【20套精选试卷合集】甘肃省兰州市西北师大附中2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

高考模拟数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意：1．本套试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案写在答卷上，否则答题无效。

2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题。

3．选择题，请用2B 铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑。

非选择题，请用 0. 5mm 黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答。

第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 {}{}
(2)|ln(2),|21,x x A x N y x B x A B -=∈=-=≤=I A ． {}|1x x ≥ B ． {}|12x x ≤< C ． {}1 D ． {}0,1
2．已知复数z 满足方程 z i zi +=(i 为虚数单位)，则复数 z 对应点在第几象限 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D ．第四象限
3．已知正数组成的等比数列 {}n a ，若 120100a a ⋅=，那么 318a a + 的最小值为 A.20 B ．25 C. 50 D ．不存在 4．已知向量 2
(1,2),(,4)a b m =--=，那么“ //a b ”是“ 2m =”的
A.充分不必要条件 B ．必要不充贫条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必兽名仳
5.如右图，当输入的实数 []2,30x ∈时，执行如图所示的程序框图，则输出的 x 不小于111的概率是 A.8
13
B.1728
C.23
D.
1829
6．正四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱BC 、AD 的中点，则直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值为 A.
22 B ． 3 C. 6 D ．2
7．在△ABC 中,A=60o
，若a,b,c 成等比数列，则
sin b B
c
=
A.
1
2 B ．
C.
D ．
8．已知函数
2,(0),
()0
x x f x x ⎧≤⎪=>．则
1
()f x dx -=
A.
123π
- B ． 123π+ C. 143π+ D ． 1
43
π- 9．设函数 1()cos()2f x x ωϕ=
+对任意的 x R ∈，都有 ()()66
f x f x ππ
-=+，若函数 ()3sin()2g x x ωϕ=+-，则 ()6
g π
的值是
A. 1 B ． -5或3 C. -2 D ．
12
10.点 (,)M x y 在直线x+y-10=0上，且x ，y 满足 55x y -≤-≤，则
A.
0,2⎡⎢⎣⎦ B ．
⎡⎣
C. 2⎡⎢⎣⎦
D ．
5,2⎡⎢⎣⎦
11．过双曲线 22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点 (,0)(0)F c c ->，作圆 222
4a x y +=的切线，切点
为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若 2OF OE OP =-u u u r u u u r u u u r
，则双曲线的离心率为
A.
B ．
5 C.
2
D ．
12.直线y=m 分别与曲线y=2x+3， ln y x x =+交于A ，B ，则 AB 的最小值为 A. 3 B ． 2 C.
4 D ． 3
2
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.在 ∆ABC 中，若 3
1,32
AB AC AB AC ==⋅=u u u r u u u r ,则 ABC S ∆为_________。

14．若球的半径为a ，球的最大截面面积为 4π，则二项式
4
⎛- ⎝
的展开式中的常数项为
_________。

15,已知正方形ABCD 的边长为2，P 是正方形ABCD 的外接圆上的动点，则 AB AP ⋅u u u r u u u r
的范围为_________。

16．已知定义在R 上的奇函数 ()f x 满足 (4)()f x f x +=-，且 []0,2x ∈时， 2()log (1)f x x =+，给出下列结论：
① (3)1f =；②函数 ()f x 在 []6,2--上是增函数；③函数 ()f x 的图像关于直线x=1对称；④若
()0,1m ∈，则关于x 的方程 ()0f x m -=在[-8，16]上的所有根之和为12.则其中正确的命题为
_________。

三、解答题 ：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项的和为 n S ，且 21017,100a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足cos()2n
n n b a n π=+，求数列的前n 项和。

18．（本小题满分12分）
我市某大型企业2008年至201 4年销售额y(单位：亿元)的数据如下表所示：
(1)在下表中，画出年份代号与销售额的散点图；
(2)求y 关于t 的线性回归方程，相关数据保留两位小数；
(3)利用所求回归方程，说出2008年至2014年该大型企业销售额的变化情况，并预测该企业2015年的销售额，相关数据保留两位小数．
附：回归直线的斜率的最小二乘法估计公式：
19.（本小题满分12分）
已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．已知D 是棱 11A C 的中点．
(1)求证： 1//BC 平面 1AB D ; (2)求二面角 1B AD B --的余弦值， 20．（本小题满分12分）
已知A 、B 分别为曲线 222:1(0)x C y a a
+=>与x 轴的左、右两个
交点，直线 l 过点B 且与x 轴垂直，P 为l 上异于点B 的点，连结 AP 与曲线C 交于点A ． (1)若曲线C 为圆，且 23
3
BP =
，求弦AM 的长； (2)设N 是以BP 为直径的圆与线段BM 的交点，若O 、N 、P 三点共线，求曲线C 的方程． 21．（本小题满分12分）
已知函数 ()ln (1),()x
f x x a x
g x e =--= (1)求函数 ()f x 的单调区间；
(2)过原点分别作曲线 ()y f x =与 ()y g x =的切线 12,l l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明 0
a =或 211
e e a e e
--<<； (3)设 ()(1)()h x f x g x =++，当 0x ≥时，h(x)≥1，求实数a 的取值范围． 请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，在半径为
7的 O e 中，弦AB ，CD 相交于点P ，PA=PB=2，PD=1.
