第三章:布尔代数分析与数字电路逻辑化简表示(不同的展开方式)
数字电路的逻辑运算

非运算:1 0
0 1
请特别注意与普 通代数不同之处
2.基本公式
0-1律 : A A 10 AA
A11 A00
互补律: A A 1 A A 0
分别令A=0及 A=1代入这些 公式,即可证 明它们的正确 性。
重叠律: A A A A A A
还原律(双重否定律): ( A) A
亦称 非非律
ABCD Y 1 0 00 1 1 0 01 1 1 0 10 1 1 0 11 1 1 1 00 1 1 1 01 1 1 1 10 1 1 1 11 1
四输入变 量,16种 组合
n个变量可以有2n个组合, 一般按二进制的顺序,输出与输 入状态一一对应,列出所有可能 的状态。
逻辑函数式 把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、
A′·(A·B) ′=A′·(A′+B′) =A′·A′+A′·B′ = A′·(1+B′) =A′
§2.4 逻辑代数的基本定理
一、代入定理 任何一个含有变量A的等式,如果将所有出
现A的位置都用同一个逻辑函数代替,则等式仍 然成立。这个规则称为代入定理。
例如,已知等式 (A B )A B ,用函数Y=BC代
A ⊙ 0= A′ A ⊙ 1= A A ⊙ A′= 0 A ⊙ A= 1
5、 与或非运算:逻辑表达式为:
Y (A B C D )
A
& ≥1
B
Y
C
D
与或非门的逻辑符号
§2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式
1.常量之间的关系
与 运 算 : 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 或 运 算 : 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
数字电子技术教学大纲(物联网工程专业)

《数字电子技术》课程教学大纲课程名称:数字电子技术英文名称:Digital Electronic Technology 课程代码: 课程类别: 必修专业基础学分: 2 学时: 32开课单位: 计算机科学与信息工程学院适用专业: 物联网工程制订人:谭晓东审核人:黄华升审定人: 陶程仁一、课程的性质和目的(一)课程性质本课程是计算机与技术、物联网工程等本科专业的必修专业基础课。
且为主干课程。
本课程主要讲述数字逻辑的基本概念、基本定律和基本分析方法,数字逻辑电路的特性、功能,分析方法及应用。
(二)课程目的课程教学所要达到的目的是:1.能正确理解本课程的基本概念、基本理论;2.掌握数字电路的工作原理、性能和特点;3.掌握数字电路的基本分析方法和设计方法;4.能独立的应用所学的知识去分析和求解从工程中抽象出的逻辑问题以及与专业有关的某些数字电路的实际问题,并具有工程计算和分析能力,为后续专业课程的学习打下基础。
二、与相关课程的联系与分工要求学生具备高等数学、大学物理、电路理论、半导体器件等方面的知识,才能进入该课程的学习,该课程为后续电子计算机及接口技术等方面的课程及专业课程中的电子电路实际应用奠定基础。
三、教学内容及要求第一章数制与代码本章是学习数字逻辑电路及其工作原理的基础,应掌握各种数制、代码的特点及相互之间的转换规律。
1.1 进位计数制1.1.1进位计数制的基本概念1.1.2 常用进位计数制1.2 数制转化1.2.1 非十进制转化成十进制数1.2.2 十进制数转化成其它进制数1.2.3 二进制数转化成八进制数或十六进制数1.2.4 八进制数或十六进制数转化成二进制数1.3 常用代码1.3.1 二—十进制码(BCD码)1.3.2 可靠性编码1.3.3 字符代码【重点与难点】本章主要讲述简单的逻辑运算及常用的逻辑门。
重点是熟练掌握基本逻辑运算、各种门电路的图形符号及其输出函数表达式,正确处理各种门电路使用中的实际问题。
数字逻辑电路 第三章 布尔代数与逻辑函数化简(52P)

=AC+C+AB (BC+BC=C 吸收律1) =C+AB (吸收律2)
例1
F=AC+BC+AB
加多余项
解法2
F=(A+B)C+AB (分配律) =ABC+AB (求反律)
=C+AB
例2 F=ABC+ABC+ABC+ABC
F=AB+AB (利用吸收律1 ABC+ABC=AB ABC+ABC=AB) =A (吸收律1)
反函数
③ 反演法则
例:求F A B C D E的反函数F
F A B C D E A B C D E A BC D E A BC DE
上述过程要反复应用求反律。而利用反演法则直接写出结果。
F A B C D E
3.1.3 基本公式应用
3 逻辑电路所用的级数要少—速度快
4 逻辑电路可靠工作 我们主=AC+BC+AB
加多余项
解法1
F=AC+BC+AB+AC (BC、AB多余项为AC) =C+BC+AB (AC+AC=C 吸收律1) =C+AB (吸收律2)
或 F=AC+BC+AB+BC (AC、AB多余项为BC)
① 等式的证明 ② 逻辑函数不同形式的转换 由于与或形式物理意义明确,与真值表相对应,且 对应的基本公式较为熟悉,故在一般情况下,函数均 以“与或”形式给出。 ③ 逻辑函数的化简 用基本公式将逻辑函数化简,称为代数法化简,将在 3.2节中专门讨论。
3.2.1 逻辑函数与逻辑图
F=ABC+ABC+ABC+ABC
数字电路逻辑函数的化简方法ppt

四变量 得卡诺图: 十六个最小项
CD
AB 00 01 11 10
