简单的逻辑联结词

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
2．全称量词和存在量词
3．
1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()
A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
解析：选A改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1.
2．已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；
q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件． 则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．綈p ∧綈q C ．綈p ∧q
D ．p ∧綈q
解析：选D 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q ，綈p 为假命题，綈q 为真命题，綈p ∧綈q ，綈p ∧q 为假命题，p ∧綈q 为真命题．
3．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为__________________． 答案：存在两个等边三角形，它们不相似
1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
2．p 或q 的否定易误写成“綈p 或綈q ”；p 且q 的否定易误写成“綈p 且綈q ”．
[小题纠偏]
1．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x 0∈R ，cos x 0≤－1，则下列结论是真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．綈p ∧q
C ．p ∨綈q
D ．綈p ∧綈q
解析：选B p 是假命题，q 是真命题，所以綈p ∧q 为真命题． 2．命题“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”，其否定为________________． 答案：若ab ＝0，则a ≠0且b ≠0
考点一 全称命题与特称命题的真假判断(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．下列命题中是假命题的是( ) A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，x >sin x B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 C ．∀x ∈R,3x >0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0
解析：选B 因为对∀x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
4≤2，所以“∃x 0∈R ，sin x 0
＋cos x0＝2”为假命题．
2．设非空集合A，B满足A⊆B，则以下表述正确的是()
A．∃x0∈A，x0∈B B．∀x∈A，x∈B
C．∃x0∈B，x0∉A D．∀x∈B，x∈A
解析：选B根据集合的关系以及全称、特称命题的含义可得B正确．
[谨记通法]
全称命题与特称命题真假的判断方法
不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.
考点二含有一个量词的命题的否定(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．(易错题)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()
A．对任意x∈R，都有x2<0
B．不存在x∈R，使得x2<0
C．存在x0∈R，使得x20≥0
D．存在x0∈R，使得x20<0
解析：选D全称命题的否定是特称命题．“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得x20<0”．
2．写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)p：有的三角形的三条边相等；
(3)p：菱形的对角线互相垂直；
(4)p：∃x0∈N，x20－2x0＋1≤0.
解：(1)綈p：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0没有实数根．
因为该方程的判别式Δ＝m20＋4>0恒成立，
故綈p为假命题．
(2)綈p：所有的三角形的三条边不全相等．
显然綈p为假命题．
(3)綈p：有的菱形的对角线不垂直．
显然綈p为假命题．
(4)綈p：∀x∈N，x2－2x＋1>0.
显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，
故綈p是假命题．
[谨记通法]
对全(特)称命题进行否定的方法
(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．
(2)对原命题的结论进行否定．如“题组练透”第1题易错．
考点三含有逻辑联结词命题真假的判断(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
已知命题p：∀x∈R，x2>0，命题q：∃α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β，则下列命题为真命题的是()
A．p∧q B．p∨綈q
C．綈p∧q D．p∧綈q
解析：选C因为∀x∈R，x2≥0，所以命题p是假命题．因为当α＝－β时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β，所以命题q是真命题，所以p∧q是假命题，p∨綈q是假命题，綈p∧q 是真命题，p∧綈q是假命题．
[由题悟法]
判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤
(1)先判断简单命题p，q的真假．
(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．
[即时应用]
1．若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－1
x的单
调递增区间是[1，＋∞)，则()
A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题D．綈q是真命题
解析：选D因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因
为函数y＝x－1
x的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假
命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题．2．“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件．
解析：若命题“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题．
若命题“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件．
答案：必要不充分
考点四利用复合命题的真假求参数范围(题点多变型考点——纵引横联)
[典型母题]
根据命题真假求参数的3步骤
(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
[越变越明]
[变式1]母题条件不变，若p∧q为真，则a的取值范围为________．
解析：由p∧q为真知p，q都为真．
∴a的取值范围为⎝⎛⎭⎫
1
2，1.
答案：⎝⎛⎭⎫
1
2，1
[变式2]在母题条件下，若命题q∨(p∧q)真、綈p真，求实数a的取值范围．
解：由命题q∨(p∧q)真、綈p真知p假，q真．
p假，则a≤0或a≥1；q真，则a＞
1
2.
∴实数a的取值范围为[)
1，＋∞.
解决本题应由q∨(p∧q)真、綈p真先判断出p假，q真，再借助集合的交、并运算法则求解．
[变式3]已知a>0，且a≠1，命题p：函数y＝log a
命题q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p∨q”为假，则a的取值范围为()
A.⎝⎛⎦⎤
1，
5
2 B.⎝
⎛
⎦
⎤
－∞，
1
2∪⎝
⎛
⎦
⎤
1，
5
2
C.⎣⎡⎭⎫
1
2，
5
2 D.⎣
⎡
⎭
⎫
1
2，1∪⎣
⎡
⎭
⎫
5
2，＋∞
解析：选A当0<a<1时，函数y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a>1时，函数y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的．若p为假，则a>1.曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点等价于(2a－3)2－4>0，即a<
1
2或a>
5
2.若q为假，则a∈⎣
⎡
⎦
⎤
1
2，
5
2.若使“p ∨q”为假，则a∈(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤
1
2，
5
2，即a∈⎝
⎛
⎦
⎤
1，
5
2.
