数学实验教学大纲(李尚志)

《数学实验》教学大纲

课程名称：数学实验英文名称：Experiments in Mathematics 总学时： 60 学分： 3

开课学期：大一（下）或大二

《数学实验》是在我国高等学校中新开设的一门课程。现在还处于试点和摸索阶段，有许多不同的想法和作法. 现阶段应当鼓励各种不同的想法和作法, 各自进行探索和试点. 可以而且应当相互交流, 但不必统一, 也不必争论哪种做法更好. 现在首先是要先干起来, 经过若干年实践去积累和总结经验, 根据实践的效果来逐渐完善和成熟. 本教学大纲反映的是我们在中国科技大学试点创建数学实验课程的指导思想和具体做法，只能算是一家之言，供兄弟学校参考。

一．教学目的

数学实验课程的教学对象, 是全国所有高校, 不分理工农医等科类的本科生。课程目的, 是使学生掌握数学实验的基本思想和方法,即不把数学看成先验的逻辑体系, 而是把它视为一门“实验科学”, 从问题出发,借助计算机, 通过学生亲自设计和动手, 体验解决问题的过程, 从实验中去学习、探索和发现数学规律。

既然是实验课而不是理论课, 最重要的就是要让学生自己动手, 自己借助于计算机去“折腾”数学, 在“折腾”的过程中去学习, 去观察, 去探索, 去发现，而不是由老师教他们多少内容。既不是由老师教理论, 主要的也不是由老师去教计算机技术或教算法。不着意追求内容的系统性、完整性。而着眼于激发学生自己动手和探索的兴趣。

二．教学内容的确定

从问题出发组织教学内容。虽然有意识让学生通过实验学会一些基本的方法, 但是并不以这些方法为线索组织课程内容。而是设计了一些能够引起学生兴趣的问题, 这些问题的引入不需很深的数学知识，便于入门，但这些问题具有深刻的内涵，包括科学发展历史上经典的数学问题，以及具有应用价值的问题。每个实验围绕解决一个或几个问题来展开, 教学生使用若干种方法来解决所给的问题, 在解决问题中学习和熟悉这些方法, 自己观察结果, 得出结论。并激发进一步学习的兴趣。

尽管数学专业和非数学专业的学生的数学课程的难易程度有很大的差别, 但数学实验课对他们来说却不必有多大的差别, 基本的部分完全可以是共同的, 只有一些理论较深的部分可以根据各自的情况有所取舍。所以, 在开课时完全可以将数学系学生和非数学系数学一起上课。

数学实验可以包括两部分主要内容: 第一部分是基础部分, 围绕高等数学的基本内容, 让学生充分利用计算机及软件的数值功能和图形功能展示基本概

念与结论, 去体验如何发现、总结和应用数学规律。另一部分是高级部分,以高等数学为中心向边缘学科发散, 可涉及到微分几何, 数值方法, 数理统计,图论与组合, 微分方程, 运筹与优化等, 也可涉及到现代新兴的学科和方向, 如分形、混沌等。这部分的内容可以是新的, 但不必强调完整性, 教师介绍一点主要的思想, 提出问题和任务, 让学生尝试通过自己动手和观察实验结果去发现和总结其中的规律。即使总结不出来也没有关系, 留待将来再学, 有兴趣的可以自己去找参考书寻找答案。

三．主要教学内容和教学目标

实验一、微积分基础：

学习使用 Mathematica 的一些基本功能来验证或观察得出微积分学的一些基本结论。例如：函数图象，导数的符号与函数的递增、递减、极值的关系，泰勒逼近，傅立叶逼近，无穷乘积逼近，e 的产生，调和级数与自然对数的关系等。

实验二、怎样计算π :

