_正态分布及其性质
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4 4 5
0.9707
例题8.一投资者在两个投资方 案中选择一个， 这两个投资方案的利润 X（万元）分布 服从正态分布N（ 8， 3 2）和N（ 6， 2 2）投资 者要求“利润超过5万元”的概率尽量地 大，那么他应该选择哪 一个方案？
解：对第一种方案有X ~ N（ 8， 3 2），于是 58 P（X 5 ） 1 P（X 5 ） 1 （ ） 3 1 （ 1 ） （ 1 ） 0.8413 对第二种方案有X ~ N（ 6， 2 2），于是 56 P （X 5 ） 1 P（X 5 ） 1 （ ） 3 1 （ 0.5 ） （ 0.5 ） 0.6915
正态分布复习巩固
1.正态分布与正态曲线
如果随机变量 的概率密度为：
f(x)
1 2
e
( x ) 2 22
（x R, , 为常数，且 0), 称服从参数 为、的正态分布，用 N（， 2）表示， f(x) 的表示式可简记为 N ( , 2 )或N ( , )， 它的密度曲线简称为正 态曲线.
解： (1). ~ N(0,2.5), 0, 2 2.5 又 f (x) 1 2 e
( x ) 2 22
的概率密度函数为f(x)
1 5
e
x2 5
(x R )
解： (2).设表示5件产品中的合格品数. ~ B(5, P)(p p(| | 3)),
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率 等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 0.5 , . 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X 0)=
P(2 X 2) =
0.9544
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则 相应的正态曲线在x= 0.3 时达到最高点。
5、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落 在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学 1 期望是 。
例2、已知 ~ n(0, 2 )，且 P(2 0) 0.4 ，
则 P( 2) 等于( A )
A.0.1
B. 0.2
C. 0.3
D.0.4
例3、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
例题10.一建桥工地所需要的钢筋的长度服从 正态分布N（ 8， 4 ），质量员在检查一大批钢 筋的质量时，发现有的钢筋长度少于2，他是 让钢筋工继续用钢筋切割机截割钢筋呢？ 还是让钢筋工停止生产，检修钢筋切割机？
解：设检验出的钢筋长 度为a，则a 2. 8, 2,| a | 3 这说明这一钢筋的长度 出现在区间 （ 3， 3）之外，理应拒绝假设. 所以质检员应马上让钢 筋工停止生产， 立即检修钢筋切割机.
越大，曲线越“矮胖” ， 表示总体的分布越分散 ； 越小，曲线越“瘦高” ， 表示总体的分布越集中 . (5). 当一定时，曲线的形状由 确定，
Y
f ( x)
1 2
e
( x ) 2 22
x
X
例题1.设随机变量 ~ N （2， 2）， 1 则D （ ）的值为（ C ） 2 1 A.1; B.2; C. ; D.4. 2
在这种情况下应走第二 条路线.
( 2).走第一条路线及时赶到 的概率为： 65 50 P（ 0 65 ） （ ） 10 （ 1.5 ） 0.9332
走第二条路线及时赶到的概率为： 65 60 P（ 0 65 ） （ ） 4 （ 1.25 ） 0.8944.
y
例4、如图，为某地成年男 性体重的正态曲线图，请写 出其正态分布密度函数，并 求P（|X-72|<20）.
1 10 2
x (, )
72(kg)
x
例6.( 2).设 ~ N (0,1), 借助于标准 正态分布的函数表计算: (1) p( > 1.24); (2) p( < -1.24); (3) p( < 1).
2
从而，可计算服从(, )的正态分布
的随机变量取值在a与b之间的概率.
例题7.生产工艺工程中产品的 尺寸的偏差 （m m）~ N（ 0， 2.5 ），如果产品的尺寸与 规定的偏差的绝对值不 超过3m m为合格品， 求： （ 1 ）的概率密度函数； （ 2 ）生产的5件产品的合格率不小于 80%的概率.
