∞, 0≤θ≤2π，则J(r,θ)=θθθθcos sin sin cos br b ar a -=abr>0.例6：求椭球体222222cz b y a x ++≤1的体积.解：第一卦限部分是以z=c 22221by a x --为曲顶，D={(x,y)|0≤y ≤b 221ax -, 0≤x ≤a}为底的曲顶柱体，由对称性得：V=8c ⎰⎰--Dd by a x σ22221=8c ⎰⎰-102201abrdr r d πθ=38abc ⎰20πθd =34πabc.注：当a=b=c=R 时，得到球体的体积公式：34πR 3.习题1、对⎰⎰Dd y x f σ),(进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分：(1)当D 为由不等式a 2≤x 2+y 2≤b 2, y ≥0所确定的区域； (2)D={(x,y)|x 2+y 2≤y, x ≥0}； (3)D={(x,y)|0≤x ≤1, 0<x+y ≤1}.解：(1)当D 为由不等式a 2≤x 2+y 2≤b 2, y ≥0所确定的区域时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰b adr r r rf d )sin ,cos (0θθθπ=⎰⎰πθθθ0)sin ,cos (d r r rf dr b a.(2)当D={(x,y)|x 2+y 2≤y, x ≥0}时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰θπθθθsin 20)sin ,cos (adr r r rf d =⎰⎰2arcsin 1)sin ,cos (πθθθrd r r rf dr .(3)当D={(x,y)|0≤x ≤1, 0<x+y ≤1}时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰-θπθθθsec 004)cos ,cos (dr r r rf d +⎰⎰+θθπθθθsin cos 1020)cos ,cos (drr r rf d=⎰⎰-24220)sin ,cos (ππθθθd r r rf dr +⎰⎰--rd r r rf dr 21arccos44122)sin ,cos (ππθθθ+⎰⎰+221arccos4122)sin ,cos (ππθθθrd r r rf dr +⎰⎰--r d r r rf dr 1arccos421)sin ,cos (πθθθ.2、用极坐标计算下列二重积分：(1)⎰⎰+Dd y x σ22sin , 其中D={(x,y)|π2≤x 2+y 2≤4π2}；(2)⎰⎰+Dd y x σ)(, 其中D={(x,y)|x 2+y 2≤x+y}；(3)⎰⎰Dd xy σ, 其中D 为圆域x 2+y 2≤a 2；(4)⎰⎰+'Dd y x f σ)(22, 其中D 为圆域x 2+y 2≤R 2.解：(1)当D={(x,y)|π2≤x 2+y 2≤4π2}时，⎰⎰+Dd y x σ22sin =⎰⎰πππθ220sin rdr r d =⎰-πθπ203d =-6π2.(2)当D={(x,y)|x 2+y 2≤x+y}时，应用极坐标变换后积分区域为： D ’={(r,θ)|-45π≤θ≤-4π, r ≤cos θ+sin θ}，即有 ⎰⎰+Dd y x σ)(=⎰⎰+--+θθππθθθsin cos 02445)sin (cos dr r d =⎰--+4454)sin (cos 31ππθθθd =2π.(3)当D 为圆域x 2+y 2≤a 2时，根据D 的对称性，有⎰⎰Dd xy σ=4⎰⎰adr r d 032sin cos θθθπ=θθπd a ⎰2042sin 2=24a .(4)当D 为圆域x 2+y 2≤R 2时，有⎰⎰+'Dd y x f σ)(22=⎰⎰'πθ2020)(d r f r dr R =π⎰'Rdr r f 022)(=π[f(R 2)-f(0)].3、在下列积分中引入新变量u,v 后，试将它化为累次积分. (1)⎰⎰--xx dy y x f dx 2120),(, 若u=x+y, v=x-y ；(2)⎰⎰D d y x f σ),(, 其中D={(x,y)|x +y ≤a }, 若x=ucos 4v, y=usin 4v ；(3)⎰⎰Dd y x f σ),(, 其中D={(x,y)|x+y ≤a, x ≥0, y ≥0}, 若x+y=u, y=uv.