概率论与数理统计第二章自测题答案与提示

解：F ( x ) = ∫ 6t (1 − t )dt = ( 3t − 2t ) = 3 x 2 − 2 x 3 1 F ( y ) = P (Y = 2 X + 1 ≤ y ) = P ( X ≤ ( y − 1)) 2 1 1 ( y −1 ) 1 2 3 2 ( y −1 ) 2 6t (1 − t )dt = ( 3t − 2t ) =∫ = ( y − 1) 2 (4 − y ) 0 0 4 3 ′( y ) = 4 ( y − 1)( 3 − y ) 1 < y < 3 f ( y) = F 0 其它
0 1 1 2
( 2)0 ≤ x < 1时，F ( x ) = ∫ 1 ≤ x < 2时，F ( x ) = ∫
x −∞
x
−∞
f ( t )dt = ∫
1 0
x
0
x2 (1 − t )dt = x − . 2
x 1
f ( t )dt = ∫ (1 − t )dt + ∫
x2 ( t − 1)dt = − x +1 2
概率作业第二章自测题
一、填空题 1 1.设离散型随机变量 X的分布律为 P ( X = k ) = 5 A( ) k ( k = 1,2,L) 2 则A = _______ . 1 答案与提示： 答案与提示： 。 5
ax + b 0 < x < 1 2.已知随机变量 X的密度为： f ( x ) = 的密度为： 其它 0 1 且P ( X > ) = , 则a = _____, b = ______ . 2 8 1 1 1 5 答案与提示： 提示： 答案与提示： a = 1, b = . 提示： (ax + b )dx = 1, ∫1 (ax + b )dx = ∫0 2 8 2
1 （3） f ( x ) = F ′( x ) = ） , − ∞ < x < +∞ 2 π 1+ x
(
)
概率作业第二章自测题
6 x(1 − x ) 6.随机变量 X的概率密度为 f ( x ) = 0 的概率密度。 变量Y = 2 X + 1的概率密度。
x 2 3 x 0 0
0< x<1 ，求随机 其它
kxy 2 0 < x < 1, 7.二维随机变量 ( X , Y )的概率密度为 f ( x , y ) = 0< y<1 0 其它 1 ; ） 的边缘密度；（ ） 是否独立。 求（）常数 k（2 X、Y的边缘密度；（3 问 X、Y是否独立。
有相同的分布函数，则 下列各式中正确的是 _______ . 有相同的分布函数， ( A) F ( x ) = F ( − x );( B )F ( x ) = − F ( − x ); (C ) f ( x ) = f ( − x ); ( D ) f ( x ) = − f ( − x ) 答案： 提示： 答案： C .提示：由 P ( X ≤ x ) = P ( − X ≤ x )易得F ( x ) = 1 − F ( − x )即
3
6v
π
−∞
f ( x )dx = ∫
3
6v
π
a
1 1 3 6v dx = [ − a] b−a b−a π
(其中 a ≤ 3
6v
π
≤ b)
Q f ( v ) = F ′( v ) ∴
1 6 πa 3 πb 3 3 ≤v≤ f (v ) = 3(b − a ) πv 2 6 6 0 其它
概率作业第二章自测题
x2 0≤ x<1 x − 2 2 x F ( x) = − x+1 1≤ x < 2 2 x≥2 1
3 3 1 3 2 3 5 ( 3) P ( X < ) = F ( ) = ( ) − ( ) + 1 = 2 2 2 2 2 8
概率作业第二章自测题
( A)与a无关，随 λ 的增大而增大；B )与a无关，随 λ 的增大而减小； 无关， 的增大而增大； ( 无关， 的增大而减小； ( A)与λ 无关，随 a的增大而增大；B )与λ 无关，随 a的增大而减小 . 无关， 的增大而增大； ( 无关， 答案： C 答案：
提示：由 ∫ 提示： QP =
+∞
1 1 1 1 ∴F( x) = + arctan x, − ∞ < x < +∞ ∴A= , B = , 2 π 2 π
1 1 1 1 （2） P (− 1 < X < 1) = F (1) − F (− 1) = 2 + 4 − 2 − 4 = 0.5 ）
∫
+∞
a
f ( x )dx = ∫
a
f ( − x )dx = − ∫
−∞
−a
f ( t )dt = ∫
−a
−∞
f ( t )dt = F ( − a )
a 1 (其中t = − x ). ∴ F ( − a ) = − ∫ f ( x )dx . 2 0
概率作业第二章自测题
2.下列函数中，可作为某 一随机变量的分布函数 是 _______ . 下列函数中， 1 1 1 ( A) F ( x ) = 1 + 2 ; ( B )F ( x ) = + arctan x; x 2 π 1 x +∞ (1 − e − x ) x > o (C ) F ( x ) = 2 ; ( D )F ( x ) = ∫ f ( x )dx , 其中∫ f ( x )dx = 1 −∞ −∞ 0 其它 1 答案： 提示： (A 答案： B . 提示： )F ( −∞ ) = 1, (C )F ( +∞ ) = , ( D ) f ( t ) ≥ 0 ? 2 3.假设随机变量 X的分布函数为 F ( x ),密度函数为 f ( x ), 若X与 − X
概率作业第二章自测题
1− x 2.设随机变量 X 的概率密度 f ( x ) = A + x 0 0≤ x<1 1≤ x < 2 其它
3 (1)确定常数 A; ( 2 )求 X 的分布函数；（ 3 求概率 P ( X < ). 的分布函数；（ ） 2
解：（）由∫ (1 − x )dx + ∫ ( A + x )dx = 1, 求出A = −1 1
概率作业第二章自测题
答案：B . 提示： f ( x ) = f ( − x );∴ ∫ 答案： 提示： Q
+∞ −∞
f ( x )dx = 2∫
+∞
0
