《双曲线的标准方程和性质》中职数学拓展模块2.2ppt课件1【语文版】

本 平面直角坐标系.
讲
栏 (2)设点：设 M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点
目 开
坐标为 F1(－c,0)，F2(c,0).
关 (3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，
可得 x＋c2＋y2－ x－c2＋y2＝±2a.
①
(4)化简：移项，平方后可得
(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2).
本 讲 栏 目 开
轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)， ∵a＝25,2c＝|AB|
＝ 1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝50 7，
关 ∴c＝25 7，b2＝c2－a2＝3 750，
故双曲线的标准方程为6x225－3 y7250＝1.
标准 方程
xa22－by22＝1
(a>0，b>0)
开
关
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)
焦点在 y 轴上 ay22－xb22＝1
(a>0，b>0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝ 2c ，c2＝ a2＋b2
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探究点一 双曲线的定义
问题 1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各
讲 栏
为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的
目 开
标准方程.
关
结论 双曲线的标准方程
标准方程
焦点在 x 轴上 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
焦点在 y 轴上 ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
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问题 2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？ 答案 两个标准方程的区别：双曲线标准方程中 x2 与 y2 的系
栏 目 开
所以|ON|＝12|PF2|，因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，
关 所以|PF2|＝2 或 18，|ON|＝12|PF2|＝1 或 9.
小结 双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依
据.在应用时，一是注意条件||PF1|－|PF2||＝2a (0<2a<|F1F2|) 的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦
目 开
(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下百度文库藏着
关 的变量范围.
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跟踪训练 3 2008 年 5 月 12 日，四川汶川发生里
氏 8.0 级地震，为了援救灾民，某部队在如图所
示的 P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品
沿道路 PA、PB 送到矩形灾民区 ABCD 中去，已知 PA＝
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例 1 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3， －4 2)和94，5，求双曲线的标准方程； (2)求与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的
双曲线方程.
本 讲 栏
解 (1)由已知可设所求双曲线方程为ya22－xb22＝1 (a>0，b>0)，
100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在
本 讲
灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路 PA
栏 目
送药较近，而另一侧的点沿道路 PB 送药较近，请说明这
开 关
一界线是一条什么曲线？并求出其方程.
解 矩形灾民区 ABCD 中的点可分为三类，第一类沿道路 PA
送药较近，第二类沿道路 PB 送药较近，第三类沿道路 PA 和
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问题 2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差
的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
答案 若没有绝对值，动点的轨迹就成了双曲线的一支.
本 讲
问题 3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差
栏 目
的绝对值为常数 2a,2a<|F1F2|?
开 关
答案 只有当 2a<|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线；当 2a
解 (1)∵| x＋52＋y2－ x－52＋y2|表示点 P(x，y)到两定
本
讲 栏
点 F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，
目 开
|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，
关
故点 P 的轨迹是双曲线.
(2)∵ x＋42＋y2 － x－42＋y2 表 示 点 P(x ， y)到 两 定 点
方程为ax22－2ya22＝1，代入(1,1)点，得 a2＝12.此时双曲线方程为
x12－y2＝1.同理求得焦点在 y 轴上时，双曲线方程为y12－x2＝1.
2
2
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(圆2)的若两双个曲焦线点以，椭则圆双1x62曲＋线y92＝的1标的准两方个程顶为点__为_x7_2焦－__点y_92_＝，__1且__经. 过椭
(D )
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令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为
ax22－by22＝1 (a>0，b>0).
②
(5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方
程②；以方程②的解 (x，y)为坐标的点到双曲线两个焦
本 点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解
方程.
解 如图，建立直角坐标系 xOy，使 A，B 两点在
x 轴上，并且坐标原点 O 与线段 AB 的中点重合.
本 讲
设爆炸点 P 的坐标为(x，y)，
栏 目
则|PA|－|PB|＝340×2＝680，
开 关
即 2a＝680，a＝340.又|AB|＝800，
所以 2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44 400.
数符号决定了焦点所在的坐标轴.当 x2 系数为正时，焦点在 x
轴上；当 y2 系数为正时，焦点在 y 轴上.而与分母的大小无关.
两种形式可统一表示为 mx2＋ny2＝1(mn<0).
本 问题 3 如图，类比椭圆中 a，b，c 的意义，你能在 y 轴上
讲 栏
找一点 B，使|OB|＝b 吗？
目
开
关
答案 以双曲线与 x 轴的交点 A 为圆心，以线 段 OF2 为半径画圆交 y 轴于点 B.
先看焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴，从而设出相应的标
准方程.
本 讲
(2)在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，
栏 目
或可直接设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1 (AB<0).
开 关
(3)与双曲线xa22－yb22＝1 共焦点的双曲线的标准方程可设为
a2x－2 λ－b2y＋2 λ＝1(－b2<λ<a2).