解：(1)若u=x+y, v=x-y ，则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 又变换后的区域D ’={(u,v)|1≤u ≤2, -u ≤v ≤4-u}, 如图：∴⎰⎰--xx dy y x f dx 2120),(=⎰⎰---+uu dv vu v u f du 421)2,2(21=⎢⎣⎡-+⎰⎰---212)2,2(21v du v u v u f dv+⎰⎰-+-2121)2,2(du v u v u f dv +⎥⎦⎤-+⎰⎰-v du v u v u f dv 4132)2,2(. (2)若x=ucos 4v, y=usin 4v, 则u=(x +y )2, v=arctan 41⎪⎭⎫⎝⎛x y ,∴变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤a, 0≤v ≤2π},又J(u,v)=vv u v v v u v cos sin 4sin sin cos 4cos 3434-=4usin 3vcos 3v>0，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰2044330)sin ,cos (cos sin 4πdvv u v u vf v u du a=⎰⎰adu v u v u vf v u dv 0443320)sin ,cos (cos sin 4π. (3)若x+y=u, y=uv, 即x=u(1-v)，则u=x+y, v=yx y +, ∴变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤a, 0≤v ≤1}, 又J(u,v)=uvu v --1=u ，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰-100),(dv uv uv u uf du a=⎰⎰-adu uv uv u uf dv 010),(.4、试作适当变换，计算下列积分.(1)⎰⎰-+Dd y x y x σ)sin()(, D={(x,y)|0≤x+y ≤π, 0≤x-y ≤π}；(2)⎰⎰+Dyx y d eσ, 其中D={(x,y)|x+y ≤1, x ≥0, y ≥0}.解：(1)令u=x+y, v=x-y ，则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 又变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤π, 0≤v ≤π},∴⎰⎰-+Dd y x y x σ)sin()(=⎰⎰ππ00sin 21vdv u du =⎰π0udu =22π.(2)令u=x+y, v=y ，则x=u-v, y=v, J(u,v)=111-= 1>0.又变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤1, 0≤v ≤u}, ∴⎰⎰+Dyx yd eσ=⎰⎰uuv dv e du 010=⎰-1)1(du e u =21-e .5、求由下列曲面所围立体V 的体积：(1)V 是由z=x 2+y 2和z=x+y 所围的立体；(2)V 是由曲面z 2=42x +92y 和2z=42x +92y 所围的立体.解：(1)由z=x 2+y 2和z=x+y 得x 2+y 2=x+y ，∴积分区域D ：221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +221⎪⎭⎫⎝⎛-y ≤21.作变换T ：x=21+rcos θ, y=21+rsin θ，得V=()[]⎰⎰+-+Dd y x y x σ22)(=⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-22022021rdr r d πθ=⎰πθ20161d =8π. (2)由z 2=2z, 得z 1=0, z 2=2. 所得立体V 在xoy 平面上的投影为42x +92y ≤4，立体顶面为z=9422y x +, 底面为z=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+942122y x , 作变换x=2rcos θ, y=3rsin θ，则J(r,θ)=θθθθcos 3sin 3sin 2cos 2r r -=6r>0.∴V=⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+D d y x y x σ9421942222=⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2022026rdr r r d πθ=4⎰πθ20d =8π.6、求由下列曲线所围的平面图形面积： (1)x+y=a, x+y=b, y=αx, y=βx (0<a<b, 0<α<β)；(2)22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x =x 2+y 2； (3)(x 2+y 2)2=2a 2(x 2-y 2) (x 2+y 2≥a 2). 