(1)求证相交弦定理： AP PB PD PC ⋅=⋅ (2)求圆心O 到弦CD 的距离．
23.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程
若点 (,)P x y 在曲线C 的参数方 23cos ,3sin x y θθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ θ为参数． R θ∈）上，以O 为极点，x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求
y
x
的范围． (2)若射线 (0)4
π
θρ=
≥与曲线C 相交于A ，B 两点，求 OA OB +的值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
(1)设函数
1
()13
2
f x x x
=-+-．求不等式()2
f x<的解集．
(2)若a,b,c都为正实数，且满足a+b+c=2．证明：1119
2
a b c
++≥．
高考模拟数学试卷
第I 卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合{13}A x x =≤≤，{}
2B x x =>，则A B I 等于 ( )
A.{23}x x <≤
B. {1}x x ≥
C.{23}x x ≤<
D.{2}x x >
2.已知角α的终边经过点)0,1(-P ，则αcos 的值为 （ ）
A. 0
B. 1-
C.
D. 2
3.直线l 与直线10x -+=垂直，则直线l 的斜率为 ( )
A ．
33 B ．－3
3
C ． 3
D ．－ 3 4.定义域为R 的四个函数3
2
,2,,2sin x
y x y y x y x ====中，奇函数的个数为 （ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
5.甲、乙两人下棋，甲获胜概率为40﹪,甲不输的概率为90﹪ ，则甲、乙下成和棋的概为 ( )
A. 60﹪
B. 30﹪
C.10﹪
D. 50﹪
6．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是 ( )
（第6题图）
A ．三棱锥
B ．四棱锥
C ．四棱台
D ．三棱台
7.若0<x ，则x
x 1
+
的最大值是 （ ） A. 1- B. 2- C. 1 D. 2
8．如图所示，算法流程图的输出结果为 ( )
（第8题图）
A. 34
B. 16
C. 1112 D ． 2524
9.下列大小关系正确的是 ( )
A. 3log 2>5log 2>2
B. 3log 2>2>5log 2
C. 5log 2>2>3log 2
D. 2log 5>2log 3>2
(第10题图)
A ．91.5和 91.5
B ．91.5和92
C ．91和91.5
D ．92和92
11．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么为 ( )
A. 1123AB AD -u u u r u u u r
B. 1142
AB AD +u u u
r u u u r
C. 1132AB AD +u u u r u u u r
D. 1223
AB AD -u u u
r u u u r
（第11题图）
12.设方程a x =-32
的解的个数为m ，则m 不可能等于 （ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
第II 卷
二.填空题（本大题共4小题,每小题3分,共12分,把答案填在答卷卡的相应位置上） 13.)3
7sin(π
-
的值是_____________; 14．已知向量a =(3,4), 向量b=(2,k ),若a ⊥b ，则实数k 的值是____________;
15. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，且bc c b a ++=2
2
2
，则角A 的值是____________;
16.设1>m ，在约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数y x z 5+=的最大值为4，则m 的值是
_______________.
三.解答题：(本大题共5小题,共52分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知ABC ∆的三个内角,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，45A ∠=︒,42a =，
43b =，求B ∠.
18. (本小题满分10分)
已知在四面体ABCD 中，BC BA =,DC DA =,试在AC 上确定一点E ,使得
BDE AC 平面⊥,并证明你的结论.
（第18题图）
19. (本小题满分10分)
对某个品牌的U 盘进行寿命追踪调查，所得情况如下面频率分布直方图所示. （1）图中纵坐标0y 处刻度不清，根据图表所提供的数据还原0y ；
（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取20个U 盘，寿命为1030万次之间的应抽取几个；
（3）从（2）中抽出的寿命落在1030万次之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个寿命为1020
A
B D
E
万次,，一个寿命为2030万次”的概率.
(第19题图) 20. (本小题满分10分)
数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2
13
n n S a =-(n ∈N +). （1） 判断数列}{n a 是什么数列？ （2） 求数列}{n na 的前n 项和n T .
