第9章 因子分析(王斌会)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 1.0000 0.9992 -0.0998 0.1885 0.2010 0.2978 x2 0.9992 1.0000 -0.1042 0.1967 0.1904 0.2875 x3 -0.0998 -0.1042 1.0000 -0.8372 -0.4088 0.0152 x4 0.1885 0.1967 -0.8372 1.0000 0.2585 -0.0293 x5 0.2010 0.1904 -0.4088 0.2585 1.0000 0.5803 x6 0.2978 0.2875 0.0152 -0.0293 0.5803 1.0000
cov(x i , Fj ) cov( aik Fk i , Fj )
k 1 m m
cov( aik Fk , Fj ) cov( i , Fj ) a ij
k 1
标准化： 取值：因子载荷aij 是xi 与Fj 的协方差和相关系数
5-6
含义：表示xi依赖Fj的程度，可将aij看作第i个变量在 第j个公共因子上的权数，绝对值越大，相依程度越大， 即公共因子Fj对于xi的载荷量越大。
变量名 x1 x2 x3 x4 x5 x6 公共因子(旋转前) F1 F2 F3 0.95 -0.307 0.948 -0.31 -0.34 -0.782 0.517 0.363 0.561 -0.531 0.454 0.693 0.556 0.383 0.163 0.527 变量名 x1 x2 x3 x4 x5 x6 公共因子（旋转后） F1 F2 F3 0.983 0.155 0.985 0.142 -0.99 -0.124 0.127 0.844 0.293 0.953 0.21 0.631
问题：影响因素很多，采用什么方法寻找有限个不可 观测的隐变量解释原始变量间的相关性？而不是原始 变量的线性组合（主成份分析方法）
5-1
第9章 因子分析
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7
5-2
因子分析思想 因子分析模型 因子载荷的估计与解释 因子旋转方法 因子得分计算 因子分析步骤 实际中如何进行因子分析
其中：X为可观测随机向量(标准化),E(X)=0,cov(X)=∑, F为不可测向量,E(F)=0,cov(F)=I ε独立且与F独立,E(ε)=0,cov(ε)=∑为对角阵 aij为因子载荷，表示第i个变量在第j个因子上 的相关系数 矩阵形式： X AF
5-5
（1）因子载荷统计意义 已知：E(X)=0,cov(X)=∑，E(F)=0,cov(F)=I ε独立且与F独立,E(ε)=0,cov(ε)=∑为对角阵
结论：旋转前各综合因子代表的具体经济意义不很明显，
而旋转后各因子代表的经济意义则十分明显。因子F1代表企 业的盈利能力，反映企业投资收益的情况，因子F2代表了企 业的偿债能力。因子F3代表了企业的发展能力，是反映企业 持续经营发展能力的指标。
5 - 18
9.5 因子得分计算
基本目的：运用因子分析模型去评价每个样品在整 个模型中的地位，即进行综合评价。
回归估计法（regression） 方法 Bartlett估计法(bartlett)
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1.回归估计法
因子得分回归模型：
Fj bj 0 bj1 x1 bj 2 x2 ... bjp x p j 1, 2,...m
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9.2 因子分析模型
模型思想：将观测变量进行分类，将相关性较高的分在 同一类，不同类变量之间相关性较低，每一类变量代表 一个基本结构，即公共因子。用最少个数的不可测公共 因子的线性函数与特殊因子之和描述原来观测每一分量。 样本间相关关系：Q型 因子分析
分类
变量间相互关系：R型 因子分析
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9.1因子分析思想
基本思想：是一种把多个变量化为少数几个综合变量 的多变量分析方法，其目的是用有限个不可观测的隐 变量来解释原始变量之间的相关关系。
主成份与因子分析区别：
主成分分析:是变量变换，原始变量的线性组合表示 新的综合变量，即主成分； 因子分析：构造因子模型,用潜在的假想变量和随机 影响变量的线性组合表示原始变量。
结论：因子载荷是谱分析部分，也是主成份系数。因子 模型是描述原变量X协方差阵∑结构的一种模型，每个 因子的相应系数不唯一，即因子载荷阵不是唯一的。
5 - 10
2、极大似然估计法 假设条件：公共因子F和特殊因子e服从正态分布
假定条件：变量x1,x2,…,xm来自正态总体 Np(μ,∑)的随机样本,∑=AA+D,可以不考虑D.
冀东水泥 大同水泥 四川双马 牡丹江 西水股份 狮头股份 太行股份 海螺水泥 尖峰集团
问题：采用因子分析方法对水泥行业上市公司经营业 绩进行因素影响分析。
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（1）数据标准化，计算相关系数
X=read.table("clipboard",header=T) Y=scalewenku.baidu.comX) #标准化 cor(Y) #计算相关系数
l 0; A
l 0 D
结论：当A’D-1A=∧(对角阵)，可以得到唯一A和D估 计值，因子载荷A即为所求。极大似然估计法中对F 和 e正态分布条件较为苛刻，故估计效果较差。 511
3.实证分析
主营业务 主营业务 销售毛利 资产负债 营业利润 速动比率 收入增长 利润率 率 率 增长率 率 33.8 34.75 0.67 59.77 15.49 16.35 27.54 28.04 2.36 35.29 -20.96 -46.45 22.86 23.47 0.61 42.83 5.48 -49.22 19.05 19.95 1 48.51 -12.32 -65.99 20.84 21.17 1.08 48.45 65.09 54.81 28.14 28.84 2.51 24.52 -6.43 -15.94 30.45 31.13 1.02 46.14 6.57 -16.59 36.29 36.96 0.27 58.31 70.85 117.59 16.94 17.26 0.61 52.04 9.03 -94.05
5-7
（3）因子载荷的分解：方差贡献
2 2 2 g1 a11 a 21 ... a 2 p1
aij按列平方和， 即方差贡献gi2为：
2 2 2 g2 a12 a22 ... a 2 p2
......
