第6章 动态规划

c24 d (4, ) c24 c41 6
c42 d (2, ) c42 c21 12
c23 d (3, ) c23 c31 8
c32 d (2, ) c32 c21 9
d (2,{3,4}) min{2 5,3 11 } 7


算法设计与分析 徐浩
动态规划的决策过程
最后阶段形成最优决策，然后向前回溯 直到初始阶段，决策的具体结果和状态 转移由初始阶段开始计算，向后递归迭 代。 实例：货郎担问题
3 6 7 5 2 3 C (cij ) 6 4 2 3 7 5
算法设计与分析 徐浩
算法6.1 多段图的动态规划算法 输入：多段图邻接表头结点node[],顶点个数n 输出：最短路径费用,最短路径上的顶点编号顺序route[] 1. template <class Type> 2. #define MAX_TYPE max_value_of_Type 3. #define ZERO_TYPE zero_value_of_Type 4. Type fgraph(struct NODE node[],int route[],int n) 5. { 6. int i; 7. struct NODE *pnode; 8. int *path = new int[n]; 9. Type min_cost,*cost = new Type[n]; 10. for (i=0;i<n;i++) { 11. cost[i] = MAX_TYPE; path[i] = -1; rouet[i] = 0; 12. } 13. cost[n-1] = ZERO_TYPE; 14. for (i=n-2;i>=0;i--) { 15. pnode = node[i]->next;
min {1 13, 6 9 , 7 9 , 8 8 } 14
path[ 2 ] 3
i 1： cos t [ 1 ] min { c14 cos t [ 4 ] , c15 cos t [ 5 ] } min { 9 9 , 6 9 } 15
d(3,{2,4})
d(4,{2,3})
d(3,{4}) d(4,{3}) d(2,{4}) d(4,{2}) d(2,{3}) d(3,{2})
d(4,φ )
d(3,φ )
d(4,φ )
d(2,φ )
d(3,φ )
d(2,φ )
花费的时间仍是指数时间,但是比穷举法要少
T T1 n 2 2n 1 (n 2 2n )
动态规划函数：
cost[i ] min{cij cost[ j ]}
i j n
path[i ] 使c ij cost[ j ]最小的 j
算法设计与分析 徐浩
步骤描述如下：
例：
4 0 3 1
9 6 8 7
4
6 8 6 6
5 7 7 9 8 5
算法设计与分析 徐浩
1
2 1 3 4 8 7
path[ 6 ] 8
i 5 ： cost [ 5 ] min { c57 cost [ 7 ] , c58 cost [ 8 ] } min { 8 7 , 6 3 } 9
path[ 5 ] 8
i 4 ： cost [ 4 ] min { c 47 cost [ 7 ] , c 48 cost [ 8 ] } min { 5 7 , 6 3 } 9
min{ c23 d (3,{4}), c24 d (4,{3})}
min{ c32 d (2,{4}), c34 d (4,{2})}
min{ c42 d (2,{3}), c43 d (3,{2})}
c34 d (4, ) c34 c41 5
c43 d (3, ) c43 c31 11
算法设计与分析 徐浩
动态规划的思想方法：对问题进行全面的规 划处理，弥补贪婪法局部最优的缺点。 动态规划最优决策原理：将活动过程划分为 若干个阶段，每一阶段决策依赖于前一阶段 的状态，由决策所采取的动作使状态发生转 移，成为下一阶段的决策依据。即每一阶段 的策略会有改变。 s0 p1 s1 p2 s2 … sn-1
i 1
n
算法设计与分析 徐浩
多段图的最短路径问题
多段图的决策过程
定义：给定有向连通赋权图G=(V,E,W),如果把顶点集合V划分为k个不相交的 子集Vi，1≤i≤k,k≥2,使得E中的任何一条边（u,v），必有u∈Vi,v ∈Vi+m,m ≥1,则称为多段图。令|V1|=|Vk|=1，s为源点，t为收点。多段图最 短路径问题是求从源点s到达收点t的最小花费的通路。S编号为0，t编号为n1，E中任意一条边（u,v），u编号小于v。 cost[i]：存放顶点i到收点t的最小花费 path[i]：存放顶点i到收点t的最小花费通路上的前方顶点编号。 route[n]：存放从源点s出发到达收点t的最短路径上的顶点编号
