低速空气动力学理论与计算：第四章
低速空气动力学理论与计算：第三章
流线的定义：
这条曲线上的任何一点曲线的切线都和该点微团的速度方向 一致，就是流线
在欧拉描述中，场每一点都有速度（大小和方向），那么在某一个瞬间看流场，从某点出发， 顺着这一点的速度指向微小距离的邻点，再按邻点同一时刻的速度指向再画一个微小距离， 一直画下去就得到一条曲线。
流线满足的方程
流线上各点的切线与该点流向一致，则流线上的切线的三个余弦dx/ds， dy/ds，dz/ds必和流速的三个分量与合速度所夹的三个角度的余弦相同
45
两倍角速度乘以所围面积
环量与涡
对于有限大面积S，沿围线L 做速度线积分
所得结果适合于任何形状的 围线，右图割线也不必正交
S单连通即可，双连通再分割即可
46
环量与涡
流场中任何一点的角速度的二倍称为流体 的涡度。这是一个运动学概念。
结论：沿围线计算环量，如果内部有涡， 环量有值；如果内部无涡环量为零。
43
环量与涡
对于无旋流，存在速度位势，上述速度分 量可以用位势的分量表示
此时环量值与路径无关，只与AB的位置有关，大小为位势函数之差
如果沿封闭曲线积分，那么
44
环量与涡
对于有旋流，由A至B的线积 分，环量值与A到B的曲线形 状有关系，其值不是0。是什么？ 如右图流体微团，做ABCD速 度线积分
机翼导致的流场：空间和时间的函数
5
流场的基本描述方法
欧拉方法的加速度表达式
一维流动中已经介绍过加速度的两个组成部分：
当地加速度：P(x,y,z)在t时刻流体微团的速度是时间 的函数 迁移加速度：迁移导致的速度改变
低速空气动力学
●翼型在零升迎角下的压强分布
后半部分合力 压强低于 环境气压 压强高于 环境气压
气动中心
压强低于 环境气压
前半部分合力
第二章 第 12 页
II. 升力系数曲线斜率
CL CL ( 0 )
CL
第二章 第 13 页
III. 临界迎角和最大升力系数
CL max
lj
第二章 第 14 页
较大迎角
大迎角
第二章 第 6 页
●翼型在不同迎角下的压强分布
第二章 第 7 页
●翼型在不同迎角下的压强分布
第二章 第 8 页
●压力中心（CP）位置随迎角改变的变化
第二章 第 9 页
●压力中心（CP）位置随迎角改变的变化
第二章 第 10 页
② 升力特性参数
I. 零升迎角 0
0
第二章 第 11 页
●相对厚度对升力特性的影响
相对厚度增加，最大升力系数增加，临界迎角减小。
相型前缘半径对升力特性的影响
前缘半径增加，临界迎角增加。
半径小 半径大
第二章 第 16 页
●展弦比对升力特性的影响
展弦比越高，最大升力系数越大，临界迎角越小。
展弦比高
展弦比低
第二章 第 17 页
第二章 第 23 页
2.4.3 升阻比特性
① 升阻比
升阻比是相同迎角下，升力系数与阻力系数之比，用K 表示。 升阻比的大小主要随迎角变化而变化。 升阻比越大，飞机的空气动力性能越好。
L CL K D CD
第二章 第 24 页
② 升阻比曲线
K MAX
L CL K D CD
临界迎角
最小阻力 迎角
第二章 第 37 页
《低速空气动力学》课件
飞行器的运动状态和运动 方程，飞行器的气动力学 模型，飞行器的动力学特 性分析。
4 第四章：低速气动力 5 第五章：低速飞行器 6 第六章：应用实例与
学特性
的气动设计
研究展望
低速气动力学流动的特性， 粘性效应和不可压缩性的 影响，气动力学的基本定 律和特性。
低速飞行器气动外型设计， 气动力学计算方法，气动 力学试验和验证方法。
《低速空气动力学》PPT 课件
一个引人入胜且易于理解的PPT课件，介绍了低速空气动力学的基本概念和原 理。
低速空气动力学课绍， 学习目标和目的。
2 第二章：气动力学基 3 第三章：飞行器的运
础知识
动学和动力学
气体的物理特性，流动的 基本规律，流体力学的基 本方程，低速近似和网格 生成等基础知识。
低速飞行器的应用案例， 未来低速飞行器的研究展 望。
7 结束语
总结本章内容，激发学习兴趣。
【精品】空气动力学111
第一章流体介质习题：1-1.气瓶容积为315.0m ，在K 303时，瓶中氧气的压强是26/105m N ⨯，求气瓶中氧气的重量。
