高三精选立体几何大题30题(含详细解答)
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立体几何大题
1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．
（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．
（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．
∴ ，∴ ．
∴ ．
5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.
（Ⅰ）求证：MN⊥AB；
（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.
（Ⅰ）连结AC，AN.由BC⊥AB，AB是PB在
.
6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N
分别为棱DD1、AB、BC的中点。
（I）求二面角B1—MN—B的正切值；
（II）证明：PB⊥平面MNB1；
（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足
“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，
（Ⅲ）求二面角C-BE-D的正切值．
证：（Ⅰ）取CE中点M，连结FM，BM，则有 ．
∴四边形AFMB是平行四边形．
∴AF//BM，
∵ 平面BCE，
平面BCE，
∴AF//平面BCE．
（Ⅱ）由于DE⊥平面ACD，
则DE⊥AF．
又△ACD是等边三角形，则AF⊥CD．而CD∩DE=D，因此AF⊥平面CDE．
= × ×3×3×
= （10分）
解（Ⅲ）连CF，
∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，
由三垂线定理知，CF⊥AE.
于是，∠BFC为二面角B—AE—C的平面角，
在Rt△ABE中，BF= ，
在Rt△CBF中，tg∠BFC= ，
∴∠BFC= arctg .
即二面角B—AE—C的大小为arctg .
3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点
底面ABCD上的射影.则有BC⊥PB.
又BN是Rt△PBC斜边PC的中线，
即 .
由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，
则AN是Rt△PAC斜边PC的中线，
即
又∵M是AB的中点，
（也可由三垂线定理证明）
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，有PD⊥DC.
则∠PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角
由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c，又由AB=PD=DC，N是PC中点，
则有DN⊥PC
又∵平面MND⊥平面PCD于ND，∴PC⊥平面MND ∴PC⊥MN，
而N是PC中点，则必有PM=MC.
此时 .
即二面角P—CD—A的大小为
（Ⅲ） ，连结BD交AC于O，连结NO，则NO PA.且NO⊥平面AMD，由PA=a
M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.
（I）求证：点M为BC的中点；
（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；
（Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值.
答案：（I）证明：∵△AMC1是以点M为直角
顶点的等腰直角三角形，
∴AM⊥MC1且AM=MC1
∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，
有CC1⊥底面ABC.
（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．
解：（1）用直尺度量折后的AB长，若AB＝4cm，则二面角A－CD－B为直二面角．
∵ △ABC是等腰直角三角形，
又∵ AD⊥DC，BD⊥DC．
∴ ∠ADC是二面角A－CD－B的平面角．
（2）取△ABC的中心P，连DP，则DP满足条件
∵ △ABC为正三角形，且AD＝BD＝CD．
∴三棱锥D－ABC是正三棱锥，由P为△ABC的中心，知DP⊥平面ABC，
∴ DP与平面内任意一条直线都垂直．
（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有 代入得 ，即半径最大的小球半径为 ．
在Rt△BHM中，
∵△AMC1为等腰直角三角形，∠AC1M=45°.
∴△C1IH也是等腰直角三角形.
由C1M=
∴
4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；
2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；
（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；
（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.
证（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，
∴D1D⊥ABCD.
又BM//AF，则BM⊥平面CDE．
．
（Ⅲ）设G为AD中点，连结CG，则CG⊥AD．
由DE⊥平面ACD， 平面ACD，
则DE⊥CG，又AD∩DE=D，
∴CG⊥平面ADEB．
作GH⊥BE于H，连结CH，则CH⊥BE．
∴∠CHG为二面角C-BE-D的平面角．
由已知AB=1，DE=AD=2，则 ，
∴ ．
不难算出 ．
连AC，又底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
由三垂线定理知D1B⊥AC.
同理，D1B⊥AE，AE∩AC=A，
∴D1B⊥平面AEC.
解（Ⅱ）VB－AEC=VE－ABC.
∵EB⊥平面ABC，
∴EB的长为E点到平面ABC的距离.
∵Rt△ABE~Rt△A1AB，
∴EB=
∴VB－AEC=VE－ABC= S△ABC·EB
∴C1M在底面内的射影为CM，
由三垂线逆定理，得AM⊥CM.
∵底面ABC是边长为1的正三角形，
∴点M为BC中点.
（II）解法（一）
过点B作BH⊥C1M交其延长线于H.
由（I）知AM⊥C1M，AM⊥CB，
∴AM⊥平面C1CBB1.
∴AM⊥BH. ∴BH⊥平面AMC1.
∴BH为点B到平面AMC1的距离.
∵△BHM∽△C1CM.
AM=C1M= 在Rt△CC1M中，可求出CC1
解法（二）
设）知AM⊥C1M，AM⊥CB，
∴AM⊥平面C1CBB1
∵AB=1，BM=
（III）过点B作BI⊥AC1于I，连结HI.
∵BH⊥平面C1AM，HI为BI在平面C1AM内的射影.
∴HI⊥AC1，∠BIH为二面角M—AC1—B的平面角.
