备战2021新高考命题点分析与探究 命题21 等差数列及其前n项和(解析版)

备战2021新高考数学命题分析与探究

命题21 等差数列及其前n项和

第一部分命题点展示与分析

命题点1 命题方向命题难度

等差数列中基本量的求解容易

命题方向一等差数列中基本量的求解

1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数14】记为等差数列的前项和，若，则

．

【答案】

【解析】是等差数列，且．设等差数列的公差，根据等差数列通项公式：，可得，即：，整理可得：，解得：．

根据等差数列前项和公式：，可得：

，．故答案为：．

2．【2020年高考上海卷7】已知等差数列的首项，且满足，则

．

【答案】

【解析】由条件可知，．故答案为：．

命题点2 命题方向命题难度

等差数列中的单调性问题一般

命题方向二等差数列中的单调性问题

命题点3 命题方向命题难度

等差数列的证明与判定技巧定义法证明等差数列一般等差中项法证明等差数列一般

命题方向三定义法证明等差数列

命题方向四等差中项法证明等差数列

命题点4 命题方向命题难度

等差数列综合等差数列的性质及其应用一般

等差数列前n项和公式的应用一般

等差数列前n项和的性质及其应用一般

求等差数列前n项和最值的方法一般

与等差数列前n项和正负有关的问题一般

命题方向五等差数列的性质及其应用

命题方向六等差数列前n项和公式的应用

命题方向七等差数列前n项和的性质及其应用

命题方向八求等差数列前n项和最值的方法

命题方向九与等差数列前n项和正负有关的问题

第二部分 命题点素材与精选

1．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，759S a a =+，则

4

7

a a =（ ） A ．

13

B ．27

C ．

12

D ．1

【答案】B

【解析】n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，759S a a =+， 根据等差数列的求和公式及等差数列的性可得：

1777()22a a a +=，即4

77222

a a ⨯=， 所以

472

7

a a =,故选B 2．已知等差数列{a n }，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，S 12＝8S 4，则2

a d

＝（ ） A ．

1019

B ．

109

C ．

1910

D ．910

【答案】C

【解析】因为等差数列{a n }，公差d ≠0，S 12＝8S 4，所以11121143128(4)22a d a d ⨯⨯+

=+，解得19

10

a d =， 所以219

1910

10

d d

a a d d d d ++=== 故选：C

3．已知等差数列{}n a 中，12a =-，公差3

2d =，则2a 与6a 的等差中项是（ ） A ．

52

B ．

72

C ．112

D ．6

【答案】A

【解析】2a 与6a 的等差中项是4352322

a =-+⨯=. 故选：A.

4．设等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．()21n n S na n n =-- B ．()21n n S na n n =+- C ．()1n n S na n n =-- D ．()1n n S na n n =+-

【答案】C

【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，且2d =

由题可知：()121n a a n =+-，∴()121n a a n =--，

由()()11112-=+=+-n n n d

S a n a n n n

则()()()2111=--+-=--⎡⎤⎣⎦n n n S a n n n n na n n

故选：C

5．已知数列{}n a 满足1120n n n n a a a a ++⋅+-=，且11a =，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．21n n

a n =- B ．1

2n n a C ．2

n a n = D ．1

21n a n =-

【答案】D

【解析】由题意，数列{}n a 满足1120n n n n a a a a ++⋅+-=，

即112n n n n a a a a ++-=⋅，即11

1

2n n

a a +-=，

又由11a =，则111a ，所以数列1n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

表示首项为1，公差为2的等差数列， 所以11(1)221n

n n a =+-⨯=-，所以1

21n a n =-，

即数列{}n a 的通项公式为1

21n a n =-.

故选：D.

6．已知递增等差数列{a n }，的前n 项和为S n ，且a 2+a 4＝8，a 1a 5＝﹣20，则9

9S ＝（ ）

A ．10

B ．12

C ．28

D ．90

【答案】A

【解析】因为数列{a n }是等差数列，且a 2+a 4＝8，

所以a 1+a 5＝8，

又a 1a 5＝﹣20，

所以152,10a a =-=或1510,2a a ==-，

因为数列{a n }是递增数列，所以152,10a a =-= 所以()1995910929

a a S a +===⨯ 故选：A

7．已知数列{}n a 满足41n a n =+，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则数列n S n ⎧⎫⎨

⎬⎩⎭的第10项为______. 【答案】23.

【解析】∵数列{}n a 的通项公式为41n a n =+（一次函数y kn b =+型），即知{}n a 为等差数列，即其前n 项为()2141232

n n n S n n n +=⨯+⨯=+（二次函数型2y An Bn =+，其中2d A =，1B a A =-），于是数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为23n n S b n n ==+，于是1023b =. 故答案为：23.

8．已知{}n a 和{}n b 均为等差数列，若276a b +＝，459a b +＝，则63a b +的值是________.

【答案】12

【解析】因为{}n a 和{}n b 均为等差数列，276a b +=，459a b +=， 所以()27634522918a b a b a b +++=+=⨯=，

所以6318612a b +=-=，

故答案为：12.

9．在等差数列{}n a 中，12020a =，其前n 项的和为n S ，若

101221210

S S -=-，则2020S 的值为_____． 【答案】2020