2 2 2 2 gm a1 a ... a m 2m pm
R型因子分析模型结构
x1 a11 F1 a12 F2 ... a1m Fm 1 x2 a21 F1 a22 F2 ... a2 m Fm 2 ..... x p a p1 F1 a p 2 F2 ... a pm Fm p
基本结构：
Factor1 0.95 0.948 -0.34 0.363 0.454 0.383 2.402 0.400 0.400 Factor2 -0.307 -0.310 -0.782 0.561 0.693 0.163 1.623 0.271 0.671 Factor3
0.517 -0.531 0.556 0.527 1.14 0.19
Xi标准差：
var(x i ) D(x i ) D( (aik Fk i ))
k 1
m
D( aik Fk ) D( i ) hij 2 ij 2 1
k 1
m
含义：表示全部公共因子对变量xi的影响。hi2大表明xi 对于每一分量F1，F2，…，Fm的共同依赖程度大。
92.19
结论：3个综合因子累计贡献率为0.9219>0.8,基本 可以全面反映所有和指标信息，但各因子对各变量 贡献系数差不多，经济含义不够明晰。
5 - 14
(FA0=factanal(X,3,rot="none"))#极大似然因子分析
x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ssloadings ProportionVar CumulativeVar
（2）因子载荷的分解：变量共同度 aij按行平方和， 即共同度hi2为：
2 2 2 2 h1 a11 a12 ... a1 m 2 2 2 2 h2 a21 a22 ... a2 m
......
2 2 2 h2 a a ... a p p1 p2 pm
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（2）谱分解与因子载荷关系
cov( X ) cov( AF ) Acov(F) A' AA' u '
A (a 1 , a2 , ..., a p ) ( 1 1 , 2 2 , ..., p p )
实际：公共因子数m 小于变量个数p，当最后p-m个 特征根较小时，可省略，即：
问题提出
冀东水泥 大同水泥 四川双马 牡丹江 西水股份 狮头股份 太行股份 海螺水泥 尖峰集团 主营业务 主营业务 销售毛利 资产负债 营业利润 速动比率 收入增长 利润率 率 率 增长率 率 33.8 34.75 0.67 59.77 15.49 16.35 27.54 28.04 2.36 35.29 -20.96 -46.45 22.86 23.47 0.61 42.83 5.48 -49.22 19.05 19.95 1 48.51 -12.32 -65.99 20.84 21.17 1.08 48.45 65.09 54.81 28.14 28.84 2.51 24.52 -6.43 -15.94 30.45 31.13 1.02 46.14 6.57 -16.59 36.29 36.96 0.27 58.31 70.85 117.59 16.94 17.26 0.61 52.04 9.03 -94.05
0.861
结论：3个综合因子累计贡献率为0.861>0.8,基本可 以全面反映所有和指标信息，但由于要求数据来自 多元正态分布，效果不如主成份好。同样，各因子 对各变量贡献系数差不多，经济含义不够明晰。
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9.4 因子旋转方法
基本目的：在共同度保持不变的条件下，使因子载 荷矩阵中因子载荷的绝对值向0和1两个方向分化， 大的载荷更大，小的载荷更小。
含义：表示公共因子Fj对于x的每一分量xi(i=1,2,…,p) 所提供方差的总和，gi2越大，贡献越大, 对x影响越大。
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9.3 因子载荷的估计与解释
1、主因子估计法
uu '
主因子估计法 极大似然估计法
（1）X变量协方差阵∑的（正交矩阵）谱分解
其中：λ为x协方差阵∑的特征根，λ1>…λp>…>0; ∧为λ组成的对角矩阵 μ为λ对应的标准正交化特征向量 因子个数=变量个数，且特殊因子方差为0
正交旋转：最大方差正交 （Varimax） 斜交旋转：Promax法
方法
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1、旋转方法 因子载荷矩阵：
因子载荷矩阵 与正交阵乘积：
证明得知： 载荷类标准 化和方差：
2 cij bij / hi2
总方差最大：
极值原理：
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2.因子旋转 Fa1=factanal(X,3,rot=“varimax”)) #varimax 法旋转因子分析
结论：自变量间存在相关性，可以采用因子分析 方法提取因子
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（2）计算特征根，因子载荷和共同度 library(mvstats) (Fac=factpc(X,3)) #主成份因子分析
x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ssloadings ProportionVar CumulativeVar Factor1 0.7829 0.7811 -0.5786 0.5951 0.6317 0.5084 2.57 0.4283 42.83 Factor2 0.5029 0.4964 0.7685 -0.699 -0.1457 0.3367 1.713 0.2855 71.38 Factor3 -0.3624 -0.3756 0.0802 -0.2415 0.6557 0.6943 1.249 0.2082