材料力学习题解答(组合变形)

a O
P2
x
h
P1
b y z 1m 1m b
解：(1) 求内力 固定端弯矩最大
M z max = P1 × 2 = 1600 Nm
M y max = P2 × 1 = 1650 Nm
(2) 求应力 木梁在 xy 平面弯曲而引起的固定端截面上的最大应力为
′ = σ max
M z max M z max 3M z max = 2 = Wz hb / 6 b3
(3) 截面几何性质
A = 0.15 × 0.1 = 0.015 m 2 1 W z = × 0.1 × 0.152 = 3.75 × 10−4 m 3 6 1 W y = × 0.15 × 0.12 = 2.5 × 10−4 m 3 6
(4) A 点的正应力
( −25 × 10 M N M σA = + y + z = A W y Wz 0.015
B
z 30 C
o
A No18×2
y
P
3.5m
解：(1) 受力分析 当小车行走至横梁中间时最危险，此时梁 AC 的受力为 XC YC
C D
SA
30o A
P
由平衡方程求得
∑M =0 ∑X =0
C
S A sin 30o × 3.5 − P × 1.75 = 0 X C − S A cos 30 o = 0
立柱满足强度要求。 注：在组合变形的截面几何尺寸设计问题中，先根据主要变形设计，然后适当放宽尺寸进行 强度校核，这是经常使用的方法。 9.7. 在力 P 和 H 联合作用下的短柱如图所示。试求固定端截面上角点 A、B、C、D 的正应 力。 P P=25kN H=5kN
75
M
600 y A B
H
50
25 y A B
+
N1 A
202.5 × 103 × ( 0.3 − 0.125) 3.083 × 10−4
( −100 × 10 ) = −117.4 MPa +
3
0.04
上海理工大学 力学教研室
1
σ t max
M z N 202.5 × 103 × 0.125 ( −100 × 10 = I c+ 1= + Iy A 3.083 × 10−4 0.04
E I I
NI QI
D
α α
YD
4 = −100 kN 5 3 M I = YD cos α × DE = 125 × × 1.82 + 2.42 − 0.3 = 202.5 kN .m 5 N I = −YD sin α = −125 ×
(
)
(3) 截面的几何性质
A = 2 × 0.1 × 0.2 = 0.04 m 2 200 × 100 × 50 + 100 × 200 × 200 zc = = 125 mm 0.04 × 106 Iy = ∫
125 25
z 2 × 200dz + ∫
25
−175
z 2 × 100dz
3
253 − ( −175) 1253 − 253 = 200 × + 100 × = 3.083 × 108 mm 4 3 3
(4) 截面上最大拉应力和最大压应力
σ c max = −
=−
M I ( 0.3 − zc ) Iy
σC =
D 点的正应力
N M y Mz − − = ( −1.67 − 2.5 − 8) × 106 = −12.17 MPa A W y Wz N M y Mz + − = ( −1.67 + 2.5 − 8) × 106 = −7.17 MPa A W y Wz
σD =
9.8. 作用于悬臂木梁上的载荷为：xy平面内的P1=800 N，xz平面内的P2=1650 N。若木材的 许用应力[σ]=10 MPa，矩形截面边长之比为h/b=2，试确定截面的尺寸。
z
P
Pz
20o y
P
Py
2m 2m
解：(1) 将 P 力向 y 轴和 z 轴分解
Pz = P cos 20o = 7 × cos 20o = 6.578 kN Py = P sin 20o = 7 × sin 20o = 2.394 kN
I I zc =
⎛ 1.4 − 0.05 − 0.016 ⎞ +⎜ + 0.05 − 0.51 ⎟ × 1.105 = 0.211 m 4 2 ⎝ ⎠ I II I zc = I zc − I zc = 0.24 − 0.211 = 0.029 m 4
(2) 内力分析 截开立柱横截面 I-I，取上半部分
3
) = 79.6 MPa
(5) 截面上 A 点正应力
σA =−
M I z A N1 + Iy A
3
202.5 × 103 × 0.075 ( −100 × 10 =− + 3.083 × 10−4 0.04
) = −51.76 MPa
9.3. 图示起重架的最大起吊重量（包括行走小车等）为 P=40 kN，横梁 AC 由两根 No18 槽 钢组成，材料为 Q235 钢，许用应力[σ]=120MPa。试校核梁的强度。
N Mz
D C
D z 150 100
C z
My
Q
解：(1) 将力 P 和 H 向截面形心简化
M = 25 × 103 × 0.025 = 625 N .m
(2) 截面 ABCD 上的内力
N = − P = −25 kN M y = M = 625 N .m M z = H × 0.6 = 3 kN .m
P P
I
I
50
解：(1) 计算截面几何性
A1 = AABCD = 1.4 × 0.86 = 1.204 m 2 A2 = Aabcd = (1.4 − 0.05 − 0.016 ) × ( 0.86 − 2 × 0.016 ) = 1.105 m 2 A = A1 − A2 = 0.099 m 2
截面形心坐标
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2
3
P
I
I M yc
N
900
由静力平衡方程可得
N = P = 1600kN
所以立柱发生压弯变形。 (3) 最大正应力发生在立柱左侧
M = P × ( 0.9 + yc ) = 2256kNm
σ t max =
= 39.67 + 16.16 = 55.83 MPa ≺ [σ ] = 160 MPa
M y max Wy M y max bh / 6
2
木梁在 xz 平面弯曲而引起的固定端截面上的最大应力为
′′ = σ max
=
=
1.5 M y max b3
(3) 强度计算 固定端截面上 a 点是最大拉应力点，b 点是最大压应力点，应力数值大小是
′ + σ max ′′ = [σ ] σ max = σ max
