理想低通滤波器及其响应

dω =
ω0 k Sa[ω 0 (t − t0 )] π
由此可见，冲激响应 h(t ) 的波形是抽样函数。若取 k = 1 ，则其波形如图4－13所示。峰值 π 与截止频率 ω 0 成正比，波形的主瓣持续时间为
2π / ω 0 ，即与 ω 0 成反比。
ω0
由图4－13可知，对于理想低通滤波器，其冲激响应 h(t ) 的波形不同于激励信号 δ (t ) 的波形，而产生了严重失真。这是因为理想低通滤波器 是通频带有限系统，而冲激信号 δ (t ) 的频带宽度是无限宽的，经过理想低通滤波器的加工，它必然对信号波形产生影响。凡是高于 ω 0 的频率分 量都衰减为零。同时可以看到，冲激响应主峰出现的时刻 t0 比激励信号 δ (t ) 延迟了一段时间 t0 ，它正是低通滤波器相频特性的斜率。如果截止频
四、理想低通滤 理想低通滤波器的矩形脉冲 波器的矩形脉冲响应 脉冲响应
对于图4－17(a)所示的矩形脉冲 f (t ) ，有
f (t ) = U (t ) − U (t − τ )
因此理想低通滤波器对此信号激励产生的响应可直接利用线性时不变性写为
y (t ) =
1
π
{Si[ω 0 (t − t0 )] − Si[ω 0 (t − t0 − τ )]} (4－29)
h(t ) = 0
2频域准则
t<0
H ( jω ) 物理可实现的必要条件是
∫
而且， H ( j 1+ω 2
−∞
dω < ∞
(4－30)
∫
∞
−∞
H ( jω ) dω < ∞ (4－31)
2
式(4－30)也叫做佩利维纳(Paley-Wiener)准则。不满足此准则的幅度函数，其对应系统的冲激响应将是非因果的。 由式(4－30)可以看出， H ( jω ) 可以在某些离散点上为零，但不能在一有限频带内为零，这是因为在 H ( jω ) = 0 的频带内， ln H ( jω ) = ∞ 。
g (t ) = ∫ h(τ )dτ
−∞
t
代入式(4－22)，得 g (t ) = ∫
t
kω 0
−∞
π
Sa[ω 0 (τ − t0 )]dτ (4－23)
为了求解方便，令 ω 0 (τ − t0 ) = x ，则
dτ =
dt
ω 0 ，式(4－23)可写成
k
ω 0 (t −t 0 )
g (t ) =
π
y
0
sin x dx (4－26) x
称为正弦积分，其函数值可从专门的正弦积分表中查得。 所以，理想低通滤波器的阶跃响应式(4－23)可以写为 g (t ) = k k + Si[ω 0 (t − t0 )] (4－27) 2 π
取 k = 1 时 g (t ) 的波形如图4－15所示。由图可见，阶跃响应不像阶跃信号那样陡直，而是逐渐上升，响应上升的时间取决于滤波器的截止频率。
ω 0 愈低， g (t ) 上升愈缓慢。
通常定义响应从最小值上升到最大值所需时间 tr 为上升时间。由图4－15可以看出，上升时间
/jp2005/06/xinhaoxitong/ch4/d4zd6j.htm
2013/8/28
4
Page 3 of 4
tr =
π
此响应波形如图4－17(b)所示。必须注意，这里画出的是 ω 0 脉冲
<< τ
π
的情形。如果 ω 0 与 τ 接近或大于 τ ， y (t ) 波形失真将更加严重。因此，矩形
τ >>
经过理想低通滤波器时，必须使脉宽
π ω 0 ，才能得到接近于矩形的脉冲响应。
/jp2005/06/xinhaoxitong/ch4/d4zd6j.htm
2π 1 = ω 0 f 0 (4－28)
f0 = 式中，
ω0 2π 为低通滤波器的带宽。
该式说明阶跃响应的上升时间 tr 与理想低通滤波器的通频带宽度 f 0 (或 ω 0 )成反比。 ω 0 愈高，阶跃响应的上升时间 tr 就愈短，而当 ω 0 → ∞ 时，则 tr → 0 ，滤波器无低通特性而成为一个无失真传输系统。 此外，由图4－15可以看到，阶跃响应 g (t ) 在 t < 0 时也存在，它同样反映了理想滤波器的非因果性和不可实现性。实际上可实现的低通滤器 的阶跃响应 g (t ) 接近于图4－15所示波形，例如图4－14(a)所示二阶低通滤波器的阶跃响应 g (t ) 如图4－16所示。
4
Page 1 of 4
