覆盖粗糙集模型转化的方法研究
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定义 ７ 设 ， ） 一覆 盖近 似空 间，Ｖｘ ∈ ｃ为 ｉ Ｕ，
ｎ ， ｛ ：∈ 为覆盖ｃ 称 如（ ｝ ） 导出的 邻域，
ｊ ｌ （） ￣ ｃ ｘ
其 中 昴 （） 为包 含 的邻 域 ．
显然，Ｖ ∈ ａ（ ≠ ｊ Ｕ （ ＝ 从 ｘ Ｕ， ｃ ） ｆ且 Ｕ． Ｘ ２ ， ）
—
对 的研 究发现 ：ｉ当覆 盖 Ｃ本身 为 上 的任意＿ （ ） 个 等价 关 系时，有 ＇ｘ ∈ ，Ｉ ｃＩ ， ｖ／ Ｕ ＇ （ ） ＝１ 从而可 知 由
Ｃ 导 出 覆 盖 度 等 价 关 系
＝
１且 ＝ ， ，则 ｛ ｘ：∈ ＝％（ ： ） ｃ Ｕｑ 芘（ ｝ ｛，） ）
摘要 ：通过研究邻域覆盖、覆盖导出的划分之间的内在关系， 给出了＿种新的转化方法． 新方法证 明了由一
个 覆 盖可 唯一导 出一 个划 分 、由覆 盖与 其覆 盖约 简导 出 的划分 一致 等结 论，而且 得 出了 由覆 盖导 出的等价关 系 的上 、下 近 似算 子更 加细 分等 优 良性质 ；提高 了集 合 的近 似程 度，能更 好地用 于 属性 约简 、核 的求 取和规 则 的生成 等方 面研 究．
３２ ９
江 西 师 范 大学 学 报 （ 自然科 学 版 ）
２ １ 年 ０１
显 然 有 （ Ｘ Ｃ ） ） （ ．
Ｉ １ ， ，（Ｏｃ Ｉ ， Ｘ）， ， （４ｃ ｌ （５ （） ｌ ｌ Ｘ ｃ ＝２ ｘ ， Ｉ ３ｃ ｌ ｌ ）卡： ｌｃｃ １ ：３ （ ＝２ ，ｊ）ｒ ；
推 广 为 覆 盖 广 义 粗 糙 集 理 论 ；文 献 『一Ｏ通 过 对 覆 ６ｌ ］ 盖 广 义粗糙 集 理论 进行 研 究，得到 了不 少 重要 结论 ．
目前 对覆 盖粗 糙 集与 经典 粗 糙集 之 间转 化研 究 比较
个 子 集 族 ， Ｃ＝ ， ２…， ｝ｍ≥ １ ≠ｆＯ： ， Ｃ， ， ， ２ １ ｊ
卅
２ ，） 若Ｕ Ｕｅ， ， ． ＝ … 则称集合族Ｃ 的一个 是
ｉ ＝１
覆盖 ；称 序对 （ ， ） 一覆 盖广义 近 似空 间． 【Ｃ为 ，
少 ，文献 ［］ 化方 法 存 在 不足 之 处如 下 ：当 覆盖 本 ８转 身 为 等 价关 系 时 导 出的覆 盖 度关 系却 非本 身 ；一个
关键 词：覆盖粗糙集； ａ ｌ 粗糙集； Ｐｗ ａ ｋ 覆盖度；邻域覆盖；覆盖约简 中图分类 号： Ｐ３ １ Ｔ ０ 文 献标 识码 ： Ａ
为 Ｕ 上一 等价 关 系，称 （ ， ） 【 Ｒ 为一个 Ｐ ｗｌ 厂 ａ ａ ｋ近似
０ 引 言
粗 糙集 理 论作 为 一种处 理 不精 确 、不 确定 性 和
收 稿 日期 ： ０１—２ ０ ２ ０ １ ７
