作业答案_第2章_静力学

等压面为抛物面
根据等压面的性质，2种流体的交界面为等压面 因此旋转体相对静止时的液面应为一抛物面 已知抛物面所围城的体积为等底面圆柱 体体积的一半，油的体积为
z ω
r 油 H 水h A D R 转/min 水 O 油

1 D 2 ( H h) R 2H 4 2
D 2 ( H h) 0.62 0.1 R ( ) 0.190 2 H 2 0.5
设有一盛水的密闭容器，如图所示。已知容器内点A的相对压强为 4.9×104。如在该点左侧器壁上安装一玻璃测压管，已知水的密度 ρ=1000kg/m3 ，试问需要多长的玻璃测压管？如在该点右侧器壁上安装 一水银压差计，已知水银的密度 ρHG=13.6×103kg/m3, h1=0.2m, 试问水 pa 银柱高度差h2是多大值？
根据旋转体相对静止的性质 页面边缘上升的高度
H h
2r 2
4g

2 D2
16g
D
ω
H h 0.2 16g 16 9.807 2 18.67 rad/s 2 D 0.3
H h
设有一敞口容器（如图所示）以3.0m/s2的等加速度沿α=30°的倾斜 轨道向上运动，试求容器内自由表面方程及其与水平面所成的角度 θ
h1 6
m
1 1.4 m 2
2m 2m 2m
h1 2 2 1 h1 2
pa ρ1 ρ2 ρ3
h2 4 h1 5.4 m
h2 3 2 1 2 2
Δh1
2 h2 2 1 2.83 m 3
2r 2
2
gz) C
根据边界条件，当z=-H, r=0时，p=pA
p Water
r
2
2 2
Water ( H z ) p A
在顶面，原点处的压强最小，pO=0 在边缘处压强最大
p Water
2 D2
8
Water H p A 11.28
pab 101325 9807 0.3 9.83810 Pa
4
相对压强
p 水h1 2942 Pa
h2
水 0.3 h2 h1 ＝0.0221m pa Hg 13.6
h1 ρHg 水
ρ
设有两盛水的密闭容器，其间连以空气压差计，如图a所示。已知点A、 点B位于同一水平面，压差计左右两肢水面铅垂高差为h，空气重量可略 去不计，试以式表示点A、点B两点的压强差值。 若为了提高精度，将上述压差计倾斜放臵某一角度θ=30°，如图b所示。 试以式表示压差计左右两肢水面距离l。 ρa
如图建立坐标
根据题意，容器内任意一点(x, z)的 流体质点所受到的质量力为： az a
f x a cos
f z a sin g
根据等压面与质量力正交的性质
z
ax
x θ
fx a cos tan f z a sin g
)α
arctan(
a cos 3 cos30 ) arctan( ) 0.234 rad a sin g 3 sin 30 9.807

Oil (2h h) Water h 0.01 Water
h 200 h
h 0.11m
设有一容器盛有三种各不相同的密度且各不相混的液体，如图所示。 已知ρ1=700kg/m3， ρ2=1000kg/m3， ρ3=1200kg/m3，试求三根测压 管内的液面到容器底的高度h1、 h2和 h3、 解：根据题意
5
pa ρ
3 1
4
2
ρHG
p2 p1 Hg (1 2 ) pa Hg (1 2 )
p3 p2 (3 2 ) pa Hg (1 2 ) (3 2 )
p4 p3 Hg (3 4 ) pa (3 2 ) Hg (1 2 3 4 )
2-4 设有一盛水的密闭容器，连接一复式水银测压计，如图所示。已知 各液面的高程分别为，▽1=2.3m, ▽2=1.2m, ▽3=2.5m, ▽4=1.4m, ▽5=3.0m, 水的密度 ρ=1000kg/m3， ρHG=13.6×103kg/m3 , 试求密闭容器内水面 上压强p0的相对压强值。 p0
解：A点的压强pA
p A p 1.5 4900 0.4 p 4900 (1.5 0.4) 5880 Pa
p 1.5m A
0.4m
2.5 多管水银测压计用来测水箱中的表面压强。图中高程的单位为m， 试求水面的绝对压强。
p0 pa 汞（2.3 1.2） 水 (2.5 1.2) 汞（2.5 1.4） 水 (3.0 1.4) pa 汞（2.3 1.2 2.5 1.4） 水 (2.5 1.2 3.0 1.4) 101325 13.6 103 9.8 2.2 1.0 103 9.8 2.7 368081 Pa
p5 p0 p4 ( 5 4 ) pa ( 3 2 5 4 ) Hg (1 2 3 4 ) 13.6 103 9.807 (2.3 1.2 2.5 1.4) 1.0 103 9.807 (2.5 3.0 1.2 1.4) 2.650103
设有一圆柱形敞口容器，绕其铅垂中心轴作等角转速旋转，如图所示, 已知直径D=30cm，高度H=50 cm，水深h=30cm，试求当水面恰好达 到容器的上边缘时的转速n。 根据旋转体相对静止的性质 页面边缘上升的高度
H h
2r 2
4g