4－6 理想低通滤 理想低通滤波器及其响应 波器及其响应
理想滤波器是将滤波网络的某些特性理想化而定义的滤波网络。理想滤波器可按不同的实际需要从不同的角度给予定义。本节主要讨论具有 矩形幅频特性和线性相频特性的理想低通滤波器。
一、理想低通滤 理想低通滤波器及其频 波器及其频率特性
二、理想低通滤 理想低通滤波器的冲 波器的冲激响应
由 H ( jω ) 的物理意义可知，对式(4－21)直接求傅里叶反变换则可得到理想低通滤波器的冲激响应，即
h(t ) = F −1{H ( jω )} = 1 2π
1 2π
∫
∞
−∞
H ( jω )e jωt dω =
∫ ω ke
−
0
ω0
jω ( t − t0 )
H ( jω ) ，又能在物理上可实现。
佩利-维纳准则只是从系统幅频特性提出要求，而在相位特性上却没有给出约束。因此，该准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分 条件。如果 H ( jω ) 已被检验满足此准则，便可找到适当的相位函数 φ (ω ) 与 H ( jω ) 一起构成物理可实现的系统函数。
具有如图4－12所示幅频和相频特性的网络成为理想低通滤波器。即
ke H ( jω ) = 0
式中， ω 0 称为截止频率。
− jωt 0
ω < ω0 ω >0
因此，从理想低通滤波器的频率特性可以看出，对于低于 ω 0 的所有信号，系统能无失真地传输，而将高于 ω 0 的信号完全阻塞，无法传送。 所以， ω < ω 0 的频率范围称为通带； ω > ω 0 的频率范围称为阻带。只有在通带内理想低通滤波器才满足无失真传输条件。
R=
究就不因无法实现而失去价值。图4－14(a)所示就是一个二阶低通滤波器。若 (b)和(c)所示。可以看到，其特性接近于理想低通滤波器。
L ω0 = 2C ，
1 LC ,则其冲激响应 h(t ) 和频率特性如图4－14
三、理想低通滤 理想低通滤波器的阶跃响应 波器的阶跃响应
若理想低通滤波器的阶跃响应记为 g (t ) ，则根据时域分析可知，阶跃响应g(t)和冲激响应 h(t ) 有如下关系：
2013/8/28
4
Page 4 of 4
五、系统的物理可实现 的物理可实现性和佩利 实现性和佩利维纳 性和佩利维纳准 维纳准则
理想低通滤波器在物理上是不可实现的，然而，传输特性接近于理想特性的滤波系统却不难构成。而要在物理上实现这种系统，其数学模型 又具有何种特征呢?下面给出系统可实现的准则。 1时域准则 一个物理可实现系统的冲激响应 h(t ) 在 t < 0 时必须为零。或者说冲激响应 h(t ) 波形的出现必须是有起因的，不能在冲激作用之前就产生响 应，即 h(t ) 应该是因果信号，可写为
−α ω −αω 同时还可以看到， H ( jω ) 趋于零的速度不能快于指数函数。例如 H ( jω ) = ke 是允许的，但高斯函数 H ( jω ) = ke 则是物理不可实现
2
的。由于所有理想滤波器的 H ( jω ) 都是物理不可实现的，所以滤波器的设计问题，实际上是研究如何选择一个 H ( jω ) ，它既要逼近所要求的
/jp2005/06/xinhaoxitong/ch4/d4zd6j.htm
2013/8/28
4
Page 2 of 4
率 ω 0 增大，则 h(t ) 峰值增加，主瓣宽度压缩。当 ω 0 → ∞ 时，系统将失去低通滤波特性而变成一个无失真传输系统。 另外，由图4－13可以看到，冲激响应 h(t ) 在 t < 0 时已存在，即系统响应在时间上超前于激励，显然，这是违背因果规律的。因此理想低通 滤波器属于非因果系统，实际上在物理上是无法实现的。然而，只要可实现的滤波器能够做到相当接近于理想滤波特性，则有关理想滤波器的研
∫
−∞
k sin x dx = x π
∫
0
−∞
k sin x dx + x π
∫
ω 0 ( t −t 0 )
0
sin x dx (4－24) x
式(4－24)中第一项积分
∫
0
−∞
∞ sin x sin x π dx = ∫ dx = 0 x x 2 (4－25)
第二项积分记作 Si ( y ) = ∫
/jp2005/06/xinhaoxitong/ch4/d4zd6j.htm
2013/8/28