概率论中排列组合的常用方法分类总结

概率论中排列组合的常用方法分类总结

【摘要】排列组合在概率计算中有着相当基础的地位，尤其在古典概型的计算中，它不仅是我们中学中概率学习的重点，也是我们概率思维思想的基础训练和进一步学习的基础，现在我们就把我们中学中学到的那些经典排列组合方法罗列详解一下，希望对以后的学习有所帮助。

【关键词】概率排列组合原理

【正文】一、两个基本计数原理及应用

(1) 加法原理

每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)

(2) 乘法原理

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同

[例题分析]

例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。

分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。

设a,b,c成等差，∴2b=a+c, 可知b由a,c决定，

又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。

例2．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。

分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。

第一类：A在第一垄，B有3种选择；

第二类：A在第二垄，B有2种选择；

第三类：A在第三垄，B有一种选择，

同理A、B位置互换，共12种。

例3．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?

分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。

第一步：第五次测试的有种可能；

第二步：前四次有一件正品有中可能。

第三步：前四次有种可能。

∴共有种可能。

【注意】加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合

二、下面介绍一些经典的排列组合计算小方法

（1）、捆绑法

例4．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。

分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有9*8*7*6*5*4*3*2*1种停车方法。

（2）、插空法

例5. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?

分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。

∴共=20种方法。

例6、7个人带12瓶汽水参加春游，每人至少带一瓶汽水，有多少种不同的带法？

分析：建立隔板模型，问题相当于用6块隔板“|”任意插入有12个小球“○”形成的11个缝隙中，而每一种分法就恰好反映了带汽水的一种情况，从而满足条件的带法共有种。

中青在线专稿（J-03）（3）特殊对待法，即特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑

例7．六人站成一排，求

(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数

(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数

分析：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。

第一类：乙在排头，有种站法。

第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法，

共+种站法。

（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。

第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法。

第三类：乙在排头，甲不在排头，有种方法。

第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。

共+2+=312种。

（4）．间接计数法.

例8．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?

分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，

∴共-12=70-12=58个。

（5）．挡板的使用（隔板法）

例20．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?

分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36种。

（6）、从抽象或现实问题中建立排列组合模型

例9. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。

分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。

设a,b,c成等差，∴2b=a+c, 可知b由a,c决定，

又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为=180

（7）排除法

对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。

例10、四面体的顶点和各棱中点共10个点中，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）

（A） 150种（B）147种（C）144种（D）141种

分析：10个点任取4个点取法有种，当所取4个点是从每个侧面上的6个点中选取时不满足题意，要删除，共有种；当所取4个点是每条棱上的3点及对棱的中点时，也不满足题意，要删除，共有6种；当所取4个点是各棱中点时，四点共面的有3种情况也不满足题意，要删除。故不同的取法共有种，选D。

（8）顺序固定问题用对等法

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。

例11、由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？

分析：所有组成四位数的情况为：6*5*4*3＝360种，奇数为尾数为 1 3 5 的数字，所以占所有情况的一半，因此答案为*360=180种。

【结论】排列组合在概率计算中的基础地位要求我们从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解，并掌握基本的排列组合计算方法，并在此基础上多加练习，形成自己的概率思想，这样才能为以后的学习打下好的基础。