点集拓扑学考试题目及答案

下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试

有帮助。

二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例）

1、拓扑空间中有限集没有聚点。

答：这个说法是错误的。

反例：x = abQ，规定拓扑，%,⑨，则当

A = ：a 1时，匕和都是A的聚点。因为b和C的领域只有X 一个，它包含a，a不是A的聚点，因为A '。

2、欧式直线E1是紧致空间。

答：这个说法是错误的。

反例：对E1而言，有开覆盖」1-n,n|n Z ］而对于该开覆盖没有有限子覆盖。

3、如果乘积空间X Y道路连通，则X和Y都是道路连通空间。

答：这个说法是正确的。

证明：对于投射有RX Y = X , P2 X Y=Y，由投射是连续的，又知X Y是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X和Y都是道路连通空间。

4、单位闭区间I与S1不同胚。

答：这个说法是正确的。

下面用反证法证明，反设I与S1同胚，则f|2 {1；：2 {pTS1{f茁也是同胚映射，I石不连通，则S1 {2}不连通，故矛盾，所以单位闭区间I与S1不同胚。

5、紧致性具有可遗传性质。

答：这个说法是错误的。

反例：Q11紧致但0,1不紧致。

三、证明题（每题10分，共50分）

x x v. 0

1、规定f ：E1f0,1h E1为f（x）补x才，证明f是连续映射，但不是同胚映射。

证明：由于f限制在,0与1「：上连续，由粘接引理，f连续。但f _1不连续，如,0是E1 0,1的闭集，但f 一1一1 - 二,0 = f - ,0 = - ,0不是E1的闭集，

所以f不是同胚映射。

2、证明：Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间。

证明：设X是Hausdorff空间，丫是X的任一子空间，

需证丫是Hausdorff 空间。-x,y Y，由X 是Hausdorff 空间，所以存在x,y在X的开邻域U、V使得U?V八，U - 丫是x在丫中开邻域，V丫是y在丫中开邻域，（U C Y）C

（V C Y）=U C VCY =?，故丫是Hausdorff 空间。

3、证明：从紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同证明：要证明f'：Y，X连续，只需证f是闭映射，设A是X 的闭子集紧致，所以A是紧致的。又因为紧致空间在连续映射下的像也紧致，所以 f A是丫的紧致子集，又由于Hausdorff空间的紧致子集是闭集，所以f A是丫的闭集。

4、设X。是X的既开又闭的子集，A是X的连通子集，则或者A X。八或者A X。。

证明：A X。是A的既开又闭的子集，由于A连通，

贝U或者A X。八或者A X。= A即A X。。

5、证明：道路连通性具有可乘性质。

证明：设x°,y。是X i,%是X 丫中两点，X和丫都是道路连通，则有X中道路a，以X。/为起始点，又有Y中道路b，以y。’％为起始点，作X 丫中道路c为：c（t）=（a

（t ,b（t）），V I，则 c 连接（X°,y。）和（知％），所以道路连通性具有可乘性质。

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