00 m0 m1 m3 m2
几
01 m4 m5 m7 m6
何
11 m12 m13 m15 m14
相 邻
10 m8 m9 m11 m10
五变量 得卡诺图: CDE
三十二个最小项
AB 00
000 m0
001 m1
01几1 何01相0 邻110 m3 m2 m6
AB AB C
四、配项消项法:
[例] Y BC AC AC BC AB
BC AC AB 或 BC AC AC BC AB
冗余项
AB AC BC
[例 1、 2、 Y AB AC BC AB AC BC 15]
AB AC BC 或 AB AC BC AB AC BC
AB AC BC
综合练习:
Y ACE ABE BC D BEC DEC AE E ( AC AB BC DC A ) BC D E ( C B D A ) BC D
CE BE DE AE BC D E (B C D) AE BC D
E BC D AE BC D E AE BC D E BC D
核心
Y AB AC BC 最简与或式
最简 与非-与非式
AB AC
AB AC
最简或与非式 ( A B)( A C )
最简与或非式 AB AC BC 最简或与式 ( A B) ( A C )
A B AC
最简或非-或式
最简或非-或非式
AB AC
1、 2、 2 逻辑函数得公式化简法 (与或式 公式 最简与或式)
CD AB 00 01 11 10
00 0
布尔代数化简

布尔代数是一种用于逻辑推理和电路设计的数学工具。
它基于两个值(通常表示为0和1),代表了逻辑真值的两种状态:假和真。
布尔代数通过定义运算符和规则,使我们能够对逻辑表达式进行化简和简化。
在本文中,我们将介绍布尔代数的基本概念和常见的化简技巧。
一、布尔代数的基本概念1. 逻辑变量:布尔代数中的变量只能取两个值,通常用字母表示,例如A、B、C等。
2. 逻辑常数:布尔代数中的常数有两个值,0表示假,1表示真。
3. 逻辑运算符:布尔代数中的常见逻辑运算符有与(AND)、或(OR)、非(NOT)等。
4. 逻辑表达式:由逻辑变量、逻辑常数和逻辑运算符组成的表达式称为逻辑表达式。
二、布尔代数的化简技巧1. 吸收律:对于任意变量A和B,有A∨(A∧B)=A和A∧(A∨B)=A。
2. 分配律:对于任意变量A、B和C,有A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)和A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)。
3. 德摩根定律:对于任意变量A和B,有¬(A∨B)=¬A∧¬B和¬(A∧B)=¬A∨¬B。
4. 重复律:对于任意变量A,有A∨A=A和A∧A=A。
5. 简化律:对于任意变量A和B,有A∨(A∧¬B)=A和A∧(A∨¬B)=A。
三、布尔代数的化简步骤1. 将逻辑表达式转换为布尔代数的标准形式,即每个变量只出现一次的乘积项之和的形式。
2. 使用吸收律、分配律、德摩根定律和重复律对逻辑表达式进行化简,将其转化为最简形式。
3. 根据问题的要求,可以进一步化简逻辑表达式,例如使用简化律等。
四、例子解析假设我们有一个逻辑表达式为(A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C),我们可以使用布尔代数的化简技巧来简化它。
首先,我们可以应用分配律,将逻辑表达式转化为(A∨B)∧(A∨C)∧(B∨C)的形式。
然后,我们可以应用重复律,将逻辑表达式简化为(A∨B)∧(A∨C)。
第3章 布尔代数与逻辑函数化简

F = GC + G C = G = A B
布尔代数与逻辑函数化简
例8. F = A B C + AB C 解:令 B C = G ,则
F = A G + AG = A
例9. F = A B C + A B C + A B C + AB C 解:原式 = A C + A C = C 利用等幂律,一项可以重复用几次。 利用等幂律,一项可以重复用几次。
F = AB + AC = A B + A C
布尔代数与逻辑函数化简
2. 逻辑函数不同形式的转换 逻辑函数的形式是多种多样的, 逻辑函数的形式是多种多样的,一个逻辑问题可以用 多种形式的逻辑函数来表示, 多种形式的逻辑函数来表示,每一种函数对应一种逻辑电 路。逻辑函数的表达形式通常可分为五种:与或表达式、 逻辑函数的表达形式通常可分为五种:与或表达式、 与非−与非表达式、与或非表达式、或与表达式、或非 或 与非 与非表达式、与或非表达式、或与表达式、或非−或 与非表达式 非表达式。 非表达式。
布尔代数与逻辑函数化简
例10. F = A B C D + A B C D + A BCD + AB C D + A B C D , 与其余四项均是相邻关系,可以重复使用。 其中 A B C D 与其余四项均是相邻关系,可以重复使用。 解:
ABC D + ABC D = BC D A B C D + AB C D = AC D A B C D + A B CD = A B D ABC D + ABC D = ABC
F = A B + AC
布尔代数与逻辑函数化简
布尔代数化简

布尔代数化简一、布尔代数化简的概念与意义布尔代数化简,是指将一个复杂的布尔表达式通过一定的运算和规律,简化为一个更简单、易于理解和计算的布尔表达式。
它在数字电路设计、逻辑运算和计算机科学等领域具有重要的意义。
通过化简布尔表达式,可以降低电路的复杂度,提高运算速度和效率。
二、布尔代数的基本运算与定律1.布尔加法:两个布尔变量A、B的和为A·B。
