理论力学第8章-2

aa 并
ae
和相对加速度
ar 的矢量和。
所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为
aa ae ar aC
aC 2e vr
aC 称为科利奥里（Coriolis)加速度，简称科氏加
速度。Байду номын сангаас
以定周转动为例，分析科氏加速度产生的原因
v a ve v r
v
" ve
' e
v v v
在北半球，河水向北流动时，河 水的科氏加速度ac向西，即指向左侧，
如图所示。由动力学可知，有向左的
加速度，河水必受有右岸对水的向左 的作用力。根据作用与反作用定律， 河水必对右岸有反作用力。北半球的 江河，其右岸都受有较明显的冲刷，
这是地理学中的一项规律。
落体偏东：从高处自由落下的物
体，会由于科氏力的作用发生向东
适用于平面机构的快速判断方法：
方向：vr顺着e的方向转900
大小： aC 2vr
科氏加速度是l832年由法国数学家科里奥里发现的，因 而命名为科利奥里加速度，简称科氏加速度。科氏加速度在
自然现象中是有所表现的。
地球绕地轴转动，地球上物体相对于地球运动，这都是 牵连运动为转动的合成运动。地球自转角速度很小，一般情 况下其自转的影响可略去不计；但是在某些情况下，却必须 给予考虑。
aen 2l
o2 r 2
l
aa aet aen ar 将
在y轴上投影：
n ae sin 30
aa sin 30
t ae cos30
60° A
aen
30° a 30° r 30° t
(aa aen )sin 30 aet cos 30
2 3o r (l r ) aet 3l
的偏移，计算可知，物体从赤道上
空高100米处下落，到达地面时将 偏东2.2厘米。
把洗手池中的水放掉时，水在漏水口的上边会形成一个漩涡，这是为什么？
从上面看下去，这个漩涡是顺时针还是逆时针转（在我国）？ 相信不少人对此会象我这样回答： 科里奥利力，在北半球这个漩涡是顺时针，南半球是逆时针。 的确，这个说法很常见，和我们的日常经验也比较吻合，想起来也挺有道理。 我也曾经看过一篇文章，准确的记不清了，大致是有人做了实验，在一个封 闭的房间内，在形状规则的水池里蓄上水，待水完全静止后，将池底的开关
打开排水，验证了形成的漩涡旋向与科里奥利力一致（好象是南北半球都做
了）。 不过我这样回答之后，虽然有一位高手赞同，却也有两位高手反对，说： 不管在地球的任何地方，水都可能左旋和右旋，因为旋涡形成的主要原因不 是地转偏向力。 这种漩涡的形成的主要原因是流体流动中的内生不稳定性， 科氏力只是提供了一个定向的初始扰动，使得在大多数情况下漩涡的方向总 是顺时针或逆时 针的。
l
2
2 2 ae l cos45 l sin 45 ( )l 2
小车的加速度：a
方向如图示
ae
2 ( 2 )l 2
[例8-10] 曲柄OA= r，以匀角速度o转动，BC=DE，BD=CE=l。
求图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。

60° B
相对运动： ⑴速度分析图： va ve
R
vr
A
va vr ve
OA 10 4
60° 60° 60°
1.256m/s
30°
30°
O1
O
⑵加速度分析图：
A
art 30°
ae 30°
30°
n aa

O

B
O1
C
60°
A
30°
n ar

O1
R
O
aa ar ae
a a a ae
ve
vr
vA
A
O1
解： t =3s 时，s=9 cm
M
30˚
R

B
s R 2

t 3s , 6
30˚
v M v e v r
O2
v x v y v e v r
17
art
A
M
30˚
a e a rn R
O2
B
aA
O1
a a a ae
n r t r

ax ay a a ae
n r t r
18
§8-4
牵连运动是转动时点的加速度合成定理
上一节我们介绍了牵连运动为平动时的点的加速度合成定 理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还
适用呢？下面我们来分析一特例。 设一圆盘以匀角速度 绕定轴Ｏ顺
时针转动，盘上圆槽内有一点M以大 小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那 么M点相对于静系的绝对加速度应是 多少呢？
n a n r t r
(1)
将(1)式在轴上投影：
n aa cos60 arn aecos30
？ ？ n 2 2 aa OA 15.77m/s
v 2 a 15.77 m/s R
n r 2 r
√
√
ae 27.3 m/s2
［例］已知平面平行四边形机构，曲柄O1A的转动方程 为 t （rad），动点M沿圆弧运动，B为起点， 18 R=18cm，运动规律为s= t2 cm，求：t=3s时动点 M的绝对速度和绝对加速度。
60° vr 60° 60°
D A C O 30°
E vr
60° 60°
va
ve
vB
va
ve
O
解：角速度 DBCE为平行四边形，所以BC杆作平动。 动系固结在BC杆上，套筒A为动点。 绝对速度: va=rO v B r o ve= vr = va =rO l l vB=ve=rO
方向指向圆心Ｏ点
aa ? ae ar
va vr ( R vr ) 2 2 aa R 2vr R R R vr2 分析上式： r , ae R 2 , 多出一项2 vr 。 a R
2 2
可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 不等于 牵连加 速度
[例4] 已知：凸轮半径 R,vo ,ao 求：=60o时, 顶杆AB的加速度。
分析：取杆上的A点为动点， 动系与凸轮固连。
影片：801
请看动画
绝对加速度 相对加速度 牵连加速度
aa=? , 待求量。 art=?
a n v r2 / R r ae=a0 ,
方向∥AB ，
方向⊥CA 方向沿CA指向C 方向水平向右 因牵连运动为平动，故有 ？ √ ？ ？
' r
' a
' e
' r
v va a a lim t 0 t
'' e
' a
v
v ve a e lim t 0 t
ve
v r"
v vr a r lim t 0 t
' a ' e ' r
'' r
vr
v va v ve v vr a a lim lim lim t 0 t 0 t 0 t t t v v v v a e lim ar lim t 0 t 0 t t ae ar ac
n