基 金项 目：国家 自然科学基金（Ｏ ６ ０ ４和江西省 自然科学基金（０ ７ ｓ ｌ ６资助项 目． ６９３１） ２ ０ Ｇｚ Ｏ ８） 作 者简 介 ：吴根 秀（９ ５） ，江西南丰人，教 授，主要从事粗糙集 和人］智 能方面的研究 １６一 ，女
∑ ｛ ｃ为 的 度 记 ｝ ｝ ）｝集合 覆盖 ， 作２ ｉ ．
ｘｌ ＥＣ ｉ
定义１ 设Ｖ １ ｅ Ｕ，称８（） Ｕ｛ ｃ ＝ 氏∽： ｘ 每（ ，∈ ） （ Ｕ＜ ： ｘ ≠ Ｉ ｘ ｘ ｕ， ＝ 昆 ） ） ｃ ） （ｎ ２ ，
∈ 为邻域覆 盖 的下 、上近似 集 ． Ｕ｝ 性 质 １ （ 若 七 （） ｃＪ ，则 ＆ （） ｉ ） ＝Ｉ （） ， ｘ ＝如 （） Ｊ； ，
，
ａ（ ＝ （ ；ｉ当 ， ｃ ）乇（Ｕ｛ ， ｃ ） ，） （ ∈ 则ｌ（ ＝ ，） 刀 Ｘ ｉ ） ｘ ） 又因为 ＝ Ｕ ∈ ｑ ｑ， ∈ １ Ｃ． 则 Ｃ或Ｉ 从而 Ｅ２ １Ｉ ｘ ， Ｉ ｘ 由 ｑ ∈ｃ ）或 ２ ｃ ）． （ ∈（ Ｎｑ＝ 或 ｃ ｃＮｃ＝ 有 ｆＮ Ｃ＇ ． ｎ ￣ ， ：ＮＣ＝ ，即 ｌ ． ．
３ 邻 域 覆 盖 粗 糙 集 及 其 性 质
定义 ｌ 设 Ｃ＝｛ｌＣ ， ｝ ０ Ｃ ， ２…， 为 上 的一个 覆
盖，Ｖｘ∈ ｌ （） ： ｃ ， ＝１ ， 刀 ， ？ ＝ Ｕ，ｃ ＝｛ ∈ ，Ｊ ， …，） ２ （）
２ 基 于 覆 盖 度 等 价 关 系 的 覆 盖 粗 糙 集 模 型 的不 足
显 然 ， 域 上 的由等 价关 系所 形 成 的划 分也 论
是 一个 覆 盖，覆 盖 是划 分 的一 种推 广 ，Ｐ ｗｌ 近似 ａ ａ ｋ
覆 盖 和 它 的覆 盖 约简 导 出 的划 分 不 一致 等 ．本 文 给 出新 的转化 方法 的一 些优 良性 质
空 间是 一种 特殊 的覆 盖近 似空 间． 定 义 ４ 设 ， 是 一 个 覆 盖 近 似 空 间 ，Ｖ Ｃ）
文献 【］ ８利用 该 等价 关 系 将 覆 盖 粗糙 集转 化 为经 典粗糙集 ．于是，覆盖 Ｃ就转化 为等价关 系 ，
从 而 将覆 盖粗 糙 集转 化 为经 典粗 糙集 了．然 而通 过
＝
证 当 Ｘ 时 ， 如 （ ＝ｑ ，故 ｛ （） ∈ ＆ ： ∈
Ｃ ．
性 质 ３ 若 Ｃ＝｛ １ ２…， ） Ｃ， ２…， Ｃ， ， ，Ｃ ＝｛ ｌ ， Ｃ Ｃ
第 ３卷第 ４ ５ 期
２１ ０ １年 ７月
江西 师范 大学 学报 （ 自然科学 版）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ａ Ｇ Ｉ Ｏ ＭＡ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ（Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ １ Ｏ Ｒ Ａ ＦＪ Ｎ Ｘ Ｒ Ｌ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ｌＮ Ｅ Ｉ Ｎ Ｕ