2.布尔乘法:两个布尔变量A、B的积为A×B。
3.布尔减法:布尔变量A与B的差为A⊕B。
4.布尔非运算:布尔变量A的非为。
布尔代数的基本定律:1.分配律:A×(B+C) = (A×B) + (A×C)2.结合律:((A×B)×C) = (A×(B×C))3.吸收律:A×A = A,× =三、布尔代数化简的方法与步骤1.替换法:用简单的变量替换复杂的变量,使得表达式更易于化简。
2.分配律法:利用分配律对布尔表达式进行化简。
3.结合律法:利用结合律对布尔表达式进行化简。
4.吸收律法:利用吸收律对布尔表达式进行化简。
5.摩根定律:利用摩根定律对布尔表达式进行化简。
四、实例分析与解答例如,给定布尔表达式:A×(B+C) + D×(E+F)化简过程如下:1.使用分配律,将表达式拆分为两部分:A×B + A×C + D×E + D×F2.利用摩根定律,将乘法运算转化为加法运算:(A·B") + (A·C") + (D·E") + (D·F")3.继续化简,利用布尔加法、减法和非运算:A·B" + A·C" + D·E" + D·F"五、化简后的布尔表达式的应用化简后的布尔表达式在数字电路设计和计算机科学领域具有广泛的应用。
第3章 布尔代数与逻辑函数化简3[1].1-3.2
![第3章 布尔代数与逻辑函数化简3[1].1-3.2](https://img.taocdn.com/s3/m/ea93d691daef5ef7ba0d3c67.png)
A B
AB
求反率
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
AB
=AB
AB
1 0 0 0
1 0 0 0
AB
1 1 1 0
1 1 1 0
3. 分配律证明
ABC B· C
A+BC = (A+B)(A+C)
A+BC (A+B) (A+C) (A+B)(A+C)
000 001 010 011 100 101 110 111
_
_
F A B C D E
_
_
_
_
例2 与上面用摩根定律求出结果一样。
逻辑代数的基本法则
注意:在运用反演规则求一个函数的反函数时,逻辑 运算的优先顺序: 先算括号 与运算 或运算 非运算。
另外,为保持原式的逻辑优先关系, 也要正确使用括 号, 否则就要发生错误。
3.1.3 基本公式应用
(4) 或非-或非式
将或与表达式两次取反, 用摩根定律展开一次 得或非-或非表达式
F ( A B)( A C ) A B A C
_ _
同一逻辑的五种逻辑图
A B A C
&
≥1
A B F A C
& & &
___ _
&
_
F
A B A C
_
&
≥1 F
a )AC与或式; (a) F AB ( A B A C ≥1
那么所得到的表达式就是函数F的反函数 (或称补函数) 。
反函数和对偶函数之间在形式上只差变量的“非”。
逻辑代数的基本法则
例1: F A( B C ) CD
数字电路第3章 布尔代数与逻辑函数化简

Y f ( A, B, C,)
注意:与普通代数不同的是,在逻辑代数中,不管是变 量还是函数,其取值都只能是0或1,并且这里的0和1只表示两 种不同的状态,没有数量的含义。
(3)逻辑函数相等的概念:设有两个逻辑函数
Y1 f ( A, B, C,)
Y2 g ( A, B, C,)
它们的变量都是A、B、C、…,如果对应于变量A、B、 C、…的任何一组变量取值,Y1和Y2的值都相同,则称Y1和Y2 是相等的,记为Y1=Y2。 若两个逻辑函数相等,则它们的真值表一定相同;反之, 若两个函数的真值表完全相同,则这两个函数一定相等。 证明等式:
第 3章
学习要点:
基本定理和化简方法
掌握布尔(逻辑)代数的基本运算法则、基本公式、
了解不同类型逻辑表达式的相互转换以及最简与或
表达式。
能够熟练地运用真值表、逻辑表达式、卡诺图、波
形图和逻辑图表示逻辑函数。
3.1 基本公式
和规则
逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分 析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有0和1 两种逻辑值,有与、或、非三种基本逻辑运算,还有与或、 与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。
A A 0
等幂律: A A A
A A A
双重否定律: A A
分别令A=0及 A=1代入这些 公式,即可证 明它们的正确 性。
A B B A 交换律: A B B A
利用真值表很容易证 明这些公式的正确性。 如证明A· B=B· A:
( A B) C A ( B C ) 结合律: ( A B) C A ( B C )
证明分配率:A+BC=(A+B)(A+C) 证明:
第三章 逻辑函数化简

一:布尔代数的基本公式公式名称公式1、0-1律A*0=0 A+1=12、自等律A*1=A A+0=A3、等幂律A*A=A A+A=A4、互补律A*A=0 A+A=15、交换律A*B=B*A A+B=B+A6、结合律A*(B*C)=(A*B)*C A+(B+C)=(A+B)+C7、分配律A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)8、吸收律1(A+B)(A+B)=A AB+AB=A9、吸收律2A(A+B)=A A+AB=A10、吸收律3A(A+B)=AB A+AB=A+B11、多余项定律(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)AB+AC+BC=AB+AC12、否否律()=A13、求反律AB=A+B A+B=A*B下面我们来证明其中的两条定律:(1)证明:吸收律1第二式AB+AB=A左式=AB+AB=A(B+B)=A=右式(因为B+B=1)(2)证明:多余项定律AB+AC+BC=AB+AC左式=AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC=右式证毕注意:求反律又称为摩根定律,它在逻辑代数中十分重要的。
