第四讲分解因式

答案：m(n+3)2
【对点训练】 7.(2011·梧州中考)分解因式x2y－4y的正确结果是( (A)y(x＋2)(x－2) (B)y(x＋4)(x－4) )
(C)y(x2－4)
(D)y(x－2)2
【解析】选A.根据分解因式方法，先提取公因式y，再用平方差
公式分解.x2y-4y=y(x+2)(x-2).
【对点训练】 4.(2012·义乌中考)分解因式：x2-9=______. 【解析】x2-9=(x+3)(x-3). 答案：(x+3)(x-3)
5.(2011·潜江中考)分解因式:a2-6a+9=______. 【解析】直接根据完全平方公式分解因式即可： a2-6a+9=a2-6a+32=(a-3)2.
分解因式 整式乘法 _______
整式的积.
【即时应用】
ax(x-1) 1.分解因式：ax2－ax＝________. (x-4) 2.3x2-12x=3x_____. (1-m) 3.2m-2m2=2m______.
二、分解因式的基本方法 m(a+b+c) 1.提公因式法：ma+mb+mc=__________. 2.运用公式法： (a+b)(a-b) (1)平方差公式：a2-b2=____________. (a±b)2 (2)完全平方公式：a2±2ab+b2=_________.
第四讲 分解因式
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1.理解：公因式、分解因式的意义，分解因式的公式与乘法公 式的区别与联系. 2.掌握：用提公因式法和公式法分解因式.
一、分解因式的概念
积 整式 1.把一个多项式化成几个_____的___的形式，这种变形叫做把
这个多项式分解因式. 2.分解因式与整式乘法的关系 多项式
式，也可以是多项式.
用提公因式法分解因式 ◆中考指数：★★★☆☆ 1.提公因式法的依据 提公因式法的依据是乘法分配律的逆用.公因式可以是单 知 项式，也可以是多项式. 识 2.提公因式法的两个步骤 点 “一定”：确定公因式，可按“系数大(最大公约数)、 睛 字母同(各项相同的字母)、指数低(相同字母的指数取次 数最低的)”的规则来确定； “二提”：将各项的公因式提出来，并确定另一个因式.
又∵a(a+4b)－(a+2b)(a－2b)
=a2+4ab－(a2－4b2)
=4ab+4b2=4b(a+b)，
∴原式=0.
【名师点评】通过对分解因式求值的分析和总结，我们可以得
到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：
1.分解因式是研究代数式的基础，分解因式的思路和方法 始终贯穿在数学变换中. 2.通过分解因式将多项式合理变形是求代数式的值常用的 解题方法，具体做法：根据题目的特点，通过分解因式将 式子变形，再进行整体代入，这将会简化运算过程，提高 准确率，否则，轻则使问题变难，重则难以求解. 1.用分解因式的方法将式子变形时,根据已知条件,变形的 可以是整个代数式,也可以是其中的一部分. 2. 运用公式法分解因式时,首先观察项数，若是二项式， 应考虑平方差公式；若是三项式，则考虑完全平方公式， 然后观察各项的次数、系数是否符合公式的特征.
【解析】m2-mn=m(m-n).
答案：m(m-n)
3.(2011·淮安中考)分解因式：ax+ay=_______. 【解析】直接提公因式a,分解因式得：ax+ay= a(x+y) 答案：a(x+y)
用公式法分解因式 ◆中考指数：★★★★☆ 1.可用平方差公式分解因式的多项式的三个特点 (1)二项式. (2)每一项的绝对值都是一个数的平方的形式. (3)两项符号相反. 2.可用完全平方公式分解因式的多项式的三个特点 (1)三项式. (2)有两项的符号相同，且这两项的绝对值分别可以写成 代数式a，b的平方. (3)剩余一项为(2)中a，b的乘积的2倍或乘积2倍的相反数.
知 识 点 睛
◆中考指数：★★★★☆ 特 别 提 醒 1.平方差公式除两项都能写成完全平方式以外，还应满 足两项的符号相反，如-a2-b2不能用平方差公式. 2.完全平方公式有两个，一定要注意区分两者的不同， 正确选择合适的公式.
【例2】(2011·丽水中考)下列各式能用完全平方式进行分解 因式的是( )
特 1.分解因式一定要把多项式的每一项分解因式到不能再 别 分解为止. 提 2.利用整式乘法运算可以检验分解因式的结果是否正确. 醒
【_____.
【思路点拨】提公因式 → 运用公式 → 结果
【自主解答】
mn2+6mn+9m=m(n2+6n+9)=m(n+3)2.