Ｖｂ ． ５ＮＯ． １３ ４
ｅＵ
而 ｛ （） Ｘ ｝ 龟 ： ∈Ｕ 是 上 的 一 个 覆 盖 ， 因 此 也 称 ｛ （） Ｕ） 如 ： ∈ 为覆盖 Ｃ导 出的邻域覆 盖，记 为 ％ ．
称集合簇 ｆ Ｋ∈ Ａ Ｋ｝ Ｉ Ｃ ∈ 为元素ｘ的邻域系， ｉ 记
作 ） ｃ， ｌ ） 称 为 元 素 的 覆 盖 度 ． 称 ｃｌ
却 不相 等，这也 与常理 相悖 ．可构造 如下反 例．
例 １ 设 Ｕ＝｛ｌ ２ ３Ｘ ，５ ， Ｃ＝｛ ０ｃ， ２ Ｘ， ， ，４ ｝ ｘ ｃ， Ｉ ， ｃ
Ｃ ， ４ ， Ｃ ＝｛ｌ ２， ＝｛ｌ ２， ２ ｘ ，３， ＝ ３Ｃ ） ｏ ｘ， ｝ ｑ ｘ， ｝ｃ ＝｛２ｘ｝ ｘ Ｘ ，３， ４ ｘ ，５ ，则 ｃ也是 Ｕ 上 的一 个覆 盖， ２ｘ｝ ｃ ＝｛４Ｘ）
ｃ， 厂 关 于覆 盖 近似 空 问 的下 、上 近似 分别 定 义 为
１ 预 备 知 识
定 义 １ 设 己 是 一 非 空 有 限集 合 ，称 为 论 域 厂
（） Ｕ｛ ＣＫ ） ＝ Ｉ ， ， Ｋ∈
ｃ ） Ｕ ＫＫ Ｃ Ｎｘ （． （ ＝ ｛ Ｉ∈ ， ≠ｊ ｘ ２ ｝
定义 ８ 若 Ｉ ｃＩ （ ， （ Ｉ ）ｌ ） ： ｃ ，称元 素 Ｘ与元 素 Ｘ ｉ ｊ
具有 覆盖度 关系 ， 作 ｘ ｃ ｊ （ ｘ ） ｃ 记 ｉ ｘ 或 ，ｊ ∈Ｅ ． Ｅ
命题 １ 设 Ｃ是 【 的一个 覆 盖，则 的基 于 Ｃ ，
（） ｉ若 （） ， （） ｉ ｃ ，则 琵 （） ￡龟 （） ．
证 只需证 Ｖｘ∈ Ｕ都 有 如 （） ＝如， ） （ ，分 ２ 种
∈ ｝ ．
＝Ｕ× ， 也 即 Ｕ
ｉ ） ｃ ＝ （ ，从 而 ｛ ｝ 这显然很不合理；ｉ 若 ｃ是 Ｃ的一 Ｕ， （ ｉ ） 情 况 说 明 ：（ 当 蓝 ，则 ， （） ｒ ）
个 约 简，而 由它们 导 出的覆 盖度 等价 关 系 ， 与
空 间． Ｖ
Ｕ ，Ｘ 关 于 近 似空 间 （ ， 的 下 近 似 ｃ ） ，
垦 ） （ ，上近 似 Ｒ Ｘ） （ 和边 界 Ｂ Ｒ ） 别定 义为 ｎ（ 分
模糊 知识 的计 算 工具 。最早 由 Ｚ Ｐ ｗ ａ ． ａ ｌｋ提 出， 年 近
来 被成 功 应用 于人 工 智能 、数 据挖 掘 、模 式 识别 、 专 家 系统等 研究 领域 。已经 引起 许多 学者关 注． 在 ｚ Ｐ ｗｌ 粗 糙集 模型 中，论 域上 的等 价关 系 ．ａ ａ ｋ 起 着 至关 重 要 的作 用 ．然 而 在许 多 实 际 问题 中，对
的覆 盖度关 系 为等 价关 系．
定义 ９ 设 Ｃ是 的一个 覆盖 ， 为则 的基
证 （ ８（ ＝ Ｎ ｃ ＝ Ｎ ： ；ｉ ｉ ｃ） ｊ ） Ｘ 如（ ） ）（ ｉ
∈ ） ｊ ｌ ｙ ￣ｃ（ ）