f ( x )dx = 1
∫
+∞
0
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫
0 +∞
a
+∞
a
1 f ( x )dx = , 2
∴∫
a
a 1 f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx ,由f ( x ) = f ( − x )， 2 0 +∞
概率作业第二章自测题
3.一射手对同一目标独立 地进行四次设计，若至 少命中一次的 地进行四次设计， 80 概率为 ，则该射手的命中率为 _____ . 81 2 答案与提示： 提示： 中的概率。 答案与提示： . 提示：命中率即每次命 中的概率。设为 p 3 80 0 , 则 P (至少命中一次 ) = 1 − P ( 命中0次 ) = 1 − C 4 p 0 q 4 = 81 1 1 2 4 q = ,1 − p = q = , p = . 81 3 3
0.5 n ≤ 0.1, n ≥
ln 10 2.3025 = = 3.322 ln 2 0.6931
5.(柯西分布）设连续随机变量 的分布函数为: 5.(柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为: 柯西分布 F( x) = A + B arctan x, − ∞ < x < +∞ ；（2） 落在区间( 1,1)内的概率 内的概率； 求（1）系数 A及B；（ ）X 落在区间(-1,1)内的概率； ） 及 ；（ （3） X 的密度函数。 ） 的密度函数。
概率作业第二章自测题
解 （1） Q xlim F ( x ) = 0, ） → −∞
x → −∞
x → +∞
lim F ( x ) = 1
∴ lim ( A + B arctan x ) = A −
x → +∞
π
π
2
2
B = 0,
B = 1,
lim ( A + B arctan x ) = A +
−∞
f ( x )dx =
∫λ
+∞
Ae − x dx = 1, 得： A = e λ .
∫λ
λ +a
1 f ( x )dx = 1 − a ; Pa′ = e − a > 0故与 λ 无关且递增。 无关且递增。 e
概率作业第二章自测题
三、解答题 1.从一批有 10个合格品与 3个次品的产品中一件一 件地抽取产品， 件地抽取产品， 性相同， 各种产品被抽到的可能 性相同，求在两种情况 下，直到取出合格 品为止， 分布律。（ ）放回；（ ）不放回。 品为止，求抽取次数的 分布律。（1 放回；（ 2 不放回。
3.对球的直径作测量，设 其值均匀地分布在 [a , b]内，求体积的 对球的直径作测量， 密度函数。 密度函数。 1 a≤ x≤b : 球的直径” 解：设 X “球的直径”。 X ~ U [a , b], f ( x ) = b − a 0 其它 1 1 6v 6v 3 3 3 3 V = πX , F ( v ) = P (V = πX ≤ v ) = P ( X ≤ ) = P ( X ≤ ) 6 6 π π =∫
次取到合格品” 解： X = 第 k 次取到合格品”则 k = 1, 2 , 3 LL “ 10 3 × 10 3 × 3 × 10 , P ( X = 2) = , P ( X = 3) = ,L , （1 P ( X = 1) = ） 2 3 13 13 13 3 k − 1 × 10 P( X = k) = . k 13 10 ( 2) X = 第k次取到合格品”则 k = 1,2,3,4. P ( X = 1) = , 次取到合格品” “ 13 3 × 10 6 3 × 2 × 10 5 P ( X = 2) = , P ( X = 3) = , = = 13 × 12 25 13 × 12 × 11 143 3 × 2 × 1 × 10 1 P ( X = 4) = . = 13 × 12 × 11 × 10 286
概率作业第二章自测题
4.设在独立重复的试验中 ，每次试验成功的概率 为0.5，问需要多少 次实验才能使至少成功 一次的概率不小于 0.9
0 解：P (至少A发生一次 ) = 1 − P ( A发生0次) = 1 − C n (0.5)0 (1 − 0.5) n
= 1 − 0.5 n ≥ 0.9 n≥4
∫
x
−∞
f ( t )dt = 1 − ∫
−x
−∞
f ( t )dt ,两边求导， f ( x ) = f ( − x ) 两边求导，
概率作业第二章自测题
Ae − x 4.已知随机变量 X的密度函数 f ( x ) = 0 则概率 P (λ < x < λ + a )(a > 0)的值 _______ . x≥λ x<λ 为常数） (λ > 0, A为常数）
4.若随机变量 X在(1,6)上服从均匀分布，则方 程x 2 + Xx + 1 = 0 上服从均匀分布， 有实根的概率是 ______ .
概率作业第二章自测题
1 1≤ x ≤ 6 答案： 0 提示： 答案：.8 提示： f ( x ) = 5 。设事件 A = 方程有实根” “方程有实根” 0 其它 而方程 x 2 + Xx + 1 = 0有实根的充要条件是 ∆ = X 2 − 4 ≥ 0即 A = { X 2 − 4 ≥ 0} = { X 2 ≥ 4} = { X ≥ 2} + { X ≤ −2} 61 −2 4 P ( A) = P { X ≥ 2} + P { X ≤ −2} = ∫ dx + ∫ 0dx = = 0.8 2 5 −∞ 5 二、选择题 1.设X的密度函数为 f ( x ), 分布函数为 F ( x ), 且f ( x ) = f ( − x ).那么
对任意给定的 a都有 _______ . ( A) f ( − a ) = 1 − ∫ f ( x )dx;
0 a a 1 ( B )F ( − a ) = − ∫ f ( x )dx; 2 0 ( D ) F ( − a ) = 2 F ( a ) − 1.
(C )F (a ) = F ( − a );