概率与统计第三十六讲二项分布及其应用、正态分布答案

专题十一 概率与统计

第三十六讲二项分布及其应用、正态分布

答案部分

1．C 【解析】由正态分布密度曲线的性质可知，211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ的密度曲

线分别关于直线1x μ=，2x μ=对称，因此结合题中所给图象可得，12μμ<，所以21()()P Y P Y μμ<≥≥，故A 错误．又211(,)X N μσ得密度曲线较222(,)Y N μσ的密度曲线“瘦高”，所以12σσ<，所以21()()P X P X σσ>≤≤，B 错误．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤，()()P X t P Y t ≥≥≥，C 正确，D 错误．

2．B 【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2

P ξ<<=-=． 3．A 【解析】根据条件概率公式()(|)()P AB P B A P A =，可得所求概率为0.60.80.75=． 4．C 【解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，

函数关于直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP

()()4220<<=<<ξξP P

则()()()2420<-<=<<ξξξP P P 3.05.08.0=-=

所以选C.

5．1.96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即()~100,0.02X B ，由二项分布的期望公式可得()11000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=

6．32

【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数ξ的取值为0,1,2， 其中111(0),(1),(2),424

P P P ξξξ==

==== 在1次试验中成功的概率为113(1)424P ξ=+=≥， 所以在2次试验中成功次数X 的概率为12313(1)448

P X C ==⨯=，

239(2)()416P X ===，393128162

EX =⨯+⨯=． 解法2由题意知，实验成功的概率34

p =，故3(2,)4X B ，所以33()242E X =⨯=． 7．13【解析】由30(1)20

np np p =⎧⎨-=⎩，得13p =． 8．38

【解析】 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12

p =，超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4

P p =--=， 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138

p p p =⨯=． 9．【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0．9974，从而零

件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0．0026，故~(16,0.0026)X B ．因此 (1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=．

X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=．

（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0．0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0．0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．

（ii ）由9.97x =，0.212s ≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ

=，σ的估计值为 ˆ0.212σ

=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查．

剔除ˆˆˆˆ(3,3)μ

σμσ-+之外的数据9．22，剩下数据的平均数为 1(169.979.22)10.0215

⨯-=， 因此μ的估计值为10．02．

162221160.212169.971591.134i i x

==⨯+⨯≈∑，

剔除ˆˆˆˆ(3,3)μ

σμσ-+之外的数据9．22，剩下数据的样本方差为 221(1591.1349.221510.02)0.00815

--⨯≈，

因此σ0.09≈．

10．【解析】（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，

()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．

（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，

()0.100.053()()0.5511

P AB P B A P A +===． （Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量X ．

平均保费

0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =⨯++⨯+⨯+⨯+⨯

0.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=，

∴平均保费与基本保费比值为1.23．

11．【解析】（Ⅰ）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝， 2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝

，1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝．

由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，

且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，C=1B +2B ．

因P (1A )=410=25，P (2A )=510=12

， 所以P (1B )=P (12A A )=P (1A )P (2A )=

25⨯12=15， P (2B )=P (12A A +12A A )=P (12A A )+P (12A A )

=P (1A ) (1-P (2A ))+(1-P (1A ))P (2A )=

25⨯(1-12)+(1-25)⨯12=12

， 故所求概率为P (C)= P (1B +2B )=P (1B )+P (2B )=15+12=710.