9.2. 人字架承受载荷如图所示。试求 I-I 截面上的最大正应力及 A 点的正应力。
250kN 300 I I C A zc D B 1800 1800 200 z 100 100
2400
y
200 100
YD
YB
解：(1) 受力分析，求约束力
YD = YB = 125 kN
(2) 截开 I-I 截面，取左面部分 MI
ZA YA P2
YC = P1a / 2 ZC = P2 a / 2
YA = P1a / 2 Z A = P2 a / 2
MzI
(2) 截开 I-I 截面，取左面部分 P1 QzI TI QyI MyI
∑Y = 0 ∑Z =0 ∑M =0 ∑M = 0 ∑M = 0
x y z
Q y I = P1 − YA = P1 / 2 QzI = P2 − Z A = P2 / 2 TI = −YA × a = − P1a / 2 M yI = Z A × 2a = P2 a M zI = YA × 2a = P1a
上海理工大学 力学教研室
3
)+
625 3000 + −4 2.5 × 10 3.75 × 10−4
= −1.67 × 106 + 2.5 × 106 + 8 × 106 = 8.83 MPa
5
B 点的正应力
σB =
C 点的正应力
N M y Mz − + = ( −1.67 − 2.5 + 8) × 106 = 3.83 MPa A W y Wz
9.1. 求图示构件在指定截面上的内力分量。
y A z a a a a C II a/2 2a
ZA
P1
I II I
ZC
a
M=P1a
B x
YA P2
YC
解：(1) 受力分析，求约束力
∑M =0 ∑M =0 ∑Y = 0 ∑Z =0
z y
YC × 4a − P1 × 2a = 0 ZC × 4a − P2 × 2a = 0 YA + YC − P1 = 0 Z A + ZC − P2 = 0
MyII
(3) 截开 II-II 截面，取右面部分
MxII
QyII NII TII YC
ZC
M=P1a
∑Y = 0 ∑Z =0 ∑M =0 ∑M =0 ∑M =0
x y z
Q yII =YC = P1 / 2 N II =ZC = P2 / 2 M xII = M − YC × a / 2 = 3P1a / 4 M yII = ZC × a = P2 a / 2 TII = −YC × a = − P1a / 2
= 5.9 + 115.1 = 121 MPa ≺ 1.05[σ ]
故梁 AC 满足强度要求。 注：对塑性材料，最大应力超出许用应力在 5%以内是允许的。 9.5. 单臂液压机架及其立柱的横截面尺寸如图所示。P=1600 kN，材料的许用应力[σ]=160 MPa。试校核立柱的强度。
yc A 3800 a b B 900 1400 1400 截面 I-I 2760 890 D 16 16 d c C 16 860
yc =
A1 y1c + A2 y2 c A
1.4 − 0.05 − 0.016 ⎞ ⎛ 1.204 × 0.7 + 1.105 × ⎜ 0.05 + ⎟ 2 ⎝ ⎠ = 0.51 m = 0.099
截面对形心轴的惯性矩
1 2 × 0.86 × 1.43 + ( 0.7 − 0.51) × 1.204 = 0.24 m 4 12 1 3 II I zc = × ( 0.86 − 2 × 0.016 ) × (1.4 − 0.05 − 0.016 ) 12
取立柱的直径 d = 122 mm，校核其强度
σ t max =
N M 4 N 32 M 4 × 15 × 103 32 × 6 × 103 + = + = + A W π d 2 π d 3 π × 0.1222 π × 0.1223 = 1.28 + 33.66 = 34.94 MPa ≺ [σ t ]
S A = P = 40 kN 1 P = 20 kN 2
X C = S A cos 30 o = 34.64 kN YC =
∑M
A
=0
− YC × 3.5 + P × 1.75 = 0
M 35kNm (+)
(2) 作梁的弯矩图和轴力图
x N (-) 34.64kN x
此时横梁发生压弯组合变形，D 截面为危险截面，
N
如图作截面取上半部分，由静力平衡方程可得
N = P = 15kN
所以立柱发生拉弯变形。 (2) 强度计算 先考虑弯曲应力
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M = 0.4 P = 6kNm
4
σ t max =
d≥
ຫໍສະໝຸດ Baidu
M 32 M = ≤ [σ t ] πd3 W
3
π [σ t ]
32 M
=
3
32 × 6 × 103 = 120.4 mm π × 35 × 106
力柱满足强度要求。 9.6. 图示钻床的立柱为铸铁制成，P=15 kN，许用拉应力为[σt]=35 MPa。试确定立柱所需要 的直径d。
MyC N 2256 × 103 × 0.51 1600 × 103 + = + 0.029 0.099 I zc A
400 d
P P
解：(1) 内力分析
400
P
M
3M z max 1.5 M y max + = [σ ] b3 b3
3
b=
3
3M z max + 1.5 M y max
[σ ]
=
3 × 1600 + 1.5 × 1650 = 90mm 10 × 106
h = 2b = 180mm
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6
9.9. 图示 16 号工字梁两端简支，载荷P=7 kN，作用于跨度中点截面，通过截面形心并与z 轴成 20o角。若[σ]=160 MPa，试校核梁的强度。
N = 34.64 kN
M max = 35 kN .m
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2
(3) 由型钢表查得 No.18 工字钢
W y = 152cm 3
(4) 强度校核
A = 29.299cm 2
σ max = σ c max =
N M max 34.64 × 103 35 × 103 + = + 2 A 2W y 2 × 29.299 × 10−4 2 × 152 × 10−6