解：由完全气体状态方程RT p ρ=……………………①和质量体积关系Vm=ρ……………………………② 得：N KK s m s m m m N RT pVg mg G 50.84303)/(053.287/8.915.0/105222326≈⨯⋅⨯⨯⨯=== 所以气瓶中氧气的重量为N 50.84。
1-2.两平行圆盘，直径都为D ，两者相距h ，下盘固定，上盘以匀角速度ω旋转。
盘间有一种粘性系数为μ的液体。
假设与直径D 相比两盘的距离h 为小量，两盘之间液体的速度分布呈线性关系。
试推导粘性系数μ与转矩T 及角速度ω之间的关系式。
解：如右图建立平面直角坐标系xy o -，上盘的轴向速度设为：()r n r ωυ=,，因为两盘之间液体速度呈线性分布，所以两盘之间液体的周向速度为：()r hy n r ωυ=,……………………………①摩擦应力为：dyd υμτ=………………………② 取上盘dr 微段圆环为研究对象，其转矩为：r ds dT ⋅⋅=τ……………………………③∵θrdrd ds =……………………………④∴①、②、④代入③得：θμωτdrd hr dr ds dT 3=⋅⋅=两边积分得：hD drd hr T D 3242023πμωθμωπ==⎰⎰，即为粘性系数μ与转矩T 及角速度ω之间的关系。
1-3.用容积为31000m 的金属罐作水压试验。
先在容器内注满一个大气压的水，然后加压注水，使容积内压强增加到25/107m N ⨯，问需再注入多少水？解：有水的体积弹性模数公式可知水压试验后容器内的液体密度增量为：ρρE =∆，则多注入水的体积为：3293225285.0/101.21000)/101325/107(m mN m m N m N E V p V E p VmV ≈⨯⨯-⨯=⋅∆=⋅⋅∆=⋅∆=∆=∆ρρρρρ。
空气动力学总结
空气动力学总结第一章流体的基本属性和流体静力学基础1.连续介质假设：根据空气微团的概念，就可以把空气看做是由空气微团组成的没有间隙的连续体。
2.一般情况下，流体只承受压力，而不承受拉力，在一定的剪切力的作用下，流体会产生连续的变形，因此静止的流体不能承受剪切力。
3.空气微团：指含有很多空气分子的很微小的一团空气，它与飞行器特征尺寸大小相比微不足道的，同时它还要包含足够多的空气分子数目，要使空气密度的平均特征值有确切的含义。
4.在研究飞行器在任何高度飞行所受的空气动力时都可以应用连续介质假设。
（X）原因：只有在对流和平流层可以5.描述流体的主要物理量有密度、温度、压强密度的物理意义：反映流体的稠密程度温度的物理意义：反映分子无规则运动平均动能的大小压强的物理意义：流体单位面积上作用力的大小三者之间的关系：P=ρRT （R 为气体常数）6.理想气体状态方程：P v =RT（对1kg 气体）P V m =R m T（对1kmol 气体）（标准状态下V m =22.414）P v=mRT =nR m T（对mkg 或nkmol 气体）R m 为摩尔气体常数，不仅与气体所处的状态无关，而且还与气体种类无关，又叫通用气体常数。
R 为气体常数，大小为287.06或287，它与所处状态无关，但随气体种类的不同而不同，气体常数和通用气体常数的关系是R m =M·R（M 为物质的摩尔质量）**上述方程中应该使用绝对压力，不能使用直接测量得出的表压****上述方程中的温度应该使用绝对温度（开氏温度）****其中P 的单位是pa 而不是hpa，标准大气压是1013.25hpa**7.不同温度单位、压强单位的换算关系：T F =9/5T+32或T=5/9（T F -32）T K =T C +273.150℃100℃32（华）212（华）273.15K 373.15K **atm 指的是大气压，标准海平面时为1atm**8.流体的压缩性：我们将流体随着压强增大而体积缩小的特性。
空气动力学基础
我把Introductiontoflight的第四章Basicaerodynamics略读了一遍，提炼了其中的重点要点，将其总结在一起分享给同学们，希望对大家空气动力学的学习有所帮助。
这个文档内容涉及的气流都是无黏的（书134—228页），没有包含黏性研究的部分。
因为领域导论书对黏性没怎么研究，基本都是只给结论，所以就不1、注意公式的限定条件，避免错误地加以应用。
