第10章 传递函数矩阵的状态空间实现ok
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02 Ac 0 2 6 I 2 I2 02 11I 2 02 I 2 , 6I 2 0 2 Bc 0 2 , I2 6 Cc 2 3 2 5 1 1 3 1 0 0 1
可观测型实现
Gsp ( s ) 1 1 P( s) [ P 1s l 1 P s P0 ] l 1 d ( s) d ( s)
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现
第10章
传递函数矩阵的状态空间实现
实现的基本概念和基本属性 标量传递函数的典型实现 基于有理分式描述的典型实现：能控形实现和能观测形实现 基于矩阵分式描述的典型实现：控制器形实现和观测器形实现 基于矩阵分式描述的典型实现：能控形实现和能观测形实现 不可简约矩阵分式描述的最小实现
其中，Pk( k = 1,2,…, l-1 )为q×p常阵
可控型实现
Gsp ( s ) 1 1 P( s) [ P 1s l 1 P s P0 ] l 1 d ( s) d ( s)
d ( s) s l l 1s l 1 1s 0
Gsp(s)的可控型实现具有形式
Co 0
注：Gsp(s)的可控型实现与可观测型实现满足对偶关系
10.4 基于MFD的典型实现：控 制器形实现和观测器形实现
对于传递函数矩阵G(s)，按MFD为“右或左MFD”以及“分母 矩阵列既约或行既约”可分为4种可能的组合： 右MFD Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)列既约 → 构造控制器型实现* 左MFD Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)行既约 → 构造观测器型实现* 右MFD Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)行既约 → 构造可控性型实现 左MFD Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)列既约 → 构造可观测性型实现
系统特征多项式
I A n a n1n1 a1 a0
0 C ( An 1B an 1 An 2 B a1B)
n 2 C ( AB an 1 B) n 1 CB
+ +
…
+ +
+ +
+ +
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βn-1
+ +
βn-2
0 0 Ac 0 0 1 0 0 1 0 1 0 2 0 , 1 n 1 0 0 0 bc , 0 1
cc [ 0 , 1 , , n 1 ]
d ( s) s l l 1s l 1 1s 0
所示Gsp(s)的可观测型实现具有形式 0 0Iq 0 I 1 I q q
Ao Iq 0 Iq
P0 P , Bo 1 l 1 I q Pl 1
能观测类实现 称状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个可观测类实 现，当且仅当 C(sI - A)-1B+D = G(s) (A, C)可观测且具有指定形式
当G(s)以有理分式矩阵或矩阵分式描述形式表达时，可以构成 形式很不相同的能控类、能观测类实现
最小实现 所有实现中结构最为简单的实现 即从外部等价的角度看，实现中不包含任何多余的部分 最小实现为不可简约实现 最小实现的判据 设(A, B,C)为严格真传递函数矩阵G(s)的一个实现，则其为最小实 现的充要条件是 (A,B)完全可控，(A,C)完全可观测 最小实现的广义惟一性 严格真传递函数矩阵G(s)的最小实现不惟一，但满足广义惟一 性。也就是说，若(A,B,C) 和 ( A , B , C ) 为G(s)的任意两个最小实 现，则必可由此构造出一个n×n非奇异常阵T使下式成立
并联型实现
g(s)的严格真部分n(s)/d(s)的极点为 λ1(μ1重)、λ2(μ2重)、…、λm(μm重)， λi (i=1~m)之和为维数 n
f ik n( s ) / d ( s ) ( ) k i 1 k 1 ( s i )
则n(s)/d(s)的并联型实现为(Ap, bp, cp)， g(s)的并联型实现为(Ap, bp, cp, e)
E = G(∞)。再设Gsp(s)诸元的最小公分母d(s)为
d ( s) s l l 1s l 1 1s 0
严格真传递函数Gsp(s)可进一步表示为
Gsp ( s ) 1 1 P( s) [ P 1s l 1 P s P0 ] l 1 d ( s) d ( s)
2 ( s) 2 ( s)
r (s) r (s)
0
G(s)的状态空间实现的最小维数为
nmin degi ( s )
i 1
r
10.2 标量传递函数的典型实现
考虑SISO线性时不变系统的传递函数为真标量传递函数g(s)
n 1s n 1 1s 0 n( s ) g (s) n e e s n 1s n 1 1s 0 d (s)
其中
d ( s ) s n n 1 s n 1 1 s 0 n( s ) n 1s n 1 1s 0 { 0 , 1 ,, n 1}, { 0 , 1 ,, n 1}, e 为实常数
能控标准型实现 g(s)的严格真部分n(s)/d(s)的可控标准型实现具有形式
