线性代数第三章矩阵的初等变换
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线性代数(同济六版)ch3
x1 x2 2 x3 3x1 x2 8 x3
0 0
x1 3 x2 9 x3 0
是否有非零解？
解由
1 1 5
A
1 3 1
1 1 3
2
8 9
1 1 5
r2 - r1 r3 - 3r1 r4 - r1
～
0
0 0
2 2 4
7
7 14
1 1 5
r3 - r2 r4 - 2r2
其中
Ax = b
x1
x
xxn2 ,
b1
b
bbm2 .
定理 3 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条 件是 R(A) = R(B) , 其中 B = ( A b ) 为非齐次线性方程组 Ax = b 的增广矩阵.
证明 必要性 设非齐次线性方程组 Ax = b 有解，要证R(A) = R(B) . 用反证法, 假设R(A) < R(B) ，则 B可化成 行阶梯形矩阵
～
0
0 0
2 0 0
7
0 0
可知R(A)=2. 因为R(A)=2＜3
所以此齐次线性方程组有非
零解.
例2. 当 取何值时，齐次线性方程组
3
3x1 x1 2
x2 x2
x3 0 3x3 0
x2 x3 0
有非零解.
解 用初等行变换化系数矩阵
3 A3
1 2
1 3
r2～ r1
3 0
1 0 0
1 0 0
1 3 0
2 3,
2 0
0 0
3 1 0
1 0 1
1 1, 3
0
0
0 0
2 0 0 0
同济大学线性代数课件__第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 0
0 6 0
B4
2020/12/12
12
1
rrr123rr1223
0 0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4
3 3 0
B5
行最简形
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
令 x3 c
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x4 3
3x2 3x3 4x4 3, ④
2020/12/12
(B1 )
(B2 )
3
② 1
x1
③52②
④3②
x2 2x3 x2 x3
x4 x4 2 x4
4, ① 0, ② 6, ③
x4 3.④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
④ 12③
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③
2
用消元法
x1 x2 2x3 x4 4, ①
(1)
①③ 12② 22xx11
x2 3x2
x3 x4 2, ② x3 x4 2, ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9, ④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
②③
③2①
④3①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
1
1
01
第i行
1
E(i, j)
1 10
第
j
行
1
1
2020/12/12
17
1
1
E(i(k))
k
第i 行
1
线性代数矩阵的初等变换
r2 （ 2） 1
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 3.
1 3
如果要求Y CA1,则可对矩阵 A作初等列变换， C
A 列变换 E
C
CA1
,
即可得Y CA1.
也可改为对( AT ,CT ) 作初等行变换，
行变换
（AT , CT )
a23 a33
a11 a12 a13 a14
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
a12 a13 a22 a23
矩阵 A 的一个 2 阶子块
a12 a13
a22
a23
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．
口诀：左行右列. 定理3.2 设A是一个 m×n 矩阵， ✓对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ✓对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
定理3.3 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl，使 A = P1 P2 …, Pl ．
r3 3r1 0 2 6 2 12
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
0 0
2 0 4 6 0 1 1 3
线性代数第三章矩阵的初等变换
分析 只要证明每种初等变换都不改变矩阵的秩就 可以了。
⑴ 显然前两种情况都不改变矩阵的秩；
⑵ 只证明第三种初等变换且只证明行变换. 设 Amn ri ，krj仅B改mn变第i行
① 当 rank A r 时 m(则inA{中m,不n}为0子式
0
1 5
4 4
记做
H
0
行最简型
c3
1 2
c1
c4
1 4
c1
c3
3 2
c2
c4
5 4
c2
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
1 0
1 2
14
0
1
32
5 4
0 0 0 0
E2 O12
O22 O12
记做
等价标准型
命题 每一个初等变换都有逆变换，且其逆变换是同
等类型的初等变换。
例如，对矩阵 3 1 0 2
A 1 1 2 1 1 3 4 4
有有没一 二 三有阶 阶四子 子阶式 式 CC4243CC1子32233 个式148 个 个
二、矩阵的秩
定义3.2 在 m×n 阶的矩阵A中，若
⑴ 有某个r阶子式 Dr 0 ； ⑵ 所有的r+1阶子式 Dr1 0 (如果存在的话)； 则称r为A的秩. 记做rank A r，或者 r(A) r.