二:布尔代数的基本规则代入法则它可描述为逻辑代数式中的任何变量A,都可用另一个函数Z 代替,等式仍然成立。
对偶法则它可描述为对任何一个逻辑表达式F,如果将其中的“+”换成“*”,“*”换成“+”“1”换成“0”,“0”换成“1”,仍保持原来的逻辑优先级,则可得到原函数F的对偶式G,而且F与G互为对偶式。
我们可以看出基本公式是成对出现的,二都互为对偶式。
反演法则有原函数求反函数就称为反演(利用摩根定律),我们可以把反演法则这样描述:将原函数F中的“*”换成“+”,“+”换成“*”,“0”换成“1”,“1”换成“0”;原变量换成反变量,反变量换成原变量,长非号即两个或两个以上变量的非号不变,就得到原函数的反函数。
第3章 逻辑代数

mmm50 5mm1m7 m72mm8m83mmm994mmm11600mmm111133 m 1mm21155m14 mm((55,,77,,88,,99,,1100,,1133,,1155)) MAMB0 MC0M1DM1M2AM2BM3CM3DM4M4MA6BM6MC11D11MM1A122MBMC1144D ABMCMD((00,,11A,,22B,,33C,,44D,,66,,11A11,B,11C22,,1D144))ABC D ABC D
2 真值表
输入变量 输出 A B C···· Y1 Y2 ···· 输入变量所 输出对应的取值 有可能的取 值
ABC F 000 0 001 0 010 0 011 1 100 0 101 1 110 1 111 1
2. 逻辑函数(表达)式 将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系 用与、或、非三种运算符号连接起来的表达式
交换律
7
A·(B·C) = (A·B)·C
16 A+(B+C)=(A+B)+C 结合律
8
A·(B+C)=A·B + A·C 17 A+B·C =(A+B) ·(A+C) 分配律
9
AB A B
18
A B AB
反演律
公式(17)的证明:A+BC=(A+B)(A+C)
证明:
右边 =(A+B)(A+C)
偶式,记作 Y 。
所谓对偶定理是指,若两个逻辑函数式相等,那 么它们的对偶式也相等。
AB AC BC AB AC
( A B)( A C)(B C) ( A B)( A C)
第3章-布尔代数与逻辑函数化简

与项用与门实现
运算次序为先非后与再或,因此用三级电路实现之。
根据逻辑式画逻辑图的方法:
将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。
布尔代数与逻辑函数化简
例1 图示为控制楼道照明的开关电路。两 个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和 楼下。上楼之前,在楼下开灯,上楼后关 灯;反之,下楼之前,在楼上开灯,下楼 后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑 电路。
ACB AC D BD ACB ACD ABC AD CD
布尔代数与逻辑函数化简
消去法 运用吸收律 A AB A B ,消去多余因子。
Y AB AC BC AB ( A B)C AB ABC AB C
Y AB AB ABCD ABCD
布尔代数与逻辑函数化简
但如果将函数化简后其函数式为 F=AC+B
只要两个门就够了, 如图3 - 4所示。
A
&
C
B
≥1 F
图 3 – 4 函数化简后的逻辑 图
布尔代数与逻辑函数化简
三、代数化简法
运用逻辑代数的基本定律和
公式对逻辑式进行化简。
并项法 运用 AB AB A,
将两项合并为一项,并消去一个变量。
0 –1 ·11律= 1
0+A=A
重叠律
互补律
1+A=1 A+A=A
1 ·A = A A ·A = A
0 ·A = 0
还原律
布尔代数与逻辑函数化简
二、基本定律 (一) 与普通代数相似的定律
交换律 A + B = B + A
A ·B = B ·A
结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A ·B) ·C = A ·(B ·C)
数字电路3(函数表达式的化简)

Y = ABC + ABC + ABC = ABC + ABC + ABC + ABC = BC + C =C
广东科贸职业学院信息工程系
2. 卡诺图化简法
卡诺图是由真值表演变成的方格图,可以把逻辑 函数中的化简关系直观地表现出来.图形化简具有 直观,简便,彻底三大优点. (1)卡诺图的构成 构成:把真值表中对应各组变量组合的逻辑值排成 方格矩阵,把变量的取值分成行,列两部分,作为 方格矩阵的行,列标识,并把变量取值顺序作特殊 排列,真值表就变成了卡诺图.
广东科贸职业学院信息工程系
1. 代数化简法
3,消去法 , 利用公式A+AB=A+B,消去多余的因子.