解：(1)令u=x+y, v=xy, 则x=v u +1, y=vuv +1, 变换后的区域D ’={(u,v)|a ≤u ≤b, α≤v ≤β},又J(r,θ)=22)1(1)1(11v u vv v uv+++-+=2)1(v u +>0. ∴曲线所围的平面图形面积 S D =⎰⎰Dd σ=⎰⎰+ba du v u dv 2)1(βα=⎰+-βαdv v a b 222)1(12=)1)(1(2))((22βααβ++--a b .(2)令x=arcos θ, y=brcos θ，则方程变换为r 4=a 2r 2cos 2θ+b 2r 2sin 2θ, 即 r=θθ2222sin cos b a +，又J=abr>0，∴曲线所围的平面图形面积 S D =⎰⎰+θθπθ2222sin cos 020b a rdr d ab =⎰+πθθθ202222)sin cos (2d b a ab =2)(22πb a ab +. (3)x=rcos θ, y=rcos θ，则方程变换为r 4=2a 2r 2cos2θ, 即r=θ2cos 2a . 当cos2θ=21, 即θ=±6π时，r=a. 由图形的对称性可知 S D =4⎰⎰θπθ2cos 260a a rdr d =2a2⎰-60)12cos 2(πθθd =(3-3π)a 2.7、设f(x,y)为连续函数，且f(x,y)=f(y,x). 证明：⎰⎰xdy y x f dx 010),(=⎰⎰--xdy y x f dx 010)1,1(.证：作变换：x=1-u, y=1-v, 则J(u,v)=101--=1>0, 又f(x,y)=f(y,x)，∴⎰⎰xdy y x f dx 010),(=⎰⎰--vdu v u f dv 010)1,1(=⎰⎰--vdu u v f dv 010)1,1(=⎰⎰--xdy y x f dx 010)1,1(.8、试作适当变换，把下列二重积分化为单重积分： (1)⎰⎰+D d y x f σ)(22, D 为圆域x 2+y 2≤1；(2)⎰⎰+Dd y x f σ)(22, D={(x,y)||y|≤|x|, |x|≤1}；(3)⎰⎰+Dd y x f σ)(, D={(x,y)||x|+|y|≤1}；(4)⎰⎰Dd xy f σ)(, 其中D={(x,y)|x ≤y ≤4x, 1≤xy ≤2}.解：(1)作极坐标变换得：⎰⎰+D d y x f σ)(22=⎰⎰1020)(rdr r f d πθ=2π⎰10)(rdr r f .(2)如图，根据区域D 和被积函数的对称性知， 积分值是第一象限部分D 1上积分的4倍. D 1={(x,y)|y ≤x ≤1, y ≥0}，作极坐标变换得：⎰⎰+1)(22D d y x f σ=⎰⎰4010)(πθrd r f dr +⎰⎰41arccos21)(πθrrd r f dr=⎰1)(4rdr r f π+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(1arccos 4rdr r f r π=⎰20)(4rdr r f π-⎰21)(1arccos dr r f r r . ∴⎰⎰+Dd y x f σ)(22=π⎰20)(rdr r f -4⎰21)(1arccos dr r f rr .(3)令u=x+y, v=x-y, 则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 原积分区域变换为：D ’={(u,v)|-1≤u ≤1, -1≤v ≤1}. ∴⎰⎰+Dd y x f σ)(=⎰⎰--1111)(21dv u f du =⎰-11)(du u f . (4)令u=xy, v=x y, 则x=v u , y=uv , J(u,v)=vuuv v uv vu 212121121-=v 21>0.原积分区域变换为：D ’={(u,v)|1≤u ≤2, 1≤v ≤4}. ∴⎰⎰Dd xy f σ)(=⎰⎰41211)(21dv vu f du =ln2⎰21)(du u f .。
二重积分的变量代换
a
f ( x )dx f ( ( t )) ( t )dt .
(1)
当 (即 ( t ) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1 ( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成
在整个平面上成立
P Q cos y . y x 由定理21.12, 曲线积分AB (2 x sin y )dx ( x cos y )dy
只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.
