常用的三大统计量分布

m n
(
i1 n
(
Xi2 ) / m Yj2 ) / n
服从F(m, n)
3、正态、卡方与 t,
0.05
1
2 0.05
(n
)
2
1
(n)
见 P425 2分布表：
当 n 10
0.05时，120.05 (10)
2 0.95
(10)
18.307
2 0.05
(10)
3.9403
二. F 分布
定义3 设 X : 2 (m), Y : 2 (n),且X与Y独立，
则 F X / m : F(m, n) , m, n分别为第一、第二自由度。 Y/n
P(x)
[(n 1) / 2]
(m
/
2)(n
/
2)
( m )( n
m n
m 1
x) 2 (1
m n
1(mn)
x) 2
0
x0 x0
特点：两个 2 分布之商服从F 分布。
分子的自由度为第一自由度 分母的自由度为第二自由度
从密度函数的图像可知，F的 分布是只取非负值的偏态分布。
F分布的分位数
P F F1 (m, n) 1
§5.4 常用的三大统计量分布 例2.6.6 设X : N(0,1),求Y=X2的分布?
先看前面讲 过的例题
解：y x2 的值域为 [0， ） 当 y 0时，FY ( y) 0
当 y 0时，FY ( y) P(Y y) P(X2 y)
P( y X y) ( y) ( y)
(
Y/n 由于标准正态分布密度函数的对称性可知 :
X与-X有相同的分布
从而可得 t 与 -t 也有相同的分布，
即对y R，P(0 t y) P(0 t y) P( y t 0)
于是
Ft ( y)
P(0
t
y)
1 2
P(t 2
y2)
由T分布和F分布的构造可知：T分布和F分布的关系为：
t2 ( X )2 X2 服从 F(1, n)分布。 Y/n Y/n
由性质1知： t (n) t1 (n)
如 t0.05 (10) t1-0.05 (10) 1.8125 t (n)
t1 (n)
四、总结：常见分布的几种关系：
1、正态与卡方：
n
X1，X2，..Xn独立同分布N (0,1) 2 Xi2 : 2 (n)
m
i 1
2、卡方与 F
2 (m) / 2 (n) /
所以
Ft ( y) P(0 t
y)
1 P(t2 2
y2)
1 2
FF
(
y
2
)
根据分布函数和密度函数的关系得：
故
Pt
(y)
y
PF ( y2 )
1
2
n
(
1 n
)
1 2
(1)(n )
(
y
2
)
1 2
1
(1
1
y
2
)源自文库
1+n 2
n
gy
22
1
n 2
(1
1
y2
1+n
)2
n ( n ) n
2
yR
这就是自由度为n的T分布的密度函数。
t(n)的性质： 1. P(x)曲线关于y 轴对称，
2.当n>1时，E T =0 3.当 n>2时，DT=n/(n-2)
4. lim P(x) 0 x
5. 当n 时，t 分布趋于标准正态分布。 6. t分布表的构造公式 P[T t1 (n)] 1
分位数 t1 (n)可从表中直接查到。 如 n 10, 0.05 查得 t1-0.05 (10) 1.8125
) (1
it
)m
2
12
2 2
的特征函数为
1(t)g2 (t) (1
it )n 2 g(1
it )m 2
(1
it
)
n
m 2
所以 12 22 服从 2 (n m)
3. 2统计量 的上侧 分位数 确定方法 ：
P
2 (n)
2 1
(n)
1
或者
P
2
(n)
2 1
(n)
P( 2
2 0.05
(n
))
i 1
密度函数
P
( y)
1
2
n 2
(
n
)
2
n 1 y
y2 e 2
y0
特点：标准正 态随机变量的 平方和才服从
2 分布。
2统计量的性质: 0
y0
1. E 2 n D 2 2n
Q X : N(0,1)
EX2 DX E2X=1
n
EX2 n
i=1
EX4 x4
1
x2
e 2 dx (4 1)!! 3
例 若 F : F(10,5) , 0.05
F1- (10,5)= F0.95 (10,5)=4.74
F
(10,5)=F0.05 (10,5)=
1 F0.95 (5,10)
1 3.33
0.3
三. t 分布
定义2：设 X : N(0,1), Y : 2(n), 且 X 和 Y 独立，
则 统计量 t= X : t(n) Y/n
t(n)的密度函数为:
P(x)
[(n
1) / 2]
(1
x
2
)
n 1 2
n (n / 2) n
xR
自由度为1的T 分布就是柯西分布 （期望不存在）
特点：正态分布与 2 分布
之商服从 t 分布。
下面导出T分布的密度函数？
证明:设 X : N(0,1), Y : 2 (n), 且 X 和 Y 独立，统计量t= X
(2)
F (n, m)
故
F1
(m,
n)
F
1 (n,
m)
或
F
(n,
m)
F1
1 (m,
n)
F
(m, n)
F1
1 (n,
m)
这个关系式用于查表。
因为 分位数 F (m, n) 在F分布表中是查不
到的，我们就把自由
度换位查出 F1 (n, m), 然后取倒数。
1
F1 (m, n)
F (m，n)
P F F (m, n)
2
DX2 EX4 (EX2 )2 3 12 2
D
2
=D
n
X2
n
DX2 2n
2.
12 ,
2 2
独立，
i=1 i=1
且 12 : 2 (n),
2 2
:
2 (m)
则 12 22 : 2 (n m) 证明：12 的特征函数 1(t) (1
22 的特征函数 2 (t
it
)
n 2
F统计量有一个特别的性质:
1
若 F : F(m, n), 则 1/ F : F(n, m)
这个性质是由它的构造决定的。
F1 (m, n)
分位数
所以对任意给定 ( 0 1) 有：
P F F1 (m, n) 1 (1)
P[
从而
1 F
F
P(F
(n, m)]
1
P(F
) 1
1) F (n, m)
y)
1
-y
e2
2 y
y0
1
1 1 y
2
1 2
(
1
)
y
2
e2
y0
0
y0
2 0
y0
这个密度函数是自由度为1 的 2 统计量的密度函数，
即 Y : 2 (1).
一. 2 分布
定义一、设（X1，X2，...Xn ) 为来自总体 X : N(0,1) 的样本，
n
则统计量 2 Xi2 : 2 (n)