21.（本小题满分12分）
已知圆C ：024222
2
2
=-+--+a ay x y x (a ∈R)的圆心在直线02=-y x 上. （1）求实数a 的值;
（2）求圆C 与直线l ：()047)1(12=--+++m y m x m (m ∈R )相交弦长的最小值．
数学
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题
（1）A ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B ； （7）B ； （8）C ； （9）C ； （10）A ； （11）D ； (12) D ．
频率/组距 0.01
0.02 0.04
y 万次
二．填空题 （13）32-； （14）3
2
-； （15）32π； （16）3． 三.解答题
17.解：根据正弦定理
sin sin a b
A B
=
, 得
4243
=，
3sin 60B B ∴=
∴=︒︒，或120 ................................................................................... 10分 18.证明：取AC 的中点E 在ABC ∆中，
,BA BC =Q 中点为AC E ，
.BE AC ∴⊥
同理可证，在ADC ∆中，DE AC ⊥
DE BDE BE BDE BE DE E
⊂⊂=Q I 又平面平面
BDE AC 平面⊥∴ ........................................................................................................... 10分
19. 解：（1）11004.01002.0201001.00=⨯+⨯++⨯y Θ
015.00=∴y ............................................... 3分 （2）10~30万次之间的U 盘所占频率为25.010015.01001.0=⨯+⨯ 设10~30万次之间的U 盘应抽取x 个，
25.020
=x
，5=∴x ............... 6分 （3）10~20万次应抽取201.01020=⨯⨯个，设为21,a a ， 20~30万次应抽取3015.01020=⨯⨯个，设为321,,b b b ， 寿命落在10
30万次之间的元件中任取2个元件，一切可能结果组成的基本事件空间为
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧=Ω）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（21231322123221113121,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b b b a b a b a b a a a b a b a a a a a
“抽取的两个U 盘恰好有一个寿命为10
20万次,，一个寿命为20
30万次”为事件A ，
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=）（）（）（）（）（）（231322122111,,,,,,,,,,,b a b a b a b a b a b a A ,53106)(==A P . ................................ 10分
20.解：(1)当1n =时，1112
13
a S a ==-
，解得135a =，
当2n ≥时，1122
(1)(1)33
n n n n n a S S a a --=-=---，得152n n a a -=，所以125n n a a -=，
所以数列{}n a 是以
35为首项，2
5
为公比的等比数列. ........................ 4分 (2)由（1）知：132()55n n a -=
，所以132()55
n n na n -= ()0
1
2
1
3232323212...155555555n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯⨯+⨯⨯++⨯-⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
①
()1
2
1
23232323212...1555555555n n
n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯⨯+⨯⨯++⨯-⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
② ①-②得
1
1
332323232...-555555555n n
n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯++⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
011
2222...-5555n n
n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
21-25225525-1---2535533515
n
n n n n
n T n n n ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎝⎭===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-
.............. 10分
21.解：（1）圆C 的方程可化为25)12
2=+a y x --（）（，将圆心坐标（1,a ）代入直线方程02=-y x 中，
得2=a ................................................................................................................................ 4分 (2)∵直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R)．
∴l 恒过⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋y －7＝0
x ＋y －4＝0的交点M(3,1)． .................................................................. 8分
由圆的性质可知，当l ⊥CM 时，弦长最短． 又|CM|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，
∴弦长为l ＝2r 2－|CM|2＝225－5＝4 5. .......................................................... 12分
高考模拟数学试卷
数学（理科）
本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{|(3)(6)0}A x x x =+-≥
R ()A B =I ð A ．(3,6)-
B ．[6,)+∞
C ．(3,2]--
D ．(,3)(6,)-∞-+∞U
2
i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ． 第四象限
3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．
215π B ．320π
C ．2115π-
D ．3120
π
- 4. 在如图所示的框图中，若输出360S =，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 A ．2?k > B ．2?k <
C ．3?k >
D ．3?k <
5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则4
2
S S = A ．3 B ．9 C ．10 D ．13
6．已知直线20x y a -+=与圆O ：2
2
2x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），
则“a =0OA OB ⋅=u u u r u u u r
”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >
则(1)(2)(3)(2020)f f f f +++⋅⋅⋅+= A ．2log 5
B ．2log 5-
C ．2-
D ．0
8．将函数()=2sin(2+)
3
f x x π图像上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像
向左平移
12
π
个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为 A ．24
x π
=-
B ．4
x π
=
C ．524x π=
D ．12
x π= 9．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+-≥-a y y x y x 41
，目标函数y x z 23-=的最小值为4-，则a 的值是
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．1
2
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．5
B
．
5
3
C ．52
D ．56
11．已知过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =u u u r u u u r
，抛物线的
准线l 与x 轴交于点C ， 1AA l ⊥于点1A ，若四边形1AA CF 的面积为l 的方程为
A ．x =
B ．x =-
C ．2x =-
D ．1
x =-
12．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① (0)0f =；② 当R x ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12||||x x =时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数： 1()sin f x x x =； 2())f x x =；31,0(), 0
x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩；24()x x
f x e e x =--.则其
中是“偏对称函数”的函数个数为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
13．已知向量a r ，b r 满足||5b =r ，||4a b +=r r ，||6a b -=r r
，则向量a r 在向量b r 上的投影为 ．
14．已知5
()(21)a
x x x
+-展开式中的常数项为30，则实数a = ． 15．定义
12n
n
p p p +++L 为n 个正数12,,,n p p p L 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”
为
1
21n +，又14
n n a b +=，则
122320172018111b b b b b b +++=L ． 16．已知三棱锥A BCD -
中，3,1,4,AB AD BC BD ====A BCD -的体积最大时，
其外接球的体积为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．
17．（12分）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、
，已知cos b A c +=． （1）求cos B ；
（2）如图，D 为ABC ∆外一点，若在平面四边形ABCD 中，
2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =
，BC =AB 的长．
18．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1BB ⊥底面ABC ，14BB =，AB BC ⊥
，且
AB BC ==，点,M N 为棱,AB BC 上的动点，且AM BN =，
D 为11B C 的中点.