aa ae a ar
t r
n
将上式投影到法线 n上，得
aa sin ae cos arn
n 因此，必须先求得 ar
解：取杆上的A点为动点， 动系与凸轮固连。 绝对速度va = ? , 方向∥ AB ； 相对速度vr = ? , 方向⊥CA; 牵连速度ve=v0 , 方向 → ; 由速度合成定理： a v
' e " e ' r " r
一般式
aa aa ae ae ar ar aC
t n t n t n
aC 2 vr
大小:aC 2vr sin( , vr )
方向：按右手法则确定。
当 90 时( v r ),

aC 2vr
aC 0
C
当 0 或180 时( // vr ),
连加速度与相对加速度的矢量和。
aa ae ar
aa ae ar
∵
a a t a n
∴一般式可写为：
a a a a a a
t a n a t e n e t r
n r
牵连运动为平动时点的加速度合成定理是瞬时矢量式， 共包括大小、方向12个元素，已知任意10个元素，就能求出 其他两个。
第六章
第七章
点的运动学
刚体的简单运动
第八章
第九章
点的合成运动
刚体的平面运动
第八章 点的合成运动
§8–1 相对运动·牵连运动·绝对运动 §8–2 点的速度合成定理 §8–3 牵连运动是平动时点的加速度合成定理 §8–4 牵连运动是转动时点的加速度合成定理
§8-3
牵连运动是平动时点的加速度合成定理
牵连运动为平动时点的加速度合成定理： 当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵
n aB

60°
D A
E C A
60°
n ae
B
t aB
ar
O
a 30° r
30° t
aa
O
30°
aa
ae
角加速度： A点绝对运动作匀速圆周运动；相对运动为直线运动；B点作 圆周运动。其加速度方向如图； √ ？ √ ？
aa ae ar aet aen ar
2 aa o r
不过我的水池平时排水总是顺时针的，从无例外，我观察了一下，原来水龙 头位于排水孔右上方，而池底的坡度使得水流下来自然就会沿着顺时针运 动——漩涡的初始旋向已经被这么决定了。还有抽水马桶，如果也始终顺时 针排水，那么准是水冲下来时就产生了初始旋向。 看来有必要对这个问题重新考察一番，我已经记不清那篇文章是哪里看的，
t aa l (方向 OA),
影片：812
请看动画
n aa l 2 (沿AO指向O)
相对运动：直线运动，

vr ? ar ? 铅直方向
牵连运动：平动；
ve ? ae ?
待求量，方向水平
根据分析作速度图
O
vr
45 °
va
ve

A
va ve vr
2 l () ve va cos45 l cos45 2
也检索不到专业文献，只好四处胡乱翻找一，发现这个问题真的很有意思。
首先解释一下科里奥利力，它是在转动的非惯性参考系下，运动的物体受到 的一种惯性力，科氏力的公式为： F=2mv*ω ，式中v*ω 为矢量积，v为物体相对转动系的速度，ω 为转动系的 角速度。 在实际中，地球就是一个转动的非惯性系，当地球上的物体运动时，如果运 动速度与地球自转轴不平行，就会受到科里奥利力。
选点M为动点，动系固结与圆盘上，
则M点的牵连运动为匀速转动
ve R, ae R 2
vr2 有vr 常数 , ar R
（方向如图）
相对运动为匀速圆周运动，
（方向如图）
由速度合成定理可得出
va ve vr R vr 常数
即绝对运动也为匀速圆周运动，所以
2 va vr2 ( R v r ) 2 2 aa R 2vr R R R
y
ae
aa
（隐含正号，方向假设正确）
BD杆的角加速度：
2 aet 3 o r (l r ) l 3l 2
[例6]
曲柄OA= R =10cm，以匀角速度 =4π rad/s 转 动，求=30°时BC的速度和加速度。
A
解：动点——滑块A 动系固结于BC 绝对运动：
O


B
O1
C
牵连运动：

ve vr ,
做出速度平行四边形,如图示。
vr
ve v0 2 v0 sin sin 60 3
加速度分析如图：
因牵连运动为平动，故有
n
aa ae a a
t r
n r

将上式投影到法线 n上，得
aa sin ae cos arn
2 vr 2 4v0 2 n 2 ( v0 ) / R 其中：a r R 3 3R

2 小车的速度：v ve l () 2
根据分析作加速度图
α
O
ar
aan
45 °
t aa
x √
t a
A
ae
根据牵连平动的加速度合成定理
a a ae ar t 在x轴上投影：aa cos aa sin ae n
n a
√
？
？
其中：

t aa
l ，
2
n aa

n aa (ae cos ar ) / sin
整理得
a AB
4v0 (a0 cos60 ) / sin 60 3R 3 8 v0 2 aa (a0 ) 3 3 R

2
[例5] 曲柄滑杆机构 o 已知：曲柄OA=l， = 45 时，角 速度、角速度 求：小车的速度与加速度。 解： 动点：OA杆上 A点; 动系：固结在小车上; 定系：固结在机架上。 绝对运动：圆周运动，va l (方向OA)