1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．
（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．
（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．
∴ ，∴ ．
∴ ．
5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.
（Ⅰ）求证：MN⊥AB；
（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.
（Ⅰ）连结AC，AN.由BC⊥AB，AB是PB在
.
6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N
分别为棱DD1、AB、BC的中点。
（I）求二面角B1—MN—B的正切值；
（II）证明：PB⊥平面MNB1；
（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足
“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，
（Ⅲ）求二面角C-BE-D的正切值．
证：（Ⅰ）取CE中点M，连结FM，BM，则有 ．
∴四边形AFMB是平行四边形．
∴AF//BM，
∵ 平面BCE，
平面BCE，
∴AF//平面BCE．
（Ⅱ）由于DE⊥平面ACD，
则DE⊥AF．
又△ACD是等边三角形，则AF⊥CD．而CD∩DE=D，因此AF⊥平面CDE．
= × ×3×3×
= （10分）
解（Ⅲ）连CF，
∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，
由三垂线定理知，CF⊥AE.
于是，∠BFC为二面角B—AE—C的平面角，
在Rt△ABE中，BF= ，
在Rt△CBF中，tg∠BFC= ，
∴∠BFC= arctg .
即二面角B—AE—C的大小为arctg .
3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点
底面ABCD上的射影.则有BC⊥PB.
又BN是Rt△PBC斜边PC的中线，
即 .
由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，
则AN是Rt△PAC斜边PC的中线，
即
又∵M是AB的中点，
（也可由三垂线定理证明）
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，有PD⊥DC.
则∠PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角
由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c，又由AB=PD=DC，N是PC中点，
则有DN⊥PC
又∵平面MND⊥平面PCD于ND，∴PC⊥平面MND ∴PC⊥MN，
而N是PC中点，则必有PM=MC.
此时 .
即二面角P—CD—A的大小为
（Ⅲ） ，连结BD交AC于O，连结NO，则NO PA.且NO⊥平面AMD，由PA=a
M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.
（I）求证：点M为BC的中点；
（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；
（Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值.
答案：（I）证明：∵△AMC1是以点M为直角
顶点的等腰直角三角形，
∴AM⊥MC1且AM=MC1
∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，
有CC1⊥底面ABC.
（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．
解：（1）用直尺度量折后的AB长，若AB＝4cm，则二面角A－CD－B为直二面角．
∵ △ABC是等腰直角三角形，
又∵ AD⊥DC，BD⊥DC．
∴ ∠ADC是二面角A－CD－B的平面角．
（2）取△ABC的中心P，连DP，则DP满足条件
∵ △ABC为正三角形，且AD＝BD＝CD．
∴三棱锥D－ABC是正三棱锥，由P为△ABC的中心，知DP⊥平面ABC，
∴ DP与平面内任意一条直线都垂直．
（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有 代入得 ，即半径最大的小球半径为 ．
在Rt△BHM中，
∵△AMC1为等腰直角三角形，∠AC1M=45°.
∴△C1IH也是等腰直角三角形.
由C1M=
∴
4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；
2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；
（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；
（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.
证（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，
∴D1D⊥ABCD.
又BM//AF，则BM⊥平面CDE．
．
（Ⅲ）设G为AD中点，连结CG，则CG⊥AD．
由DE⊥平面ACD， 平面ACD，
则DE⊥CG，又AD∩DE=D，
∴CG⊥平面ADEB．
作GH⊥BE于H，连结CH，则CH⊥BE．
∴∠CHG为二面角C-BE-D的平面角．
由已知AB=1，DE=AD=2，则 ，
∴ ．
不难算出 ．
连AC，又底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
由三垂线定理知D1B⊥AC.
同理，D1B⊥AE，AE∩AC=A，
∴D1B⊥平面AEC.
解（Ⅱ）VB－AEC=VE－ABC.
∵EB⊥平面ABC，
∴EB的长为E点到平面ABC的距离.
∵Rt△ABE~Rt△A1AB，
∴EB=
∴VB－AEC=VE－ABC= S△ABC·EB
∴C1M在底面内的射影为CM，
由三垂线逆定理，得AM⊥CM.
∵底面ABC是边长为1的正三角形，
∴点M为BC中点.
（II）解法（一）
过点B作BH⊥C1M交其延长线于H.
由（I）知AM⊥C1M，AM⊥CB，
∴AM⊥平面C1CBB1.
∴AM⊥BH. ∴BH⊥平面AMC1.
∴BH为点B到平面AMC1的距离.
∵△BHM∽△C1CM.
AM=C1M= 在Rt△CC1M中，可求出CC1
解法（二）
设）知AM⊥C1M，AM⊥CB，
∴AM⊥平面C1CBB1
∵AB=1，BM=
（III）过点B作BI⊥AC1于I，连结HI.
∵BH⊥平面C1AM，HI为BI在平面C1AM内的射影.
∴HI⊥AC1，∠BIH为二面角M—AC1—B的平面角.