本题的巧妙之处就是将“函数”“曲线”与“命题的真假”三者综合交汇考查．看似较难，但只要将命题p，命题q分别利用函数、曲线的知识分而破之，问题便迎刃而解．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．下列命题中是全称命题并且是真命题的是()
A．π是无理数
B．若2x为偶数，则任意x∈N
[破译玄机]
[破译玄机]
C．若对任意x∈R，则x2＋2x＋1>0
D．所有菱形的四条边都相等
解析：选D对于A：“π是无理数”不是全称命题．
对于B：偶数包括正偶数、负偶数和0，所以“2x为偶数，则任意x∈N”为假命题．对于C：“若对任意x∈R，则x2＋2x＋1>0”是全称命题，但由于当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，即此命题为假命题．
对于D：根据菱形的定义，知“所有菱形的四条边都相等”是全称命题，且是真命题．2．命题“∃x0∈R，x20－2x0＋1<0”的否定是()
A．∃x0∈R，x20－2x0＋1≥0
B．∃x0∈R，x20－2x0＋1>0
C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0
D．∀x∈R，x2－2x＋1<0
解析：选C原命题是特称命题，“∃”的否定是“∀”，“<”的否定是“≥”，因此该命题的否定是“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”．
3．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；
q：x＝1是方程x＋2＝0的根．
则下列命题为真命题的是()
A．p∧綈q B．綈p∧q
C．綈p∧綈q D．p∧q
解析：选A由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧綈q是真命题．
4．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则() A．p∨q为真B．p∧q为真
C．p真q假D．p∨q为假
解析：选D由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由a2>b2可得|a|>|b|，但a不一定大于b，反之也不一定成立，故命题q是假命题．所以p∨q为假．5．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p ∧q为假”的充分条件；
反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p
∧q 为假”不能推出綈p 为真．
综上可知，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件． 二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0＜1
2x 0，则綈p 为( )
A ．∃x 0∈R ，sin x 0＝1
2x 0
B ．∀x ∈R ，sin x ＜1
2x
C ．∃x 0∈R ，sin x 0≥1
2
x 0
D ．∀x ∈R ，sin x ≥1
2
x
解析：选D 原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p ：∀x ∈R ，sin x ≥1
2x .
2．命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )
A ．p 或q
B ．p 且q
C ．q
D ．綈p
解析：选B 取x ＝π3，y ＝5π
6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q
正确，故綈p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题．
3．已知命题p ：∃x 0∈N ，x 30<x 2
0；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －
1)的图象过点(2,0)，则( )
A ．p 假q 真
B ．p 真q 假
C ．p 假q 假
D ．p 真q 真
解析：选A 由x 30<x 20，得x 20(x 0－1)<0，解得x 0<0或0<x 0<1，在这个范围内没有自然
数，∴命题p 为假命题；∵对任意的a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，均有f (2)＝log a 1＝0，∴命题q 为真命题．
4．下列说法错误的是( )
A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”
B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0
C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22”的充要条件
D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假
解析：选D 由原命题与逆否命题的关系知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22
⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y 知C 正确；对于D ，命题
“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．
5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]
B ．[0,4]
C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析：选D 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，
则a <0或⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4. 6．命题p 的否定是“对所有正数x ，x ＞x ＋1”，则命题p 可写为________________________．
解析：因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可． 答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋1
7．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a ＝0时，不等式显然成立；
当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0，
得－8≤a <0.
综上，－8≤a ≤0. 答案：[－8,0]
8．已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
解析：命题“p ∧q ”是真命题，则p 和q 均为真命题；当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4；所以a ∈[e,4]．
答案：[e,4] 9．下列结论：
①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1
2>0.则命题“p ∧(綈q )”
是假命题；
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a
b ＝－3；
③“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”．
其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)
解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的．在②中，由l 1⊥l 2，得a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．
答案：①③
10．已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围．
解：若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2
a ≥2，∴0<a ≤1.
若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根． ∴Δ＝[16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <3
2
.
∵命题“p ∧q ”为真命题，∴命题p ，q 都为真， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
0<a ≤1，12<a <32，∴1
2<a ≤1. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B ．[0,2]
C ．R
D ．∅
解析：选B 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．命题p 为假命题时，有0≤m ＜e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.
2．下列说法正确的是( )
A ．命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x 0∈R ，e x 0>0”
B ．命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”的逆否命题是真命题
C ．“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立”
D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题 解析：选B A ：命题的否定是“∃x 0∈R ，e x 0≤0”，∴A 错误；B ：逆否命题为“已知x ，y ∈R ，若x ＝2，y ＝1，则x ＋y ＝3”，易知为真命题，∴B 正确；C ：分析题意可知，不等式两边的最值不一定在同一个点取到，故C 错误；D ：若函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点，则：①a ＝0，符合题意；②a ≠0，Δ＝4＋4a ＝0，a ＝－1，故逆命题是假命题，∴D 错误．
3．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0.
q ：实数x 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＞0，得a ＜x ＜3a ， 即p 为真命题时，a ＜x ＜3a ，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧
－2≤x ≤3，x ＞2或x ＜－4， 即2＜x ≤3，即q 为真命题时，2＜x ≤3.
(1)a ＝1时，p ：1<x <3.
由p ∧q 为真知p ，q 均为真命题，
则⎩⎪⎨⎪⎧
1＜x ＜3，2＜x ≤3，得2＜x ＜3， 所以实数x 的取值范围为(2,3)．
(2)设A ＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |2＜x ≤3}，
由题意知p 是q 的必要不充分条件，
所以B A ，
有⎩⎪⎨⎪⎧
0＜a ≤2，3a ＞3，∴1＜a ≤2， 所以实数a 的取值范围为(1,2]．。