为此, 取 O(0,0), B( x , y ), 取路线为图21-22中的折
. 于是有 线段 OCB
A R
S
B
图 21 19
(iii) (iv) 设存在函数 u( x , y ), 使得
d u P d x Q dy ,
因此 P ( x , y ) ux ( x , y ), Q( x , y ) u y ( x , y ). 于是由
P Q ux y ( x , y ) , u y x ( x , y ), y x
O
x
图 21 20
作业：P232:5(2); 6(1); P278 3
例如： 计算 e
D
x2 y2
dxdy , 其中D是由中心在原点，半径
为a的圆周所围成的闭区域.
y
a x a D : 2 2 2 2 a x y a x
x2 y2 a2
统一写成如下的形式:
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) | ( t ) |dt .
二重积分的变量变换.
于是,
f (ax by)dxdy
f (u)dudv
(D : u2
v2
1)
D
11
du
1u 2 1u 2
D
f (u)dv 211 f (u)
1 u2du.
练习P338 第7题(1)
证明: 区域 R: x y 1 x 是由四条直线 y 1,
x y 1, x y 1, x y 1 所围成.
解 令 u y x, v y x,
则 x vu, y vu.
2
2
D D, 即 x 0 u v;
x y2
D
o
x
v
v2
y 0 u v; x y 2 v 2.
u v D u v
o
u
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1, 2
xvu, yvu
2
2
v
v2
22
变换T : x r cos , y r sin y r .P(x,y)
其中r为极径，为OP与x轴正向的夹角
0 r ,0 2
O
x
r. 此时J (r, ) (x, y) cos r sin
(r, ) sin r cos
r 于是,有 f (x, y)dxdy f (r cos , r sin ) drd.
v
(u, v)
v(x, y),
求J有两种办法
(i)先求出x x(u,v), y y(u,v)，再求J
(ii)先求出
(u, (x,
v) y)
,
再求J＝
1 (u,
v)
(x, y)
(3)在变换下确定u,v的范围 D ;
二重积分的变量变换课件
柱坐标变换案例
总结词
柱坐标变换适用于处理二重积分中与圆有关的积分问题，通过柱坐标系可以将二重积分转化为更易于计算的形式 。
详细描述
柱坐标变换是指将直角坐标系中的点$(x, y)$转换为柱坐标系中的点$(r, varphi, z)$，其中$r$表示点到原点的距 离，$varphi$表示点与x轴的夹角，$z$表示点在垂直方向上的高度。通过柱坐标变换，可以将二重积分中的$x$ 和$y$变量转换为$r$、$varphi$和$z$变量，从而简化计算过程。
$int_{D_1}f(x,y)dxdy+int_{D_2}f(x,y)dxdy=int_{D _1cup D_2}f(x,y)dxdy$。
积分的上、下限的变换
$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{ c}^{b}f(x)dx$。
二重积分的几何意义
表示体积
球坐标变换
01
球坐标变换公式
$x = rhosinthetacosphi, quad y = rhosinthetasinphi, quad z =
rhocostheta$
02
应用场景
当积分区域为球体或球壳时，使用球坐标变换可以简化积分计算。
03实例Βιβλιοθήκη 析计算$intint_{D} (x^2 + y^2 + z^2)^2 dxdydz$，其中D为球心在原
变量变换的精度问题
确定变换的近似程度
在进行变量变换时，需要考虑变换的 近似程度，以确保计算结果的精度。
考虑数值稳定性
在计算过程中，需要考虑数值稳定性 ，以避免计算误差的累积导致结果偏 离真实值。
变量变换的误差分析
二重积分的变量替换（ＰＤＦ）
=
π
,
0
4
∫ 所求广义积分 ∞ e− x2 dx = π .
0
2
例8 求曲线( x2 + y2 )2 = 2a2 ( x2 − y2 ) 和 x2 + y2 ≥ a2所围成的图形的面积.
