导数的概念及运算一轮复习课件复习进程
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5. 能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的 导数.
第二章 第10讲
第12页
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课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训
1个重要区别 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切 线”的差异：过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一 定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
第二章 第10讲
第13页
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2项必须防范 1. 利用公式求导时要特别注意，除法公式中分子的符号， 防止与乘法公式混淆． 2. 含有字母参数的函数求导时，要分清哪是变量哪是参 数，参数是常量，其导数为零.
第二章 第10讲
Δy Δx.
[变式探究] 若函数y＝f(x)在x＝a处的导数为A，则 Δlixm→0
fa＋ΔxΔ－xfa－Δx为(
)
A．A
B．2A
A C.2
D．0
答案：B
解析：由于Δy＝f(a＋Δx)－f(a－Δx)，其改变量对应
2Δx，
∴ lim Δx→0
fa＋Δx－fa－Δx Δx
＝2 lim
Δx→0
fa＋Δx－fa－Δx 2Δx
(2)y′＝(excosx)′＝excosx－exsinx.
(3)y′＝(1－x x＋lnx)′＝(1x－1＋lnx)′＝－x12＋1x.
(4)y′＝(
(1)若y＝
x
，则y′＝________；y＝
1 x2
，则y′＝
________；y＝log3x，则y′＝________.
(2)已知f(x)＝xm，若f′(－1)＝－4，则m＝________.
3．导数的运算法则 若y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，则 (1)[f(x)±g(x)]′＝________； (2)[f(x)·g(x)]′＝____________； (3)[gfxx]′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)．
1. 了解导数概念的实际背景．
2. 理解导数的几何意义．
3.
能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝
1 x
的导
数．
第二章 第10讲
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4. 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数．
第14页
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3种必会方法 1. 连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导． 2. 根式形式：先化为分数指数幂、再求导． 3. 复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、 差，再求导.
第二章 第10讲
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核心要点研究
f′(x)与f′(x0)有何不同？
(1)函数y＝x3－2x在点(2,4)处的切线的斜率为________． (2) 函 数 f(x) ＝ lnx 的 图 象 在 点 (e ， f(e)) 处 的 切 线 方 程 y ＝ __________.
2．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*)
(1)y＝(x2－1)(3x＋2)，则y′＝________； (2)若f(x)＝xex，则f′(1)＝________； (3)y＝sixnx，则y′＝__________.
4．复合函数的导数 设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x 的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也 有导数y′x＝f′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数 的乘积．
例1 用导数的定义求函数y＝ 1x在x＝1处的导数．
[审题视点]
先求Δy，再求ΔΔyx，最后求Δlixm→0
Δy Δx.
[解]
记f(x)＝
1， x
则Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋1 Δx－1
＝1－1＋1＋ΔxΔx＝1－1＋1＋ΔxΔx1＋1＋1＋1Δ＋xΔx
＝
－Δx 1＋Δx1＋
1＋Δx，
ΔΔyx＝－
1 1＋Δx1＋
1＋Δx，
∴Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0
－1 1＋Δx1＋
1＋Δx＝－12.
根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的方法 是
(1)求函数值的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)计算导数f′(x0)＝Δlixm→0
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导数的概念及运算一轮复习课件
第二章 第10讲
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(2)几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x) 上点(x0，f(x0))处的__________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时 间t的导数)．相应地，切线方程为________________．
f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝lnx
导函数 f′(x)＝____ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝____(a>0，且a≠1) f′(x)＝________
(1)y＝ 2x的导数y′＝________. (2)y＝ln(1－x)的导数y′＝________. (3)y＝e－2x的导数是y′＝________. (4)y＝cos(2x－π6)的导数是y′＝__________.
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＝2f′(a)＝2A，故选B.
例2 求下列函数的导数 (1)y＝2xlnx； (2)y＝excosx； (3)y＝1－x x＋lnx； (4)y＝xs3i＋nx1.