Y = AB + A C + B C = AB + ( A + B ) C = AB + AB C = AB + C
广东科贸职业学院信息工程系
1. 代数化简法
4,配项法 利用重叠律A+A =A来配项,以获得更加简单的化简结果, 例如:
(1)Y=∑m(0,1,3,4,5,7) (2)Y= ∑m(0,2,8,10) (3) Y = ABC + A + B + C (4) Y = AB + ABD + AC + BCD (5) Y = ∑ m(0,1,2,3,6,8) + ∑ d (10,11,12,13,14,15)
广东科贸职业学院信息工程系
广东科贸职业学院信息工程系
(2)卡诺图的特点
①卡诺图跟逻辑函数的标准与或表达式之间有对应关系,卡 诺图的各个方格,即对应全部变量的各个组合以及相对应 的逻辑值,以对应各个全变量乘积项. ②我们把只在一个变量互反(又称做互补)的两个乘积项互 称为"逻辑相邻项",一对相邻项相或,可消去其中的互 补变量,合并为一个新的乘积项. 卡诺图利用它的特殊结构,把所有具有逻辑相邻关系的全 变量乘积项都给以相邻 使具有可以化简关系的全变量乘 积项以特殊的位置关系直观地显示出来.
CH03布尔代数和数字逻辑

CH03布尔代数和数字逻辑Boolean Algebra and Digital Logic3.1 概述因为要使用电动方法,所以当时的Atanasoff决定采用基数为2的数制来代替基数10的计数体系.这样,基数2可以直接与电学开关的“开”或“关”的状态相关联.同时用电容器作为存储器.因为电容器可以储存电荷.3.2 布尔代数布尔代数处理的对象只能取两个值,如典型的例子是:对与错(或称为真与假)."与"逻辑操作:当且仅当X,Y均为 1 时,其逻辑乘X.Y才为 1 否则为0"或"逻辑操作: 只要 X,Y 任意-(或者同时)为 1 时,其逻辑加 X+Y 的值为 1 否则为 0"非"逻辑操作: 当X 为 1 时, 非X 即为0; 当X 为 0 时非X 即为 13.2.1 布尔表达式常用的布尔算符有: AND, OR和NOT布尔算符运算的顺序规则是: NOT 为最高优先级, 首先执行, 其次是AND, 然后为OR算符.3.2.2 布尔恒等式对偶规则: 将一个逻辑函数式中所有的"."变为"+", "+"变为".", "1"变为"0", "0"变为"1",而保持变量不变,那么得到新的函数式便是原来函数的对偶式.3.2.3 布尔表达式的化简基本公式和规则:3.2.4 反码反演规则: 反演规则是德摩根律的推广,将逻辑函数F中所有的"+"变为".", "." 变为"+", "1"变为"0","0"变为"1".原变量变为反变量,反变量变为原变量,所得函数即为非F.这就是反演规则3.2.5 布尔函数的表示方法最通用的两种标准化形式是积之和(析取范式),以及和之积(合取范式)的形式积之和形式(sum-of-products form)是将表达式先写成一些变量"与"项(乘积项)的集合, 然后再利用"或"形式组合在一起和之积形式(product-of-sums)就是将表达式先写成各变量的"或"项(求和项)然后用"与"的形式组合在一起.如果表达式中估值为真的情形多于估值为假时,可选用和之和的形式3.3 逻辑门实际的物理部件,或者说数字电路(digital circuit),例如计算机中执行算术操作或做出抉择的部件都是由一定数目的称为门电路(gate)的最原始的基本单元构成的. 这些门电路是数字设计的基本构件,可以执行前面所讨论的各种基本逻辑功能,从形式上来说,门电路是一个计算各种2值函数的微小电子元件.更简单地说,门电路执行一个简单的布尔逻辑功能.在物理上构成一个门电路需要1到6个,或更多的晶体管,具体晶体管的数目取决于所采用的半导体技术.归纳起来,计算机的基本部件是晶体管,而基本的逻辑单元是门电路.3.3.1 逻辑门的表示符号三种最简单的门电路,与门(AND),或门(OR), 非门(NOT)另外一个常用的门电路是异或(exclusive-OR, XOR)门3.3.2 通用门电路其他两个常用的门电路是与非门(NAND)和或非门(NOR).与非门通常也称为万能门(universal gate),因为只要使用与非门就可以构建所有的数字电路.两个理由:第一,使用与非门的电路成本比较低. 第二,在物理上构建复杂的集成电路时,使用相同的结构模块常常比使用一些基本结构模块的集合要容易得多和之和形式的布尔表达式可以采用与非门来实现,而和之积的表示形式则可以使用或非门来实现3.3.3 多输入的门电路数字电路中通常会将门电路的输出端用符号Q来表示.3.4 数字电路元件组成计算机的大量的门电路通过导线连接,这些导线构成了系统的信号通路.这些门电路的集合常常是一引起非常标准的电路.这些标准电路组成一系列的基本结构模块,可以用来构建整个计算机系统,令人惊讶的是,这些结构模块全部采用基本的"与","或"和"非"操作来构建的3.4.1 数字电路及其与布尔代数的相互关系各种复杂的布尔表达式可以表示为一些"与"门,"或"门和"非"门的组合形式,结果也就是描述整个布尔表达式的逻辑图.3.4.2 集成电路计算机由各种数字电路元件构成,这些元件通过导师线连接在一起.就像一个好的程序一样,实际的计算机硬件由一些较大的数字电路模块组成.通常,门电路并不单独销售,而是以集成电路(integrated circuits, IC)的形式出现.集成电路芯片(一块小的半导体的硅单晶片)上面集成了各种电子元件(晶体管,电阴和电容),用来实现各种门电路的功能.