( 2)若 ~ N (u, 2 )， 则的分布函数 用F ( x )表示， 且有P ( ≤ x ) = F ( x ) = ( x-u
)
7.标准正态分布与一般正态分布的关系:
(1).若 ~ N(, ), 则 ~ N(0,1). 2 ( 2). ~ N(, ), b a P(a b ) ( ) ( ), 然后，通过查标准正态 分布表中 a b x ,x 的( x)值.(课本P58页) 2
因此，在这种情况下应 走第一条路线.
小概率事件的含义
区 间 （μ －σ ，μ ＋σ ） （μ －2 σ ，μ ＋2 σ ）
（μ －3 σ ，μ ＋3 σ ）
取值概率 68.3% 95.4%
99.7%
小概率事件的含义: 发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次 试验中几乎不可能发生
8.假设检验的基本思想与生产过程 中质量控制图
2
从而，可计算服从(, )的正态分布
的随机变量取值在a与b之间的概率.
例题4.正态总体N（ 0， 1 ）在区间（ 2， 1 ）和 （ 1 ， 2 ）上取值的概率分布为 P1、P2，则（） A.P1 P2 ; B.P 1 P2 ; C.P1 P2 ; D.不确定.
c
例题5.已知 ~ N(, 2 ), E 3, D 1, 则P( 1 1) （） B A.2(1) 1; B.( 4) ( 2); C.( 4) ( 2); D.( 2) ( 4)
例题9.某人从城市南郊某地乘 公共汽车前往 北郊火车站有两条路线 可走，第一条路线 穿过市区，路线较短， 但交通拥挤，所需时 间（单位：分）服从正 态分布N（ 50， 102）； 第二条路线沿环城公路 走，但交通阻塞少， 所需时间服从正态分布 N（ 60， 4 2） （ 1 ）若只有70分钟可用，问应走哪条 路？ （ 2 ）若只有65分钟可用，又应走哪条 路？
ex : 一批灯泡的使用时间 (单位 : 小时)服从 正态分布N， (10000 ,4002 )则这批灯泡中使用 时间超过10800 小时的灯泡的概率为
0.0228
5.标准正态分布 (1) ~ N (0,1)， 则的分布函数通常 用 ( x )表示， 且 ( x ) = P ( ≤ x ) 对于x ≥0， ( x )的值可在标准正态 分布表中查到 , 而x < 0的 ( x )的值 可用 : ( x ) = 1 - ( x )
正态曲线下的面积规律
（1）正态曲线下面积的意义：正态曲线下一定 区间内的面积代表变量值落在该区间的概率。 整个曲线下的面积为1，代表总概率为1。 曲线下面积的求法：定积分法和标准正态分布法
（2）对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
( 2)若 ~ N (u, 2 )， 则的分布函数 用F ( x )表示， 且有P ( ≤ x ) = F ( x ) = ( x-u
)
7.标准正态分布与一般正态分布的关系:
(1).若 ~ N(, ), 则 ~ N(0,1). 2 ( 2). ~ N(, ), b a P(a b ) ( ) ( ), 然后，通过查标准正态 分布表中 a b x ,x 的( x)值.(课本P58页) 2
(1).曲线在x轴上方，与x轴不相交; (3). 当x 时, 曲线处于最高点，
(2).曲线关于直x 线对称;
当x向左、向右远离时， 曲线不断地降低，呈现 出“中 间高、两边低”的钟形 曲线.
( 4). 当x 时，曲线上升； 当x 时，曲线下降.
并且当曲线向左、向右两边无限延伸时， 以x轴为渐进线，向x轴无限的靠近.
