正多边形和圆导学案

24.3.1正多边形和圆导学案

一、 明确目标： 1.了解正多边形和圆的有关概念；

2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．

二、自主学习： 正多边形：__________相等，________________也相等的多边形叫做正多边形。 三、合作解疑：

1.正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.

我们以圆内接正五边形为例证明.

如图,把⊙O 分成把⊙O 分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE. 证明： ∵AB=BC=CD = DE= EA ∴_____=_____=_____=______=______

∵ BCE= CDA

= 3AB ∴∠1=∠_____

同理：∠2=∠_____=∠______=∠______

又∵顶点A 、B 、C 、D 、E 都在⊙O 上 ∴五边形ABCDE 是⊙O 的内接五边形. 2.正多边形的有关概念：如图：

（1）正多边形的中心:一个正多边形的__________________的圆心. （2）正多边形的半径:正多边形___________的半径

（3）正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的________________. （4）正多边形的边心距：__________到正多边形的一边的距离. 3.正n 边形的有关计算：如图为正n 边形 （1）正n 边形的中心角为____________度；

（2）边心距把△AOB 分成______个全等的直角三角形

∠AOG=∠BOG=_____________度；

（3）设正多边形的边长为a ,半径为R,它的周长为L=______, 边心距r =____________,(用含R 与a 的代数式表示)

面积S=_____________（用含周长L 与边心距r 的代数式表示）

=_____________（用含边长a 与边心距r 代数式表示）

（4）正n 边形的一个内角的度数是____________;外角的度数是_____________;中心角与外角的大

小关系是________. (注意，正n 边形的有关计算与上述公式密切相关，一定要牢牢记住！) 4.练习一下：(1)（如右图）

O 是正△ABC 的中心，它是△ABC 的_______圆与_______圆的圆心。 OB 叫正△AB 的_________，它是正△ABC 的___________圆的半径。 OD 叫作正△ABC 的___________，它是正△ABC 的_______圆的半径。 (2)正方形ABCD 的外接圆圆心O 叫做正方形ABCD 的________ 正方形ABCD 的内切圆的半径OE 叫做正方形ABCD 的_______

(3)⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，弦AB 的弦心距OF 叫正五边形ABCDE 的_________，

它是正五边形ABCDE 的_____________圆的半径。

∠AOB 叫做正五边形ABCDE 的_______角，它的度数是___________ (4)如图，图中正六边形ABCDEF 的中心角是∠________它的度数是____ 你发现正六边形ABCDEF 的半径与边长具有什么数量关系？为什么？

答：_______________________________________________

(5)矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? 答：矩形_____正多边形，因为___________;

菱形_____正多边形，因为___________;

正方形_____正多边形．因为______________.

(6)各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么; 如果不是,举出反例.

5.正多边形的性质： (1)正多边形的各________相等;正多边形的各__________相等 (2)正多边形都是______对称图形，一个正n 边形共有_____条对称轴， 每条对称轴都通过n 边形的________。

(3)边数是_______的正多边形还是中心对称图形，它的__________就是对称中心。 四、展示交流：

1.有一个亭子,它的地基半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积

(精确到0.1m 2).(提示：画出地基的平面图再解)

2.分别求出半径为R 的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.

A

B C

.O D

1 2 3 A B

C

D

E

4 5 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

⌒ ⌒ ⌒ E F

C

D

. . O

中心角 半径R

边心距r A

B

G

E F

C

D

. . O 中心角

A

B G

R a B A

E F C

D

.O

①各边都相等的多边形是正多边形; ②各角都相等的多边形是正多边形; ③正多边形一定是中心对称图形; ④边数相同的正多边形一定全等. A.1 B.2 C. 3 D. 4 6.已知正n 边形的一个外角与一个内角的比为1﹕3,则n 等于( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

7. 如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就和原来的图形重合,那么这个正多边形是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形

达标检测

一、选择题

1．如图所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADB 的度数是（ ）．

A ．60°

B ．45°

C ．30°

D ．22．5°

2.如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角 为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α 的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于 弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是（ ）。 A 、52° B 、60° C 、72° D 、76° 二、填空题

1．已知正六边形边长为a ，则它的内切圆面积为_______．

2．四边形ABCD 为⊙O 的内接梯形，如图所示，AB ∥CD ，且CD 为直径， • 如果⊙O 的半径等于r ，∠C=60°，那图中△OAB 的边长AB 是______； △ODA 的周长是_______；∠BOC 的度数是________． 三、综合提高题

已知正六边形ABCDEF ，如图所示，其外接圆的半径是a ，•求正六边形的周长和面积．

1、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是____度，半径是___，边心距是 ，它的每一个内角是______．

2.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转 度,才能与原来的图形位置重合.

3.两个正三角形的内切圆的半径分别为12和18,则它们的周长之比为 ,面积之比为 .

4.下列说法中正确的是( )

A.平行四边形是正四边形

B. 矩形是正四边形

C. 菱形是正四边形

D. 正方形是正四边形 5. 下列命题中,真命题的个数是( )

_F

_D _E _C

_B _A _O · A B

C

D

O · A

B

C

D

O E