早期的集成电路包含的晶体管数目比较少,称为小规模集成电路(SSI). 一般每块芯片上不到100个晶体管,现在使用的是超大规模集成电路(ULSI),每块芯片上的电子元件数目超过一百万个.3.5 组合逻辑电路电路是由数字逻辑芯片组合而成的,这些逻辑电路可分为组合逻辑和时序逻辑3.5.1 基本概念可以利用组合逻辑来构建包含基本布尔算符,输入和输出的数字电路,了解组合逻辑的关键是组合逻辑的输出完全取决于所给定的输入值.因此,组合逻辑电路的输出是输入值的函数,并且任意时刻的输出值都是由该时的输入值唯一确定的.一个组合逻辑电路可能会有几个输出.这种情况下,每个输出都代表一个不同的布尔函数.3.5.2 典型的组合逻辑电路首先讨论一个称为"半加器(half-adder)"的非常简单的组合逻辑电路.半加器有两个输出,而不是一个。
第3章 布尔代数与逻辑函数化简
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由上面可以看出反复用摩根定律即可,当函数较 复杂时,求反过程就相当麻烦。
逻辑代数与逻辑函数
练习二
反演和对偶法则
1、求下面函数F的反函数F
F = AB+C+AD
2、求下面函数F的对偶式F’
F = A(BC+BC)+AC
3、说明对偶法则和反演法则的区别
逻辑代数与逻辑函数
3.1.3 逻辑函数的表达式的形式与转换方法
_ _ _ _ _ _
_
逻辑代数与逻辑函数
例2(2)法2
F A B C D E
F A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_
_
解:用摩根定律
________
( e) F A B A C 或非表达式
逻辑代数与逻辑函数
3.2
逻辑函数的代数法化简
3.2.1 逻辑函数与逻辑图 从实际问题总结出的逻辑函数可以用门电路组合 成逻辑图。
A B
&
≥1
1
1
F
&
图 2 – 14 AB A B 函数的逻辑图
_ _
逻辑代数与逻辑函数
从逻辑问题概括出来的逻辑函数式, 不一定是最 简式。化简电路,就是为了降低系统的成本,提高电 路的可靠性,以便用最少的门实现它们。例如函数:
_
_ ___Fra bibliotek_例4 求 F AB A C 的反函数 解: F AB AC ( A B) ( A C )
AA AB BC AC AB AC
_
逻辑代数与逻辑函数
逻辑代数基本公式与化简数字系演示文稿
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例1: F1 A B C D 求F1的反。
解: F1 A B C D
注意
括号 F1 A B (C D)
注意括号
F1 AC BC AD BD
与或式
第18页,共27页。
例2:F2 ( A BC)CD 求F2的反。
解: F2 ( A BC)CD
F2 A(B C) C D F2 AB AC C D F2 AB A C D F2 A C D
9
A •B=A+B
序号
公式
规律
10
A+1律
12
A=A
还原律
13
A+A=A
重叠律
14
A+A=1
互补律
15
A+B=B+A
交换律
16 A+(B+C德)•=摩(根A+(BD)e+. C 结合律 17 A+(B•C)M=o(rgAan+)B)定• (理A+C) 分配律
18
A+B=A•B
最小项的编号规则:把最小项 m 值为1 的输入变量取值 看作二进制数,其对应的十进制数即为该最小项的编号, 记作mi 。
第3页,共27页。
回顾:
4、最小项的其性质
最小项的性质:
a) 对应任意一组输入变量取值,有且只有一个最小项 值为1;
b) 任意两个最小项之积为0;
c) 全体最小项之和为1; d)具有逻辑相邻性的两个最小项相加,可合并为 一项,并消去一个不同因子。
A B(A A) A B
例如:
A ABC DC A BC DC
被吸收
第14页,共27页。
(3)混合变量的吸收: AB AC BC AB AC
数字电路第三章化简方法
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1.4.1逻辑函数的公式化简法 逻辑函数的公式化简法,就是利用逻辑代数的基本公式、
基本定理和常用公式,将复杂的逻辑函数予以化简的方法。
常用的公式化简法有并项法、 吸收法、 消去法和配项法。 1. 并项法 利用公式A+ A =1, 将两项合并为一项, 例如: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ A B C+ A B C = A B ( C C )= A B
A( BC BC) A( BC BC)=ABC+AB C +AB C+ AB C
_ _
_
_
_
AB(C C) AB(C C)
A( B B)
= AB A B
_
A
第1章 逻辑事件及其表示方法
2. 吸收法 利用公式A+AB=A, 吸收掉多余的项, 例如:
A A B C A
_
_ _
_
A B A B C( D E ) A B
3. 消去法
利用公式 A+ A B=A+B , 消去多余的因子, 例如:
_
_
_
_
_
_
AB AC BC AB ( A B)C
=AB+ ABC =AB+C
第1章 逻辑事件及其表示方法
4. 配项法 _ _ 利用公式A=A(B+ B ), 先添上(B+ )作配项用,以便 B 消去更多的项, 例如:
AB BC BC AB AB BC BC( A A) AB(C C)