3. 某一行(列)的所有元素的k倍加到另一行(列)
对应元素上； 倍加 ri krj , ci kcj
称为矩阵的初等行(列)变换.
初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.
Amn 经过初等变换得到 Bm,记n 做 Am.n Bmn
例1 3 1
A 1 1
⑴ 显然前两种情况都不改变矩阵的秩；
⑵ 只证明第三种初等变换且只证明行变换. 设 Amn ri ，krj仅B改mn变第i行
① 当 rank A r 时 m(则inA{中m,不n}为0子式
0
1 5
4 4
记做
H
0
行最简型
c3
1 2
c1
c4
1 4
c1
c3
3 2
c2
c4
5 4
c2
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
1 0
1 2
14
0
1
32
5 4
0 0 0 0
E2 O12
O22 O12
记做
等价标准型
命题 每一个初等变换都有逆变换，且其逆变换是同
等类型的初等变换。
例如，对矩阵 3 1 0 2
A 1 1 2 1 1 3 4 4
有有没一 二 三有阶 阶四子 子阶式 式 CC4243CC1子32233 个式148 个 个
二、矩阵的秩
定义3.2 在 m×n 阶的矩阵A中，若
⑴ 有某个r阶子式 Dr 0 ； ⑵ 所有的r+1阶子式 Dr1 0 (如果存在的话)； 则称r为A的秩. 记做rank A r，或者 r(A) r.
3. 某一行(列)的所有元素的k倍加到另一行(列)
对应元素上； 倍加 ri krj , ci kcj
称为矩阵的初等行(列)变换.
初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.
Amn 经过初等变换得到 Bm,记n 做 Am.n Bmn
例1 3 1
A 1 1
线性代数第三章第一节
数学中把具有上述三条性质的关系称为等
价, 例如两个线性方程组同解, 就称这两个线性 方程组等价.
3. 两个矩阵等价的几何意义
设矩阵 A 与矩阵 B 等价, 则由引例知, 以 A
四、行阶梯形矩阵
1. 定义 满足下面两个条件的矩阵称为 行阶梯形矩阵:
(1) 非零行(元素不全为零的行)的标号小于 零行(元素全为零的行)的标号; (2) 设矩阵有 r 个非零行,第 i 个非零行的第 一个非零元素所在的列号为 ti (i = 1, 2, · · ·, r ), 则 t1 < t2 < · · ·< tr .
即 特别地，如果 B = E，则 P = A-1 ， (A, E) ~ (E, A-1) 我们可以采用下列形式求 A-1 ： 将A与E
r
并排放在一起，组成一个 n 2n 矩阵 ( A , E ) . 对矩阵 ( A , E ) 作一系列的行初等变换，将其左半 部分化为单位矩阵 E ，这时其右半部分就是 A-1. 即 (A,E) 行初等变换 (E , A-1 )
1 1 2 0 0 0 1 0 0
4 0 6 0 4 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0
行阶梯形矩阵
A-1B 通常都用此方法. 这是当 A 为可逆矩阵时，
求解方程 AX = B 的方法（求 A-1 也就是求方程 AX
= E 的解）. 这方法就是把方程 AX = B，从而求得方程的解. 这
与求解线性方程组 AX = b 时把增广矩阵 (A , b) 化 为行最简形的方法是一样的.
系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到
初等变换的运算规律， 也可以利用矩阵的初等变换 去研究矩阵的乘法. 由定理 1 可得如下推论.
线性代数课件第三章
的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形矩阵.
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
线性代数 第三章 矩阵 第六节
1
或以数 k 0 乘单位矩阵E 的第i 列(ci k)，得
初等矩阵E (i(k )).
