新人教版七年级数学第五章导学案及参考答案

新人教版七年级数学（下册）第五章导学案及参考答案

第五章相交线与平行线

课题：5.1.1 相交线

【学习目标】：在具体情境中了解邻补角、对顶角, 能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题。

【学习重点】：邻补角、对顶角的概念,对顶角性质与应用。

【学习难点】：理解对顶角相等的性质的探索。

【导学指导】

一、知识链接

1.读一读,看一看

学生欣赏图片,阅读其中的文字.

师生共同总结:我们生活的世界中,蕴涵着大量的相交线和平行线. 本章要研究相交线所成的角和它的特征,相交线的一种特殊形式即垂直,垂线的性质, 研究平行线的性质和平行的判定以及图形的平移问题.

2．观察剪刀剪布的过程,引入两条相交直线所成的角

教师出示一块布片和一把剪刀,表演剪刀剪布过程,提出问题:剪布时,用力握紧把手,引发了什么变化?进而使什么也发生了变化?

学生观察、思考、回答,得出结论:

二、自主探究

1.学生画直线AB、CD相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角? 各对角的位置关系如何?根据不同的位置怎么将它们分类?

学生思考并在小组内交流,全班交流.

2.学生根据观察和度量完成下表:

教师再提问:如果改变∠AOC的大小, 会改变它与其它角的位置关系和数量关系吗?

3.邻补角、对顶角概念

邻补角的定义是：

对顶角角的定义是：

5.对顶角性质.

(1)学生说一说在学习对顶角概念后,结果实际操作获得直观体验发现了什么?并说明理由。

对顶角性质:

（ 2）学生自学例题

例:如图,直线a, b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数.

【课堂练习】：

1.课本P3练习

2. 课本P8习题1

【要点归纳】：邻补角、对顶角的概念及性质：

【拓展训练】

1.如图1,直线AB、CD、EF相交于点O,∠BOE的对顶角是_______,∠COF 的邻补角是________；若∠AOC:∠AOE=2:3,∠EOD=130°,则∠BOC=_________.

(1) (2)

2.如图2,直线AB、CD相交于点O,∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=________。

3.两条直线相交,如果它们所成的一对对顶角互补, 那么它的所成的各角的度数是多少?

【总结反思】：

课题：5.1.2 垂线(1)

【学习目标】：了解垂直概念,能说出垂线的性质, 会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.

【学习重点】：两条直线互相垂直的概念、性质和画法.

【学习难点】：推理能力和表达能力的培养

【导学指导】

一、温故知新

1．如图∠1=60°，那么∠2、∠3、∠4的度数

2. ∠1=90°，那么∠2、∠3、∠4的度数

3.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象?

二、自主探究

（一）垂直定义

1．出示相交线的模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条, 当b的位置变化时,a、b所成的角a 是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?

结论:当b的位置变化时,角a从锐角变为钝角,其中∠a是_____角是特殊情况；其特殊之处还在于:当∠a是_____角时,它的邻补角,对顶角都是_____角,即a、b所成的四个角都是_____角,都_____。

2.垂直定义

两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____角时，我们称这两条直线__________其中一条直线

是另一条的_____，他们的交点叫做_____。

3．表示方法：

垂直用符号“_____”来表示，结合课本图－5说明“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，

则记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.

4.垂直应用：

∵∠AOD=90°（）

∴AB⊥CD （）

∵ AB⊥CD （）

∴∠AOD=90°（）

找一找：在你身边，你还能发现“垂直”吗？

5．判断以下两条直线是否垂直:

①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;

②两条直线相交所成的四个角相等;

③两条直线相交,有一组邻补角相等;

④两条直线相交,对顶角互补。

（二）垂线的性质

1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.

(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.待学生上黑板画出L的垂线后,教

师追问学生:还能画出L的垂线吗?能画几条?

L A L

（2）在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形.

学生的结论: ____________________________________________

(3)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?

B.

L

学生的结论: ____________________________________________

学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:

垂线性质1: ____________________________________________

【课堂练习】：

1.课本P5练习

2.课本P8习题1

【要点归纳】：1.你有那些收获？

【拓展训练】：

1.如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________；

2.如图2,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________；

3.如图3,直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB

的位置关系是_________；

4.已知:如图,直线AB,射线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD 与OE的位置关系。【总结反思】：

课题：5.1.2垂线(2)

【学习目标】：了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离.

【学习重点】：“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用.

【学习难点】：对点到直线的距离的概念的理解.