AB BC ABC ABC ABC ABC AB BC AC
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第二章:布尔代数及其分析数字电路基于排列组合与数字集合论,和数理逻辑有一定距离。
在逻辑函数的计算方面,使用数理逻辑的非计算,能够化简布尔表达式。
布尔逻辑代数引进数字电路,与命题的真假判断有区别,因此逻辑函数用数字函数描述更有广泛的内涵:既包括逻辑计算也包括组合功能.英国数学家布尔的研究导致逻辑代数的出现,并被命名为布尔代数。
逻辑代数给数字电路建立二值逻辑模型,可进行具体数字系统的分析和设计,并在此基础上化简运算,得到数字系统的最优实现方法.使用布尔代数还可以揭示不同逻辑函数之间的相互关系,很清楚的发现这些逻辑函数所对应的具体数字电路之间的转换关系,根据实际需要灵活选择,实现不同数字电路的互换.§1.布尔代数系统的基本内容布尔代数系统建立在集合{0,1}上的运算和规则。
布尔代数的基本定律用恒等式的形式表示,包括代入,反演,对偶,展开四个基本运用规则,主要用来解决逻辑函数的变换与化简. 1布尔代数系统简介数字函数表达式:12(,,...,)n Y F A A A =,其中:12,,...,n A A A 称为输入变量,Y 叫做输出变量,F 称为逻辑函数,表示基本逻辑运算或复合逻辑运算。
def1在二值集{0,1}E =中,逻辑变量取值为0或1,称为布尔变元或变量。
注:布尔变元可用大写字母,也可用小写字母表示,但是一定要保持一致性。
def2从n E 到E 的函数被称为n 度布尔函数,其中n E =011{,,...,,,01}n i x x x x E i n -<>∈≤≤- 说明:n 度布尔函数与n 元组逻辑函数是一个概念,定义域是()n In E 。
2布尔代数的基本运算和复合运算表1:布尔代数与,或,非运算真值表说明:①与运算表示只有全部输入变量都为1时,输出变量为1;其它输入变量组合,得到得输出都为0。
②或运算表示只有全部输入变量都为0时,输出变量为0;其它输入变量组合,得到得输出都为1。
③非运算是一元逻辑函数,实现集合的求补运算,输出变量的值是输入变量相对全集E 的补元.01;10.==从真值表1可见,与,或运算有相同之处,函数值的划分集合中,两个子集形式相同:一个子集有三个输入序偶,另一个子集只有一个序偶元素.引入补元概念后,可以研究输入序偶之间的关系.建立与,或运算可能存在的对应关系,用到复合运算,见下表;B分析:与运算的1划分子集和或运算的0划分子集的关系:110,000(1)A B A B A B ⋅=+=⇒⋅=+==。
这个式子在其它三个序偶也成立,即与运算的0划分子集和或运算的1划分子集也符合这个关系式。
从或运算出发可得:001,1.11(0)A B A B A B +==⇒+=⋅==,从A =B =1可得上一个关系式。
这里描述的是补元之间的关系。
另一个常用的复合逻辑:与或非运算的表达式()()Y A B C D A B C D =⋅+⋅=+⋅+。
布尔函数的表达式的成分包括:变元和布尔运算。
def3变元011,,...,n x x x -的布尔表达式的递归定义: 1)0110,1,,,...,n x x x -是布尔表达式2)若B 1和B 2是布尔表达式,则11212,,B B B B B ⋅+是布尔表达式。
3布尔代数的公理和恒等式def4一个布尔代数是一个集合{0,1}E =,它有两个二元运算,+⋅(布尔和,布尔乘积),以及一个一元运算(补),且对E 中的任意变量A ,B ,C ,D ,…,下列性质成立:表3布尔代数的公理和基本公式0-1律 01= 10= 0A A +=1A A ⋅=11A +=0A A ⋅= 互补律 1A A +=0A A ⋅=还原律 A A =重叠律 ...A A A A +++=...A A A A ⋅⋅⋅=交换律 A B B A +=+A B B A ⋅=⋅结合律 ()()A B C A B C ++=++()()A B C A B C ⋅⋅=⋅⋅ 分配律 ()A B C A C B C ⋅+=⋅+⋅()()()A B C A B A C +⋅=+⋅+反演律 A B A B +=⋅ A B A B ⋅=+ 吸收律 A A B A +⋅= ()A A B A ⋅+= A A B A B +⋅=+ ()A A B A B ⋅+=⋅ A B A B A ⋅+⋅=()()A B A B A +⋅+= ()()A B A C A B C +⋅+=+⋅()A C B C A B C ⋅+⋅=⋅+...A B A C B C D A B A C ⋅+⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅()()(...)()()A B A C B C A B A C +⋅+⋅++=+⋅+注①:0-1律,互补律,还原律,重叠律被认为是基本定律。
②:任何变量的取值集合都能被补元对{,}A A 划分。
从上表可以得到一些结论,发现一些问题,现排列见下: ①与式包含在每一个子项中,或式包含每一个子项。
②有两个不同运算符号的化简式,一般产生于两级对称运算的复合。
③因为补运算的存在,单输入集,双输入集与多输入集中元素的关系,各输入集之间的关系。
④笛卡尔积的关系,还有集合的包含关系对布尔代数的影响。
⑤能否用集合论解释布尔代数,例如表达式A A B A B +⋅=+的集合论解释。
若能,则集合论就成为布尔代数的元理论。