2、大物书上的理想气体方程是Pv=RT，其中的R是普适气体常量（universalgasconstant），领域导论书上的P=ρRT是经过变换的等价形式，其中的R是个别气体常量(specificgasconstant)，等于普适气体常量R普适/M，大家变一下马上就懂了。
2、谈谈我的一个理解：本书中的研究好像不太强调质量和体积，可能是因为空气动力学研究没必要也不方便强调。
在一、基本方程——7、能量方程的推导中，v=1/ρ，这里的1应理1，不，同Pv=R1，并利用普适气体常量和个别气体常量的关系，即可3和和c p，（（（molarheatcapacityatconstantpressure）。
对比起来有（下式中R个指个别气体常量，R普指普适气体常量，i指分子自由度，γ指热容比）：比热摩尔热容c v=R个，c p=R个c v=R普，c p=R普c p-c v=R个c p-c v=R普γ==γ==4、小写v代表体积，大写V代表速度，注意区分，其他字母1、则即2、忽略重力和黏性，朝向x正方向的力为Pdydz压强的变化率为则朝向x负方向的力为(P+dx)dydz则合力F=Pdydz-(P+dx)dydz=-(dxdydz) 又a===V 由3、++即P+ρ在一条流线上是常量，其中用表示，对于不可压缩流，等于总压，我们在方程的应用中会再提及。
4、关于热力学第一定律系统的内能增量=外界传热+外界做功，即de=δq+δw其中δw=-Pdv(压缩，所以v减小，dv是负值，所以有负号) 则δq=de+Pdv定义焓h=e+Pv5、，即系统增加单位温度所吸收的热量等体过程的比热写作可得de=δq=c v dT从e=0和T=0积分得e=c v T我们在大物中学的是e=R普T，m还是要当做单位质量1，推出e=R个T=c v T。
风力机空气动力学-第四章解析
华北电力大学
《风力机空气动力学》
17
§4-2：基础理论
与前面比较，本节考虑风轮尾流的旋转。 气流在风轮上产生转矩时，也受到风轮的反作用力，由此气流产生了 一个反向的角速度，使尾流以相反的方向转动。
新能源、可再生能源 ➢ 我国丰富的风资源与
政府的大力支持 ➢ 风能是有很强综合性的
技术学科
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§4-1：概述
研究内容
➢ 风力机空气动力模型； ➢ 风力机翼型空气动力特性； ➢ 风力机叶片空气动力设计； ➢ 风力机风轮性能计算； ➢ 风力机空气动力载荷计算； ➢ 风力机气动弹性稳定性和动力响应； ➢ 风力机空气动力噪声和风力机在风电场中的布置等。
图３-１ 风轮流动的单元流管模型
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§3-2：基础理论
假设来自远前方的流管，在叶轮激盘处恰与激盘外径相切，并伸 向下游，如此建立控制体。
应用一维动量方程得
激盘前后区域应用伯努利方程
T m V1 V2
m 单位时间流经风轮的空气
风轮处的质量流量：VA ，那么
T AV V1 V2
V
2 3
V1
V2
1 3
V1
V2/V1
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风轮附近速度和压力的变化规 律
➢ 风力平面处的风速总比来流小 （风轮吸收了功率）
➢ 本模型假设尾迹不旋转，意味着 在转动尾迹的动能中没有能量损 失。
✓ 实际上肯定是有损失的。
➢ 即使对最佳设计的风轮也不可能 系数60％的风动能。
V12
V22
1 AV
2
第四章 风洞介绍
风洞流动显示
2010年 飞行器工程学院 飞行器设计与工程系 刘勇 2010年8月
4.1 风洞是什么
• 风洞的作用 —流动显示 流动显示
风洞流动显示
2010年 飞行器工程学院 飞行器设计与工程系 刘勇 2010年8月
4.1 风洞是什么
• 中国的风洞 —中国最大的风洞群在绵阳空气动力研究与发 中国最大的风洞群在绵阳空气动力研究与发 展中心。 展中心。
亚音速
跨音速
超音速
2010年 飞行器工程学院 飞行器设计与工程系 刘勇 2010年8月
4.2 风洞是如何工作的
• 一般情况下，空气动力学气动参数都可以根据 一般情况下，空气动力学气动参数都可以根据 气动参数 Re和Ma及迎角确定。进行实验时， Re和Ma及迎角确定。进行实验时，只要这两个 参数相同，就认为流动是一样 流动是一样的 参数相同，就认为流动是一样的。
