函数及反函数定义,分段函数

一、知识导学

1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.(包括集合

A、B及A到B的对应法则)

2.函数：设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记作

=定义域.对

y f x

()

=.其中所有的输入值x组成的集合A称为函数()

y f x

于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.

3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y) 若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y). 我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

二、疑难知识导析

1.对映射概念的认识

(1)

与是不同的，即与上有序的.或者说：映射

是有方向的，

(2)输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.

(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.

2.对函数概念的认识

（1）对函数符号()

f x的含义是一样的，它们

f x的理解知道y=()

f x与()

都表示

是 的函数，其中 是自变量，()f x 是函数值，连接的纽带是

法则 .是单值对应.

(2)注意定义中的集合 A ，B 都是非空的数集,而不能是其他集合；

(3)函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.

3.对反函数概念的认识

（1）函数y=()f x 只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；

（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.

（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x 对称.单调函数一定有反函数，奇函数不一定有反函数，（例如Y=SINX ）若有反函数，其反函数也已一定为奇函数，偶函数和周期函数一定没有反函数。若点（a,b ）在f(x)上，则点（b,a ） 一定在f -1(x)上

（4）互为反函数的两个函数的关系

a b f b a f =⇔=-)()(1.

（5）若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f k y -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f k y -=的反函数.

函数主要考察九个方面内容：定义域，对应法则，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性，图像变换，不等式。

高中主要学习的初等函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数，对号函数，正弦函数，余弦函数，正切函数。对于初等函数数形结合非常关键。

容器装水倒水问题：主要考察变化率的增长问题，紧抓变化率。 分段函数问题：重点看定义域的分界，以定义域分界作为依据。