【导学指导】

一、温故知新

1.垂线的定义：

2.垂线性质1：

3.线段公理：

二、自主探究

1.探究垂线段最短的垂线性质

观察课本图,

思考：:要把河中的水引到农田P处, 有多少引法？并画出图形，用适当的方法比较比较它们的长短，选出你认为最合理的一种方法。

观察课本图,

结论：垂线的性质2：

2．点到直线的距离

1.忆一忆

两点之间的距离：

2.点到直线的距离

定义：

问题：课本中水渠该怎么挖最合理?在图上画出来.如果图中比例尺为1:100000, 水渠大约要挖多长?

【课堂练习】：

1.课本P6练习.

2.如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=,BD=,AD=,AC= 6,那么点C到AB的距离是_______,

点A到BC的距离是________,点B到CD 的距离是_____,A、B两点的距离是_________.

3.如图,在线段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短.小明说垂线段最短, 因此线段AD的长是点A到

BF的距离,对小明的说法,你认为_________________.

【要点归纳】：1.你有那些收获？

2.你的学习疑难解决了吗？

【拓展训练】：

1. 判断正误,如果正确,请说明理由,若错误,请订正。

(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.

(2)如右图,线段AE是点A到直线BC的距离.

(3)如右图,线段CD的长是点C到直线AB的距离.

2.如下图,分别画出点A、B、C到BC、AC、AB的垂线段,再量出A到BC、点B到AC、点C到AB的距离。

【总结反思】：

课题：5.1.3同位角、内错角、同旁内角

【学习目标】：1、知道三线八角的意义，并能从复杂图形中识别它们

2、通过三线八角的特点的分析，培养学生抽象概括问题的能力

【学习重点】：三线八角的意义，

【学习难点】：能在各种变式的图形中找出这三类角 【导学指导】 一、知识链接

阅读课本P6-7页，解决以下问题：

1、截线与被截线是如何划分的，举例说明！

2、同位角、内错角、同旁内角都是由它们的位置而命名的，它们各自有什么特征？请举例说明！

二、自主学习

1.同位角、内错角、同旁内角的特征：

（1）同位角的基本特征： 同旁同侧，即在两条直线的同旁，第三条直线（截线）的 同侧．

如图1， 故两角的边所在直线构成任意旋转的“F ”字形 . （2）内错角的基本特征：内部两旁，即在两条直线的内部，第三条直线（截线）的两旁；如图1

___________________________故两角的边所在直线构成任意旋转的“Z ”字形 .

图1 1

2 3

4

5

6

7 8

a

b

c

（3）同旁内角的基本特征：内部同旁，即在两条直线的内部，第三条直线（截线）的同旁．

如图1，_____________________________．故两角的边所在直线构成任意旋转的“U ”字形 . 由此可见，在截线的同旁，找 ；在截线的两旁，找 2.学生自学P7例题 3．注意图形的识别

复杂图形的识别方法

把复杂图形的识别转化为简单的基本图形的识别． 例 如图2，指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角．

析解：把相关的两个角从图4中分离出来，得到如图5所示的简单图形，这样就容易判断出：

图3

∠1与∠4是同位角（图3①）；∠2与∠5是内错角（图3②）；∠3与∠4是同旁内角（图3③），∠4与∠5是同旁内角（图3④），∠3与∠5是同旁内角（图3⑤）. 【课堂练习】： 1. 课本P7练习.

【要点归纳】：同位角的特征：

内错角的特征： 同旁内角的特征：

【拓展训练】：

1 2 3 4

5

（图2）

3

5

1

4

2 5

3

4 5

4

① ②

③

④

⑤

1.如图4所示，下列结论错误的是（）

（A）∠1与∠B是同位角

（B）∠1与∠3是同旁内角

图4

（C）∠2与∠C是内错角

（D）∠4与∠A是同位角

2.如图5所示，∠1的同位角是，∠2的内错角是，∠3的同旁内角是 .

3.如图6，（1）∠2与∠4是直线和被直线所截而形成的 .

（2）∠1与∠3是直线和被直线所截而形成的 .

图5

图6

【总结反思】：

课题 5.2.1 平行线

【学习目标】：1.了解平行线的概念，知道平行公理以及平行公理的推论.

2.会用符号语方表示平行公理推论, 会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的

平行线.

【学习重点】：探索和掌握平行公理及其推论.

【学习难点】：对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质.

【导学指导】

一、知识链接

1.两条直线相交有几个交点?

2.相交的两条直线有什么特殊的位置关系?

3.在平面内,两条直线除了相交外,还有别的位置关系吗?

二、自主学习

平行线定义,表示法

1、自学课本12页，回答下列问题：

思考：木条a、b有没有不相交的位置？

得出：在转动的过程中，存在一个直线a与直线的位置，这时直线a与b互相平行，记作。强调:平行线定义的本质属性,第一是同一平面内两条直线,第二是没有交点的两条直线.

