二阶常微分方程组的解法探讨

二阶常微分方程组的解法探讨

[摘要] 在本文中,将针对几种特殊形式的二阶常微分方程组给出新的解法,此我们将引入拟数域的概念,把向量,矩阵的运算化为数的运算,进而使之更易求解。

[关键词] 二阶常微分方程组拟数域

许多问题的数学模型都表现为很复杂的常微分方程组,所以常微分方程组的解法在应用中占有重要的地位。在现在的常微分方程组的解法中我们通常是利用约当标准型来求常微分方程组的基解矩阵。虽然这种解法具有通用性,但过于烦琐,所以对于一些具有特殊形式的常微分方程组可以利用某些特殊解法来解。

二阶常微分方程组

令,则由线形代数的知识,存在二阶非奇异P,使,

其中可有三种形式:

对于二阶常微分方程组

实际上等价于

(1)

考虑方程组

(2)

及

(3)

下面我们将分别给出三类方程组的解法。

一、方程组(1)的解法

解1:

所以,,

则特征向量

其中,

所以

通解为:

其中,为任意常数。

由于常规解法的解题过程过繁琐且计算量较大,所以,可以采用其他的方法来解决。

解2:在椭圆形数域内,令,

则(2)式可划为

解此一阶常微分方程,得,

即,

由,

可得,

且,

所以,

令,则,

其中,为任意常数。

二、方程组(2)的解法

针对,可以得到二阶常微分方程组

其等价于以常规方法:

解1:

所以,,

则特征向量

则其通解为:

其中,为任意常数。

我们同样可以用(1)中的方法来解(3)式。

解2:再双曲域内,令,,

则(3)式可化为

解此一阶常微分方程,得,

即

令

其中

即

其中,为任意常数。

三、方程组(3)的解法

解1:

其中为单位矩阵,为幂零矩阵(即它的某一方幂为零矩阵)由于单位矩阵与任一矩阵是可交换的,

则有

又由

再利用幂零矩阵的性质可得:

所以通解

其中,为任意常数。

解2:在拟数域中,令,

化为,所以

即

令,则

以上是我对二阶常微分方程组的三类方程组的解法做出的归纳整理,在常微分方程中还有问题等待我们数学教师去研究探讨,在今后的教学工作中我会和同行们继续对常微分方程其他问题的不断地深入研究。

参考文献:

[1] 《平面上的双曲型拟数域及其上的解析函数》,任洪善,黑龙江大学自然科学报,1987年。

[2] 《常微分方程教程》,丁同人,李承治,高等教育出版社,1998年。

[3] 《常微分方程讲义》,王柔怀,伍卓群, 人民教育出版社,1979年。