• 所以人们想起在管道里面给飞机吹风，因为飞 所以人们想起在管道里面给飞机吹风， 机是静止的，所以测量其空气动力非常方便。 机是静止的，所以测量其空气动力非常方便。
• 用来实验的吹风管道：风洞。 用来实验的吹风管道：风洞。
2010年 飞行器工程学院 飞行器设计与工程系 刘勇 2010年8月
4.1 风洞是什么
2010年 飞行器工程学院 飞行器设计与工程系 刘勇 2010年8月
4.1 风洞是什么
• 高速风洞
2010年 飞行器工程学院 飞行器设计与工程系 刘勇 2010年8月
4.1 风洞是什么
• 超音速风洞 —风速很大，Ma>1.2。 风速很大， 风速很大 Ma>1.2。 —试验段面积很小，0.6m×0.5m。 试验段面积很小， 试验段面积很小 0.6m×0.5m。
低速空气动力学
●地面效应的产生原因
①上下翼面压差增加 ②地面阻碍使下洗流减小 ③下洗角减小，使平尾迎角减小
飞机脱离地面 效应区
第二章 第 37 页
飞机处于地面 效应区
●地面效应的效果
①上下翼面压差增加，从而使升力系数增加。 ②地面阻碍使下洗流减小，使诱导阻力减小，阻力系数减小。 ③下洗角减小，使平尾迎角减小，出现附加下俯力矩（低头力矩）。
第二章 第 22 页
② 阻力特性参数
I. 最小阻力系数 CDmin 和零升阻力系数 CD0
飞机的最小阻力系数非常接近零升阻力系数，一般认为二者为同 一个值。
第二章 第 23 页
CD min
II. 中小迎角时的阻力公式
在中小迎角时，阻力公式可以表示为：
CD CD0 ACL2
A是诱导阻力因子，大小与机翼形状有关。
.
第二章 第 29 页
●极曲线的深入理解
从坐标原点向曲线引切线，切点对应最小阻力迎角和最大升阻比。
第二章 第 30 页
0
CD0
●极曲线的深入理解
从原点所引直线与极曲线交于两点，则两点的升阻比相同，较 高者的迎角较大，较高者的平飞速度较小。
第二章 第 31 页
② 不同滑流状态的极曲线
●螺旋桨滑流
I. 零升迎角 0
0
第二章 第 12 页
●翼型在零升迎角下的压强分布
后半部分合力
压强低于 环境气压
压强高于 环境气压
第二章 第 13 页
前半部分合力
气动中心
压强低于 环境气压
II. 升力系数曲线斜率
CL CL ( 0 )
CL
第二章 第 14 页
III.临界迎角和最大升力系数
大气物理学空气动力学
• 露点温度：使大气的相对湿度达到100%时的 温度。
–含有水蒸汽的空气比干空气密度小。
1.1 大气的重要物理参数
• 音速
–音速是小扰动在介质中的传播速度（米/ 秒）。
• 物体的振动在介质中引起的小扰动会以介质 不断被压缩、膨胀的形式向四周传播，形成 介质疏密交替变化的小扰动波。
1.1 大气的重要物理参数
温度升高， 气体粘度系 数增大。
温度升高， 液体粘度 系数减小。
气体
液体
粘度系数随温度变化情况
1.1 大气的重要物理参数
• 可压缩性
– 流体在压强或温度改变时，能改变其原来体积及密度的特 性。
– 流体的可压缩性用单位压强所引起的体积变化率表示。即 在相同压力变化量的作用下，密度（或体积）的变化量越 大的物质，可压缩性就越大。
T (℃)
15.0 8.5 2.0 -4.5 -11.0 -17.5 -24.0 -30.5 -37.0 -43.5 -50.0 -56.5 -56.5 -56.5 -56.5 -56.5 -56.5 -56.5 -56.5 -56.5 -56.5 -56.5 40.0 70.0 -10.0
a (米/秒)
105 (千克/ 米秒)
1.780 1.749 1.717 1.684 1.652 1.619 1.586 1.552 1.517 1.482 1.447 1.418 1.418 1.418 1.418 1.418 1.418 1.418 1.418 1.418 1.418 1.418 1.912 2.047 1.667
–对流层内的空气温度、密度和气压随着 高度的增加而下降。
11km 0
平流层(同温层)的特点
低速空气动力学基础
低速空气动力学基础空气动力学是研究空气和其他气体的运动规律以及运动物体与空气相互作用的科学，它是航空航天最重要的科学技术基础之一。