2 D2
16g
D
ω
H h 0.2 16g 16 9.807 2 18.67 rad/s 2 D 0.3
当x=0,z=0, C=0
p ax gz
a
z
h
0
x
p 在U型管左侧液面 g 0.05 0 a (0.3) 0.05 g a g 1.63 m/s2 0 .3 6
l/2
l/2
2.9 圆柱体容积的半径R=15cm，高H=50cm，盛水深h=30cm，若容器 以角速度ω绕z轴旋转，试求ω最大为多少时不致使水从容器中溢出？
VOil

4
D 2 ( h3 h1 )
VWater

4
D h1
2
ρ0
B
A
ρ h1
h3
h2
D
pA Water (h2 h1 ) Oil (h3 h1 )
Water 1000 h3 (h2 h1 ) h1 (1.6 0.5) 0.5 1.309 Oil 840
C D h2
B
h1
h
2.8 已知U型管水平段l=30cm，当它沿水平方向作等加速运动时，液面 高差h=5cm，试求加速度a。
解：建立如图坐标系
f x a
f z g
dp ( f x dx f z dz) (adx gdz) p ax gz C
n 178 .32
H h
转/min
设有一圆柱形容器，如图所示。已知直径D=600 mm，高度H=500 mm， 盛水至h=400 mm，剩余部分盛满密度ρ0=800 kg/m3的油。容器顶盖中 心有一小孔与大气相通。试求当油面开始接触到容器底板时，此容器绕 其铅垂中心轴旋转的转速n，和此时顶板、底板上的最大、最小压强值。
p0
3.0
水
pa
2.5
1.4 1.2
汞
2.3
2.6 水管A、B两点高差h1=0.2m，U型管压差计中水银液面高差 h2=0.2m ，试求A、B两点压强差。
p A pC 水 ( h1 h h2 ) pB pD 水 h
A
p A pB ( pC pD ) 水 (h1 h2 ) p A pB 汞 h2 水 (h1 h2 ) h2 ( 汞 水 ) h1 水 22736 Pa
设有一盛空气的密闭容器，在其两侧各接一测压装臵，如图所示。已知 h1=0.3m。试求容器内空气的绝对压强值和相对压强值，以及水银真空 计左右两肢水银液面的高差h2。（空气重度略去不计）。 解：容器内的绝对压强
pab p1 p2 pa 水h1 pa Hg h2
pa
2 1
p pA pB h1
h1 ρ A B A
l
l
)
h1 sin
B
杯式微压计，上部盛油，下部盛水， 圆杯直径D=40 mm, 圆管直径 d=4mm, 初始平衡位臵读数h=0。当p1-p2=10mmH2O时， 在圆管中读得 的h（如图所示）为 多大？油的密度 ρ=918 kg/m3，水的密度 ρ=1000 kg/m3 。 根据题意，显然
根据旋转液面高度
zH
2 R2
2g

2 gH 16.5 rad/s 2 R
n 157 .6
在A点压强
pA Oil ( gH) 800 9.807 0.5 3.922 kPa
对于下层的水，其压强分布为
z ω
r 油 H 水h A D R 水 O 油
p Water (
z ω
根据题意，当达到b图所示状态 建立如图坐标系 对于上层的油 H 水h 水 A D R 油 O 油 r
dp Oil ( 2rdr gdz)
积分得到 p Oil (
2r 2
2
gz) C
根据边界条件得到C=0
油内部的压强分布为
p Oil (
2r 2
2
gz)
pa
h
ρ A h2
h1
ρHG
pa h p A h
p A pa

Fra Baidu bibliotek
4.9 104 1000 9.807
pa Hg h2 p A h1 h2 p A pa h1
Hg
4.9 104 1000 9.807 0.2 13.6 103 9.807
（2）根据试求油的密度ρ0
pa B
Oil
(h2 h1 ) Water (h3 h1 )
ρ0
1.2 0.2 1000 833.3 1.4 0.2
A
ρ h1
h3
h2
D
2.2 密闭水箱，压力表测得压强为4900Pa，压力表中心比A点高0.4m， A点在液面下1.5m，求水面压强。
kPa
在底面，中心处的压强最小，p=pA=3.922 kPa
在边缘处压强最大
p Water
2 D2
8
p A 16.18 kPa
p2
p1

4
D (2 h)
2

4
d2 h
Δh ρ0
Δh
h 200 h
A点压强 pA p1 Oil ( H h)
B点压强 pB p2 Oil ( H h h) Water h B
H h A
ρ
p A pB
p1 Oil ( H h) p2 Oil ( H h h) Water h p1 p2 Oil (2h h) Water h Water 0.01
h3 2 2.83 4.83 m
Δh2
h3
h2
h1
设有一盛有油和水的圆柱形澄清桶，如图所示。油和水之间的分界面 借玻璃管A来确定，油的上表面借玻璃管B来确定。若已知圆桶直径 D=0.4m, h1=0.5m, h2=1.6m, 油的密度ρ0=840kg/m3，水的密度 ρ=1000kg/m3。试求桶内的水和油体积各为多少? 若已知h1=0.2m ，h2=1.2m ，h3=1.4m ，试求油的密度ρ0。 （1）根据题意 pa