1 s 2 5s 6 G( s) d ( s) s 2 1 1 3 ( 2 s 6s 11s 6 0 s 2 3s 2 0 2 5 1 6 s 1 3 s 2 1 s3
3 ) 2
G(s)的可控型实现为
1 1 0 0 1 1 1 1 Ap , b p 0 m 1 0 m 1 1 m c p [ f11 f12 f11 f m m f m 2 f m1 ]
(5) 实现的物理本质 直观上，传递函数矩阵G(s)的实现就是对具有“黑箱”形式 的真实系统在状态空间领域寻找一个外部等价的内部假想结 构，内部假想结构对真实系统的可否完全表征性依赖于系统 是否可控可观测。 (6) 实现的形式 G(s)实现的形式取决于其真性和严格真性。 当G(s)为严格真，其实现对应地具有形式(A,B,C)，即D = 0 当G(s)为真，其实现对应地具有形式(A, B, C ,D)，即D ≠ 0， 且有
0 Ac 0 lp lp 0 I p
qlp
Ip 1 I p Pl 1
0 , B I p lpcp 0 l 1 I p I p
Cc P0
ˆ C 0 0 1
a0 2, a1 9, a2 0
0 0 a0 0 0 2 ˆ A 1 0 a1 1 0 9 0 1 a 2 0 1 0 CAn 1 1 0 9 3 ˆ P 1 B 0 1 0 B 2 B CA 0 0 1 1 C
P 1
例：求出下面G(s)的可控型实现
1 s 1 G(s) 1 ( s 1)(s 3)
1 ( s 1)(s 2) 1 s3
解：G(s)为严格真传递函数矩阵，其中各元的最小公分母为 d(s) = (s+1)(s+2)(s+3) = s3+6s2+11s+6 则G(s)可表示成
m
i
10.3 基于有理分式矩阵描述的典型 实现：能控性实现和能观测形实现
真q×p传递函数矩阵G(s)如下 G(s) = ( gij(s) ) , i = 1,2,…, q ; j = 1,2,…, p
sp G ( s) ( g ij ( s)) (eij ) ( g ij ( s)) E Gsp ( s)
0 1 2 , n 1
0 1 bo 2 , n 1
co [0
0 1]
…
β0
+ +
β1
β2
βn-1
x1
∫
x1 + +
x2
∫
x2 + +
x3
∫
β2
β1
∫
β0
∫
u
xn
∫
xn
xn-1
…
x3
x2
x1
-αn-1
+ +
-αn-2
+ +
-α2
-α1
+ + +
-α0
…
+
可观测标准型实现 g(s)的严真部分n(s)/d(s)的可观测标准型实现具有形式
0 1 Ao 0 0
u
0 0 1 0
0 0 0 1
实现的基本属性
(1) 实现的维数 传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,D)的结构复杂程度可由其维数 表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维数，即 实现的维数 = dim A (2) 实现的不惟一性 传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,D)满足强不惟一性，即不仅实 现结果不惟一，而且其实现维数也不惟一 (3)最小实现 传递函数矩阵G(s)的所有实现(A,B,C,D)中维数最小的一类实现 (4) 实现间的关系 对传递函数矩阵G(s)，其不同实现间一般不存在代数等价关系， 但其最小实现间必具有代数等价关系
D lim G ( s )
s
(7) 扩展构造其它实现的途径 设状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个实现，dim A = n，则对任一n×n非奇异阵T，状态空间描述(T -1AT, T -1B, CT, D)必也为G(s)的一个同维实现
能控类和能观测类实现
能控类实现 称状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个可控类实 现，当且仅当 C(sI - A)-1B+D = G(s) (A, B)可控且具有指定形式
10.1 实现的基本概念和基本属性
状态空间实现简称为实现（Realization） 对于线性时不变系统，实现是传递函数矩阵（外部描述）的外 部等价的状态空间描述（内部描述）
实现的定义
对于真或严格真连续线性时不变系统，称一个状态空间描述
x Ax Bu y Cx Du
或简写为(A, B, C, D)是其传递函数矩阵G(s)的一个实现，如 果两者为外部等价，即成立关系式： C(sI - A)-1B+D = G(s)
A T 1 AT , B T 1B, C CT
实现的最小维数 对q×p传递函数矩阵G(s)，r = Rank G(s)， Smith-McMillan型为
1 (s) ( s ) 1 M ( s ) U ( s )G ( s )V ( s ) 0 0
…
xn-1 + +
xn
∫
xn
y
-α0
-α1
-α2
-αn-1
…
1 2 0 2 A 例： 3 1 1, B 1, C 0 0 1 ，试求其能观测标准型。 0 2 0 1
1 I A 3
0
2
0
1 1 (2 1) 6 2( 1) 3 9 2 2
可观测型实现
Gsp ( s ) 1 1 P( s) [ P 1s l 1 P s P0 ] l 1 d ( s) d ( s)