第一章 空气动力学与航空航天飞行器发展1.1 空气动力学推动20世纪航空航天事业的发展1903年莱特兄弟研制成功世界上第一架带动力飞机，实现了人类向往已久的飞行梦想。
为了研制这架飞机，他们进行过多次滑翔试验，还为此建造了一座试验段为0.012m 的小型风洞。
正是这些努力，加上综合运用早期的空气动力学知识，最终获得了成功。
20世纪初，建立在理想流体基础上的环量和升力理论以及普朗特提出的边界层理论奠定了低速飞机设计基础，使重于空气的飞行器成为现实。
40年代中期至50年代，可压缩气体动力学理论的迅速发展，以及对超声速流中激波性质的理论研究，特别是跨音速面积积律的发现和后掠翼新概念的提出，帮助人们突破“音障”，实现了跨音速和超音速飞行。
50年代中期，美、苏等国研制成功性能优越的第一代喷气战斗机，如美国的F-86、F-100，苏联的米格-15、米格-19等。
50年代以后，进入超音速空气动力学发展的新时期，第二代性能更为先进的战斗机陆续投入使用，如美国的的F-4、F-104，苏联的米格-21、米格-23，法国的幻影-3等。
1957年苏联发射第一颗地球人造卫星和1961年第一艘载人飞船“东方号”升空，被认为是空间时代的开始。
美、苏两国在战略导弹和航天器发展方面的激烈角逐，促使超音速和高超音速空气动力学得到迅速发展。
两个超级大国都投入巨大力量，致力于发展地面模拟设备，开邻近高超出音中国雏鹰科研课题组专用速空气动力学和空气热力学的研究。
航天方面的研究重点放在如何克服由于高超音速飞行和再入大气层，严重气动加热所引起的“热障”问题上在钱学森先生倡导下诞生了一门新的学科，即物理力学，为航天器重返大气层奠定了科学基础。
航空方面的研究重点则放在了发展高性能作战飞机、超音速客机、垂直短距起落飞机和变后掠翼飞机。
4空气动力学机体形状
飞机大攻角失速
在飞机飞行中，机翼攻角大于临界攻角引起的失速。 机翼攻角大于临界攻角后，气流严重分离，升力系数迅 速下降，并伴随有阻力剧增。飞行中的飞机就会发生不 能即刻阻止的机头下沉、飞机滚转、机翼尾翼抖动，并 使飞机的操纵和稳定性下降。
各型飞机在使用中都规定一个 升力系数（小于最 大升力系数）或迎角（小于临界迎角）的限制值，并且 当飞机迎角探测器探测到其迎角达到限制值（大于失速 速度7％）时，失速警告设备发出警告：警告喇叭、警 告灯、抖杆器。
飞机的失速速度
1、定义（CCAR-25部）：‘飞机可以操纵的定常飞行 的最小速度’。此时飞机的迎角达到最大迎角的限制 值。
附面层 附面层特性 气流分离机理及其危害
附面层：
气流流经物体表面时，由于空气粘性影响而使贴近 物体表面的气流流速逐渐减慢的空气层。附面层内在 物体表面处的流速为零。通常把流速达到外部流速的 99%这一点到表面的距离，称为该处附面层的厚度。
附面层特性
（1）附面层的厚度沿气流方向逐渐加厚。 （2）附面层内因为摩擦，使气流部分动能转化为热能，所以 总压降低，并且沿气流方向各切面的总压均不同。附面层外部 可视为无粘性流动的气体。
诱导阻力
诱导阻力是伴随着机 翼上的升力产生而产生的一 种升力面上特有的阻力。升 力愈大（迎角增大），诱导 阻力愈大。它是机翼翼尖涡 流和机翼上翼面气流流过翼 型后部产生下洗速度，使相 对气流产生下洗角，总气动 力向后倾斜而造成的。为减 小下洗的影响，可采取大的 展弦比、椭园形或梯形机翼 及增设翼尖小翼等措施。
摩擦阻力
空气的粘性是产生摩擦阻力的原因。 摩擦阻力的大小取决于飞机表面面积、 飞机表面的粗糙度及附面层的流动状态。 紊流附面层的摩擦阻力较大，在飞行速 度较高的飞机上多采用层流翼型。
04_空气动力学基础
马 天 飞
汽 车 系 统 动 力 学
第二节
法向力与切向力
空气的特性
空气作用力的基本形式
空气微团的剪切力很小，通常表现为法向压力。
马 天 飞
3
汽 车 系 统 动 力 学
边界层与分离气流
当流体绕物体流动时，在物体壁面附近受流体粘性影响 显著的薄层称为边界层。 在边界层中，由于存在较大的速度梯度，因此剪切力较 大。 边界层上会产生分离气流，切向力使气流急速旋转，阻 力提高，升力损失。
给定点的实际压力
p = p∞ +Cpq∞