６（ ＝ Ｎ ｃ） Ｙ
ｊ Ｉ （） ￣ｃＹ
Ｎ ＝ｃ ） ６（ ． Ｘ
定 义 ３ 设 是一 非空 有 限论域 ，ｃ是 上 的
一
受 到 了限制 ．因此 ，Ｚ Ｐ ｗｌｋ模 型 ［ 的研究 与 推广 ．ａ ａ ］
是粗 糙 集理 论研 究 的一个 重 要 方 面，对 一 般 关 系下
的粗糙 集模 型 、等价 关 系下 的变精 度 粗 糙集 模 型 、 模 糊 粗 糙 集 模 型 等 问 题 已有 不 少 研 究 ［ ４．Ｚ ｋ ｗ ２ ］ ａｏ － Ｓｉ ｋ 将划 分 扩展 为覆 盖【，将 ｚ ａ ａ ５ 】 ．Ｐ ｗｌ ｋ粗 糙集 理论
Ｊ１ ０ｌ ｕ ．２ １
文 章编 号： ０ ０５ ６ （０ ０ －３ １０ １０ ．８ ２２ １ ）４ ０ ９ －５ １
覆 盖 粗 糙 集 模 型 转 化 的 方 法 研 究
李 灿 泽 ，吴根 秀 伟 峰 ，周 丽 ，晏
（ 西 师 范 大 学 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ，江 西 南 昌 ３ ０ ２ ） 江 ３ ０ ２
垦 ） ｛ ＵＩ ］ （ ＝ ∈ ［
｝ ，
页 ） ｆ∈厂 ｋ ≠ ｊ （ ＝ 【 ｎ （ ， ２ ｝
Ｂ Ｒ ） （ 一 ） ｎ （ ＝ ） （ ，
其 中 【】 Ｙ∈ ｌＲ ｝ ＝｛ Ｕ ｘ ｙ 为 关 于 的等 价类 ． 定 义 ２ 由等 价关 系 尺定 义 的集合 的近似 精
１ ，从 而 不成 立 ．
＝
，
定 义 ５ 设 Ｃ为 非空 有 限论 域 的一个 覆 盖 ，
｛ ，３ ｛２ ｛４ｊ ｝ ｘ｝ｘ｝ｘ ，５）．因 此 ， ｃ
， ＝
Ｋ∈Ｃ．若 可 以表 示成 Ｃ一 ｝ 中若 干个 元 的并 ， 则称 在 ｃ中可 省，否则 在 Ｃ中不 可省． 定 义 ６ 设 ｃ为非 空 有 限 论域 的一 个 覆 盖 ， 若 Ｃ 中的 每个 元 均 不 可 省 ，则 称 ｃ是 不 可 约 简 的 ， 否则 称 Ｃ是 可 约 简 的 ，约 简 后 得到 的一 个 覆 盖 ， 称 为 Ｃ的覆 盖约 简，记为 Ｒ ｄ Ｃ ． ｅ （ ）
ｊ ｌ （） ｅ ｃ
于 Ｃ的 覆 盖度 等 价 关 系 ，由 产 生 的等 价划 分 为
＝
性 质 ２ 若 Ｃ＝｛ １ ２…， ｝ Ｕ 上 的 一个 划 Ｃ， ， 是 ｃ
｛ ｌＣ ） Ｃ ２ …， ． ， ，
分，则 ｛ （） ∈ 也 为 上 的一 个划 分． 如 ： Ｕ｝
度为
象 之 间的等 价关 系（ 自反 、对称 、传 递） 难 构造 ，或 很
者根本 就不 存在 ，此 时 Ｚ Ｐ ｗｌ 粗 糙 集模 型 的应用 ．ａ ａ ｋ
（ ＝Ｉ（ ｌＲ ）， ） 垦 ） ｌ （ Ｉ ／
Fra Baidu bibliotek其 中 ≠（，垦 ） （ 分别 为集 合 的下 、 近似 ２ （ 、 ｘ） ｊ Ｒ 上 Ｊ Ｊ 示 集 合 的 基数 ．显然 ，０≤ （ ≤ １ 表 ） ．当 靠 （ ＝１ ， 是精 确 的；否 则 是 粗糙 的 ． ） 时