3. 以 k 乘单位矩阵E 的第i 行加到第 j 行上 (rj kri ), 得初等矩阵E(i(k), j)
1
E(i(k), j)
10
第i行
k
1
第j行
1
或以 k 乘 E 的第 j 列加到第i 列上 (ci kcj )得 初等矩阵E (i(k), j)
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，则
A1 Pl 1 P11, 于是有
P P 1 1 l l 1
P11 A
E,
及
Pl
1Pl
1 1
P11E
A1,
Pl
1 Pl
1 1
P11
A
E
Pl
1Pl
1 1
P11
A
Pl
1Pl
1 1
P11E
E A1
即对 n 2n 矩阵 (A E) 施行初等行变换，
由上述定理可知：
对任意矩阵A (aij )mn 及 B (bij )mn存在一系列m阶
初等方阵 P1、P2、、PS 和n阶初等方阵Q1、Q2、、Qt
使得
Ps Ps1 P2 P1 AQ1Q2 Qt1Qt B
令: P Ps Ps1 P2 P1 , Q Q1Q2 Qt
则 P、Q是可逆的，于是有: 定理 矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆 阵P 和n阶可逆阵Q，使得
a33 a32 a31
0 0 1 0
a11 AE(1,3) a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
0 1
1 0
0 0 0 0
线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换
例如
2. 重要结论 定理 每一个矩阵都可以经过单纯的初等行
变换化为行阶梯形矩阵. 这个定理我们不作证明,下面通过几个具体的
例子说明如何用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩 阵.
单击这里开始
五、行最简形矩阵和标准形矩阵
定义 一个行阶梯形矩阵若满足
(1) 每个非零行的第一个非零元素为 1 ; (2) 每个非零行的第一个非零元素所在列
定理 1 把矩阵的初等变换与矩阵的乘法运算联 系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到 初等变换的运算规律，也可以利用矩阵的初等变换 去研究矩阵的乘法.
由定理 1 可得如下推论.
推论 方阵 A 可逆的充要条件是 A ~r E .
七、求逆矩阵的初等变换法
表明，如果
A ~r ，
B
即 A 经一系列
九、矩阵的行阶梯形、行最简形和 标准形的比较
我们还是以引例中的矩阵 B 为例.
矩阵 B 的行阶梯形、行最简形和标准形分 别如下：
行阶梯形矩阵
特点：阶梯线以下的元 素全是０，台阶数即为非零 行数, 竖线后面的第一个元素 为非零元 .
行最简形矩阵
特点：非零行的第一个 非零元为１，且这些非零元 所在的列的其他元素都为０.
（i） A ~r B 的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，使 PA = B；
（ii）A ~c B 的充要条件是存在 n 阶可逆矩阵 Q，使 AQ = B；
（iii）A ~ B 的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，及 n 阶可逆矩阵 Q，使 PAQ = B .
为了证明定理 1，需引进初等矩阵的知识.
利用初等变换, 把一个矩阵化为行阶梯形矩 阵和行最简形矩阵, 是一种很重要的运算. 由引 例可知, 要解线性方程组只需把增广矩阵化为行 最简形矩阵.
同济大学《工程数学—线性代数》笔记和课后习题(含真题)详解(矩阵的初等变换与线性方程组)
第3章矩阵的初等变换与线性方程组3.1 复习笔记一、矩阵的初等变换1．初等变换（1）定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：①对调两行（对调i，j两行，记作r i↔r j）；②以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为r i×k）；③把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i＋kr j）．把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换．（2）矩阵等价①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B．（3）矩阵之间的等价关系的性质①反身性A～A；②对称性若A～B，则B～A；③传递性若A～B，B～C，则A～C．（4）矩阵的类型①两个矩阵，矩阵B4和B5都称为行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵B5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零元所在的列的其他元素都为0．结论：对于任何非零矩阵A m×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．②标准形矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有与A等价的矩阵组成一个集合，标准形F是这个集合中形状最简单的矩阵．2．初等变换的性质（1）定理设A与B为m×n矩阵，则：①的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA＝B；②的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使AQ＝B；③A～B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ＝B．（2）初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．（3）性质①设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵．②方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…P l，使A＝P1P2…P l．③方阵A可逆的充分必要条件是.二、矩阵的秩1．秩的定义（1）k阶子式在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．注：m×n矩阵A的k阶子式共有个．（2）矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r＋1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）．