线性代数第三章矩阵的初等变换

F
Er O
O
O
mn
三者之间的包含关系
标准形矩阵由m、n、r三个参 数完全确定，其中 r 就是行阶 梯形矩阵中非零行的行数.
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
标准形矩阵
结论
任何矩阵 有限次初等行变换
行阶梯形矩阵
有限次初等变换
行最简形矩阵
有限次初等行变换
有限次初等列变换 标准形矩阵
三、初等方阵
定义：n阶单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方阵称为 初等方阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. (1)对调单位阵的两行（列）； (2)以常数 k≠0 乘单位阵的某一 行（列）； (3)以 k 乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一 行（列） ．
有限次初等变换
A
B
矩阵之间的等价关系具有下列性质：
反身性 A ~；A 对称性 若 A ，~ B则 B；~ A 传递性 若 A Байду номын сангаас B,，B则~ C ． A ~ C
1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
1 1
0
3
B4
0
0
00
0
r1 r2
r2 r3
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
0 0 0 0 1
以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列．
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
? E5
0
0
0 0
1 0
0 1
0 c53 c53 k 0
0
0
0 0
1 0
0 1
k0
备注
带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如：
矩阵加法
＋
数乘矩阵、矩阵乘法
×
矩阵的转置
T（上标）
方阵的行列式
|∙|
不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：
初等行变换 初等列变换
二、矩阵的初等变换
r
行等价，记作 A ~ B
有限次初等行变换
A
B
有限次初等列变换
c
列等价，记作 A ~ B
矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A ~ B
其逆变换是：
ri rj ri k ri krj
ri rj ; ri k; ri krj .
初等变换
初等行变换 初等列变换
把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定 义． 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．
增广矩 阵
结论： 对原线性方程组施行的变换可以 转化为对增广矩阵的变换.
第三章 矩阵的初等变换 与线性方程组
知识点回顾：克拉默法则
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
设
a21 x1 LLL
a22 x2 L LLLL
L
a2n xn b2 LLLL
(1)
an1 x1 an2 x2 L ann xn bn
结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该 线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P. 22定理3）
(1) 对调单位阵的第 i, j 行（列）， 记作 Em( i, j )．
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
E5
0
0
1
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
r3 r5
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
记作
E5(3,
5)
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
其逆变换是：
ij
i ×k i +k j
ij
i ÷k i －k j
结论： 1. 由于对原线性方程组施行的变
换是可逆变换，因此变换前后 的方程组同解. 2. 在上述变换过程中，实际上只 对方程组的系数和常数进行运 算，未知数并未参与运算．
定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
✓对调两行，记作 ri rj ； ✓以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ri k ； ✓某一行加上另一行的 k 倍，记作 ri krj .
0 0 0 0 1
r3 k
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
0
k
0
0
记作
E5(3(k))
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
E5
0
0
0 0
1 0
0 1
0
0
0 0 0 0 1
c3 k
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0 0 k 0 0
0
0
0
1
0
B5
0
0
00
0
c3 c4
c4 c1 c2 c5 4c1 3c2 3c3
1 0 0 0 0
0
0
1 0
0 1
0 0
0 0
F
0
0
0
0
0
行最简形矩阵： 4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
元素都为零.
标准形矩阵： 6. 左上角是一个单位矩阵，其
它元素全为零.
结论 1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零.
用克拉默法则解线性方程组的两个条件： (1) 方程个数等于未知量个数； (2) 系数行列式不等于零.
线性方程组的 解受哪些因素 的影响？
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 L LLLLLLL
0
1
0
0
0
E5
0
0
1
0
0
c3 c5
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0 0 0 0 1
0
0
0
1
0
0 0 1 0 0
(2)以常数 k≠0 乘单位阵第 i 行（列）， 记作 Em(i(k))．
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
E5
0
0
1
0
0
0 0 0 1 0
3
3
B5
0
0
00
0
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
行最简形矩阵： 4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
元素都为零.
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3 3
a2n xn b2 LLLLL
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
Ax b
§1 矩阵的初等变换
一、消元法解线性方程组
例1：求解线性方程组
三种变换：
✓交换方程的次序，记作 i j ；
✓以非零常数 k 乘某个方程，记作 i ×k ；
✓一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 i ＋k j .
0 0 0 0 1
(3)以 k 乘单位阵第 j 行加到第 i 行, 记作 Em(ij(k))．
1
0
E5
0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0
0
0
1
r3 r5 k
0
0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0
0
两种理解！
k
记作
E5(35(k))
0 0 0 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1