ｎ ， ｛ ：∈ 为覆盖ｃ 称 如（ ｝ ） 导出的 邻域，
ｊ ｌ （） ￣ ｃ ｘ
其 中 昴 （） 为包 含 的邻 域 ．
显然，Ｖ ∈ ａ（ ≠ ｊ Ｕ （ ＝ 从 ｘ Ｕ， ｃ ） ｆ且 Ｕ． Ｘ ２ ， ）
—
对 的研 究发现 ：ｉ当覆 盖 Ｃ本身 为 上 的任意＿ （ ） 个 等价 关 系时，有 ＇ｘ ∈ ，Ｉ ｃＩ ， ｖ／ Ｕ ＇ （ ） ＝１ 从而可 知 由
Ｃ 导 出 覆 盖 度 等 价 关 系
＝
１且 ＝ ， ，则 ｛ ｘ：∈ ＝％（ ： ） ｃ Ｕｑ 芘（ ｝ ｛，） ）
摘要 ：通过研究邻域覆盖、覆盖导出的划分之间的内在关系， 给出了＿种新的转化方法． 新方法证 明了由一
个 覆 盖可 唯一导 出一 个划 分 、由覆 盖与 其覆 盖约 简导 出 的划分 一致 等结 论，而且 得 出了 由覆 盖导 出的等价关 系 的上 、下 近 似算 子更 加细 分等 优 良性质 ；提高 了集 合 的近 似程 度，能更 好地用 于 属性 约简 、核 的求 取和规 则 的生成 等方 面研 究．
３２ ９
江 西 师 范 大学 学 报 （ 自然科 学 版 ）
２ １ 年 ０１
显 然 有 （ Ｘ Ｃ ） ） （ ．
Ｉ １ ， ，（Ｏｃ Ｉ ， Ｘ）， ， （４ｃ ｌ （５ （） ｌ ｌ Ｘ ｃ ＝２ ｘ ， Ｉ ３ｃ ｌ ｌ ）卡： ｌｃｃ １ ：３ （ ＝２ ，ｊ）ｒ ；
推 广 为 覆 盖 广 义 粗 糙 集 理 论 ；文 献 『一Ｏ通 过 对 覆 ６ｌ ］ 盖 广 义粗糙 集 理论 进行 研 究，得到 了不 少 重要 结论 ．
目前 对覆 盖粗 糙 集与 经典 粗 糙集 之 间转 化研 究 比较
个 子 集 族 ， Ｃ＝ ， ２…， ｝ｍ≥ １ ≠ｆＯ： ， Ｃ， ， ， ２ １ ｊ
卅
２ ，） 若Ｕ Ｕｅ， ， ． ＝ … 则称集合族Ｃ 的一个 是
ｉ ＝１
覆盖 ；称 序对 （ ， ） 一覆 盖广义 近 似空 间． 【Ｃ为 ，
少 ，文献 ［］ 化方 法 存 在 不足 之 处如 下 ：当 覆盖 本 ８转 身 为 等 价关 系 时 导 出的覆 盖 度关 系却 非本 身 ；一个
关键 词：覆盖粗糙集； ａ ｌ 粗糙集； Ｐｗ ａ ｋ 覆盖度；邻域覆盖；覆盖约简 中图分类 号： Ｐ３ １ Ｔ ０ 文 献标 识码 ： Ａ
为 Ｕ 上一 等价 关 系，称 （ ， ） 【 Ｒ 为一个 Ｐ ｗｌ 厂 ａ ａ ｋ近似
０ 引 言
粗 糙集 理 论作 为 一种处 理 不精 确 、不 确定 性 和
收 稿 日期 ： ０１—２ ０ ２ ０ １ ７
基 金项 目：国家 自然科学基金（Ｏ ６ ０ ４和江西省 自然科学基金（０ ７ ｓ ｌ ６资助项 目． ６９３１） ２ ０ Ｇｚ Ｏ ８） 作 者简 介 ：吴根 秀（９ ５） ，江西南丰人，教 授，主要从事粗糙集 和人］智 能方面的研究 １６一 ，女