注：零矩阵的秩等于0．（3）最高阶非零子式由行列式的性质可知，在A 中当所有r ＋1阶子式全等于0时，所有高于r ＋1阶的子式也全等于0，因此把r 阶非零子式称为最高阶非零子式，而A 的秩R （A ）就是A 的非零子式的最高阶数．（4）满秩矩阵与降秩矩阵可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数．因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵．（5）等价矩阵的秩①若A ～B ，则()()R A R B =.②若可逆矩阵P ，Q 使PAQ ＝B ，则R （A ）＝R （B ）． 2．秩的性质（1）0R ≤(){}min ,;m n A m n ⨯≤ （2）()()T R A R A =；（3）若A ～B,则()()R A R B =；（4）若P 、Q 可逆，则()()R PAQ R A =；（5）()(){}()()()max ,,,R A R B R A B R A R B ≤≤+特别地，当B ＝b 为非零列向量时，有()()(),1R A R A b R A ≤≤+；（6）()()()R A B R A R B +≤+； （7）()()(){}min ,R AB R A R B ≤； （8）若m n n l A B ⨯⨯＝0，则()()R A R B n +≤. 3．满秩矩阵矩阵A 的秩等于它的列数，称这样的矩阵为列满秩矩阵．当A 为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵．4.结论（1）设A 为n 阶矩阵，则()()R A E R A E n ++-≥. （2）若,m n n l A B C ⨯⨯=且()R A n =,则()()R B R C =. （3）设AB ＝0，若A 为列满秩矩阵，则B ＝0．三、线性方程组的解 1．解的定义设有n 个未知数m 个方程的线性方程组（3-1-1）该式可以写成以向量x 为未知元的向量方程：Ax ＝b ，其中，A 为系数矩阵，B ＝（A ，b ）称为增广矩阵，线性方程组（3-1-1）如果有解，就称它是相容的，如果无解，就称它不相容．2．解的判断（1）n 元线性方程组Ax ＝b①无解的充分必要条件是()(),R A R A b <； ②有唯一解的充分必要条件是()(),R A R A b n ==； ③有无限多解的充分必要条件是()(),R A R A b n =<.（2）n 元齐次线性方程组Ax ＝0有非零解的充分必要条件是()R A n <. （3）线性方程组Ax ＝b 有解的充分必要条件是()(),R A R A b =.（4）矩阵方程Ax ＝B 有解的充分必要条件是()(),R A R A B =. （5）设AB ＝C,则()()(){}min ,R C R A R B ≤．3.2 课后习题详解1．用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：解：（1）（2）（3）。
第三章第一讲矩阵的初等变换
= 4, ① = 0, ② = −6, ③ = −3. ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
1 −2 1 1 −1 1 0 0
4⎞ ⎟ 0⎟ = B3 0 2 −6 ⎟ ⎟ 0 1 −3 ⎠
通识教育必修课程——线性代数
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 ⎪ x 2 − x 3 + x4 ⎪ ⎨ 2 x4 ⎪ ⎪ x4 ⎩
① ② ③ ④
通识教育必修课程——线性代数
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ 2 x − x − x + x = 2, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, ⎪ 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9. ⎩
②－③ ③－2×① ④－3×①
① ② ③ ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
r1 − r2
1 −2 1 4 ⎞ ⎟ 1 −1 1 0 ⎟ = B4 0 0 1 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0 0⎠
r2 − r3
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
0 −1 0 1 −1 0 0 0
4⎞ ⎟ 3⎟ = B5 0 1 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎠
通识教育必修课程——线性代数
③ ④
④－2×③
= 4, ① = 0, ② = −6, ③ = −3. ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
r3 ↔ r4 r4 − 2r3
1 −2 1 4 ⎞ ⎟ 1 −1 1 0 ⎟ = B3 0 0 2 −6 ⎟ ⎟ 0 0 1 −3 ⎠
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ x2 − x3 + x4 = 0, ⎪ ⎨ x4 = −3, ⎪ ⎪ 0 = 0. ⎩
同济版线性代数课件矩阵的初等变换
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上 记作ri krj）.
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
2、定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统 称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
0 0 1
4 3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4 c1 c2
c5 4c1 3c2 3c3
010011 000000
000 111 000 000
000 000 111 000
001 001 000 000
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩 阵 的 初 等 变 换
一、矩阵的初等变换 二、消元法解线性方程组
一、矩阵的初等变换
1、定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上 记作ri krj）.
