2021版江苏高考数学一轮复习集训50

直线与椭圆

建议用时：45分钟

一、选择题

1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 2

3＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )

A ．(1，＋∞)

B ．(1,3)∪(3，＋∞)

C ．(3，＋∞)

D ．(0,3)∪(3，＋∞)

B [由⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝x ＋2，x 2m ＋y 2

3

＝1，得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，

由题意可知⎩⎨⎧

3＋m ≠0，

Δ＝(4m )2

－4m (3＋m )＞0， 解得⎩⎨⎧

m ≠－3，

m ＜0或m ＞1，又m ＞0，且m ≠3，

∴m ＞1且m ≠3.故选B.]

2．(2019·枣庄模拟)过椭圆x 25＋y 2

4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )

A.43

B.53

C.54

D.103

B [由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧

x 25＋y 24

＝1，

y ＝2x －2，

解得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭

⎪⎫

53，43，不妨设A 点的纵坐标

y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪－2－43＝53.]

3．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )

A.x

2＋y 2＝1 B.x 23＋y 2

3＝1 C.x 24＋y 2

3＝1

D.x 25＋y 2

4＝1

C [设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，则

c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2

＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2

＝a 2

－c 2

＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 2

3＝1.]

4．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )

A.12

B.22

C.32

D.55

C [设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4,1)，解得b 2a 2＝1

4，e ＝1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫

b a 2

＝32，

故选C.]

5．倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF

→＝2FB →，则该椭圆的离心率为( ) A.32 B.23 C.22

D.33

B [由题意可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧

x 2a 2＋y 2b

2＝1，

y ＝x －c ，

∴(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则

Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧

y 1＋y 2＝－2b 2c

a 2＋

b 2，

y 1y 2＝－b 4

a 2＋

b 2，又AF →＝2FB →，∴(

c －x 1

，

－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，

∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧

－y 2＝－2b 2c

a 2＋

b 2，

－2y 22＝－b

4

a 2＋

b 2，∴12＝4

c 2a 2＋b 2

，∴e ＝

2

3，故选B.] 二、填空题

6．过椭圆C ：x 24＋y 2

3＝1的左焦点F 作倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，则1|AF |＋1

|BF |等于 ．

4

3 [由题意可知F (－1,0)，故l 的方程为y ＝3(x ＋1)． 由⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝3(x ＋1)，x 24＋y 2

3

＝1，得5x 2＋8x ＝0，∴x ＝0或－8

5.

∴A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－85，－

335. 又F (－1,0)，∴|AF |＝2，|BF |＝6

5， ∴1|AF |＋1|BF |＝43.]

7．已知椭圆x 24＋y 2

3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A ，B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是 ．

3 [如图，设椭圆的右焦点为E ，连接AE ，BE .由椭圆的定义得，△F AB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |.∵|AE |＋|BE |≥|AB |，∴|AB |－|AE |－|BE |≤0，∴|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a .当直线AB 过点E 时取等号，此时直线x ＝m ＝c ＝1，把x ＝1代入椭圆x 24＋y 23＝1得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积