∑ ｛ ｃ为 的 度 记 ｝ ｝ ）｝集合 覆盖 ， 作２ ｉ ．
ｘｌ ＥＣ ｉ
定义１ 设Ｖ １ ｅ Ｕ，称８（） Ｕ｛ ｃ ＝ 氏∽： ｘ 每（ ，∈ ） （ Ｕ＜ ： ｘ ≠ Ｉ ｘ ｘ ｕ， ＝ 昆 ） ） ｃ ） （ｎ ２ ，
∈ 为邻域覆 盖 的下 、上近似 集 ． Ｕ｝ 性 质 １ （ 若 七 （） ｃＪ ，则 ＆ （） ｉ ） ＝Ｉ （） ， ｘ ＝如 （） Ｊ； ，
，
ａ（ ＝ （ ；ｉ当 ， ｃ ）乇（Ｕ｛ ， ｃ ） ，） （ ∈ 则ｌ（ ＝ ，） 刀 Ｘ ｉ ） ｘ ） 又因为 ＝ Ｕ ∈ ｑ ｑ， ∈ １ Ｃ． 则 Ｃ或Ｉ 从而 Ｅ２ １Ｉ ｘ ， Ｉ ｘ 由 ｑ ∈ｃ ）或 ２ ｃ ）． （ ∈（ Ｎｑ＝ 或 ｃ ｃＮｃ＝ 有 ｆＮ Ｃ＇ ． ｎ ￣ ， ：ＮＣ＝ ，即 ｌ ． ．
３ 邻 域 覆 盖 粗 糙 集 及 其 性 质
定义 ｌ 设 Ｃ＝｛ｌＣ ， ｝ ０ Ｃ ， ２…， 为 上 的一个 覆
盖，Ｖｘ∈ ｌ （） ： ｃ ， ＝１ ， 刀 ， ？ ＝ Ｕ，ｃ ＝｛ ∈ ，Ｊ ， …，） ２ （）
２ 基 于 覆 盖 度 等 价 关 系 的 覆 盖 粗 糙 集 模 型 的不 足
显 然 ， 域 上 的由等 价关 系所 形 成 的划 分也 论
是 一个 覆 盖，覆 盖 是划 分 的一 种推 广 ，Ｐ ｗｌ 近似 ａ ａ ｋ
覆 盖 和 它 的覆 盖 约简 导 出 的划 分 不 一致 等 ．本 文 给 出新 的转化 方法 的一 些优 良性 质
空 间是 一种 特殊 的覆 盖近 似空 间． 定 义 ４ 设 ， 是 一 个 覆 盖 近 似 空 间 ，Ｖ Ｃ）
文献 【］ ８利用 该 等价 关 系 将 覆 盖 粗糙 集转 化 为经 典粗糙集 ．于是，覆盖 Ｃ就转化 为等价关 系 ，
从 而 将覆 盖粗 糙 集转 化 为经 典粗 糙集 了．然 而通 过
＝
证 当 Ｘ 时 ， 如 （ ＝ｑ ，故 ｛ （） ∈ ＆ ： ∈
Ｃ ．
性 质 ３ 若 Ｃ＝｛ １ ２…， ） Ｃ， ２…， Ｃ， ， ，Ｃ ＝｛ ｌ ， Ｃ Ｃ
第 ３卷第 ４ ５ 期
２１ ０ １年 ７月
江西 师范 大学 学报 （ 自然科学 版）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ａ Ｇ Ｉ Ｏ ＭＡ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ（Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ １ Ｏ Ｒ Ａ ＦＪ Ｎ Ｘ Ｒ Ｌ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ｌＮ Ｅ Ｉ Ｎ Ｕ