在同一平面内，两条直线位置关系有种，是和。

2、画图、观察、归纳概括平行公理及平行公理推论

1.用直尺和三角尺画平行线.

已知:直线a,点B,点C.

(1)过点B画直线a的平行线,能画几条?

(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗?

.

结论：平行公理

(3)比较平行公理和垂线的第一条性质.

共同点:_________________________________________________

不同点:__________________________________________________

2. (1)直观判定过B点、C点的直线b、c是否互相平行.

(2)从直线b、c产生的过程说明直线b∥直线c.

(3)用三角尺与直尺用平推方验证b∥c.

平行公理推论:_________________________________________________

结合图形,用符号语言表达平行公理推论:___________________________

(5)简单应用.

练习:如果多于两条直线,比如三条直线a、b、c与直线L都平行, 那么这三条直线互相平行吗?请说明理由.

【课堂练习】：

1、判断题.

（1）不相交的两条直线叫做平行线.( )

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线平行, 那么它与另一条直线也互相平行.( )

（3）过一点有且只有一条直线平行于已知直线.( )

2、填空题

（1）在同一平面内,两条直线的位置关系有_________.

（2）在同一平面内,一条直线和两条平行线中的一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一条必__________.

（3）两条直线相交,交点的个数是________,两条直线平行,交点的个数是_____个.

3、P13练习

【要点归纳】：本节课你有那些收获？

【拓展训练】：

1．在下列图中，过P作直线MN下列语句,并画出图形后判断.

(1)直线a、b互相垂直,点P是直线a、b外一点,过P点的直线c垂直于直线b。

(2)判断直线a、c的位置关系,并借助于三角尺、直尺验证.

5.试说明三条直线的交点情况,进而判定在同一平面内三条直线的位置情况。

【总结反思】：

课题：5.2.2平行线的判定

【学习目标】：掌握直线平行的条件,领悟归纳和转化的数学思想方法。

【重点难点】：探索并掌握直线平行的条件。

【导学指导】

一、温故知新

写出右图中所有的同位角、内错角、同旁内角

二、自主探究

1.填空:经过直线外一点,________与这条直线平行.

2.画图:已知直线AB,点P在直线AB外,用直尺和三角尺画过点P的直

线CD,使CD∥AB

3.思考:在用直尺和三角形画平行线过程中,三角尺起着什么样的作用？

4．你是否得到了一个判定两直线平行的方法?

两直线平行的判定方法1：

简单记为

符号语言表达：

探索两条直线平行的其它方法

1．由∠2=∠3，，能得出 a ∥b吗？. 你能用学过的两直线平行的判定方法1来说明吗?

因为∠2=∠3，而∠3=∠1( ),所以（）, 即同位角相等,因此a ∥b

两直线平行的判定方法2：

简单记为

符号语言表达

2．同旁内角数量上满足什么关系时,两直线平行?

_c

_b

_a _4

_3

_2

_1

观察图形可先排除∠4和∠2相等,当∠4是锐角时,∠2是（）角才有可能使a ∥b,进一步观察发现:如果同旁内角（）时,两条直线平行,即如果∠2+∠4=（）,那么a ∥ b.

利用平行判定方法1或方法2来说明猜想正确.

因为∠4+∠2=180°,而∠4+（）=180°,根据（）,所以有∠2=∠1, 即（）,从而a ∥ b.

因为∠4+∠2=180°,而∠4+（）=180°,根据（）,所以有∠3=∠2, 即（）,从而a ∥ b.

两条直线平行的判定方法3：

简单记为

符号语言表达:

【课堂练习】：

1、如图2 ，∠1＝120°,∠2＝60°．问a与b的关系？

2、如图，如果1=4，那么AB是否和CD平行，说明你的理由。

【要点归纳】：平行线的判定方法

【拓展训练】：

1、根据右图完成下列填空（括号内填写理由）

（1）∵∠1=∠4（已知）

∴∥（）

（2）∵∠ABC +∠ =180（已知）

∴AB∥CD（）

（3）∵∠ =∠（已知）

∴AD∥BC（）

（4）∵∠5=∠（已知）

∴AB∥CD（）

2、根据右图完成下列填空

（1）由∠3＝∠2，可判定∥，理由是。

（2）由∠C＝∠2，可判定∥，理由是。

（3）由∠C＋∠CDA＝180°，可判定∥，理由是。【总结反思】：

课题 5．3．1 平行线的性质

【学习目标】：掌握平行线的性质，并且会运用它们进行简单推理和计算。

【重点难点】：平行线的三个性质的推导及运用。

【导学指导】

一、温故知新

1、回答：如图

(1)∠3=∠B，则EF∥AB，依据（）

(2)∠2+∠A=180°,则DC∥AB,依据（）

(3)∠1=∠4，则GC∥EF，依据是（）

(4)GC ∥ EF,AB ∥ EF,则GC∥AB，依据（）

3、问题：平行线的判定方法有哪三种？它们是先知道什么……、后知道什么？

二、自主探究：

1.学生自学课本P19的内容，

结论：

平行线的性质1：__________________________________________

B D

C

E A 平行线的性质2：____________________________________________ 平行线的性质3：__________________________________________________