利用数值积分、泰勒级数、蒙特卡罗法等各种方法计算π 的近似值。结合计算π 的近似值学会应用这些方法。

实验三、最佳分数近似值：

仍以π为例，通过实验的方法说明怎样用分母小、误差小的分数近似值逼近实数，引出连分数理论。

实验四、数列与级数：

通过实验和观察，发现和验证一些数列与级数的规律。

实验五、素数：

实验研究有关素数的一些问题，如：素数的判别，分布，哥得巴赫猜想，大整数的素因子分解等。

实验六、概率：

利用计算机产生随机数的功能，模拟各种随机现象，通过观察这些现象总结和验证概率统计知识。

实验七、几何变换：

观察各种变换（线性变换、射影变换、非欧几何变换、复变换等）下平面图形的变化情况及不变量，体验几何学的核心：爱尔兰根纲领。

实验八、天体运动：

在计算机上模拟产生天体运动、电场作用等物理现象，学到微分方程的数值解等数学方法。

实验九、迭代(一)--方程求解：

通过迭代求方程的近似解。

实验十、寻优：

以光的折射、最小二乘法等为例，试验各种优化方法的原理和方法。

实验十一、最速降线：

利用计算机求多元函数极值的功能，用实验的方法求解最速降线问题。而这个问题的理论解涉及到比较深的数学（变分法）。

实验十二、迭代(二)--分形：

利用计算机迭代过程画分形图形，在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解。

实验十三、迭代(三)--混沌：

从一个简单的二次函数的迭代出发，认识混沌现象及其所蕴涵的规律性。

实验十四、密码：

在计算机上自己尝试加密和破译的一些基本方法和原理。

实验十五、初等几何定理的机器证明：

尝试将几何定理代数化并利用计算机证明的过程。

四．教学方式和方法

开设数学实验课以二年级或一年级下学期为宜, 让学生学过高等数学中必要的基本概念即可, 不必学过很多的数学定理。这样, 就可以有比较多的未知的东西供他们去探索。已学的东西太多, 学生对探索的兴趣反而下降。

每学期安排9个实验, 每两周做一个实验。每次实验先由教师讲两个课时, 两周中的其余 3次课都是安排学生上机, 教师辅导, 希望学生在两周中完成实验作业。教师主要是提出问题, 适当介绍问题的背景, 介绍主要的实验原理和方法。然后就让学生自己动手去做, 去观察, 通过观察得出结论。教师不宜花时间去作理论推导, 最好也不要预先告诉学生实验的结果, 实验结果让学生自己去观察得出。在教学过程中, 有的学生希望少讲一些理论, 多给他们留一些自己探索的空间; 也有的学生希望多讲一些理论。能够通过实验使学生希望多学理论, 这就是好事情。将学生学习数学理论的兴趣激发起来了, 胃口吊起来了, 这门课的目的就达到了。数学实验是“开胃汤”, 而不是大餐。胃口吊起来之后希望多“吃”一些, 请他们到正规的“餐馆”去, 通过看参考书和学习其它课程来满足对于理论学习的渴求。

一个突出的问题是课程内容和作业的分量。实践结果, 学生普遍反应作业任务比较繁重。但实验所涉及到的数学知识难度并不大，主要的困难在于学生的计算机水平不够, 因此完成作业要花很多时间。他们虽然也学过或正在学计算机课程, 但学过不用就忘了。数学实验课几乎是逼迫学生重新拣起或现学现用计算机知识, 用来完成作业，当然就显得紧张了。看来, 一学期做 5个实验比较适中, 也能达到让学生动手体验数学的目的。但实验涉及的内容嫌单薄了些。设想可以这样解决: 老师上课仍然安排 9 至10 个实验, 但学生不必在这学期内全部完成, 可以在下学期自己将它补作完, 交出实验报告。教材中写了15个实验, 有兴趣的学生可以自己抽时间选作。

实验课评定成绩的主要依据是平时的实验报告。当然也可以集中做一两个综合性较轻的实验，将其实验报告作为考试试卷。实验报告的评分的最基本标准是要自己动手, 要写上自己观察到的现象并进行分析。实话实说, 不能造假, 哪怕观察到的现象与预计不一致,或者与理论推导的结果不一致, 也不能在实验报告中说假话, 而应当分析其原因,找出改进的办法, 重做实验, 重新得出结论。对实验报告的更高的标准是创造性。对于有创造性的报告, 要给以高分作为鼓励。教师批改了实验报告之后, 要在下一次实验开始时, 对以前的实验中出现的优点和缺点进行评讲, 包括让学生参加讨论和演示。

由于学生实验的主要工具是计算机。教师的教学手段应尽量采用多媒体教学。课堂基本内容可用计算机幻灯片(powerpoint)显示, 而且在课堂上演示用计算机软件作出来的部分实验的结果(包括图形和计算结果等), 使课堂更生动, 教师的讲解更贴近学生的实验过程。对实验报告评讲时应尽量鼓励学生介绍和演示自己的实验结果。