策略
算法设计与分析 徐浩
最终状态
pn
sn
初始状态
最优性原理：解决这类问题多阶段决策特性， 无论过程的初始状态和初始决策如何，其余决 策必须相对初始决策所产生的状态，构成一个 最优决策序列。 每一阶段决策仅与前一阶段产生的状态有关， 与如何达到状态的方式无关，每一阶段可作 为一个子问题处理。每阶段决策可以有多个 决策选择，达到多个状态，但只有一个决策 最优。 作出如下假定：一种状态作出多种决策，每种决策
p(2,21)
s(2,22)
s(2,2r2)
s(2,r11)
s(2,r12)
s(2,r1r2)
赖以决策的策略或目标，称为动态规划函数 最优状态s(2,22),倒推得s ( 2, 22 ) p ( 2, 22 ) s ( 1, 2 ) p ( 1, 2 ) s 0 最优决策序列 p ( 1, 2 ) p ( 2, 22 ) 状态转移序列 s 0 s ( 1, 2 ) s ( 2, 22 )
可以产生一种新状态,见下图
算法设计与分析 徐浩
S0
p(1,1)
p(1,2)
p(1,r1)
s(1,1)
s(1,2)
s(1,r1)
p(2,11)
p(2,12)
p(2,1r2)
p(2,21)
p(2,22)
p(2,2r2)
p(2,r11)
p(2,r12)
p(2,r1r2)
s(2,11)
p(2,12)
s(2,1r2)
5
3
6
i 8： cos t [ 8 ] c89 cos t [ 9 ] 3 0 3
path[ 8 ] 9
i 7 ： cos t [ 7 ] c 79 cos t [ 9 ] 7 0 7
path[ 7 ] 9
i 6 ： cost [ 6 ] min { c 67 cost [ 7 ] , c 68 cos t [ 8 ] } min { 6 7 , 5 3 } 8
path[ 4 ] 8
i 3： cos t [ 3 ] min { c35 cos t [ 5 ] , c36 cos t [ 6 ] } min { 4 9 , 7 8 } 13
path[ 3 ] 5
i 2 ： cos t [ 2 ] min { c 23 cos t [ 3 ] , c 24 cos t [ 4 ] , c 25 cos t [ 5 ] , c 26 cos t [ 6 ]}
route [ 1 ] path[ route [ 0 ] ] path[ 0 ] 2 route [ 2 ] path[ route [ 1 ] ] path[ 2 ] 3 route [ 3 ] path[ route [ 2 ] ] path[ 3 ] 5 route [ 4 ] path[ route [ 3 ] ] path[ 5 ] 8 route [ 5 ] path[ route [ 4 ] ] path[ 8 ] 9
T(n)
n/2
T(n/4) T(n/4) T(n/4)
=
n
n/2
n/2 n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4) T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)
算法设计与分析 徐浩
动态规划基本步骤
找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 递归地定义最优值（动态规划函数）。 以自底向上的方式计算出最优值（回溯/迭 代）。 根据计算最优值时得到的信息，构造最优 解。
算法设计与分析 徐浩
16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. }
第6章 动态规划
贪婪法把问题分为若干步，每步仅在当 前状态下进行选择，该选择依赖于过去 所做的选择，不管以后做的选择，某些 情况下可以得到全局最优解，仅在确定 当前选择是正确的情况下进行，某些情 况不能得到全局最优解。因此，贪婪法 必须证明算法的正确性，即最终得到的 局部最优解可以证明为全局最优解。 因此提出另一种算法设计方法：动态规划
费用矩阵
3 6 7 5 2 3 C (cij ) 6 4 2 3 7 5
算法设计与分析 徐浩
d (1,{2,3,4}) min{ c12 d (2,{3,4}), c13 d (3,{2,4}), c14 d (4,{2,3})}
path[ 1 ] 5
i 0 ： cost [ 0 ] min { c 01 cost [ 1 ] , c02 cost [ 2 ] , c 03 cost [ 3 ] }