Ｖｂ ． ５ＮＯ． １３ ４
ｅＵ
而 ｛ （） Ｘ ｝ 龟 ： ∈Ｕ 是 上 的 一 个 覆 盖 ， 因 此 也 称 ｛ （） Ｕ） 如 ： ∈ 为覆盖 Ｃ导 出的邻域覆 盖，记 为 ％ ．
称集合簇 ｆ Ｋ∈ Ａ Ｋ｝ Ｉ Ｃ ∈ 为元素ｘ的邻域系， ｉ 记
作 ） ｃ， ｌ ） 称 为 元 素 的 覆 盖 度 ． 称 ｃｌ
却 不相 等，这也 与常理 相悖 ．可构造 如下反 例．
例 １ 设 Ｕ＝｛ｌ ２ ３Ｘ ，５ ， Ｃ＝｛ ０ｃ， ２ Ｘ， ， ，４ ｝ ｘ ｃ， Ｉ ， ｃ
Ｃ ， ４ ， Ｃ ＝｛ｌ ２， ＝｛ｌ ２， ２ ｘ ，３， ＝ ３Ｃ ） ｏ ｘ， ｝ ｑ ｘ， ｝ｃ ＝｛２ｘ｝ ｘ Ｘ ，３， ４ ｘ ，５ ，则 ｃ也是 Ｕ 上 的一 个覆 盖， ２ｘ｝ ｃ ＝｛４Ｘ）
ｃ， 厂 关 于覆 盖 近似 空 问 的下 、上 近似 分别 定 义 为
１ 预 备 知 识
定 义 １ 设 己 是 一 非 空 有 限集 合 ，称 为 论 域 厂
（） Ｕ｛ ＣＫ ） ＝ Ｉ ， ， Ｋ∈
ｃ ） Ｕ ＫＫ Ｃ Ｎｘ （． （ ＝ ｛ Ｉ∈ ， ≠ｊ ｘ ２ ｝
定义 ８ 若 Ｉ ｃＩ （ ， （ Ｉ ）ｌ ） ： ｃ ，称元 素 Ｘ与元 素 Ｘ ｉ ｊ
具有 覆盖度 关系 ， 作 ｘ ｃ ｊ （ ｘ ） ｃ 记 ｉ ｘ 或 ，ｊ ∈Ｅ ． Ｅ
命题 １ 设 Ｃ是 【 的一个 覆 盖，则 的基 于 Ｃ ，
（） ｉ若 （） ， （） ｉ ｃ ，则 琵 （） ￡龟 （） ．
证 只需证 Ｖｘ∈ Ｕ都 有 如 （） ＝如， ） （ ，分 ２ 种
∈ ｝ ．
＝Ｕ× ， 也 即 Ｕ
ｉ ） ｃ ＝ （ ，从 而 ｛ ｝ 这显然很不合理；ｉ 若 ｃ是 Ｃ的一 Ｕ， （ ｉ ） 情 况 说 明 ：（ 当 蓝 ，则 ， （） ｒ ）
个 约 简，而 由它们 导 出的覆 盖度 等价 关 系 ， 与
空 间． Ｖ
Ｕ ，Ｘ 关 于 近 似空 间 （ ， 的 下 近 似 ｃ ） ，
垦 ） （ ，上近 似 Ｒ Ｘ） （ 和边 界 Ｂ Ｒ ） 别定 义为 ｎ（ 分
模糊 知识 的计 算 工具 。最早 由 Ｚ Ｐ ｗ ａ ． ａ ｌｋ提 出， 年 近
来 被成 功 应用 于人 工 智能 、数 据挖 掘 、模 式 识别 、 专 家 系统等 研究 领域 。已经 引起 许多 学者关 注． 在 ｚ Ｐ ｗｌ 粗 糙集 模型 中，论 域上 的等 价关 系 ．ａ ａ ｋ 起 着 至关 重 要 的作 用 ．然 而 在许 多 实 际 问题 中，对
的覆 盖度关 系 为等 价关 系．
定义 ９ 设 Ｃ是 的一个 覆盖 ， 为则 的基
证 （ ８（ ＝ Ｎ ｃ ＝ Ｎ ： ；ｉ ｉ ｃ） ｊ ） Ｘ 如（ ） ）（ ｉ
∈ ） ｊ ｌ ｙ ￣ｃ（ ）
６（ ＝ Ｎ ｃ） Ｙ
ｊ Ｉ （） ￣ｃＹ
Ｎ ＝ｃ ） ６（ ． Ｘ
定 义 ３ 设 是一 非空 有 限论域 ，ｃ是 上 的