解：设为行车时间 （ 1 ）走第一条路线，及时赶到的概率为： 70 50 0 50 P（ 0 70 ） （ ） （ ） 10 10 70 50 （ ） （ 2 ） 0.9722 10 走第二条路线，及时赶到的概率为： 70 60 0 50 P（ 0 70 ） （ ） （ ） 4 4 70 60 （ ） （ 2 .5 ） 0.9938 4
(1).假设检验是就正态总体 而言的， 进行假设检验可归结为 如下三步：
1).提出统计假设. 统计假设里的变量服从 正态分布N（，） .
2).确定一次试验中 a的取值是否 落入( 3, 3)内 .
3).作出判断. 如果a ( 3, 3)，接受统计假设 ; 如果a ( 3, 3)，就拒绝统计假设 .
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
知识点：标准正态曲线
当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态 总体，其相应的函数表达式是
1 f ( x) e , x R 2
其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态 总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重 要地位。任何正态分布的问题均可转化成标 准总体分布的概率问题。
x2 2
标准正态总体N(0,1)的概率问题:
由于标准正态总体 N 0ຫໍສະໝຸດ Baidu1 在正态总体的研究 中有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态 分布表” 。
表中相对于x0的值是指P（X x 0）的大小。
就是图中阴影 区域A的面积 该区域的面积表示？ 又该如何计算呢 A
5.标准正态分布 (1) ~ N (0,1)， 则的分布函数通常 用 ( x )表示， 且 ( x ) = P ( ≤ x ) 对于x ≥0， ( x )的值可在标准正态 分布表中查到 , 而x < 0的 ( x )的值 可用 : ( x ) = 1 - ( x )
P(| | 3) ( 3 2.5 2.5 (1.90) ( 1.90) ) ( 3 )
(1.90) [1 (1.90)] 2(1.90) 1 0.9426 P( 5 0.8) P( 4)
C 5 (0.9426) 0.0574 (0.9426)
2.正态分布的期望与方差 若 ~ N ( , 2 ), 则的期望与方差分布为：
E = , D = 2
3.正态曲线
f ( x)
1 2
e
( x ) 2 22
,xR
N(, )或N(, )
2
L 总体平均数
D 标准差
Y
x
X
4.正态曲线的性质
0.9707
例题8.一投资者在两个投资方 案中选择一个， 这两个投资方案的利润 X（万元）分布 服从正态分布N（ 8， 3 2）和N（ 6， 2 2）投资 者要求“利润超过5万元”的概率尽量地 大，那么他应该选择哪 一个方案？
解：对第一种方案有X ~ N（ 8， 3 2），于是 58 P（X 5 ） 1 P（X 5 ） 1 （ ） 3 1 （ 1 ） （ 1 ） 0.8413 对第二种方案有X ~ N（ 6， 2 2），于是 56 P （X 5 ） 1 P（X 5 ） 1 （ ） 3 1 （ 0.5 ） （ 0.5 ） 0.6915
正态分布复习巩固
1.正态分布与正态曲线
如果随机变量 的概率密度为：
f(x)
1 2
e
( x ) 2 22
（x R, , 为常数，且 0), 称服从参数 为、的正态分布，用 N（， 2）表示， f(x) 的表示式可简记为 N ( , 2 )或N ( , )， 它的密度曲线简称为正 态曲线.
解： (1). ~ N(0,2.5), 0, 2 2.5 又 f (x) 1 2 e
( x ) 2 22
的概率密度函数为f(x)
1 5
e
x2 5
(x R )
解： (2).设表示5件产品中的合格品数. ~ B(5, P)(p p(| | 3)),
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率 等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 0.5 , . 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X 0)=
P(2 X 2) =
0.9544
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则 相应的正态曲线在x= 0.3 时达到最高点。
5、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落 在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学 1 期望是 。
例2、已知 ~ n(0, 2 )，且 P(2 0) 0.4 ，
则 P( 2) 等于( A )
A.0.1
B. 0.2
C. 0.3
D.0.4
例3、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
例题10.一建桥工地所需要的钢筋的长度服从 正态分布N（ 8， 4 ），质量员在检查一大批钢 筋的质量时，发现有的钢筋长度少于2，他是 让钢筋工继续用钢筋切割机截割钢筋呢？ 还是让钢筋工停止生产，检修钢筋切割机？
解：设检验出的钢筋长 度为a，则a 2. 8, 2,| a | 3 这说明这一钢筋的长度 出现在区间 （ 3， 3）之外，理应拒绝假设. 所以质检员应马上让钢 筋工停止生产， 立即检修钢筋切割机.
