3.1.1__两角差的余弦公式

(1)求 f(x)的解析式； (2)已知 α，β∈(0，π2)，且 f(α)＝35，f(β)＝1123，求 f(α－β) 的值．
解：（1）由已知得 A＝1，则 f(x)＝sin(x＋φ)． 由已知得 f(π3)＝21，则 sin(π3＋φ)＝21. 又 0<φ<π，则π3<π3＋φ<43π. 所以π3＋φ＝56π，则 φ＝π2， 即 f(x)＝sin(x＋π2)＝cosx.
又∵sinα<sinβ，∴α<β，即 α－β<0.∴－π2<α－β<0.
∴α－β＝－π4.
提升总结 先求两角的正、余弦值，再代入差角余弦公式求值.
公式的逆用:
cos cos sin sin cos( ).
例4 已知cos = 1 ，cos( )=- 3，0 , ,
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1.理解两角差的余弦公式及推导过程； 2.掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用公式进 行简单三角函数式的化简、求值；
3.掌握“变角”和“拆角”的方法.
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示, 小山高BC约为30米，在地平面上有一点A,测得A、C两点间 距离约为60米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为 45°, ∠CAB=15o.求这座电视发射塔的高度.
若 ，为两个任意角,
则 cos( ) cos cos 成立吗?
令 60o, 30o,
显然cos(60o 30o) cos60o cos30o.
两角差的余弦公式的推导
Q15o 45o 30o,cos15o=cos(45o-30o). cos(45o-30o)=？
O
BM
x
OAcos AP sin
cos cos sin sin.
法二（向量法）
在单位圆中
uuur
A
OA cos ,sin ，
uuur
OB cos ,sin ，
uuur uuur uuur uuur
OA OB OA OB cos( )
1．cos345°的值等于( )
2－ 6 A. 4
6－ 2 B. 4
2＋ 6 C. 4
D．－
2＋ 4
6
2．cos75°cos15°－sin75°sin195°的值为( )
A．0
B.12
C.
3 2
D．－12
3.cos( － 40°)cos20°－ sin( － 40°)sin( － 20°) ＝
________
D
CD BD BC, BD AB tan 60o AB 60cos15o, BC 60sin15o.
45°60 C
150
A
B
cos15o ? sin15o ?
对于30°，45°，60°等特殊角的三角函 数值可以直接写出，利用诱导公式还可进 一步求出150°，210°，315°等角的三角 函数值.我们希望再引进一些公式，能够求 更多的非特殊角的三角函数值，同时也为 三角恒等变换提供理论依据.
——布朗
说明： 1.公式中两边的符号正好相反. 2.公式右边同名三角函数相乘再加减， 且余弦在前正 弦在后.
公式的运用
例1 利用差角余弦公式求cos15 的值.
解法1 cos15 co（s 45 -30 ）
= cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
2 3 21 2 2 22
3.已知cos( ) 12 ,为锐角，求 cos.
3 13
解： （0， ）， ( , 5 ).
2
3 36
cos( ) 12 ，sin( ) 5 .
3 13
3 13
cos cos[( ) ]
33
cos( ) cos sin( )sin
6 2. 4
解法2 cos15 co（ s 60 -45 ） = cos 60 cos 45 sin 60 sin 45
1 2 3 2 22 2 2
2 6

.
4
完成本题后，你会求 sin 75o的值吗？
sin 75o cos15o 2 6 . 4
变式练习：
3
3
3

3 5

1 2

(
4 5
)

3 2
34 10
3.
2.求值：（1）cos 53 cos 23 sin 53 sin 23；
（2）cos80 cos35 cos10cos55.
解：(1)原式 cos(53o 23o) cos 30o 3 . 2
(2)原式 cos80 cos 35 sin 80 sin 35 cos(80 35) cos 45o 2 . 2
cos( ) cos sin( ) sin
3 1 4 3 3 4 3 .
52 5 2
10
利用差角公式求值时，常常进行角的分拆与组合.
即公式的变用.
变式 已知 cosα＝17，cos(α－β)＝1134，且 0<β<α<π2.求 β.
解：由
13
sin 1 cos2 12 .
13 cos( ) cos cos sin sin
( 3) ( 5 ) 4 （ 12） 5 13 5 13
33 . 65
变式: 已知 α、β 均为锐角，且 sinα＝ 55，cosβ＝ 1100， 求 α－β 的值．
2
5
2
求cos .
提示：拆角思想:cos cos( ) .
解： 由cos = 1 ，0 ,得sin 3 ,
2
2
2
由cos( )=- 3，0 ,
5
得sin( + )= 4 .
5
cos cos( )
3.在差角的余弦公式中，， 既可以是单角，也可以
是复角，运用时要注意角的变换，
如 （ ） ， （ ） 等.
33
同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆 向和变式形式的选择.
创新题型
12．已知函数 f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π)，x∈R 的最 大值是 1，其图象经过点 M(π3，12)．
(2)由(1)得 cosα＝53，cosβ＝1123. 又 α，β∈(0，π2)， 则 sinα＝ 1－cos2α＝45，sinβ＝ 1－cos2β＝153. 所以 f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝35×1123＋54 ×153＝5665.
长期的心灰意懒以及烦恼足以致人于贫病 枯萎。
思路分析：可先求 cos(α－β)的值，再求角 α－β.
解：∵α、β 均为锐角，
且 sinα＝ 55，cosβ＝ 1100，∴cosα＝25 5，sinβ＝31010.
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝25 5×
1100＋
55×3 1010＝
2 2.
又∵0<α<π2，0<β<π2.∴－π2<α－β<π2.
cosα＝17，0<α<π2，得
sinα＝4 7
3 .
由 0<β<α<π2，得 0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1134，
∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－11342＝3143.
由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
cos( ). uuur uuur
Q OAOB cos cos sin sin .
y
α
B
β
o
1x
-1
cos( ) cos cos sin sin .
两角差的余弦公式
对于任意， , 有 cos( ) cos cos sin sin . 称为差角的余弦公式，简记为 C . ()
要获得cos( ) 的表达式需要哪些已学过的知识？
涉及 三角的余弦值，可以考虑联系单位圆上
的三角函数线或向量的夹角公式.
法一（三角函数线）
如图，设角 ，为锐角，且 ，y
作PM x轴，PA OP1，
cos( ) OM
P1 A
C P
OB BM
例2 已知sin 4 , ( , ), cos 5 ,
5
2
13
是第三象限角，求 cos( )的值.
分析：要计算cos( ),应作哪些准备？
解：由sin 4 , ( , ),
5
2
得cos =- 1 sin2 3 ;
5
又由cos 5 , 是第三象限角，得
33
33
12 1 5 3 12 5 3 .
13 2 13 2
26
1.两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦 （或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定 该角的三角函数值符号.
＝17×1134＋47 3×3143＝12.
∴β＝π3.
1.已知cos
=
3 5
，


3
2
，2百度文库
，求cos(


3
).
解：
cos
=
3 5
，


3
2
，2

sin
1 cos2
1


3 5
2
4 5
cos( ) cos cos sin sin