（1）当点,M N 运动时，能否出现//AD 面1B MN 情况，请说明理由. （2
）若BN =，求直线AD 与平面1B MN 所成角的正弦值.
C
A
B D
A
B
C
1B
1A
D
1C
M
N
（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位）
（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2
(,)N u σ（0u u =，
σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%.
（ⅰ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） （说明：()111(
)x u
P X x φσ
->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6φ=，
(0.6554)0.4φ=）
20．（12分）在平面直角坐标系中，点1F 、2F 分别为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，
双曲线C 的离心率为2，点3
(1,)2
在双曲线C 上.不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四
边形12PF QF 的周长为（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）在动点P 的轨迹上有两个不同的点1122(,)(,)M x y N x y 、，线段MN 的中点为G ，已知点12(,)
x x 在圆22
2x y +=上，求||||OG MN ⋅的最大值，并判断此时OMN ∆的形状.
21．（12分）已知函数2
()ln (R)f x x ax x a =++∈. （1）讨论函数()f x 在[1,2]上的单调性； （2）令函数1
2()()x g x e
x a f x -=++-， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数，
若函数()g x 有且只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修44-：坐标系与参数方程（10分）
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线1C 的极坐标方程为2
sin 4cos 0ρθθ-=，曲线2C 的参数方程是12cos 2sin x y ϕ
ϕ=-+⎧⎨=⎩
（ϕ为参数）.
（1）求曲线1C 的直角坐标方程及2C 的普通方程；
（2）已知点1(,0)2P ，直线l
的参数方程为1222
x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设直线l 与曲线1C 相交于,M N
两点，求11
||||
PM PN +的值．
23．选修45-：不等式选讲（10分） 已知函数()|1||2|f x x x =++-. （1）求函数()f x 的最小值k ；
（2）在（1）的结论下，若正实数,a b
满足11a b +=2212
2a b
+≥.
2018年青岛市高考模拟检测
数学（理科） 参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C B C D C A B A C D A B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1- 14．3 15．
20172018 16．1256
π 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）
解：（1）在ABC ∆
中，由正弦定理得sin cos sin sin 3
B A A
C +
=， ………………2分 又()C A B π=-+
，所以sin cos sin()B A A A B +
=+，
故sin cos sin cos cos sin B A A A B A B +
=+，…………………………………4分
所以sin cos 3
A B A =
， 又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠
，故cos B =
6分 （2）2D B ∠=∠Q ，2
1
cos 2cos 13
D B ∴=-=-………………………………………7分 又在ACD ∆中， 1AD =， 3CD =
∴由余弦定理可得222
12cos 1923()123
AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=，
∴AC = ………………………………………………………………………………9分 在ABC ∆中，
BC =
AC =
cos B =
， ∴由余弦定理可得2
2
2
2cos AC AB BC AB BC B =-+⋅，
即2
1262AB AB =+-⋅
2
60AB --=
，解得AB = 故AB
的长为12分 18．（本小题满分12分）
解（1）当,M N 为各棱中点时，//AD 面1B MN 证明如下：连接CD
1//CN B D 且112CN B D BC ==
∴四边形1B DCN 为平行四边形，
1//DC B N ∴
又DC ⊄面1B MN ，1B N ⊂面1B MN
∴//DC 面1B MN …………………………3分
,M N Q 为各棱中点 //AC MN ∴
又AC ⊄面1B MN ，MN ⊂面1B MN ，∴//AC 面1B MN ……………………………5分
Q DC AC C =I ，∴面//ADC 面1B MN
又AD ⊂Q 面ADC ，//AD ∴面1B MN …………………………………………………6分
（2）如图，设AC 中点为O ，作OE OA ⊥，以OA ，OE ，OB 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标
系，BN =
Q
AB BC ==，6AC ∴=
133
(2,0,1),(1,0,2),(3,0,0),(0,4,3),(,4,)22
M N A B D ----Q
1(3,0,1),(2,4,2)MN B M ∴=-=-u u u u r u u u u r
………………………………………………………8分