探究点三 与双曲线定义有关的应用问题 例 2 已知双曲线的方程是1x62 －y82＝1，点 P 在双曲线上，且
到其中一个焦点 F1 的距离为 10，点 N 是 PF1 的中点，求
|ON|的大小(O 为坐标原点).
本 解 设双曲线另一个焦点为 F2，连接 PF2，ON 是三角形 PF1F2
讲 的中位线，
＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当 2a>|F1F2|时，满足条
件的点不存在.
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问题 4 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各
条件下点 P 的轨迹是什么图形？ (1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6；
(2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6.
目 开 关
则3a22 －b92＝1， 2a52 －1861b2＝1，
解得ab22＝ ＝19， 6，
∴双曲线的方程为1y62 －x92＝1.
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(2)方法一 设双曲线方程为xa22－by22＝1.
由题意易求得 c＝2 5.
又双曲线过点(3 2，2)，∴3 a222－b42＝1.
选择一点，分别固定在点 F1，F2 上，把笔尖放在点 M 处，
本 讲
拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线
栏 目
满足什么条件？
开 关
答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|
＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常
数，可得到另一条曲线.
结论 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常 数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲 线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
因为|PA|－|PB|＝340×2＝680>0，所以 x>0.
因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)方程为 115x2600－44y4200＝1 (x>0).
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小结 (1)解答与双曲线有关的应用问题时，不但要准确把握
本 题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线
讲 栏
的定义及性质的灵活应用.
注意到点 C 的坐标为(25 7，60)，
故 y 的最大值为 60，此时 x＝35， 故界线的曲线方程为6x225－3 y7250＝1 (25≤x≤35，y>0).
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.已知 A(0，－5)、B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当 a＝3 或 5 时，
P 点的轨迹为
定理，同时要注意整体运算思想的应用.
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跟踪训练 2 如图，从双曲线x32－y52＝1 的左焦
点 F 引圆 x2＋y2＝3 的切线 FP 交双曲线右支
于点 P， T 为切点，M 为线段 FP 的中点，O
本
为坐标原点，则|MO|－|MT|等于
(C )
讲 栏
A. 3
B. 5
C. 5－ 3
填一填·知识要点、记下疑难点
1.双曲线的定义
本 讲
把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的 差的绝对值
等
栏 目
于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定
开 关
点叫做 双曲线的焦点
， 两焦点间的距离
叫做双曲
线的焦距.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.双曲线的标准方程
焦点在 x 轴上
本 讲 栏 目
PB 送药一样远近.依题意，界线是第三类点的轨迹.
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设 M 为界线上的任一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|
＋|MB|，|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值).
∴界线是以 A、B 为焦点的双曲线的右支的一
部分. 如图，以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y
D. 5＋ 3
目 开 关
解析 |OM|－|MT|＝12|PE|－(|MF|－|FT|)
＝|FT|－12(|PF|－|PE|)
＝ 5－12×2× 3＝ 5－ 3.
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例 3 已知 A，B 两地相距 800 m，在 A 地听到炮弹爆炸声
比在 B 地晚 2 s，且声速为 340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹
F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，
∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，
故点 P 的轨迹是双曲线的右支.
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探究点二 双曲线的标准方程
问题 1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线
的标准方程？
答案 (1)建系：以直线 F1F2 为 x 轴，F1F2 的中点为原点建立
本 讲 栏 目 开 关
2．2.1 双曲线及其标准方程
【学习要求】
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.
本 讲
2.掌握双曲线的标准方程.
栏 目
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
开 关
【学法指导】
本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别
中建立双曲线的定义及标准方程.
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跟踪训练 1 (1)过点(1,1)且ba＝ 2的双曲线的标准方程是
A.x12－y2＝1
B.y12－x2＝1
(D )
2
2
本 讲 栏 目
C.x2－y12＝1 2
D.x12－y2＝1 或y12－x2＝1
2
2
开 关
解析
由于b＝ a
2，∴b2＝2a2.当焦点在 x 轴上时，设双曲线
本 讲
又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8.
栏 目 开
故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
关
方法二 设双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1 (－4<k<16)，
将点(3 2，2)代入得 k＝4，
∴所求双曲线方程为1x22 －y82＝1.
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小结 (1)双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”.
本 讲 栏 目
解析 椭圆1x62 ＋y92＝1 的焦点在 x 轴上，且 a＝4，b＝3，c＝
开
7，所以焦点为(± 7，0)，顶点为(±4,0).于是双曲线经过点
关
(± 7，0)，焦点为(±4,0)，则 a′＝ 7，c′＝4，所以 b′2
＝9，所以双曲线的标准方程为x72－y92＝1.
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