解 根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下
D1
x2 + y2 = a2 ⇒ r = a,
D1
S
D2
∫∫ 又 I = e−x2− y2 dxdy
S
∫ ∫ ∫ = R e− x2dx R e− y2dy = ( R e− x2dx)2;
0
0
0
∫∫ I1 = e− x2− y2dxdy
D1
∫ ∫ =
π
2 dθ
R e −r2 rdr
= π (1 − e−R2 );
0
0
4
∫∫ 同理 I 2
=
D2
对称性
命题 设f ( x, y)在D上可积，且D关于原点对称。
若f (− x,− y) = − f ( x, y),则∫∫ f ( x, y)dσ = 0 D
若f (− x,− y) = f ( x, y)
则∫∫ f ( x, y)dσ = 2∫∫ f ( x, y)dσ
D
D1
其中D1为D的上半部分（或右半部 分）区域
S = {( x, y) | 0 ≤ x ≤ R,0 ≤ y ≤ R}
D2 S
DSD1 2
R 2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0} 显然有 D1 ⊂ S ⊂ D2
e− x2 − y2 > 0,
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∴ e−x2− y2 dxdy ≤ e− x2− y2 dxdy ≤ e− x2− y2dxdy.
二重积分的变量变换
映成 xy 平面上的闭区域 D. 函数 x(u, v), y(u, v)在
内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
J(u, v) (x , y) 0, (u, v) , (u, v)
则区域 D 的面积
(D) | J (u, v) |dudv .
(5)
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)
dt
,
(7)
其中正号及负号分别由 t 从 变到 时, 是对应于L
的正方向或负方向所决定. 由(6)及(7)式得到
(
D)
Ñ L
x(u
,
v
)
y u
du
y v
dv
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Ñ L
x(u
,
v
)
y u
du
x(u
,
v
)
y v
dv
.
令 P(u, v) x(u, v) y , Q(u, v) x(u, v) y , 在uv平
x(u(t
),
v(t
))
y u
u(t )
y v
v(t ) dt
.
(6)
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另一方面, 在 uv 平面上Ñ Lຫໍສະໝຸດ x(u,v
)
y u
du
y v
dv
x(u(t ) ,
v(t ))
y u
u(t
)
y v
v(t
D
证 用曲线网把 分成 n 个小区域 i , 在变换 T 作用
§4 二重积分的变量变换
推广一般
: f (x, y )d xd y
D
f (x (u, v), y(u, v)) |
D
(x, y ) | d ud v (u, v )
D 将上述等式视为uov坐标系区域 到直角坐标系D 的 变换，其互逆的变换为：
x x (u , v ) y y (u , v )
x x ( u ,v ), y y ( u ,v ),( u ,v )
D
f (x , y )dxdy
f (x (u , v ), y (u , v )) ? dudv
x x ( u ,v ), y y ( u ,v ),( u ,v )
D
f (x , y )dxdy
b
a
f ( x )dx f ( ( t )) ( t )dt .
(1)
当 (即 ( t ) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1 ( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成
X
x y
| M 1M 2 M 1M 4 |
o
i | M 1M 2 M 1M 4 | | x u xv
x x x x
j yu yv k xu 0 || xv 0 yu | u v yv
0 , dxdy , |
故有： dxdy |
xu xv
yu yv
| dudv
yu yv |
xu xv
yu yv
| dudv
xu (x , y ) | || 即有： xv (u, v )
二重积分的变量变换
(1)
当 (即(t) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
f (x)dx
f ((t))(t)dt . (2)
图 21 24
所以
x y
e x ydxdy
u
ev
1
dudv
D
2
1
1
dv
v
u
ev du
1
1v(e e1 )dv
e e1 .
20
v
20
4
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
例2 求抛物线 y2 mx , y2 nx 和直线 y x , y
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
x y
例1 求 e x y dxdy , 其中
D
D是由 x 0, y 0, x y 1
广义极坐标变换
y
1
所围的区域(图21-23). 解 为了简化被积函数, 令
D O
1x
u x y,v x y. 即作变换
图 21 23
2
f ( xy )d ln 21 f ( t )dt.
证
令
D
t xy, u
y
即 x t1 2u1 2 , y t1 2u1 2 . 则
x
(t, u) [1,2][1,4], 有
二重积分的坐标变换
4 sin( x2 y2 ) dxdy
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r rdr 4.
0 1r
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例 6 求曲线 ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) 和 x2 y2 a2所围成的图形的面积.