设平面1B MN 的法向量为(,,)n x y z =r ，则有1,n MN n B M ⊥⊥r u u u u r r u u u u r
30
2420
x z x y z -+=⎧∴⎨
+-=⎩，可得平面1B MN 的一个法向量(1,1,3)n =r ……………………10分 又93(,4,)22AD =--u u u r
，cos ,77||||
n AD n AD n AD ⋅∴<>==r u u u r
r u u u r r u u u u r
设直线AD 与平面1B MN 所成角为α
，则sin |cos ,|77
n AD α=<>=r u u u r ……………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：
0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯
1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ …3分
（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ， 根据题意，111103()1()1(
)0.419.3x u
x P x x φφσ
-->=-=-=，即1103
()0.619.3
x φ-=. 由(0.7257)0.6φ=得，
11103
0.7257117.011719.3
x x -=⇒=≈，
所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分. …………7分 （ⅱ）因为(45
)2,Y B ～，4423()5
5
()()i
i
i
P Y i C -∴==，0,1,2,3,4i =.
所以Y 的分布列为
10分 所以()455
28
E Y =⨯
=.
…………………………12分 20．（本小题满分12分）
解：（1）设点1F 、2F 分别为(,0),(,0)(0)c c c -> 由已知
2c
a
=，所以2c a =，224c a =，22223b c a a =-= 又因为点3(1,)2在双曲线C 上，所以22
9
1
41a b
-= 则2
22294b a a b -
=，即2249334a a a -=，解得214a =，12
a =
所以1c =………………………………………………………………………………………3分 连接PQ ，因为12,OF OF OP OQ ==，所以四边形12PF QF 为平行四边形
因为四边形12PF QF 的周长为
所以21122PF PF F F +=>=
所以动点P 的轨迹是以点1F 、2F 分别为左、右焦点，
长轴长为
可得动点P 的轨迹方程为：2
21(0)2
x y y +=≠……………………………………………5分 （2）因为222
2
1=+x x ,,12
,12222
22121=+=+y x y x 所以12
221=+y y ………………………6分
所以||||OG MN ⋅=
21212
221222121212221222122222
1y y x x y y x x y y x x y y x x +++++--+++=
=
1212121232232213()222
x x y y x x y y --+++≤= ………………………………………10分
等号当仅当21212121223223y y x x y y x x ++=--,即02121=+y y x x
所以ON OM ⊥,即OMN ∆为直角三角形………………………………………………12分 21．（本小题满分12分）
解：（1）由已知0x >，且2121
()2x ax f x x a x x
++'=++=
①当280a ∆=-≤时，即当a -≤≤()0f x '≥
则函数()f x 在[1,2]上单调递增…………………………………………………………1分
②当280a ∆=->时，即a <-或a >2210x ax ++=有两个根，
4a x -±=
，因为0x >，所以4
a x -=
11≤时，令(1)30f a '=+≥，解得3a ≥-
∴
当3a -≤<-a >()f x 在[1,2]上单调递增…………………3分
2°当12
<<时，令(1)30f a '=+<，9(2)02f a '=+>， 解得9
32
a -
<<-
∴当932
a -<<-时，函数()f x
在[1,4a -+上单调递减，
在[
2]4
a -+上单调递增；…………………5分 3
°当24
a -+≥时，令9(2)02f a '=+≤，解得92a ≤- ∴当9
2
a ≤-时，函数()f x 在[1,2]上单调递减； ……………………………………6分
（2）函数1
21()()ln x x g x e x a f x e x ax a --=++-=--+
则1
1
()()x g x e a h x x -'=--= 则1
21
()0x h x e
x
-'=+
>，所以()g x '在(0,)+∞上单调增 当0,(),,()x g x x g x →→-∞→+∞→+∞，所以()R g x '∈ 所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点1x
当11(0,),()0,(,),()0x x g x x x g x ''∈<∈+∞>，所以1()g x 为()g x 的最小值 由已知函数()g x 有且只有一个零点m ，则1m x =
所以()0,()0,g m g m '==则111
ln 0m m e a m e m am a --⎧--=⎪⎨
⎪--+=⎩
…………………………………9分 则1
1111ln ()()0m m m e
m e m e m m ------
+-=，得11(2)ln 0m m m e m m
----+= 令1
1
()(2)ln (0)x x p x x e x x x
--=--+>，所以()0,p m = 则1
21
()(1)()x p x x e
x
-'=-+
，所以(0,1),()0,(1,),()0x p x x p x ''∈>∈+∞< 所以()p x 在(1,)+∞单调递减， 因为1
111
(1)10,()(2)1(2)0e e e p p e e e
e e e e
---=>=--+
=--< 所以()p x 在(1,)e 上有一个零点，在(,)e +∞无零点
所以m e < …………………………………………………………………………………12分
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程 解：（1）因为2