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现
第10章
传递函数矩阵的状态空间实现
实现的基本概念和基本属性 标量传递函数的典型实现 基于有理分式描述的典型实现：能控形实现和能观测形实现 基于矩阵分式描述的典型实现：控制器形实现和观测器形实现 基于矩阵分式描述的典型实现：能控形实现和能观测形实现 不可简约矩阵分式描述的最小实现
其中，Pk( k = 1,2,…, l-1 )为q×p常阵
可控型实现
Gsp ( s ) 1 1 P( s) [ P 1s l 1 P s P0 ] l 1 d ( s) d ( s)
d ( s) s l l 1s l 1 1s 0
Gsp(s)的可控型实现具有形式
Co 0
注：Gsp(s)的可控型实现与可观测型实现满足对偶关系
10.4 基于MFD的典型实现：控 制器形实现和观测器形实现
对于传递函数矩阵G(s)，按MFD为“右或左MFD”以及“分母 矩阵列既约或行既约”可分为4种可能的组合： 右MFD Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)列既约 → 构造控制器型实现* 左MFD Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)行既约 → 构造观测器型实现* 右MFD Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)行既约 → 构造可控性型实现 左MFD Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)列既约 → 构造可观测性型实现
系统特征多项式
I A n a n1n1 a1 a0
0 C ( An 1B an 1 An 2 B a1B)
n 2 C ( AB an 1 B) n 1 CB
+ +
…
+ +
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+ +
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0 0 Ac 0 0 1 0 0 1 0 1 0 2 0 , 1 n 1 0 0 0 bc , 0 1
cc [ 0 , 1 , , n 1 ]
d ( s) s l l 1s l 1 1s 0
所示Gsp(s)的可观测型实现具有形式 0 0Iq 0 I 1 I q q
Ao Iq 0 Iq
P0 P , Bo 1 l 1 I q Pl 1
能观测类实现 称状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个可观测类实 现，当且仅当 C(sI - A)-1B+D = G(s) (A, C)可观测且具有指定形式
当G(s)以有理分式矩阵或矩阵分式描述形式表达时，可以构成 形式很不相同的能控类、能观测类实现
最小实现 所有实现中结构最为简单的实现 即从外部等价的角度看，实现中不包含任何多余的部分 最小实现为不可简约实现 最小实现的判据 设(A, B,C)为严格真传递函数矩阵G(s)的一个实现，则其为最小实 现的充要条件是 (A,B)完全可控，(A,C)完全可观测 最小实现的广义惟一性 严格真传递函数矩阵G(s)的最小实现不惟一，但满足广义惟一 性。也就是说，若(A,B,C) 和 ( A , B , C ) 为G(s)的任意两个最小实 现，则必可由此构造出一个n×n非奇异常阵T使下式成立
并联型实现
g(s)的严格真部分n(s)/d(s)的极点为 λ1(μ1重)、λ2(μ2重)、…、λm(μm重)， λi (i=1~m)之和为维数 n
f ik n( s ) / d ( s ) ( ) k i 1 k 1 ( s i )
则n(s)/d(s)的并联型实现为(Ap, bp, cp)， g(s)的并联型实现为(Ap, bp, cp, e)
E = G(∞)。再设Gsp(s)诸元的最小公分母d(s)为
d ( s) s l l 1s l 1 1s 0
严格真传递函数Gsp(s)可进一步表示为
Gsp ( s ) 1 1 P( s) [ P 1s l 1 P s P0 ] l 1 d ( s) d ( s)
2 ( s) 2 ( s)
r (s) r (s)
0
G(s)的状态空间实现的最小维数为
nmin degi ( s )
i 1
r
10.2 标量传递函数的典型实现
考虑SISO线性时不变系统的传递函数为真标量传递函数g(s)
n 1s n 1 1s 0 n( s ) g (s) n e e s n 1s n 1 1s 0 d (s)
其中
d ( s ) s n n 1 s n 1 1 s 0 n( s ) n 1s n 1 1s 0 { 0 , 1 ,, n 1}, { 0 , 1 ,, n 1}, e 为实常数
能控标准型实现 g(s)的严格真部分n(s)/d(s)的可控标准型实现具有形式
1 s 2 5s 6 G( s) d ( s) s 2 1 1 3 ( 2 s 6s 11s 6 0 s 2 3s 2 0 2 5 1 6 s 1 3 s 2 1 s3
3 ) 2
G(s)的可控型实现为
1 1 0 0 1 1 1 1 Ap , b p 0 m 1 0 m 1 1 m c p [ f11 f12 f11 f m m f m 2 f m1 ]
