九年级数学-中考复习-几何综合

九年级-中考复习-几何综合
中线倍长旋转全等构造半角模型对补型
1. 中线倍长婆罗摩笈多模型及变式
难点：最后一步倒角
2. 旋转
3. “三垂直”模型
4. 半角模型
1.婆罗摩笈多模型的解决方法
2.模型之变式，中线倍长方法的灵活应用
变式1：（武汉19年元调）如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝
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2，连接BE ，P 为BE 的中点，连接PD 、AD
(1) 小亮为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的
角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系
(2) 如图1，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由
(3) 如图3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面积。

变式2：（16年元调）如图，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点
(1) 如图1，若A、C、D三点共线，求∠PAC的度数。

核心考点
回顾·提问
中线倍长
(2) 如图2，若A 、C 、D 三点不共线，求证：AP ⊥DP 。

(3) 如图3，若点C 线段BE 上，AB ＝1，CD ＝2，请直接写出PD 的长度。

常见有90°等腰含半角，120°等腰含半角，正方形中含半角
例：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，
若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）如图2，当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，其它条件不变，则
上述结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明．
变式：（武汉18年元调）如图，点C 为线段AB 上一点，分别以AB 、AC 、CB 为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D 、E 、F （点E 、F 在AB 的同侧，点D 在另一侧） (1) 如图1，若点C 是AB 的中点，则∠AED ＝ ___________。

(2) 如图2，若点C 不是AB 的中点
半角模型
图2
A
B C
D E 图1
A
B
C
D
E
① 求证：△DEF 为等边三角形；
② 连接CD ，若∠ADC ＝90°，AB ＝3，请直接写出EF 的长。

对补型旋转 等线段，共端点
例：等边△ABC 中，点H 在边BC 上，点K 在边AC 上，且AK=HC ，连接AH 、BK 交于点F . (1)如图1，求∠AFB 的度数；
(2)如图2，连接FC ，若∠BFC =90°，点G 为边 AC 上一点，且满足∠GFC =30°，求证：AG ⊥BG (3)如图3，在(2)条件下，在BF 上取D 使得DF=AF ，连接CD 交AH 于E ，若△DEF 面积为1， 则△AHC
的面积为
例：(1)探究 如图(1), 在△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点D 在边BC 上， ①求∠DCE 的大小;
②直接写出线段CD,CE ,AC 之间的数量关系;
(2)应用 如图(2),在四边形ABCD 中，AB=BC ∠ABC =60°,P 是四边形ABCD 内一点，且∠APC=120°.
求证: PA+PC+PD ≥BD;
A
B
C
D
E
F
H
A
B
C
K H
F
A
B
C
F
G
旋转
过 关 测
（3）拓展 如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(-4,0)，点B 是Y 轴上一个动点，以AB 为边在AB 的下方作等边三角形ABC ，求OC 的最小值。

变式3：已知等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE 有公共直角顶点A (1) 如图1，
F 、
G 分别为AC 、AB 的中点，求证：EF ＝DG ，EF ⊥DG (2) 如图2，若M 为CD 的中点，以下两个结论中：① CD ＝2
1BE ；② AM ＝2
1
BE 只有一个是正确的，请判断并证明正确的结论
1.如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ，分别以AC 、BC 为斜边在AB 同侧作等 腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ， （1）求证：△DEF 为等腰直角三角形.
（2）若将此题的△ACE 绕点C 逆时针旋转，每旋转45°得另一图形.（1）中的结论是否仍成立？
若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
F F 图2
B
B
E
D
2. 如图1，△ABC 中，∠BAC=600
，D ，E 分别为AC ，AB 边上两点，且CD=AB ，AD=AE ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α角至CG.
(1) 如图2，当α=120°时，连EG ，取EG 中点P ，连AP 、CP 、求证：AP ⊥CP;
(2) 如图3，当α=240°时，连AG ，取AG 中点P ，连EP 、CP 、试判断EP 与CP 的关系，并
证明。

(3) 在图1中，连BD ，取BD 中点Q ，连AQ ，则
BC
AQ
= __________。

3.如图1，ABC ∆与DEF ∆都是等腰直角三角形，90=∠=∠EDF ACB °，AB 、EF 的中 点均为O.
（1）求证：CD=BF;
（2）如图2，当DEF ∆绕点O 顺时针旋转的过程中，探究BF 与CD 的数量关系和位置关系，
并证明； （3）如图2，若AC=22，BF 、CD 相交于M ，求AM 的最小值。

4.如图，正方形ABCD 的顶点C 处有一等腰RT △CEP ，∠PEC=900
，连接AP ，PE.
（1）若点E 在BC 上时，如图1，线段AP 和BE 之间的数量关系是 _____________ ；
（2）若将图1中△PEC 顺时针旋转使P 点落在CD 上，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明，若不成立，请说明理由.
(3) 在图2的基础上延长AP ，BE 交于点F ，如图3， 若DP=PC=2 ，求BF 的长.
5.在平面直角坐标系中，已知A (0,a )、B (b , 0)，且a 、b 满足：224480a b a b +-++=，点D 为x 正半轴上一动点
(1)求A 、B 两点的坐标
(2)如图，∠ADO 的平分线交y 轴于点C ，点 F 为线段OD 上一动点，过点F 作CD 的平行线交y 轴于点H ，且∠AFH =45°， 判断线段AH 、FD 、AD 三者的数量关系，并予以证明
(3)以AO 为腰，A 为顶角顶点作等腰△
ADO
，若∠
DBA =30°
，直接写出∠DAO 的度数
6. 在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°，
（1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，如图1，求证：△AEG ≌△AEF ； （2）若直线EF 与AB 、AD 的延长线分别交于点M,N ，如图2，求证：222NF ME EF += （3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之
间的数量关系。

A
B
C
D E
F。