简单数学建模100例

“学”以致用

-----简单数学建模步骤

数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量的应用题，通过训练来加深理解所学公式。但是在生活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢？数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径，让中职学生从中体会到数学是来源于生活并应用于生活的.

一．模型准备先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关的知识，为接下来的数学建模做准备。

二．模型假设有了模型准备的基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料，再去除一些次要因素.以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。

三．模型构成在模型假设的基础上，选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等）。

四．模型解析在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以借助于计算机软件来做这些工作。

五．模型检验与应用把模型解析得到的结果与实际情况对比，以检验其合理和有效性，检验后获取的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释，以供决策者参考称为.

第一关：接触数学建模

【 1 】一副扑克牌有54张，从中任取

多少张，可以保证一定有5张牌的花色

是一样的？

分析除去大、小鬼还有52张牌，其中4种花色各13张.运气最好的情况下所取

的5张牌都是同一花色的，哪运气不佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢？

假设假定至少要取N张，才能保证一定有5张牌的花色是一样的.

模型逆向地思维

解析在运气最不好的情况下，每种花色各4张，再加大、小鬼2张，共取18张是保证一定没有5张牌的花色一样的最大可能。

所以442119

N=⨯++=张就可以保证一定有5张牌的花色是一样的.

检验在很多情况下采用逆向地思维，可以使解题思路清晰、便捷.

练习题公园里准备对300棵珍稀树木依次从1—300进行编号，问所有的编号中“1”共会出现的几次？

【2】一只猫发现离它10步远的前方有一只老鼠在奔跑，猫便紧追。猫的步子大，它跑5步的路程，老鼠要跑9步。但是老鼠的动作频率快，猫跑2步的时间，老鼠能跑3步。

请问：按照这种速度，猫能追得上老鼠吗？如果能，它要跑多少步才能追到。

假设 此题两问可归结为一个问题：假定猫跑x 步就能追上老鼠

模型 猫与老鼠之间频率的最小公倍数

解析 由频率关系可知，老鼠跑339⨯=步时，猫跑了236⨯=步.

根据路程关系知，猫跑6步其中有1步是追上老鼠的路程

可得本题的数学模型为

1006

x -= 解得60x =（步） 检验 由此可见，按照现有速度，猫要跑60步才能追得上老鼠.

练习题

现有玩具模型20个，交给小黄加工，规定加工合格一个可得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣.最后小黄共得到56元.问小黄在加工玩具模型中不合格的共有几个？

【3】在小傅家门口有一个十字型的交通路口（如图所示），小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？

分析此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论.

假设（1）每条线路都有往返双向线

（2）设4条路分别为A,B,C,D；

（3）以A为起始，

A A A

B A

C A D

①如允许原路调头，则有,,,,

A B A C A D

②如不允许原路调头，则有,,,

模型分步乘法计数原理

解析第一步：始线路条数；第二步：终线路条数。

N（种可能）

①如允许原路调头：则44=16

N（种可能）

②如不允许原路调头，则43=12

检验如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况；如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12种不同的行车情况。

练习题

铁路京广线（北京—广州）共有36个大站，问用电脑上购票时需要有多少种不同的火车票？

【4的汽车牌照共有多少块？

分析由条件知，问题为三个中各可以填入多少种数字或字母

假设假定按要求的汽车牌照共有N种可能，且在第i个中共有(1,2,3)

n i种字符可以填写.

i

根据汽车牌照的特点，在每个中可以填入1~0共10个阿

n i

拉伯数字和A,B,C,D……，26个英语字母，即36(1,2,3)

i

模型分步乘法计数原理.

解析因为各中填入的字符数符合

N n n n

123

N=46656

故363636

检验的汽车牌照共有46656块。不难发现，无论B和5在何位置，所得结论不变.

练习题

出租车在开始10千米以内收费10.4元，以后每走1千米，收费1.6元，问走20千米需收多少钱?

第二关：初识数学建模

把20个苹果全部分给小明、小惠、小曼三人，要求每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？

假设先取9个苹果，平均每人3个，剩下的11个再按不同情况讨论.

模型排列数公式

解析可以有：(11,0,0),(10,1,0),(9,2,0),(9,1,1),(8,3,0),(8,2,1),(7,4,0),(7,3,1),

(7,2,2),(6,5,0),(6,4,1),(6,3,2),(5,5,1),(5,4,2),(5,3,3),

15种不同种类，对每一种类再考虑小明、小惠、小曼的不同次序，用排列数公式n

A即可求解.

m

①对（11,0,0），（9,1,1），（7,2,2），（5,5,1），（5,3,3）五类，各类可以有3种次序排法，故共有15种分发法.

A）种次序排法，故共有60种分发法

②对其余的10类，各类可以有6（3

3

检验所以按要求可以有75种不同的分法.

练习题

水果店进了十筐苹果，每筐10个，共100个，每筐里的苹果重量都一样，

其中有九筐每个苹果的重量都是1斤，另一筐中每个苹果的重量都是0.9斤，

但是外表完全一样，用眼看或用手摸无法分辨。现在要你用一台普通的大秤

一次把这筐重量轻的找出来。你可以办到么？