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
2、定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统 称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
0 0 1
4 3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4 c1 c2
c5 4c1 3c2 3c3
010011 000000
000 111 000 000
000 000 111 000
001 001 000 000
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩 阵 的 初 等 变 换
一、矩阵的初等变换 二、消元法解线性方程组
一、矩阵的初等变换
1、定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
线性代数第三章知识要点
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结本 本若 若节击想请 请本容单若束内请返结本 本若 若节击想请 请本容单若束内请返结节 节已击想 想本本容单 单若回束节 节想想内请返结单单节已击想本本容单若回束节 节想想内请返结单 单节已击想本本容单若回束内 内结请返结 结堂节已击 击想按本内 内结结本容单若回束击击内结请返结堂节已击想按本内 内结结本容单若回束击 击内结请返结堂节已击想按本本容 容束单若回束 束课内结请返 返结钮堂容 容束束节已击想按本返返本容束单若回束课内结请返结钮堂容 容束束节已击想按本返 返本容束单若回束课内结请返结钮堂节已 已击想按本 本,容束单回 回束课.已 已本本内结!返结钮堂回回节已击想按本,容束单回束课.已 已本本内结!返结钮堂回 回节已击想按本,容束单回束课.内结 结!返结钮堂 堂已击按 按本,结 结堂堂容束回束课.按按内结!返结钮堂已击按本,结 结堂堂容束回束课.按 按内结!返结钮堂已击按本,容束 束回束课 课.结!返钮 钮堂束 束课课已按本,钮钮容束回束课.结!返钮堂束 束课课已按本,钮 钮容束回束课.结!返钮堂已按本,,束回课..,,结!!钮堂..已按本,!!束回课.,,结!钮堂..已按本,!!束回课.结!钮堂按,束课.结!钮堂按,束课.结!钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
2. 矩阵的秩 (1) 定义 定义 8 设在矩阵 A 中有一个不等于0 的 r 阶 子式 D, 且所有 r + 1 阶子式(如果存在的话)全等 于 0 , 那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式, 数 r 称为矩阵A 的秩, 记作 R(A),并规定零矩阵的秩等 于0. (2) 定理 定理 3 若 A ~ B , 则 R(A) = R(B).
线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换演示文稿
如果矩阵 A 经有限次初等列变换变成矩阵 B , 就称
矩阵 A 与 B 列等价, 记作 A ~c B ; 如果矩阵 A 经
有限次初等变换变成矩阵 B , 就称矩阵 A 与 B
等价, 记作 A ~ B.
目前十三页\总数二十七页\编于八点
2. 等价关系的性质 (i) 反身性 A ~ A;
(ii) 对称性 若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
形 矩 阵 的 特 点
阶 梯 线 下 方 的
,
目前十六页\总数二十七页\编于八点
2. 重要结论 定理 每一个矩阵都可以经过单纯的初等行
变换化为行阶梯形矩阵.
这个定理我们不作证明,下面通过几个具体的
例子说明如何用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩
阵.
单击这里开始
目前十七页\总数二十七页\编于八点
五、行最简形矩阵和标准形矩阵
一个 具体 的例 子,
从几何上验证这一结论 .
阵
A
A
1 1 2
1 2 1
1 1
1
3 2 2
,
下 设
A
为 增广 矩阵的 非 齐次 线性 方程 组为
目前十四页\总数二十七页\编于八点
四、行阶梯形矩阵
1. 定义 满足下面两个条件的矩阵称为 行阶梯形矩阵:
(1) 非零行(元素不全为零的行)的标号小于
初等变换的运算规律， 也可以利用矩阵的初等变换
去研究矩阵的乘法. 由定理 1 可得如下推论.
推论 方阵 A 可逆的充要条件是
推 论 方 阵 A 可 逆 的 充 要 条 件 是 A ~r E .
证 明 必 要 性 设 方 阵 A 可 逆 ，由
矩阵 A 与 B 列等价, 记作 A ~c B ; 如果矩阵 A 经
有限次初等变换变成矩阵 B , 就称矩阵 A 与 B
等价, 记作 A ~ B.