压力系数的取值范围 在气流平面的中心，气流速度减小为0，压力系数取最 大值1。 车辆行驶速度为160km/h，给定点气流流速为320km/h， 则压力系数为-3。
马 天 飞
14
汽 车 系 统 动 力 学
第五节
一、边界层分离
实际气流特性概述
实际空气并非理想气流，车身并非光滑。 在边界层，粘滞作用产生的剪切力使空气的流速和能量降 低。 边界层沿着物体逐渐变厚，气流由层流变为湍流。 边界层的气流流速减慢，压力升高，在表面形成逆流，排 挤主流使之脱离壁面，称为边界层分离。
1、定义
假设车身某点压力p、速度v，来流压力p∞、速度v∞，定义 压力系数 2
v p-p∞ Cp = = 1 − v q∞ ∞
车身上某点的速度v与来流速度v∞之间的关系依赖于 车身形状 车速相对于流体的方向 该点所在的车身位置
马 天 飞
13
汽 车 系 统 动 力 学
2、压力系数的取值
6、空气阻力系数的发展
为了降低能耗，各公司都设法降低汽车的空气阻力系数。
马 天 飞
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汽 车 系 统 动 力 学
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镜像法
一个强度为Г的点 涡放在一个直壁旁 边，直壁的作用也 用镜像法分析：
在直壁另一侧布置 等强度反向镜像点 涡 流函数：
48
镜像法
直壁上任何一点P受到两个涡的作用，合速 度vx，和没有直壁的情况对比，直壁的存在 把实有点涡原来的下一半的流动挤到一起， 流速增大 单个涡的存在，自己对自己无诱导速度， 所有涡不会移动。直壁的作用等于镜像， 镜像涡会对实有涡产生诱导速度，使实有 涡以Г∕4πa的速度向右移动
这个速度与离中心的距离r成反比。对此速度绕封闭圆圈做环量计算，有
这个点涡强度就是环量的值，不论沿哪个回路积分其结果都一样
24
几种简单的基本二维流动：点涡
如图，沿图中路径积分
沿BC，DE等径向线段的环量都是零，沿AB，CD，EF等弧线的速度பைடு நூலகம்分 等于各段弧对的圆心角乘以Г0/2π
所以
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几种简单的基本二维流动：点涡
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镜像法
y=0时，Ψ=0，x轴是流线 之一。沿y轴只有vy 镜像源的作用分析
0≤y<a：镜像产生的速度减 小实有点源的速度，在原 点速度为零，是驻点 y>a：镜像产生的速度与实 有点源的速度同一方向， 增大速度（设想点源自由移动） 在直壁上：坐标原点O左右 |x|≤a，流速逐渐增大，压 强逐渐下降 在原点附近：高压区（气垫
研究对象是低速不可压缩理想流体
假定来流有势 求解求解速度位势满足的方程 线性叠加原理 保角变换
研究对象的选择研究方法数学工具基本结论
3
平面不可压缩位势流的基本方程
位势流是无旋流，在无旋条件下存在速度 势。 按照Kalvin定理，流动原来无旋，后来必然 无旋。这个假设在流场大部分区域内满足， 只是物面附近不成立，用此假设可以建立 流场的初步解。 平面流是二维流动，是真实情况的一个极 大简化。
直匀流加源得到半无限长体流动，物形不 会收口；如需收口需要加负源，当正源和 负源的总强度为零时，物形才能收口 直匀流加偶极子可以得到封闭的物形 直匀流平行于x轴，由左向右，一个轴线指 向负x的偶极子放在坐标原点，位势函数
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基本位势流的迭加：直匀流加偶极子
流动图案：直匀流绕圆 圆的半径a由驻点A确定
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平面不可压缩位势流的基本方程
流动的基本方程已经推导过了，对于平面 流动只要令z方向导数全部为0即可 考虑无旋条件
存在位势函数
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流函数
平面不可压缩的连续方程
这是微分式 是全微分的必要和充 分条件 存在一个函数Ψ—流函数：