⑥上述公式的若使用序偶表达形式,有什么不同?有数字代数么?⑦A A B A +⋅=&()A A B A ⋅+=,从中可以发现A 作为中间变元,也有相对全集1的作用。
这些问题的解答在第二节。
4逻辑代数中的基本定理代入定理:用于扩展公式或证明逻辑等式 Th1代入定理在等式两边都含有变量X 的逻辑等式中,若将式中所有出现X 的地方都用另一个函数Y 代替,则等式仍然成立.代入定理是复合计算的一种方法.可用多元组取代序偶,使在单输入集,双输入集上成立逻辑等式,在双输入集也可成立. 对偶定理:用于逻辑恒等式。
序偶对的一一映射,与组合公式。
def5对偶式对于任一个逻辑表达式Y ,若将其中的”+”变”⋅”, ”⋅”变”+”,1变0,0变1,并保持原来的逻辑优先级不变,则得到一个新的表达式Y `,就叫做Y 的对偶式. Th2对偶定理两个逻辑式相等,它们的对偶式相等.反演定理:用于快速获取逻辑函数的反函数。
这里的反函数与逻辑的逆运算不同,因此与数学里的反函数不同,与集合论中相对全集的求补运算同构。
Th3反演定理121212(,,...,,,)(,,...,,,)(,,...,,,)n n n Y F A A A F A A A F A A A =+⋅⇒+⋅=⋅+说明:任何逻辑的反函数,可通过变量与常量求反,”+”与”⋅”互换得到. Th3.1狄.摩根定理 A B A B +=⋅,A B A B ⋅=+展开定理:证明等式或展开函数函数展开成最小项之和,最大项之积的形式 Th4展开定理设逻辑函数12(,,...,)n Y F A A A =,则有:121212(,,...,)(,,...,1,...,)(,,...,0,...,)n i n i n Y F A A A A F A A A A F A A A ==+和 121212(,,...,)[(,,...,0,...,)][(,,...,1,...,)]n i n i n Y F A A A A F A A A A F A A A ==+⋅+证明:i A 取值为0和1,等式F F F =+仍然成立.11&01i i i i A A F F F A A F F F =⇒⋅=⋅==⇒⋅=⋅=,证得.第二个式子同理可证. 5逻辑函数及其表示方法 def6最大项与最小项.1字母:一个字母即一个布尔变量或它的补码。
.2乘积项:一个乘积项为一个或几个字母的逻辑乘(与)。
.3和项:一个和项为一个或几个字母的逻辑或。
.4积之和(与-或式):一个积的和即几个乘积项的逻辑或。
.5和之积(或-与式):一个和的积即几个或项的逻辑与。
.6笛卡尔积或幂的一个元素。
能构成最大项,最小项,异或项。
.7文字:布尔变元或其补称为文字。
.8最小项:n 元逻辑函数,在函数的某个乘积项中每个变量仅仅出现一次,或以原变量,或以反变量的形式,这种乘积项称为最小项,用m i 表示。
即:布尔变元12,,...,n x x x 的最小项是一个布尔积12...,..n i i i i y y y y x or y x ⋅⋅⋅==。
因此最小项是n 个文字的积,每个文字对应一个变元。
.9最大项:在n 元函数的某个和项中每个变量仅仅出现一次,或以原变量,或以反变量的形式,这种和项称为最大项,用M i 表示。
最小项的性质①n 个变量有2n 个最小项,编号为(0,1,...,21)n i m i =-②任意输入组合,只有一个最小项的值为1,I 为使其值为1的那组变量组合对应的十进制数。
③全体最小项之和为1。
④任意二最小项之积为0。
最大项的性质:①n 个变量有2n 个最大项,编号为(0,1,...,21)n i M i =-②任意输入组合,只有一个最大项的值为0,i 为使其值为0的那组变量组合对应的十进制数。
③全体最大项之积为0。
④任意二最大项之和为1。
说明:输入的n 元组既可表示最大项又表示最小项,或者其余逻辑表达式。
方法一:布尔表达式def7函数的标准形式(范式)全部由最小项的和组成的与-或式i m ∑和全部由最大项之积组成的或-与式i M ∏,称为n 元逻辑函数表达式的两种标准形式,前者简称为SOP(Sum of Products)式,前者简称为POS(Product of Sums)式:i j ij iY m M ≠==∑∏证明:i iY m =∑=1,则10j j iY m ≠==∑。
根据反演定理,11j j j i j iY m M Y ≠≠====∑∏.说明:构成函数式时,最大项与最小项对应项的组合方式不同。
同一个函数的与-或表示与或-与表示的异同:从证明中可知一个函数的与-或式决定的项与或-与式决定的项分属不同的划分子集.若都表示1函数值,分别用与-或式与或-与式表示.证明并不困难,但是怎样理解就不很直接了,需引进格的概念.这里有一个疑问:有或-与式,为什么没有或-或式呢?表示逻辑函数有两步:①区分不同的输入排列②组合不同的输入项,构成1划分子集和0划分子集.在与-或式,或-与式中,通过补运算,用变量与补变量的排列,就能够区分不同的输入,这一步对或-或式也成立.然而, 或-或式在复合运算中,因为吸收律的存在,各分项不能保持完整性,不能区分不同的输入.因此使用或-或表示必须增加表示组合选择的新的输入项,以函数y A B AB AB =⊕=+为例,分析见下:函数值1划分集是<0,1>,<1,0>组合,用或-或式选择<0,1>,可得,公式G 称为恒真的(或有效的),如果G 在它的所有解释下都是真的; 公式G 称为恒假的(或不可满足的),如果G 在它的所有解释下都是假的;公式G 称为可满足的,如果它不是恒假的。