目前十三页\总数二十七页\编于八点
2. 等价关系的性质 (i) 反身性 A ~ A;
(ii) 对称性 若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
形 矩 阵 的 特 点
阶 梯 线 下 方 的
,
目前十六页\总数二十七页\编于八点
2. 重要结论 定理 每一个矩阵都可以经过单纯的初等行
变换化为行阶梯形矩阵.
这个定理我们不作证明,下面通过几个具体的
例子说明如何用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩
阵.
单击这里开始
目前十七页\总数二十七页\编于八点
五、行最简形矩阵和标准形矩阵
一个 具体 的例 子,
从几何上验证这一结论 .
阵
A
A
1 1 2
1 2 1
1 1
1
3 2 2
,
下 设
A
为 增广 矩阵的 非 齐次 线性 方程 组为
目前十四页\总数二十七页\编于八点
四、行阶梯形矩阵
1. 定义 满足下面两个条件的矩阵称为 行阶梯形矩阵:
(1) 非零行(元素不全为零的行)的标号小于
初等变换的运算规律， 也可以利用矩阵的初等变换
去研究矩阵的乘法. 由定理 1 可得如下推论.
推论 方阵 A 可逆的充要条件是
推 论 方 阵 A 可 逆 的 充 要 条 件 是 A ~r E .
证 明 必 要 性 设 方 阵 A 可 逆 ，由
线性代数课件_第3章_矩阵的初等变换与线性方程组
-13-
定理 (等价标准形定理 等价标准形定理) 等价标准形定理 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形 等价标准形（ 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形（也称 相抵标准形）： 相抵标准形）：Er Fra bibliotek O O
等价标准形是唯一的。 等价标准形是唯一的。
-14-
例2
（接例1） 接例 ）
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 3 6 9 7
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
-10-
只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 定理 只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一，最简阶梯形 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一， 唯一。 唯一。
-8-
在 m × n 的矩阵集合 R 中的一个等价关系? 中的一个等价关系
m×n
A r 中, 如果
B ,
具有行相抵的关系,问行相抵是不是 行相抵的关系 则称 A 与 B 具有行相抵的关系 问行相抵是不是 R m × n
Gauss消元法的思想又可表述为 在与方程组增 消元法的思想又可表述为, 消元法的思想又可表述为 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的 找一个最简单的,然后求解 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的,然后求解 这个最简单的矩阵所对应的方程组. 这个最简单的矩阵所对应的方程组 以后我们把这个最简单的矩阵叫做(行 最简阶 以后我们把这个最简单的矩阵叫做 行)最简阶 梯形矩阵. 梯形矩阵
a11 = a 21 a 31
a12
a 22 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
线性代数第三章,矩阵初等变换与线性方程组
（称 B 是该线性方程组的增广矩阵）
3
6 9
7 9
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4
~r1
r2
2
r3
1 2
2
3
1 3 6
1 1 9
1 1 7
~ 2
r2 r3
r3 2 r1
0
2
r4
3r1
0
9 0
2 5 3
2 5 3
2 3 4
0
6
3
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4
A,
E
2
3
2 4
1 3
0 0
1 0
0 1
r2 r3
2 r1
~
3r1
0 0
2 5 2 2 6 3
1 0
0
1
1
r1 r2
~ r3 r2
0 0
0 2 1 1 2 5 2 1 0 1 1 1
0 1
0 1
r1 2r3
~
r2 5r3
0 0
0 0 1 3 2
2 0
3
6
5
0 1 1 1 1
2 4 4
2 4 0
4 4 0
240
故 R A 2 。
特别，当 n 阶方阵 A 的行列式 A 0 ，则 R A n ；反之，当 n 阶方阵 A 的秩 R A n ，
则 A 0 。因此 n 阶方阵可逆的充分必要条件是 R A n （满秩）。
定理 若 A ~ B ，则 R A RB 。
3 2 0 5 0
x2
c
1
2
x3 1 0
一些推广：
1． 矩阵方程 AX B 有解 R A R A, B 。 2． AB C ，则 RC min{R A, RB}。 3． 矩阵方程 Amn X nl O 只有零解 R A 0 。
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备注
带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如：
矩阵加法
＋
数乘矩阵、矩阵乘法
×
矩阵的转置
T（上标）
方阵的行列式
|∙|
不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：
初等行变换 初等列变换
二、矩阵的初等变换
r
行等价，记作 A ~ B
有限次初等行变换
A
B
有限次初等列变换
c
列等价，记作 A ~ B
矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A ~ B
(1) 对调单位阵的第 i, j 行（列）， 记作 Em( i, j )．
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
E5
0
0
1
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
r3 r5
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
记作
E5(3,
5)
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
其逆变换是：
ri rj ri k ri krj
ri rj ; ri k; ri krj .
