初中数学青年教师解题比赛试题及解答

初中数学青年教师解题竞赛试卷

一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．函数1

1

2-+

-=x x y 中，自变量x 的取值范围是 . 2．圆锥的母线长为5cm ，高为3 cm ，在它的侧面展开图中，扇形的圆心 角是 度.

3．已知3=xy ，那么y

x

y

x y x

+的值是 . 4．△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE//BC ，BE 与CD 相交 于点O ，在这个图中，面积相等的三角形有 对. 5．不等式x x 4115≥+的正整数解的共有 个． 6．函数13++=x x y 的图象在 象限．

7．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝5，D 是BC 上的一点，且BD ：DC ＝2：3，则AD 的取值范围是 .

8．关于自变量x 的函数c bx ax y ++=2是偶函数的条件是 . 9．若关于未知数x 的方程x p x =-有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是 .

10．AB 、AC 为⊙O 相等的两弦，弦AD 交BC 于E ，若AC ＝12，AE ＝8， 则AD ＝ . 二、（本题满分12分）

11．如图，已知点A 和点B ，求作一个圆⊙O ， 和一个三角形BCD ，使⊙O 经过点A ，且使所作的 图形是对称轴与直线AB 相交的轴对称图形．（要求 写出作法，不要求证明）

..A

B

三、（本题满分12分）

12．梯子的最高一级宽33cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10级，各级 的宽成等差数列，计算与最低一级最接近的一级的宽． 四、（本题满分13分）

13．已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A （0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程． 五、（本通满分13分）

14．池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为

︒20，测得碑顶在水中倒影的俯角为︒30（研究问题时可把碑顶及其在水中的 倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，

747.270tan ≈︒）. 六、（本题满分14分）.

15．若关于未知数x 的方程022=-+q px x （p 、q 是实数）没有实数根， 求证：4

1

<

+q p . 七、（本题满分14分）

16．如果⊙O 外接于正方形ABCD ，P 为劣弧AD 上的一个任意点，求：

PB

PC

PA +的值. 八、（本题满分16分）

17．试写出m 的一个数值，使关于未知数x 的方程08242=+--m x x 的 两根中一个大于1，另一个小于1. 九、（本题满分16分）

18．点P 在锐角△ABC 的边上运动，试确定点P 的位置，使P A +PB ＋PC 最小，并证明你的结论.

参考答案

一、1. 2≤x 且1≠x 2.288 3. 32± 4.4 5.6 .一、二、三 7. 4

1

0<

≤p 10.18. 二、作法：11.

1、作直线OB 与直线AB 相交于点B ；

2、以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ；

3、过点O 作直线CD ⊥OB 交⊙O 于 点C 和点D ；

4、分别连结CB 和DB .则⊙O 和△BCD 就是所求. 三、12.

解：用{}n a 表示题中的等差数列，由已知条件有

12,110,33121===n a a

().

1133即110,112112d d a a +=-+=

解得 7=d

().1037033111111=+=-+=∴d a a

答：与最低一级最接近的一级的宽103cm.

四、13.

解：设点M （x ,y ）是曲线上的任一点，MB ⊥x 轴，垂足为B ， 那么点M 属于集合{}2=-=MB MA M P . 由距离公式，得()222

2=---y y x ,

化简，得28

1x y =

.

Θ曲线在x 轴的上方，y >0,

..A B

D

C

O

∴所求的曲线的方程是()08

12

≠=

x x y 五、14.

解：如图，DE 表示水面，A 表示观测点，

B 为碑顶，B '在水中的倒影，由题意： ()m 13020=︒='∠︒=∠，AD A

C B ，BAC

︒='∠︒=∠∴60,70B B

设x BE =,则.1,1+='-=x C B x BC

在Rt △ABC 中，()︒-=⋅=70tan 1tan x B BC AC ○1 在Rt △A B 'C 中，()︒+='⋅'=60tan 1tan x B C B AC ○2 由○

1、○2得()()︒+=︒-60tan 170tan 1x x ()︒+︒=︒-︒∴60tan 70tan 60tan 70tan x 41.4479

.4015.1≈∴=x x 米

答：水面到碑顶的高度4.41米.

六、15. 证：由题意，令0442<-=∆q p

得2p q -<

4

141212

2≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛

--=+-<+p p

p q p

即4

1

<+q p

七、16.

解：如图，BP Θ平分直角APC ∠，

︒=∠=∠∴4521

A

B

C

D

P

1

2

B '

E

A B

C D