sin 4cos 0ρθθ-=，
所以2
2
sin 4cos 0ρθρθ-=，所以2
4y x = ……………………………………………2分
因为12cos 2sin x y ϕϕ
=-+⎧⎨
=⎩，所以22
(1)4x y ++= …………………………………………4分
（2）由题知点1(,0)2
P 在直线l 上
将直线l
的参数方程12x y ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2
4y x =
得，240t --=
设,M N 两点对应的参数为12,t t
则12124t t t t +==-……………………………………………………………………6分 所以
1212121212||||||1111
||||||||||||
t t t t PM PN t t t t t t +-+=+==
12== ………………………………………………………………10分
23．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 解：（1）因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=
所以函数()f x 的最小值为3 ………………………………………………………………5分 （2）由（1
）知，
11
a b
+=因为2222222222()()()2()0m n c d mc nd m d n c mcnd md nc ++-+=+-=-≥
所以222
22121(
)[1](13a b a ++≥⨯+= 所以
22122a b
+≥ ……………………………………………………………………………10分
高考模拟数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.集合A={}
2|320x ax x -+>只有一个元素，则a 的值为（ ）
A.
98 B.78 C.97 D.87 2. 设i i
z ++=
11
，则=||z A.
2
1
B. 22
C. 23
D. 2
3.下列选项叙述错误的是（ ）
A.命题“若x≠l，则x 2
－3x 十2≠0”的逆否命题是“若x 2
－3x 十2＝0，则x ＝1” B.若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题
C.若命题p ：∀x ∈R ，x 2
＋x 十1≠0，则⌝p ：x ∃∈R ，x 2
＋x 十1＝0
D ．“x＞2”是“x 2
一3x ＋2＞0”的充分不必要条件 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A .168π+
B .88π+
C .1616π+
D .816π+
5. 1λ<是数列2
2n a n n λ=-为递增数列的( )
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件 6. ()
22lg 4y x x a =-+值域为R ，则a 的范围为（ ） A.[]21--， B.[]22-， C.()22-， D.()21--，
7. ,a b u r r 是单位向量，0a b ⋅=r r |c a b --r r r =1 则c r
的范围为（ ）
A.
)
1-
B.1⎤⎦
C.)
1+
D.11⎤⎦
8. 3sin 4cos y x x =- []0,x π∈上的值域为（ ） A.[]45-， B.()45-， C.(),5-∞ D.](
,5-∞
9. 如果执行右面的框图，输入N ＝2011，则输出的数等于（ ）
A.2010×20122＋2
B.2011×20112－2
C.2010×20112＋2
D.2011×20122－2
10. ABCD 四点在球O 的表面上，AB ⊥面BCD ，
BCD ∆是边长为3的等边三角形，AB=2，则球的面积是( ) A.15π B.13π C.14π D.16π
11. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O .所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使
1122A B A B =，其中1A .1B 和2A .2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取
值范围是
A.(
2]3
B.[,2)3
C.(,)3+∞
D.[,)3
+∞ 12. sin 2cos 2y x a x =+的图像左移π个单位后所得函数的图像关于直线8
x π
=-
对称，则a=（ ）
A. -1
B.2
C.3
D.4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=o
，2AC BC ==，P 是AB 边上的一个三等分点，则 CP CB CP CA
⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
的值为____
14. 令x y
Z =+20x y +≥0
x y -≤0y k
≤
≤的最大值为12，则 的最小值为__________
15. 二次函数()f x 的二次项系数为正且对任意的x 恒有()()22f x f x +=-，若
()()221212f x f x x -<+-则x 的范围为______________
16. ()23sin cos 2cos bx x bx x
f x a x
++=+
+有最大值和最小值，且()()max min 6f x f x +=，则
3a-2b=__________
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．(),,0,22ππαβπ⎛⎫∈-
∈ ⎪⎝⎭等式(
)sin 32ππαβ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，(
)()απβ-=+同时成立，求,αβ
18. 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
()()()()()()()()
()()()()()()
()
,,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b r r r r r
r r r r r r
其中a a ρ，分别表示甲组研发成功和失败；b b ρ，分别表示乙组研发成功和失败.