2.根据性质1如何推出性质2，性质3？ (1).如图，已知：a 结论：平行的性质2：

(2).如图：已知a 图：已知 1= 2

求证： BCD+ D=180 证明：如图

∵ 1= 2（已知）

∴AD ∥_____( ) ∵AD ∥_____（已证）

∴ BCD+ D=180（ ) 比一比：平行的判定与性质有什么不同？

2、 如图A C ∥BD,则下面结论中正确的是:（ ） A. ∠1= ∠2 B.∠3= ∠4

C. ∠A= ∠C

D.∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4= 180 ゜

3.如图，若AB 5.3.22A 本22页练习1、2

2.指下面的命题的题设和结论，并改写成“如果……那么……”的形式。

1、两直线平行，同旁内角互补。

2、邻补角是互补的角。

3、小于直角的角是锐角。

4、等角的补角相等。

5、平行于同一条直线的两条直线平行。

6、对顶角相等。

7、相等的角是对顶角。

8、三个内角都等于60°的三角形是等边三角形

【要点归纳】：

1.本节课你有哪些收获？

2.你还有哪些疑惑？

【总结反思】：

课题平移

【学习目标】了解平移的概念，掌握平移的性质

【学习重点】平移的性质

【学习难点】平移的性质的应用

【导学指导】

阅读课本27—29，回答下列问题：

1.平移的概念：________________________________________________________

2.平移的特征：

（1）______________________________________________________________________

(2)______________________________________________________________________________________

3.决定平移的条件： 平移的方向和平移的距离

要弄清一个平移变换，首先要弄清平移的方向，它可以是上下左右或用方位角表示。

其次弄清平移的距离，平移的距离就是新图形与原图形对应点连线的长度。 【课堂练习】：

1.下列A 、B 、C 、D 四幅图案中，能通过平移图案（1）得到的是（ ）

（1） A ． B ． C ． D ．

2.如图1，△A ′B ′C ′是由△ABC 沿BC 方向平移3个单位得到的，则点A 与点A ′的距离等于 个单位.

3.下列各组图形，可经平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）

4.在5×5

方格纸中将图2

（1）中的图形N 平移后的位置如图2（2）中所示，那么正确的平移方法是（ ）

A.先向下移动1格，再向左移动1格；

B.先向下移动1格，再向左移动2格；

C.先向下移动2格，再向左移动1格；

D.先向下移动2格，再向左移动2格.

【要点归纳】：

A B C A ′

B ′

C ′

A B C

D

1 2

1.平移的概念：

2.平移的特征：

【拓展训练】：

1.如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到

△DEF,则四边形ABFD的周长为（）

A．6 B. 8

2.如图2—1，多边形的相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为（）.

A、21

B、26

C、37

D、42

3.如图，一个楼梯的总长度为5米，总高度为4米，若在楼梯上铺地毯，至少需要多少米？【总结反思】：

第五章相交线与平行线复习课（两课时）

知识结构图

基本知识提炼整理

（一）主要概念

1、邻补角：有一条______，另一边____________的两个角，叫做互为邻补角。

2、对顶角：一个角的两边分别为另一个角两边的____________，这样的两个角叫做对顶角。

3、垂线：两条直线相交所成四个角中，如果有一个角是______，我们就说这两条直线互相垂直，其

中一条直线叫做另一条直线的垂线。

4、垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段。

5、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的________的长度。

6、平行线：同一平面内，_________的两条直线叫做平行线。

7、命题：判断一件事情的语句叫做命题。

8、平移：把一个图形整体沿着某一方向平行移动，这种移动叫做平移变换，简称平移。

9、平移的要素：平移的_____和平移的_______。

10.两条平行线的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做两条平行线的距离。

（二）主要性质

1、对顶角的性质：_______________________

2、邻补角的性质：互为邻补角的两个角和为_____

3、垂线的基本性质：

（1）经过一点_____________直线垂直于已知直线.

（2）垂线段_______

4、平行线的判定与性质