一
受 到 了限制 ．因此 ，Ｚ Ｐ ｗｌｋ模 型 ［ 的研究 与 推广 ．ａ ａ ］
是粗 糙 集理 论研 究 的一个 重 要 方 面，对 一 般 关 系下
的粗糙 集模 型 、等价 关 系下 的变精 度 粗 糙集 模 型 、 模 糊 粗 糙 集 模 型 等 问 题 已有 不 少 研 究 ［ ４．Ｚ ｋ ｗ ２ ］ ａｏ － Ｓｉ ｋ 将划 分 扩展 为覆 盖【，将 ｚ ａ ａ ５ 】 ．Ｐ ｗｌ ｋ粗 糙集 理论
Ｊ１ ０ｌ ｕ ．２ １
文 章编 号： ０ ０５ ６ （０ ０ －３ １０ １０ ．８ ２２ １ ）４ ０ ９ －５ １
覆 盖 粗 糙 集 模 型 转 化 的 方 法 研 究
李 灿 泽 ，吴根 秀 伟 峰 ，周 丽 ，晏
（ 西 师 范 大 学 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ，江 西 南 昌 ３ ０ ２ ） 江 ３ ０ ２
垦 ） ｛ ＵＩ ］ （ ＝ ∈ ［
｝ ，
页 ） ｆ∈厂 ｋ ≠ ｊ （ ＝ 【 ｎ （ ， ２ ｝
Ｂ Ｒ ） （ 一 ） ｎ （ ＝ ） （ ，
其 中 【】 Ｙ∈ ｌＲ ｝ ＝｛ Ｕ ｘ ｙ 为 关 于 的等 价类 ． 定 义 ２ 由等 价关 系 尺定 义 的集合 的近似 精
１ ，从 而 不成 立 ．
＝
，
定 义 ５ 设 Ｃ为 非空 有 限论 域 的一个 覆 盖 ，
｛ ，３ ｛２ ｛４ｊ ｝ ｘ｝ｘ｝ｘ ，５）．因 此 ， ｃ
， ＝
Ｋ∈Ｃ．若 可 以表 示成 Ｃ一 ｝ 中若 干个 元 的并 ， 则称 在 ｃ中可 省，否则 在 Ｃ中不 可省． 定 义 ６ 设 ｃ为非 空 有 限 论域 的一 个 覆 盖 ， 若 Ｃ 中的 每个 元 均 不 可 省 ，则 称 ｃ是 不 可 约 简 的 ， 否则 称 Ｃ是 可 约 简 的 ，约 简 后 得到 的一 个 覆 盖 ， 称 为 Ｃ的覆 盖约 简，记为 Ｒ ｄ Ｃ ． ｅ （ ）
ｊ ｌ （） ｅ ｃ
于 Ｃ的 覆 盖度 等 价 关 系 ，由 产 生 的等 价划 分 为
＝
性 质 ２ 若 Ｃ＝｛ １ ２…， ｝ Ｕ 上 的 一个 划 Ｃ， ， 是 ｃ
｛ ｌＣ ） Ｃ ２ …， ． ， ，
分，则 ｛ （） ∈ 也 为 上 的一 个划 分． 如 ： Ｕ｝
度为
象 之 间的等 价关 系（ 自反 、对称 、传 递） 难 构造 ，或 很
者根本 就不 存在 ，此 时 Ｚ Ｐ ｗｌ 粗 糙 集模 型 的应用 ．ａ ａ ｋ
（ ＝Ｉ（ ｌＲ ）， ） 垦 ） ｌ （ Ｉ ／
Fra Baidu bibliotek其 中 ≠（，垦 ） （ 分别 为集 合 的下 、 近似 ２ （ 、 ｘ） ｊ Ｒ 上 Ｊ Ｊ 示 集 合 的 基数 ．显然 ，０≤ （ ≤ １ 表 ） ．当 靠 （ ＝１ ， 是精 确 的；否 则 是 粗糙 的 ． ） 时