初等变换
初等行变换 初等列变换
把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定 义． 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．
增广矩 阵
结论： 对原线性方程组施行的变换可以 转化为对增广矩阵的变换.
0
1
0
0
0
E5
0
0
1
0
0
c3 c5
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0 0 0 0 1
0
0
0
1
0
0 0 1 0 0
(2)以常数 k≠0 乘单位阵第 i 行（列）， 记作 Em(i(k))．
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
E5
0
0
1
0
0
0 0 0 1 0
结论 1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零.
用克拉默法则解线性方程组的两个条件： (1) 方程个数等于未知量个数； (2) 系数行列式不等于零.
线性方程组的 解受哪些因素 的影响？
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 L LLLLLLL
有限次初等变换
A
B
矩阵之间的等价关系具有下列性质：
反身性 A ~；A 对称性 若 A ，~ B则 B；~ A 传递性 若 A ~ B,，B则~ C ． A ~ C
1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
1 1
0
3
B4
0
0
00
0
r1 r2
r2 r3
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3
3
B5
0
0
00
0
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
行最简形矩阵： 4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
元素都为零.
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3 3
F
Er O
O
O
mn
三者之间的包含关系
标准形矩阵由m、n、r三个参 数完全确定，其中 r 就是行阶 梯形矩阵中非零行的行数.
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
标准形矩阵
结论
任何矩阵 有限次初等行变换
行阶梯形矩阵
有限次初等变换
行最简形矩阵
有限次初等行变换
有限次初等列变换 标准形矩阵
三、初等方阵
定义：n阶单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方阵称为 初等方阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. (1)对调单位阵的两行（列）； (2)以常数 k≠0 乘单位阵的某一 行（列）； (3)以 k 乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一 行（列） ．
0 0 0 0 1
r3 k
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
0
k
0
0
记作
E5(3(k))
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
E5
0
0
0 0
1 0
0 1
0
0
0 0 0 0 1
c3 k
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0 0 k 0 0
0
0
0
1
0
第三章 矩阵的初等变换 与线性方程组
知识点回顾：克拉默法则
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
设
a21 x1 LLL
a22 x2 L LLLL
L
a2n xn b2 LLLL
(1)
an1 x1 an2 x2 L ann xn bn
结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该 线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P. 22定理3）
其逆变换是：
ij
i ×k i +k j
ij
i ÷k i －k j
结论： 1. 由于对原线性方程组施行的变
换是可逆变换，因此变换前后 的方程组同解. 2. 在上述变换过程中，实际上只 对方程组的系数和常数进行运 算，未知数并未参与运算．
定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
✓对调两行，记作 ri rj ； ✓以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ri k ； ✓某一行加上另一行的 k 倍，记作 ri krj .
0 0 0 0 1
以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列．
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
? E5
0
0
0 0
1 0
0 1
0 c53 c53 k 0
0
0
0 0
1 0
0 1
k0
0 0 0 0 1
(3)以 k 乘单位阵第 j 行加到第 i 行, 记作 Em(ij(k))．
1
0
E5
0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0
0
0
1
r3 r5 k
0
0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0
0
两种理解！
k
记作
E5(35(k))
0 0 0 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
B5
0
0
00
0
c3 c4
c4 c1 c2 c5 4c1 3c2 3c3
1 0 0 0 0
0
0
1 0
0 1
0 0
0 0
F
0
0
0
0
0
行最简形矩阵： 4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
元素都为零.
标准形矩阵： 6. 左上角是一个单位矩阵，其
它元素全为零.
a2n xn b2 LLLLL
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
Ax b
§1 矩阵的初等变换
一、消元法解线性方程组
例1：求解线性方程组
三种变换：
✓交换方程的次序，记作 i j ；
✓以非零常数 k 乘某个方程，记作 i ×k ；
✓一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 i ＋k j .