越大，曲线越“矮胖” ， 表示总体的分布越分散 ； 越小，曲线越“瘦高” ， 表示总体的分布越集中 . (5). 当一定时，曲线的形状由 确定，
Y
f ( x)
1 2
e
( x ) 2 22
x
X
例题1.设随机变量 ~ N （2， 2）， 1 则D （ ）的值为（ C ） 2 1 A.1; B.2; C. ; D.4. 2
在这种情况下应走第二 条路线.
( 2).走第一条路线及时赶到 的概率为： 65 50 P（ 0 65 ） （ ） 10 （ 1.5 ） 0.9332
走第二条路线及时赶到的概率为： 65 60 P（ 0 65 ） （ ） 4 （ 1.25 ） 0.8944.
y
例4、如图，为某地成年男 性体重的正态曲线图，请写 出其正态分布密度函数，并 求P（|X-72|<20）.
1 10 2
x (, )
72(kg)
x
例6.( 2).设 ~ N (0,1), 借助于标准 正态分布的函数表计算: (1) p( > 1.24); (2) p( < -1.24); (3) p( < 1).
2
从而，可计算服从(, )的正态分布
的随机变量取值在a与b之间的概率.
例题7.生产工艺工程中产品的 尺寸的偏差 （m m）~ N（ 0， 2.5 ），如果产品的尺寸与 规定的偏差的绝对值不 超过3m m为合格品， 求： （ 1 ）的概率密度函数； （ 2 ）生产的5件产品的合格率不小于 80%的概率.
( 2)若 ~ N (u, 2 )， 则的分布函数 用F ( x )表示， 且有P ( ≤ x ) = F ( x ) = ( x-u
)
7.标准正态分布与一般正态分布的关系:
(1).若 ~ N(, ), 则 ~ N(0,1). 2 ( 2). ~ N(, ), b a P(a b ) ( ) ( ), 然后，通过查标准正态 分布表中 a b x ,x 的( x)值.(课本P58页) 2
因此，在这种情况下应 走第一条路线.
小概率事件的含义
区 间 （μ －σ ，μ ＋σ ） （μ －2 σ ，μ ＋2 σ ）
（μ －3 σ ，μ ＋3 σ ）
取值概率 68.3% 95.4%
99.7%
小概率事件的含义: 发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次 试验中几乎不可能发生
8.假设检验的基本思想与生产过程 中质量控制图
2
从而，可计算服从(, )的正态分布
的随机变量取值在a与b之间的概率.
例题4.正态总体N（ 0， 1 ）在区间（ 2， 1 ）和 （ 1 ， 2 ）上取值的概率分布为 P1、P2，则（） A.P1 P2 ; B.P 1 P2 ; C.P1 P2 ; D.不确定.