解 根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
r cos r sin
2. 微元变换：d dxdy rdrd
3. 区域变换：Dxy Dr
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
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二重积分化为二次积分的公式: θ-型区域
1. 原点在区域的外面
(1) 区域特征如图
r 1()
,
二重积分的变量代换
极坐标变换 一般变量代换
广义极坐标变换
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一、利用极坐标系计算二重积分
i
1 2 (ri
ri
)2
i
1 2
ri
2
i
1 2
(2ri
ri
)ri
i
r ri ri r ri
i i i
ri ri i o(ri i ),
D
i
d rdrd
o
A
极坐标下的面积元素
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,
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结束
由r a
2cos 2
,
ra
二重积分交换积分次序公式
二重积分交换积分次序公式二重积分的交换积分次序主要涉及到两种情况：通过变量替换和通过区域划分。
下面我们将详细介绍这两种情况及其相关的公式。
1.通过变量替换:设有二重积分$I=\iint_Df(x,y)dxdy$，若存在一个变换$T$，它将$D$映射为$D'$，且$T$是一一的、可逆的，并且具有连续的偏导数，则有以下公式:$\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_{D'}f(T(u,v))\left，J_T(u,v)\right，dudv$其中，$J_T(u,v)$是变换$T$的雅可比行列式，定义为:$J_T(u,v)=\left，\det\begin{bmatrix}\frac{\partialx}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partialv}\end{bmatrix}\right，$变换$T$的逆变换为$T^{-1}$，其雅可比行列式为$J_{T^{-1}}(x,y)$。
通过这种变量替换，可以将原来的积分区域$D$变为新的积分区域$D'$，从而使得原积分的计算变得简单。
2.通过区域划分:如果在$xy$平面上的积分区域$D$可以通过一系列的水平线和垂直线划分为有限个子区域$D_{ij}$，并且函数$f(x,y)$在每个子区域$D_{ij}$上都是连续可积的$\iint_Df(x,y)dxdy=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\iint_{D_{ij} }f(x,y)dxdy$其中，$n$和$m$分别是水平线和垂直线的个数。
通过这种区域划分的方法，我们可以将原来的二重积分转化为一系列的子区域上的积分，进而对每个子区域进行求积分。
在实际应用中，这两种方法可以结合使用。
二重积分的变量变换
x v du y v dv
vv
S
u A( u0 , v 0 )
B
u u ( x , y ) v v ( x ,y )
C S uu
B
A( x0 , y0 )
O
O
u
x
dxdy
dx 0
0 dy
v
vk v
M4 M1
u u (x , y ) v v (x , y )
u u ( x ,y )
v v ( x ,y ) x x ( u ,v ) y y ( u ,v )
y
M4
D
M3
M3
u uh u
M1
M2
o x M 1M 4 {x v v, y v v }
j yu yv k xu 0 || xv 0 yu | u v yv
i | M 1M 2 M 1M 4 | | x u xv
当 u, v 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于 平行四边形,故其面积为
v
vk v
M4 M1
D
M3
o
M2
x x (u , v ) T : y y (u , v )
y
M4
M3
D
u uh u
M1
M2
o
x
M 1(x (u, v ), y (u, v )) , M 2 (x (u u, v ), x (u u, v ))
D D
推广一般
: f (x, y )d xd y
D
f (x (u, v), y(u, v)) |
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y
1
1 1 x ( u v ), y (v u), 2 2 1 1 2 2 1, J (u, v ) 1 1 2 2 2
O
1 1
x
v
1
O
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1 u
×
e
D
x y x y
1 1 dxdy e dudv dv e du v 2 2 0 D
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为M i ( xi , yi ) (i 1, 2, 3, 4)
2 2
T
y
M4 M3
D
M1
M2
令 h k , 则 x x2 x1 x(u h, v) x(u, v) h o( ) u (u , v)
a r sin abr b r cos
V 2 c
D
1 r 2 a b r d r d
2 2 abc 来自0d1
0
4 1 r r d r abc 3
2
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×
D
d
r2 ( )
r1 ( )
f ( r cos , r sin )r d r
O
r r2 ( )
(ii) 若原点在 D 内，则
D
r r1 ( )
x
r r ( )
f (r cos , r sin )r d r d f ( r cos , r sin )r d r d
f ( x , y ) d x d y
D D
r
f ( r cos , r sin ) r d r d
首页
×
(i) 若原点在 D 外，D : r1 ( ) r r2 ( ), , 则
D
f ( r cos , r sin )r d r d
y y x
D
y x y 2 nx
y mx
2
v
D
O m
O
x
n
u
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×
二、用极坐标计算二重积分 当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时,
x r cos , y r sin ( x , y ) cos r sin J ( r , ) sin r cos
(2) 在 D上 雅可比行列式
u
T
( x, y ) J (u , v) 0; (u , v) (3) 变换T : D D 是一一对应的 ,
y
D
则
f ( x( u, v ), y( u, v )) J ( u, v ) d u d v
D
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D
f ( x, y) d x d y
o
x
×
证 根据定理条件可知变换 T 可逆.