（I ）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（II ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.
19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点， 求证：（1）直线EG P 平面11BDD B （2）平面EFG P 平面11BDD B
20. 已知ABC ∆的内切圆的三边AB ，BC ，AC 的切点分别为D ，E ，F ，已知()(
)
2,0,2,0B C -内切圆
圆心为()()1,0I t t ≠，设点A 的轨迹为L （1）求L 的方程
（2）设直线2y x m =+交曲线L 于不同的两点M ，N ，当25MN =时，求m 的值
21. ()()2
23,x
f x e x a =--+，a R ∈若()0,0x f x ≥≥恒成立，求a 的范围
请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22. 选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的圆O 交于点F ，连接CF 并延长CF 交AB 于E . A
E
B
F
O D
C
（1）求证：E 是AB 的中点； （2）求线段BF 的长. 23. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别
为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫
==-
= ⎪⎝
⎭
. （I ）12C C 求与交点的极坐标；
（II ）112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线
的参数方程为 ()33,,.12
x t a t R a b b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数求的值 24. 选修4—5：不等式选讲
已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集； （Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，1
2
)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.
参考答案： 1.A
考点集合中的空集问题
解析讨论;1a=0时，-3x+2>0 x<
2
3不成立 2a 0≠时，0∆=时，a=
98
注意点;题目虽易但注意在讨论时a=0的情况 2. B 【解析】
3. B ，解析：
4. 命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.
【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高
为2长方体，故其体积为21
244222
π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A . 5.A
考点；充分条件与必要条件的判定
解析；解法1：若10n n a a +->，则可证明为递增数列
即()()2
2
11212212n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-
若2120n λ+->则221n λ<+对任意的*
n N ∈恒成立，n 为最小值1时代入23λ<，所
以32
λp
注意；有一个明确的思路，如若为等比数列则满足为递增数列则10n n a a +-f ，反之，若为递减
数列则10n n a a +-<；若为等比数列也一样递增数列 10n n a a +->递减数列；10n n a a +-<,所以应用于任意一个数列
解法二：把n a 看成一个二次函数 对称轴n λ=
所以如图函数的二个解 也可以说，当12a a =时，3
2
λ=
因为为递增数列，所以要使12a a <才可以所以n λ=这条对称轴要平移到左边，
即所以32
λ<
所以可得出1λ<是2
2n a n n λ=-为递增数列的充分不必要条件
注意：在这个方法重视转换一种思维是把数列和二次函数进行了转换一起应用也可以解决 6.B
解：值域为R 所以只要0∆≥即可 所以2
2
4x x a -+能取得到所有大于0的数即能取到所有x 的值 所以0∆≥即可2
1640a ∆=-≥所以22a -≤≤ 括展：()
22lg 4y x x a =-+定义域为R 求a 的范围
解：因为定义域为R 所以2
2
4x x a -+>0恒成立所以0∆< 所以2
1640a -<所以a>2或a<-2
考点；关于定义域和值域为R 的问题以及区别在遇到定义域和值域的问题要特别注意认真思考 7.D
考点；几何向量结合起来的考察
解析设,OA b OB a ==u u u r r u u u r r 设(),c x y =r ()1,0a =r ()0,1b =r
所以()1,11x y --= 1= 所以()()22
11x y -+-=1
即以()1,1为圆心，1为半径的圆上的点与(),x y 距离
1 1
所以1c ⎤=⎦
r
注意：学会题目和图形之间的转换，题干的运用，最重要的是不要缺少题干中的条件运用
8.A
考点：利用图形来解题
解析：()3sin 4cos 5sin y x x x φ=-=- 所以34cos
,sin 55
φφ==， 所以φ为锐角 即0,
2πφ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
可画图所以当0x =时 y 值最小 2
x π
φ-=
时 y 值最大 所以值域为[]4,5-
9. A 【解析】
10.D
考点；可放到特殊图形中进行计算
解析放在一个三棱柱中M 为BCD ∆中心，O 为球心，将BCD ∆拿出B
M 332所以233h = 所以2314R =+= R=2 所以S 球=4416ππ⨯=
11. A 【解析】
πα
-α
-D
A
B
C
O'O M
12.A
法一；图像关于8
x π
=-
对称，∴()04f f π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
∴原始转化为sin 2cos 2y x a x =+
