巧用伸缩变换解决椭圆问题

注 在伸缩 变换 下 ， 椭 圆中心 的弦 变成 圆 过
的 直 径 ， 用 直 径 上 的 圆 周 角 是 直 角 即 可 解 决 本 利
１ ．直线 仍变 成直线 ， 斜率 为原 来 的＿ ａ．
２ ．两 条 直 线 的 平 行 性 不 变 ． 别 地 平 行 于 纵 特
题． 当然 ， 题利 用特 例法也 行． 本 例 ２ 若 ＡＢ是任 一不 过椭 圆 ＋ 一 １Ⅱ ｙ （
（ 安徽 省 “ 南 十校 ”０ ９ 高三 素质 测试 卷 ） 江 ２０ 年
ｆ 一 ，
分 析 令 “ 令｛ 则 椭 圆就 变 成 了单
Ｉ 一Ｙ’
位 圆 ＋ 一 ｌ 椭 圆 上 的 点 Ａ、 Ｍ 分 别 变 成 ， Ｂ、 １ ，
了单 位 圆上 的点 Ａ ， Ｍ 且 Ａ Ｂ Ｂ ， ， 是 单位 圆的
Ａ ．一 ２ Ｃ
＆
）
Ｄ．一 ａ２
扫
Ｂ
～
ｂ ２
ｄ
Ｃ
一
Ｃ２
．
．
扫
又可 变成 圆． 圆是 我们 相 当熟 悉 的 图形 ， 的许 它
多 性 质 的 推 导 和 证 明 都 比较 容 易 ， 圆 中 研 究 图 在 形 的 某 种 性 质 然 后 再 还 原 到 椭 圆 中 ， 而 得 到 椭 从 圆 的 相 应 性 质 ， 往 往 要 比直 接 在 椭 圆 中 进 行 计 这 算 和证 明简单 得多 ． 设椭 圆 ＋ 西 一 １ “＞ ｂ＞ ｏ ， 变 换 ｙ （ ）作
单 位 圆 十 。 １ 一 的弦 Ａ Ｂ ， Ｍ 就变成 了 弦 点
ＡＢ 的 中 点 Ｍ 由 于 ０Ｍ 上 Ａ 于 是 ， Ｂ ，
ｋ ， ＡＢ ｄＭ ｋ ，，一 一 １，
５ ．两 曲线 的位 量关 系不 发生变 化 ， 即公共 点
・ ．
舢 ：一 １ 从 而 是 ， ｃ Ｍ
（Ｂ） ＜ （ ． ｂ
△ Ａ Ｂ Ｃ ， 圆 的 内 接 ｊ 角 形 以 内接 正 三 角 形 面 而
积 最 ， △ 的 大 为 ，而ｓ 为 大 故Ｓ ， 最 值 半 从 川
的最 大值是 ．
一
例 ６ 过 椭 圆 Ｃ： ＋ ＝ １“＞ ｂ ０ 的 （ ＞ ）
“ ０
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２０ ０ ９年 第 ４期
分析 令 一 ， 一 ， ≠ 则椭 圆内接
△Ａ Ｃ 就变 成 了单 位 圆 Ｂ ＋ 一 １的 内 接
注 此 题若 用判别 式 ， 不仅 运算 繁琐 ， 还要 讨论 Ｂ的值． 似地可 以得 到 Ｌ与 Ｃ相切 、 类 相离 的
充 要 条 件 分 别 是 （Ａ） ＋ （ ） 一 Ｃ ， ａ ） ＋ ａ 。 （Ａ 。
２ ０ 年 第 ４期 ０９
中学数 学教 学
４ ３
巧 用 伸 缩 变 换 解 决 椭 圆 问题
安徽 省灵 璧 中学 侯立 刚 （ 邮编 ： ３ ２ ０ ２４０ ）
伸 缩 变换 是 高 中数 学课 程 中新增 内容 ， 普 《 通 高 中数 学课程 标准 》 求 ： 了解 在平 面直 角坐 要 “ 标 系伸缩 变换 作 用 下平 面图 形 的变 化 情 况 ” 在 ． 伸缩 变换 下 ， 面 图形要 发 生相 应 的变 化 ． 圆 平 如
ａ Ｄ
轴（ 或在纵 轴上 ）的线段 仍平行 于纵 轴 （ 或在纵 轴
＞ ｂ＞ ０ ）中心 ０ 且 不平 行 于 坐标 轴 的 弦 ， 是 Ｍ
ＡＢ 的 中 点 ， 证 ： ｋ 一一 ｂ 求 ｋ ２
．
上） 长度为原来的÷， 平行于横轴 （ 或在横轴上）
的线段 仍平 行于 横轴 （ 在 横 轴上 ） 长度 为 原来 或 ，
一一 ｂ ２
．
的个 数不 发生变 化． 如若 直线 与 曲线 相 交 变换 后 它们仍 相交 ．
注 在 伸缩 变换 下 ， 线段 的 中点是 不 变 的 ， 而 在 圆中 ， 圆心 与弦 中点 的连线垂 直于 弦． 例 ３ 若 Ａ、 Ｃ是 椭 圆 ＋ 一 １“＞ ｂ Ｂ、 （．
的 ．
ａ
ｆ 一．， 三 丁
分 令 析 Ｉ
Ｉ 一ｙ’
则 段Ａ 就 成 线 Ｂ 变 了
３ ．点 分 线 段 的 比 不 变 ． 别 地 ， 段 的 中 点 特 线 变成对应 线段 的 中点． ４ ．三 角 形 仍 变 成 三 角 形 ， 积 为 原 来 的 ． 面
长轴 两端 点 Ａ、 Ｂ分别 作 椭 圆的切 线 与椭 圆的任 注 在 伸缩 变换下 ， △ Ｓ Ｍ 一 ａ 利 Ｓ仙 △ ｂ，
用 圆 内 接 三 角 形 的 性 质 ， 巧 妙 地 解 决 这 个 可
ａ。 Ｄ一
以下通 过 几 个 例 题 说 明 利 用 伸 缩 变 换 解 决
椭 圆问题 的简便性 ．
例 １ 若 Ａ 是过 椭 圆 十 一 １ｎ＞ ｂ Ｂ Ｙ （ ＞
＞ ０ 上 的三 点 ， Ｓ 仙 的最大值 是 ） 则 △
．
４ ４
中 学数 学 教 学
即 得 （ Ａ） ａ ＋ （Ｂ） ｂ ＞ Ｃ ．
在 伸 缩 变 换 下 可 变 成 椭 圆 ， 椭 圆 在 伸 缩 变 换 下 而
０ ）中 心 的 一 条 弦 ， 是 椭 圆 上 异 于 Ａ 、 的 任 一 Ｍ Ｂ
点 ， Ａ 、 Ｍ 与坐标 轴不 平行 ， ， 且 Ｍ Ｂ 是 是州分别 表
示 直线 Ａ 、 Ｍ 的斜 率 ， 是Ｍ 』 （ Ｍ Ｂ 则 Ａ 志｛ Ｍ
直径 ， 于是 ｋ ＇ｋ ． ｎ＇ Ｍ Ｍ 一
ｆ ， ÷一 ， “
。
・
・
Ｉ ．于 在 种 缩 换 ，圆 变 一 是 这 伸 变 下椭 就 成 ｙ
，
ａ 一１ 是 鲁 一 ，
， ．
从而 是 一～ａ 故 选 Ｂ． 州是 Ａ
．
了 单 位 圆 ｚ 十 Ｙ 一 ｌ 可 以 很 容 易 地 证 明 这 种 ， 伸缩变换 具有 如下 一些 常用 的性质 ：