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流函数
Ψ=Const.的曲线是流 线（极容易证明） 一系列常数Const.对 应一系列流线 流线不能穿越（与位 势函数一样，其绝对 值没有意义，差值有 意义） 流函数可以代表流量
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基本位势流的迭加：直匀流加偶极 子和点涡
带环量的压力分布
有环量与无环量压力 分布的对比： 升力来自于“吸力”
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镜像法
直壁的干扰
固体表面是流线，不可逾越（特殊的流线可以 视为壁面，反之流场中的壁面可以设法产生与 固壁一样的流线）
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如何用流函数表达直壁？
镜像法
对于直壁，在直壁的另一侧对称的点上放 置一个同一强度的源，这两个源在直壁位 置上产生的速度必然大小相等，一个上斜， 一个下斜，斜角相等，结果合速度必然恰 好与直壁一致 直壁上一半为真实流动，下一半是认为配 的，这种方法称为镜像法 镜像法的流函数：
不可能一直用到核心上去，当r0时v ∞，压强
θ
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几种简单的基本二维流动：点涡
上述的情况是不真实 的，按照点涡的速度 分别规律，速度在半 径方面的变化率是
当r很小时，这个变化率极大，这 时黏性必然起作用（黏性力与时 代的法向变化率的关系参考前几 次课的内容），结果导致涡有一 个核，核内的流体vθ不是与r成反 比，而是与r成正比；核外流速与r 成反比，如图
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几种简单的基本二维流动：点涡
结论：
点涡有涡核 核内是有旋流，核外是无旋流 涡核的尺寸？做外部计算可以忽略，看作很微 小即可 涡对外部流场是产生诱导（扰动、感生）速度 的，其值与至中心的距离成反比，但对它自己 的核心并无诱导速度。
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基本位势流的迭加
对于平面位势流动，方程变为以速度位势 或流函数为变量的线性方程 对于任意物体（二维）的绕流问题如何处 理？无法直接求解，而是利用基本位势流
低速空气动力学理论与计算
第四章：低速平面位势流
1
本章主要内容
一． 二．
平面不可压缩位势流的基本方程 流函数 简单的二维位势流
基本的二维位势流 基本位势流的迭加
三．
镜像法概述
直壁的干扰 地面效应 圆壁的干扰 洞壁干扰
四． 五．
鳞片布源法 保角变换法
2
引言
本章开始低速空气动力学的核心内容
如果附加无旋条件： 将前式带入无旋条件，得到Ψ满足的方程
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位势函数与流函数
不可压缩的平面无旋流必然同时存在位势函数 和流函数，且这两个函数满足相同的微分方 程—拉普拉斯方程 拉普拉斯方程是线性方程，比起流动的基本方 程（非线性）简单很多
线性方程 线性迭加原理
要描述一个不可压缩平面流场，找到其中一个 函数即可（找到一个，另一个自然得出），等 位线和流线都可以画出来
动或奇点的迭加构筑物体外形（流场几 何），其速度位势是各基本位势流动之和 （线性迭加原理），构筑出满足要求的流
场，问题即可解出 对于压力场可以使用Bernulli积分获得
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基本位势流的迭加：直匀流加点源
一个平行于x轴由左向右的直匀流里面加入 一个强度为Q的点源 速度位势 分速度
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基本位势流的迭加：直匀流加点源
A驻点Cp一定为+1，与物体形状无关 经过驻点Cp迅速下降至Cp=0，该点流速已达到远前方来流速 度，此后气流沿物面加速，经过一段距离达到速度最大值 （Cp最小），一般物体也有类似规律，地点或早或迟 经过速度最大点流动开始减速，减速很慢，到无穷远恢复到 来流速度