v
vk v
M4 M1
在 u ov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩 形, 其顶点为
D
M3
o
M2
u uh u
M1 (u, v) , M 2 (u h, v), M 3 (u h, v k ) , M 4 (u, v k ).
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o
x
×
x k o( ) x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) v (u , v) y 同理得 y2 y1 h o( ) u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v)
当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为
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×
例4 求球体 2 2 x y Rx
被圆柱面
解
所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 由对称性可知
R x y d 4
2 2 2 D
V 4
D
R2 r 2 r d r d
R cos 0
R r rdr
2 2
z
y
4 3 2 R ( ) 3 2 3
从而得二重积分的换元公式:
D f ( x, y) d x d y f ( x(u, v), y (u, v)) J (u, v) d u d v D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
( x, y ) J cos ( r , ) sin
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×
例6 试计算椭球体
的体积V.
令 x a r cos , y b r sin , 则
x2 y2 解 取 D : 2 2 1, 由对称性 a b 2 x2 y d x d y 2 c 1 2 2
D a b
( x, y ) a cos J b sin ( r , )
r R cos R D x x
o
y
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×
例5 计算 其中
rR
D: x y R .
2 2 2
r
2
解 作极坐标系变换，有
I e r d r d d 0 r e 0
D
2
R
r 2
dr
( 1 e
x2
R 2
)
由于 e 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
2 r( ) 0 0
D O
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x
×
(iii) 若原点在 D 的边界上， 则
r r ( )
f (r cos , r sin )r d r d O f ( r cos , r sin )r d r d
D
r( ) 0
D
x
r r2
(iv) 若区域 D 可表示为
§4 二重积分的变量变换
一、二重积分的变量变换公式 定理21.13 设 f ( x, y ) 在闭域 D上连续,
变换: T : x x( u, v )
y y ( u, v )
v
D
o
(u, v) D D
满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上一阶偏导数连续;
x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1
x y h u k u x y h v k v
x u y u
x v y v
hk J (u, v) hk
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×
因此面积元素的关系为 d J (u, v) d u d v
D : 1 (r ) 2 (r ), r1 r r2 ,
2 (r )
r r1
O
D
D
r1
f ( r cos , r sin )r d r d
1 ( r )
r1 r2
x
rdr
r1
2 (r )
1 (r )
f ( r cos , r sin ) d
r sin r r cos
f ( x, y ) d x d y
D D
f (r cos , r sin ) r d r d
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×
例1 计算
e
D
x y x y
dxdy
其中D 是 x = 0, y = 0,
x + y = 1 所围区域.
解 令 u x y, v x y, 则
1 v u v
u v
u v
1 1 1 e-e 1 1 v (ve ) | v dv 0 v (e - e ) dv 2 4 2 0
1
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×
例2 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 y x , y x 所围区域 D 的面积. (0 m n, 0 ) y2 y 解 令 u , v x x