()04πf f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
1a ∴=-
法二；sin 2cos 2y x a x =+()2
1sin 2a x α++（进行函数的化一）
将8
x π
=-
代入得 ()2
12
y a =
- ∴
)22
112
a a -=-函数关于直线对称，则在此处取到极值) ∴a=-1
思路点拨：函数图像关于直线对称，注重相关条件的转化 13.4
考点；将向量和解三角形联系起来 解析；运用坐标法
如图A ()()()0,22,00,0B C 设(),P x y
CP CB CP CA ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
=2x+2y=2（x+y ）
如图所示，P 坐标为24,33⎛⎫
⎪⎝⎭或42,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
A
B C
P1P2()
2,0()0,2
∴可得原式=224⨯=
注意：要必须画图，切忌凭空想象 14.-6
解析：最大值时x+y==12 最大在A 处取得(),k k
∴k=6 y=6
=x+y 最小值在B 取得 ()12,6B -
∴x+y=-6 ∴最小值为-6
15. (){}
|2,0x x ∈-
考点：关于对称轴和周期的区别以及二次函数性质 解析：Q ()()22f x f x +=- Q 可得出对称轴x=2
∴对比的是2个横坐标与x=2的距离（即对称轴的远近来判定()f x 的大小关系）
即计算2
12x -与2
12x x +-与线x=2的距离之差
2122x --2122x x <+-- 化简得222121x x x +<-+
可化简求解：(){}
|2,0x x ∈-
注意：不要惯性思维以为是距y 轴的距离，要看清是距离哪条线的距离再作 16.9
解析：令()23sin cos 2cos bx x bx x
g x x
++=
+（()g x 证明为奇函数
∴()()max min 0g x g x +=
()()()()max min max min 2f x f x a g x a g x a ∴+=+++= 2a=6 a=3
()3sin 2cos x g x bx x ∴=+
+(3sin 2cos x
x
+有最大值和最小值)
∴要()g x 有最大值和最小值，则b=0 ∴3a-2b=9
思路点拨：此题注意分析复杂函数中的奇偶函数，注意奇函数中的最大值与最小值之和为零 17. 考点对,αβ范围的重新解释 解析Q (),,0,22ππαβπ⎛⎫
∈-
∈ ⎪⎝⎭
αβ= ∴可缩小范围得,0,2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
Q (
)sin 32ππαβ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
∴
可总结出化简得：sin αβ=
又Q 一般地有2
2sin
cos 1αα+=
∴
222
2sin cos 1
3
ββ+=2
2sin cos 1
ββ+
=⇒221
sin cos 3ββ
=221
1cos cos 3ββ
-
=
∴可解得23cos 4β=
cos 2β= ∴6
π
β=
又
Q
αβ=
∴α==
∴cos 2α=
∴ 4
π
α= ∴综上可求出4
π
α=
，6
π
β=
注意在一般题目中，2
2
sin cos 1αα+=是隐形条件，不要忘记，有时它可是一个重要条件呢 18. （Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，
其平均数为102=
=153
x 甲； 方差为22
21222=11005=15339
S ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲
乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，
93
=155
方差为22
2
1336=1906=155525S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
乙。

因为22
x x S S ><乙乙
甲甲，，所以甲组的研发水平优于乙组。

(Ⅱ)记E={恰有一组研发成功}.
在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是()()()()()()(),,,,,,,,,,a b a b a b a b a b a b a b ，，，
共7个，故事件E 发生的频率为715．将频率视为概率，即得所求概率为P(E) =7
15。

19. 解析：（1）证明：如图，连接SB
,E G Q 分别是BC ，SC 的中点 EG SB ∴P
SB ⊂Q 面11BDD B EG ⊄面11BDD B
∴直线EG P 面11BDD B
(2)连接SD
,F G Q 分别是DC ，SC 的中点
A 1
FG SD ∴P
又SD ⊂Q 面11BDD B FG ⊄面11BDD B
FG ∴P 面11BDD B
又EG ⊂Q 面EFG FG ⊂面EFG EG FG G =I
∴面EFG P 面11BDD B
20. 解析：（1）AB=AD+DB AC=AF+FC AB-AC=AD+DB-AF-FC=DB-FC DB=BE FC=CE ∴BE-EC=(
)
21212+--=
22a ∴=
1a = 2c =
1b = ()2
2
11x y x ∴-=> 注意范围
（2）
2y x m
=+22
10
x y --=∴()2
2210x x m -+-= ()
2224410x x mx m -++-=
223410x mx m ----=在()1,+∞上有2个根
()22201612103
m m m ∆>∴-+>>轴为42
113263
m x m m m =->->⇒<-≠()22134104402
f m m m m m =----<⇒++>∴≠-轴
且124
3
x x m +=- 21213m x x +=
()
2
212122
5
453253
MN x x x x m ∴=+-=
⨯-= 233m ∴-= 212m = 23m =± 23m ∴=-
注意：遇见内切圆问题用面积两种方法求得消去相同的边 21.
A B
C
D E
F。