二重积分的变量变换公式

o
x
×
证 根据定理条件可知变换 T 可逆.
v
vk v
M4 M1
在 u ov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩 形, 其顶点为
D
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M3
o
M2
u uh u
M1 (u, v) , M 2 (u h, v), M 3 (u h, v k ) , M 4 (u, v k ).
D : 1 (r ) 2 (r ), r1 r r2 ,
2 (r )
r r1
O
D

D
r1
f ( r cos , r sin )r d r d
1 ( r )
r1 r2
x
rdr
r1

2 (r )
1 (r )
f ( r cos , r sin ) d
1 v u v
u v
u v
1 1 1 e-e 1 1 v (ve ) | v dv 0 v (e - e ) dv 2 4 2 0
1
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×
例2 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 y x , y x 所围区域 D 的面积. (0 m n, 0 ) y2 y 解 令 u , v x x
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×
例4 求球体 2 2 x y Rx
被圆柱面
解
所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 由对称性可知
R x y d 4
2 2 2 D
V 4
D
R2 r 2 r d r d

R cos 0
R r rdr
2 2
z
y
4 3 2 R ( ) 3 2 3

D
d



r2 ( )
r1 ( )
f ( r cos , r sin )r d r
O
r r2 ( )
(ii) 若原点在 D 内，则
D
r r1 ( )

x
r r ( )
f (r cos , r sin )r d r d f ( r cos , r sin )r d r d
2 r( ) 0 0
D O
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x
×
(iii) 若原点在 D 的边界上， 则

r r ( )
f (r cos , r sin )r d r d O f ( r cos , r sin )r d r d
D
r( ) 0
D

x
r r2
(iv) 若区域 D 可表示为
r R cos R D x x
o
y
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×
例5 计算 其中
rR
D: x y R .
2 2 2
r
2
解 作极坐标系变换，有
I e r d r d d 0 r e 0
D
2
R
r 2
dr
( 1 e
x2
R 2
)
由于 e 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
r sin r r cos
f ( x, y ) d x d y
D D
f (r cos , r sin ) r d r d
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×
例1 计算
e
D
x y x y
dxdy
其中D 是 x = 0, y = 0,
x + y = 1 所围区域.
解 令 u x y, v x y, 则
x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1

x y h u k u x y h v k v

x u y u
x v y v
hk J (u, v) hk
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×
因此面积元素的关系为 d J (u, v) d u d v
(2) 在 D上 雅可比行列式
u
T
( x, y ) J (u , v) 0; (u , v) (3) 变换T : D D 是一一对应的 ,
y
D
则

f ( x( u, v ), y( u, v )) J ( u, v ) d u d v
D
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D
f ( x, y) d x d y
y
1
1 1 x ( u v ), y (v u), 2 2 1 1 2 2 1, J (u, v ) 1 1 2 2 2
O
1 1
x
v
1
O
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1 u
×
e
D
x y x y
1 1 dxdy e dudv dv e du v 2 2 0 D
§4 二重积分的变量变换
一、二重积分的变量变换公式 定理21.13 设 f ( x, y ) 在闭域 D上连续,
变换: T : x x( u, v )
y y ( u, v )
v
D
o
(u, v) D D
满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上一阶偏导数连续;
从而得二重积分的换元公式:
D f ( x, y) d x d y f ( x(u, v), y (u, v)) J (u, v) d u d v D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
( x, y ) J cos ( r , ) sin
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o
x
×
x k o( ) x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) v (u , v) y 同理得 y2 y1 h o( ) u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v)
当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为
y y x
D
y x y 2 nx
y mx
2

v
D

O m
O
x
n
u
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×
二、用极坐标计算二重积分 当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时,
x r cos , y r sin ( x , y ) cos r sin J ( r , ) sin r cos
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×
例6 试计算椭球体
的体积V.
令 x a r cos , y b r sin , 则
x2 y2 解 取 D : 2 2 1, 由对称性 a b 2 x2 y d x d y 2 c 1 2 2
D a b
( x, y ) a cos J b sin ( r , )
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为M i ( xi , yi ) (i 1, 2, 3, 4)
2 2
T
y
M4 M3
D
M1
M2
令 h k , 则 x x2 x1 x(u h, v) x(u, v) h o( ) u (u , v)
a r sin abr b r cos
V 2 c
D
1 r 2 a b r d r d
2
2 abc
0
d
1
0
4 1 r r d r abc 3
2
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f ( x , y ) d x d y
D D
r
f ( r cos , r sin ) r d r d
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(i) 若原点在 D 外，D : r1 ( ) r r2 ( ), , 则

D
f ( r cos , r sin )r d r d