(5) 实现的物理本质 直观上，传递函数矩阵G(s)的实现就是对具有“黑箱”形式 的真实系统在状态空间领域寻找一个外部等价的内部假想结 构，内部假想结构对真实系统的可否完全表征性依赖于系统 是否可控可观测。 (6) 实现的形式 G(s)实现的形式取决于其真性和严格真性。 当G(s)为严格真，其实现对应地具有形式(A,B,C)，即D = 0 当G(s)为真，其实现对应地具有形式(A, B, C ,D)，即D ≠ 0， 且有
0 Ac 0 lp lp 0 I p
qlp
Ip 1 I p Pl 1
0 , B I p lpcp 0 l 1 I p I p
Cc P0
ˆ C 0 0 1
a0 2, a1 9, a2 0
0 0 a0 0 0 2 ˆ A 1 0 a1 1 0 9 0 1 a 2 0 1 0 CAn 1 1 0 9 3 ˆ P 1 B 0 1 0 B 2 B CA 0 0 1 1 C
P 1
例：求出下面G(s)的可控型实现
1 s 1 G(s) 1 ( s 1)(s 3)
1 ( s 1)(s 2) 1 s3
解：G(s)为严格真传递函数矩阵，其中各元的最小公分母为 d(s) = (s+1)(s+2)(s+3) = s3+6s2+11s+6 则G(s)可表示成
m
i
10.3 基于有理分式矩阵描述的典型 实现：能控性实现和能观测形实现
真q×p传递函数矩阵G(s)如下 G(s) = ( gij(s) ) , i = 1,2,…, q ; j = 1,2,…, p
sp G ( s) ( g ij ( s)) (eij ) ( g ij ( s)) E Gsp ( s)
0 1 2 , n 1
0 1 bo 2 , n 1
co [0
0 1]
…
β0
+ +
β1
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x1
∫
x1 + +
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u
xn
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xn
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-α2
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-α0
…
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可观测标准型实现 g(s)的严真部分n(s)/d(s)的可观测标准型实现具有形式
0 1 Ao 0 0
u
0 0 1 0
0 0 0 1
实现的基本属性
(1) 实现的维数 传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,D)的结构复杂程度可由其维数 表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维数，即 实现的维数 = dim A (2) 实现的不惟一性 传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,D)满足强不惟一性，即不仅实 现结果不惟一，而且其实现维数也不惟一 (3)最小实现 传递函数矩阵G(s)的所有实现(A,B,C,D)中维数最小的一类实现 (4) 实现间的关系 对传递函数矩阵G(s)，其不同实现间一般不存在代数等价关系， 但其最小实现间必具有代数等价关系
D lim G ( s )
s
(7) 扩展构造其它实现的途径 设状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个实现，dim A = n，则对任一n×n非奇异阵T，状态空间描述(T -1AT, T -1B, CT, D)必也为G(s)的一个同维实现
能控类和能观测类实现
能控类实现 称状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个可控类实 现，当且仅当 C(sI - A)-1B+D = G(s) (A, B)可控且具有指定形式
10.1 实现的基本概念和基本属性
状态空间实现简称为实现（Realization） 对于线性时不变系统，实现是传递函数矩阵（外部描述）的外 部等价的状态空间描述（内部描述）
实现的定义
对于真或严格真连续线性时不变系统，称一个状态空间描述
x Ax Bu y Cx Du
或简写为(A, B, C, D)是其传递函数矩阵G(s)的一个实现，如 果两者为外部等价，即成立关系式： C(sI - A)-1B+D = G(s)
A T 1 AT , B T 1B, C CT
实现的最小维数 对q×p传递函数矩阵G(s)，r = Rank G(s)， Smith-McMillan型为
1 (s) ( s ) 1 M ( s ) U ( s )G ( s )V ( s ) 0 0
…
xn-1 + +
xn
∫
xn
y
-α0
-α1
-α2
-αn-1
…
1 2 0 2 A 例： 3 1 1, B 1, C 0 0 1 ，试求其能观测标准型。 0 2 0 1
1 I A 3
0
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