创 新 点 拨
解 题 启 示
1.(2012·泰州中考)若2a-b=5,则多项式6a-3b的值是_______.
【解析】6a-3b=3(2a-b)=3〓5=15.
答案：15
2.(2011·枣庄中考)若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n=______. 【解析】由m2-n2=6得(m－n)(m＋n)＝6，把m－n＝2代入得 2(m＋n)＝6，解得m＋n＝3. 答案：3
答案：(a-3)2
6.(2011·威海中考)分解因式： 16-8(x-y)+(x-y)2=______. 【解析】把(x-y)看作整体，利用完全平方公式分解因式 答案：(x－y－4)2
分解因式的综合应用 ◆中考指数：★★★★☆ 知 识 点 睛 多项式分解因式的三个步骤 (1)先考虑是否可提公因式； (2)再考虑是否能运用公式； (3)检查分解结果是否彻底.
同和异差先平方，还要加上正负号.
【核心点拨】 1.确定一个多项式的公因式的方法：公因式的系数取各项系数 的最大公约数，公因式的字母及字母的指数取多项式中各项相 同字母及其最低次幂. 2.提公因式的过程实质是原式除以公因式的过程，因此当某一
项恰好是公因式时，提取后剩下1，而不是0.
3.公式中的a，b既可以是字母，也可以是数字，既可以是单项
10.(2011·宿迁中考)已知实数a，b满足ab＝1，a＋b＝2，求
代数式a2b＋ab2的值.
【解析】当ab＝1，a＋b＝2时，原式＝ab(a＋b)＝1〓2＝2.
【一题多解】
由已知a＋b＝2，得b＝2－a，代入ab＝1，得a(2－a)＝1，即
(a－1)2＝0，所以a＝1，于是b＝2－a＝2－1＝1，所以a2b＋
【即时应用】
(m+3)(m-3) 1.m2-9=___________. (x+1)2 2.x2+2x+1=________. (2＋3x)(2－3x) 3.－9x2＋4＝_______________.
【记忆助手】 分解因式 两式平方符号异，分解因式你别怕， 两底和乘两底差，分解结果就是它. 两式平方符号同，底积2倍坐中央， 分解因式能与否，符号上面有文章.
特 1.多项式的公因式必须是每一项都有的因式，如 别 3x2-3x-1是没有公因式的，不要误以为是3x. 提 2.多项式提公因式后所剩余的因式的项数与原来多项式 醒 的项数相同.
【例1】(2011·清远中考)分解因式：2x2－6x＝_______.
【思路点拨】
确定公因式 提取公因式 结果
【自主解答】多项式有公因式2x，提取公因式2x得
ab2＝12〓1＋1〓12＝2.
【创新命题】分解因式与整体代入
【例】(2011·北京中考)已知a2+2ab+b2=0，求代数式a(a+4b)(a+2b)(a-2b)的值. 【解题导引】先对已知条件分解因式，再对所求代数式分解化 简，然后整体代入求值.
【规范解答】∵a2+2ab+b2=0，∴a+b=0.
(A)x2＋1
(C)x2＋x＋1
(B)x2＋2x－1
(D)x2＋4x＋4
【思路点拨】明确完全平方公式有三项，再明确两平方项，中
间项是首尾两个平方项底数的乘积的2倍或乘积2倍的相反数.
【自主解答】选D.完全平方式为：a2〒2ab＋b2，其特点是： (1)由三项构成；(2)中间项是首尾两个平方项底数的乘积的2 倍.而选项A只有两项，不符合条件(1)，故错误；而选项B，C 不符合条件(2)，只有选项D符合完全平方式的特点，故选D.
8.(2011·湘西中考)当a=3，b=2时，a2+2ab+b2的值是( (A)5 (B)13 (C)21 (D)25
)
【解析】选D.a2+2ab+b2=(a+b)2，把a=3，b=2代入得出答案25.
9.(2012·张家界中考)分解因式8a2－2＝______. 【解析】先提公因式，再应用平方差公式.8a2－2＝2(4a2－1) ＝2(2a＋1)(2a－1). 答案：2(2a＋1)(2a－1)
2x2－6x＝2x(x－3) 答案：2x(x－3)
【对点训练】
1.(2012·温州中考)把a2-4a多项式分解因式，结果正确的
是( ) (B)(a+2)(a-2) (D)(a-2)2-4
(A)a(a-4) (C)a(a+2)(a-2)
【解析】选A.利用提公因式法分解为a2-4a=a(a-4).
2.(2012·湘潭中考)因式分解：m2-mn＝______.