图论图的矩阵表示

定理 :设G是具有n个结点集｛v1， v2， …， vn｝ 的图， 其邻接矩 阵为A， 则Al（l＝1， 2， …）的（i， j）项元素a(l)ij是从vi到vj的长 度等于l的路的总数。 证明 : 归纳法 当l＝1时， A1＝A， 由A的定义， 定理显然成立。 若l＝k时定理成立， aij (1)等于G中 联结vi与vj的长 则当l＝k＋1时， A k+1＝ A · Ak ， 度为1的路径条 数。 n 所以 aij (l+1) = aik × akj (l) k=1
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7.3.1 图的矩阵表示
2
存储原则:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ存储结点集和边集的信息.
（1）存储结点集； （2）存储边集： 存储每两个结点 是否有关系。
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邻接矩阵
7.3.1 邻接矩阵
1.无向图的邻接矩阵
ij a表示 定义 1.6.2设 G (V , E )的顶点集为 V v1 , v2 , , v p，用 (G) (aij ) p p为 G 的邻 G 中顶点 vi与v j 之间的边数。称矩阵M A(G) 接矩阵。
从图的邻接矩阵的定义容易得出以下性质：
(1)
M (G) 是一个对称矩阵； A(G) (G) 中第i 行(列)的元素之和等于顶点 vi 的度数； (2) 若M (G)为无环图。则M A(G) A(G)
(3) 两个图G 与H 同构的充要条件是存在一个置换矩阵 P ，使得
相当于将单位 矩阵中相应的 行与行，或者 列与列互换的 矩阵
3
G 的邻接矩阵为： 例2下图所示 v
3
e1
e2
v2
v1
e3
v1
e9 e5
e8
对应的邻接矩阵
v4 e4
e7
v5
A(G)
M (G )
v2 v3 v4 v5
e6
v1 0 1 0 1 1
v2 1 0 2 1 1
v3 0 2 0 0 0
v4 1 1 0 1 1
v5 1 1 0 1 0
长度=l 长度=1 共akj (l)条

vi
vk
vj
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7.3.1 邻接矩阵

6
结论：
(1) 如果对l＝1， 2， …， n-1， Al的（i， j）项元素 （i≠j）都为零， 那么vi和vj之间无任何路相连接， 即vi和 vj不连通。 因此， vi和vj必属于G的不同的连通分支。
(2) 结点vi 到vj （i≠j）间的距离d（vi， vj）是使Al（l＝
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7.3.1 邻接矩阵
(1) 由A中a(1)12＝1知， v1和v2是邻接的； 由A3中a(3)12＝ 2知， v1到v2长度为3的路有两条， 从图中可看出是v1 v2 v1 v2和v1 v2 v3 v2 。 (2) 由A2的主对角线上元素知， 每个结点都有长度为２ 的回路， 其中结点v2有两条： v2 v1 v2和v2 v3 v2 ， 其余 结点只有一条。 (3) 由于A3的主对角线上元素全为零， 所以G中没有长 度为３的回路。 (4) 由于a（１）34＝a（２）34＝a（３）34＝a（４）34＝０， 所以 结点v3和v4间无路， 它们属于不同的连通分支。 (5) d（v1， v3）＝２。 对其他元素读者自己可以找出它的意义。
1， 2， …， n-1 ）的（i， j）项元素不为零的最小整数l。 (3) Al的（i， i）项元素a(l)ii表示开始并结束于vi长度为l 的回路的数目。
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7.3.1 邻接矩阵
7
例1 图G＝（V， E）的图形如图， 求邻接矩阵A和A2， A3， A4， 并分析其元素的图论意义。 解
0 1 A 0 0 0 0 2 3 A 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 2 A 1 0 0 2 0 4 A 2 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
A(G) M (G) PT M (H )P 。
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7.3.1 邻接矩阵

4
同构图
v1
v3 v4
图G1 1 A1＝ 0 1 1 1 2 1 0 1 1 3 1 1 0 1 4 1 1 1 0
v1<->va
va
v2<->vb
v3<->vc v4<->vd
v2
vb
vc
图G2
vd
a A2 ＝ 0 1 1 1
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7.3.1 邻接矩阵
设图Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞如下图所示 ０１００ ００１１ A １１０１ １０００ 讨论
（1）图G的邻接矩阵中的元素为0和1，∴又称为布尔矩阵； （2）图G的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的，进行行和行、 列和列的交换，则得到相同矩阵。 ∴若有二个简单有向图，则可得到二个对应的邻接矩阵，若对某一 矩阵进行行和行、列和列之间的交换后得到和另一矩阵相同的矩阵， 则此二图同构。 （3）当有向图中的有向边表示关系时，邻接矩阵就是关系矩阵； （4）零图的邻接矩阵称为零矩阵，即矩阵中的所有元素均为0； （5）在图的邻接矩阵中， ①行中1的个数就是行中相应结点的引出次数 ②列中1的个数就是列中相应结点的引入次数
7.3 图的矩阵表示

1
图的矩阵表示 图的数学抽象是三元组，其形象直观的表 示即图的图形表示。为便于计算，特别为便 于用计算机处理图，下面介绍图的第三种表 示方法—图的矩阵表示。利用矩阵的运算还 可以了解到它的一些有关性质。
内容：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵。 重点：1、有向图，无向图的关联矩阵， 2、有向图的邻接矩阵。 了解：有向图的可达矩阵。
b 1 0 1 1
c 1 1 0 1
d 1 1 1 0


判别定理：图G1 ，G2同构的充要条件是：存在置换矩阵P，使得： A1＝PA2P。 其中A1，A2分别是G1 ，G2的邻接矩阵。 如何判断两图同构是图论中一个困难问题
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7.3.1 邻接矩阵

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在邻接矩阵A的幂A2， A3， …矩阵中， 每个元素有特 定的含义。