c
例题5.已知 ~ N(, 2 ), E 3, D 1, 则P( 1 1) （） B A.2(1) 1; B.( 4) ( 2); C.( 4) ( 2); D.( 2) ( 4)
例题9.某人从城市南郊某地乘 公共汽车前往 北郊火车站有两条路线 可走，第一条路线 穿过市区，路线较短， 但交通拥挤，所需时 间（单位：分）服从正 态分布N（ 50， 102）； 第二条路线沿环城公路 走，但交通阻塞少， 所需时间服从正态分布 N（ 60， 4 2） （ 1 ）若只有70分钟可用，问应走哪条 路？ （ 2 ）若只有65分钟可用，又应走哪条 路？
ex : 一批灯泡的使用时间 (单位 : 小时)服从 正态分布N， (10000 ,4002 )则这批灯泡中使用 时间超过10800 小时的灯泡的概率为
0.0228
5.标准正态分布 (1) ~ N (0,1)， 则的分布函数通常 用 ( x )表示， 且 ( x ) = P ( ≤ x ) 对于x ≥0， ( x )的值可在标准正态 分布表中查到 , 而x < 0的 ( x )的值 可用 : ( x ) = 1 - ( x )
正态曲线下的面积规律
（1）正态曲线下面积的意义：正态曲线下一定 区间内的面积代表变量值落在该区间的概率。 整个曲线下的面积为1，代表总概率为1。 曲线下面积的求法：定积分法和标准正态分布法
（2）对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
( 2)若 ~ N (u, 2 )， 则的分布函数 用F ( x )表示， 且有P ( ≤ x ) = F ( x ) = ( x-u
)
7.标准正态分布与一般正态分布的关系:
(1).若 ~ N(, ), 则 ~ N(0,1). 2 ( 2). ~ N(, ), b a P(a b ) ( ) ( ), 然后，通过查标准正态 分布表中 a b x ,x 的( x)值.(课本P58页) 2
(1).曲线在x轴上方，与x轴不相交; (3). 当x 时, 曲线处于最高点，
(2).曲线关于直x 线对称;
当x向左、向右远离时， 曲线不断地降低，呈现 出“中 间高、两边低”的钟形 曲线.
( 4). 当x 时，曲线上升； 当x 时，曲线下降.
并且当曲线向左、向右两边无限延伸时， 以x轴为渐进线，向x轴无限的靠近.
解：设为行车时间 （ 1 ）走第一条路线，及时赶到的概率为： 70 50 0 50 P（ 0 70 ） （ ） （ ） 10 10 70 50 （ ） （ 2 ） 0.9722 10 走第二条路线，及时赶到的概率为： 70 60 0 50 P（ 0 70 ） （ ） （ ） 4 4 70 60 （ ） （ 2 .5 ） 0.9938 4
(1).假设检验是就正态总体 而言的， 进行假设检验可归结为 如下三步：
1).提出统计假设. 统计假设里的变量服从 正态分布N（，） .
2).确定一次试验中 a的取值是否 落入( 3, 3)内 .
3).作出判断. 如果a ( 3, 3)，接受统计假设 ; 如果a ( 3, 3)，就拒绝统计假设 .
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
知识点：标准正态曲线
当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态 总体，其相应的函数表达式是
1 f ( x) e , x R 2
其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态 总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重 要地位。任何正态分布的问题均可转化成标 准总体分布的概率问题。
x2 2
标准正态总体N(0,1)的概率问题:
由于标准正态总体 N 0ຫໍສະໝຸດ Baidu1 在正态总体的研究 中有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态 分布表” 。
表中相对于x0的值是指P（X x 0）的大小。
就是图中阴影 区域A的面积 该区域的面积表示？ 又该如何计算呢 A
5.标准正态分布 (1) ~ N (0,1)， 则的分布函数通常 用 ( x )表示， 且 ( x ) = P ( ≤ x ) 对于x ≥0， ( x )的值可在标准正态 分布表中查到 , 而x < 0的 ( x )的值 可用 : ( x ) = 1 - ( x )
P(| | 3) ( 3 2.5 2.5 (1.90) ( 1.90) ) ( 3 )
(1.90) [1 (1.90)] 2(1.90) 1 0.9426 P( 5 0.8) P( 4)
C 5 (0.9426) 0.0574 (0.9426)
2.正态分布的期望与方差 若 ~ N ( , 2 ), 则的期望与方差分布为：
E = , D = 2
3.正态曲线
f ( x)
1 2
e
( x ) 2 22
,xR
N(, )或N(, )
2
L 总体平均数
D 标准差
Y
x
X
4.正态曲线的性质