[审题视点] 本题考查导数的有关计算，借助于导数的公
式及常见的初等函数的导数，可以容易求得．
[解] (1)y′＝2xln2lnx＋1x·2x＝2x(ln2lnx＋1x)
第二章 第10讲
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1个重要区别 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切 线”的差异：过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一 定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
第二章 第10讲
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2项必须防范 1. 利用公式求导时要特别注意，除法公式中分子的符号， 防止与乘法公式混淆． 2. 含有字母参数的函数求导时，要分清哪是变量哪是参 数，参数是常量，其导数为零.
第二章 第10讲
Δy Δx.
[变式探究] 若函数y＝f(x)在x＝a处的导数为A，则 Δlixm→0
fa＋ΔxΔ－xfa－Δx为(
)
A．A
B．2A
A C.2
D．0
答案：B
解析：由于Δy＝f(a＋Δx)－f(a－Δx)，其改变量对应
2Δx，
∴ lim Δx→0
fa＋Δx－fa－Δx Δx
＝2 lim
Δx→0
fa＋Δx－fa－Δx 2Δx
(2)y′＝(excosx)′＝excosx－exsinx.
(3)y′＝(1－x x＋lnx)′＝(1x－1＋lnx)′＝－x12＋1x.
(4)y′＝(
(1)若y＝
x
，则y′＝________；y＝
1 x2
，则y′＝
________；y＝log3x，则y′＝________.
(2)已知f(x)＝xm，若f′(－1)＝－4，则m＝________.
3．导数的运算法则 若y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，则 (1)[f(x)±g(x)]′＝________； (2)[f(x)·g(x)]′＝____________； (3)[gfxx]′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)．
1. 了解导数概念的实际背景．
2. 理解导数的几何意义．
3.
能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝
1 x
的导
数．
第二章 第10讲
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4. 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数．
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3种必会方法 1. 连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导． 2. 根式形式：先化为分数指数幂、再求导． 3. 复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、 差，再求导.
第二章 第10讲
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核心要点研究
f′(x)与f′(x0)有何不同？
(1)函数y＝x3－2x在点(2,4)处的切线的斜率为________． (2) 函 数 f(x) ＝ lnx 的 图 象 在 点 (e ， f(e)) 处 的 切 线 方 程 y ＝ __________.
2．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*)
(1)y＝(x2－1)(3x＋2)，则y′＝________； (2)若f(x)＝xex，则f′(1)＝________； (3)y＝sixnx，则y′＝__________.
4．复合函数的导数 设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x 的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也 有导数y′x＝f′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数 的乘积．
例1 用导数的定义求函数y＝ 1x在x＝1处的导数．
[审题视点]
先求Δy，再求ΔΔyx，最后求Δlixm→0
Δy Δx.
[解]
记f(x)＝
1， x
则Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋1 Δx－1
＝1－1＋1＋ΔxΔx＝1－1＋1＋ΔxΔx1＋1＋1＋1Δ＋xΔx
＝
－Δx 1＋Δx1＋
1＋Δx，
ΔΔyx＝－
1 1＋Δx1＋
1＋Δx，
∴Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0
－1 1＋Δx1＋
1＋Δx＝－12.
根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的方法 是
(1)求函数值的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)计算导数f′(x0)＝Δlixm→0
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第二章 第10讲
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(2)几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x) 上点(x0，f(x0))处的__________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时 间t的导数)．相应地，切线方程为________________．
f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝lnx
导函数 f′(x)＝____ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝____(a>0，且a≠1) f′(x)＝________
(1)y＝ 2x的导数y′＝________. (2)y＝ln(1－x)的导数y′＝________. (3)y＝e－2x的导数是y′＝________. (4)y＝cos(2x－π6)的导数是y′＝__________.
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＝2f′(a)＝2A，故选B.
例2 求下列函数的导数 (1)y＝2xlnx； (2)y＝excosx； (3)y＝1－x x＋lnx； (4)y＝xs3i＋nx1.
[审题视点] 本题考查导数的有关计算，借助于导数的公
式及常见的初等函数的导数，可以容易求得．
[解] (1)y′＝2xln2lnx＋1x·2x＝2x(ln2lnx＋1x)