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基本位势流的迭加：直匀流加偶极子
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几种简单的基本二维流动：偶极子
流函数可以从位势函数推导，也可以对非极 限情况的流函数求极限，有
流线也是一些圆，圆心都在y轴上，且过原点 速度公式：
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几种简单的基本二维流动：偶极子
说明：
偶极子是极限情况，它是有轴线方向的，原来 的源和汇放在哪条直线上，那条直线就是轴线 偶极子轴与x轴成α角
X轴上存在驻点vxA=0，可以得到驻点坐标：
在驻点流速为0，点源的速度与直匀流的速度抵消
流线如图
经过驻点的流线BAB’是 一条特殊的流线—围墙
与直匀流里面放置一个半无限长物体 造成的流动等效 （为何是半无限长？）
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基本位势流的迭加：直匀流加点源
半无限体在+x无限远处的宽度D（y方向的 尺寸）
压强系数分布如图：
驻点，来流速度点，最 大速度点，后驻点 流动上下、左右对称
不考虑流体的黏性， 任何封闭物体的阻力 为零（达朗贝尔佯谬）
研究无黏流的意义
分析流动的各个因素 翼型升阻比的提高
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基本位势流的迭加：直匀流加偶极 子和点涡
上述流动中再在 圆心处加一个强 度为-Г的点涡（顺 时针为负） 位势函数和流函 数：
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位势函数与流函数
等位线和流线正交
沿流线有
流线的斜率是
沿等位线有 或 由此 比较两式
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位势函数与流函数
说明：
另外一种证明方法 不论哪种证明方法， 在速度为零处都不 成立
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例子
求流场上的速度 分布、压力分布； 画流线和等位线
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几种简单的基本二维流动
将几种简单函数表示的位势流动，它们是 最基本的流动，许多的流动可以用它们组 合而成
再继续推广，沿任何形状 的围线积分计算环量都一 样（只要点涡在围线内 如图沿ABCDEFA仍等于Г0， 沿HIGH积分环量为0
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几种简单的基本二维流动：点涡
如果点涡在（ξ，η），不在原点，流函数和 位势函数的表达式
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几种简单的基本二维流动：点涡
这种点涡其实应该看作是一根在z方向无限长 的直涡线，除涡心，其余地方无旋 点涡的速度分布
偶极子位于其他点，轴线与x轴平行
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几种简单的基本二维流动：点涡
位于原点的一个点涡流动， 图案很想点源，只是流线和 等位线对调，流线是同心圆， 等位线是过圆心的射线；流 动只有角速度，没有径向速 度 位势函数和流函数是
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几种简单的基本二维流动：点涡
上述公式中的Г0是个常数，称为点涡强度 速度：
根据a的表达式，位势函 数可以写成 流函数
Ψ=0是一条特殊的流线，此时θ=0或π，这就是 x轴；还有r=a，这是一个半径为a的圆
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