安徽省宣城市2019-2020学年度第一学期期末调研测试高二数学文科试题
2019-2020学年安徽省宣城市高二上学期期末数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年安徽省宣城市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60 m ；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m ．由此可估计我国13岁男孩的平均身高大约为( ) A ．1.57 m B ．1.56 mC ．1.55 mD ．1.54 m【答案】B【解析】直接利用平均数公式求出这500名13岁男孩的平均身高即可得结果. 【详解】因为从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m ， 从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m ， 所以这500名13岁男孩的平均身高是1.6300 1.52001.56500⨯+⨯=，据此可估计我国13岁男孩的平均身高约为1.56m ，故选B ． 【点睛】本题主要考查平均数的求法与应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.2．从集合{},,a b c 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a 子集的概率是（ ） A ．35B ．25C ．14D ．18【答案】C【解析】根据集合元素个数可确定子集的个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】集合{},,a b c 的子集共有328=个，集合{}a 的子集共有2个， 则从{},,a b c 的所有子集中任取一个，恰是集合{}a 子集的概率为2184=. 故选：C . 【点睛】本题考查古典概型概率问题求解，涉及到集合子集个数的求解，属于基础题. 3．0mn <是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分必要条件的定义进行判断：若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件． 【详解】方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线，则有00m n ><，.故0mn <. 若0mn <，则有0m >，0n <或00m n ，. 故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的方程形式与充分必要条件的判断，关键在于掌握二元二次方程mx 2+ny 2=1表示双曲线的条件．4．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．B 与C 互斥 B ．任何两个均互斥 C ．A 与C 互斥 D ．任何两个均不互斥【答案】C【解析】根据互斥事件的定义可判断出结果. 【详解】事件C 包含事件B ，故A 、B 错误；事件A 与事件C 没有相同的事件，故C 正确，D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查互斥事件的判断，属于基础题.5．甲、乙两名篮球运动员10场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两名运动员得分数据的中位数之差的绝对值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据茎叶图可计算得到甲、乙运动员得分的中位数，由此计算得到结果. 【详解】由茎叶图可知：甲运动员得分的中位数为2430272+=；乙运动员得分的中位数为2630282+=， ∴中位数之差的绝对值为27281-=.故选：B . 【点睛】本题考查利用茎叶图计算中位数的问题，属于基础题.6．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且短轴的长为2，则该椭圆的标准方程为（ ）A ．221204x y +=B ．221204y x +=C ．2215y x +=D ．2215x y +=【答案】C【解析】根据短轴长、离心率和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆方程. 【详解】设椭圆C 标准方程为：()222210y x a b a b +=>>.Q 短轴长为2，22b ∴=，解得：1b =.Q 离心率5c e a ==，又22221a b c c =+=+，25a ∴=，∴椭圆C 的标准方程为2215y x +=.故选：C . 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解问题，属于基础题. 7．下列命题中正确的是（ ） A ．“3x >”是“5x >”的充分条件B ．命题“x R ∀∈，210x +>”的否定是“x R ∃∉，210x +≤”.C ．m ∃∈R 使函数()()2f x x mx x R =+∈是奇函数D ．设p ，q 是简单命题，若p q ∧是真命题，则p q ∨也是真命题 【答案】D【解析】根据充分条件、含量词命题的否定、复合命题真假性、奇函数定义等知识依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于A ，35x x >>¿，53x x >⇒>，则A 错误；对于B ，根据含全称量词命题的否定可知原命题的否定为：x R ∃∈，210x +≤，则B 错误；对于C ，若()f x 为奇函数，则()()()222f x x mx x mx x mx f x -=--=-=--=-，方程无解，则不存在m R ∈，使得()f x 为奇函数，则C 错误；对于D ，若p q ∧是真命题，则,p q 均为真命题，那么p q ∨为真命题，则D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查简易逻辑部分知识的综合应用，涉及到充分条件的判定、复合命题的真假性、含量词的命题的否定等知识.8．设双曲线2219y x -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，直线1x =与双曲线的其中一条渐近线交于点P ，则12PF F △的面积是（ ）A ．BC ．D ．【答案】A【解析】由双曲线方程求得渐近线方程和焦点坐标，由此确定P 点坐标，计算可得结果. 【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：3y x =±，焦点()1F ，)2F ，则直线1x =与双曲线的渐近线交于点()1,3，()1,3-，不妨设()1,3P ，则12132PF F S =⨯=△故选：A . 【点睛】本题考查根据双曲线方程求解渐近线方程、焦点坐标等，属于基础题.9．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0 震001 1 坎 010 2 兑 0113以此类推，则六十四卦中的“益”卦，符号“”表示的十进制数是（ ） A ．49 B ．50C ．81D ．97【答案】A【解析】根据已知条件可得到所给符号表示的二进制数，根据二进制和十进制的转化可求得结果. 【详解】由题意可知：符号“”表示的二进制数为：110001， 则表示的十进制数为：0451212121163249⨯+⨯+⨯=++=. 故选：A . 【点睛】本题考查二进制和十进制数的转化问题，关键是能够通过已知所给的定义确定符号所表示的二进制数. 10．图中给出的是计算111124620++++L 的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（ ）.A ．21i ≤B ．11i ≤C ．21i ≥D ．11i ≥【答案】D【解析】观察程序框图,每执行一次赋值语句,2i 的值增加2,要求的式子有10个数据,所以执行10次语句即可,故应填11i ≥. 故选D.点睛：本题是对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若22e =，则1e 的值是（ ）A 5B 5C 25D 25【答案】D【解析】利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程2221243c a a =+，由此得到关于离心率的方程求得结果.【详解】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则221212PF PF a a =-， 由余弦定理得：2222212121212242cos3c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a aaa∴=--=+，2212314e e ∴+=，又22e =，2145e ∴=，15e ∴=. 故选：D . 【点睛】本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.12．已知函数2()f x x m =+与函数1()ln3g x x x =--，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5ln )4[2,2+B ．5[2ln 2,ln 2)4-+ C ．5(ln 2,2ln 2)4+- D ．(]2ln2,2-【答案】A【解析】将问题转化为()()f x g x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不同的解，令()()()h x f x g x =+，将问题转化为()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性，进而确定区间端点值和最值，由此构造不等式求得结果. 【详解】()f x Q 与()g x 在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，()()f x g x ∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不同的解，即221ln3ln 30x m x x x x m x +--=+-+=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的解， 令()2ln 3h x x x x m =+-+，则()()()2211123123x x x x h x x x x x---+'=+-==， ∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当()1,2x ∈时，()0h x '>，()h x ∴在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，又15ln 224h m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，()12h m =-，()2ln 22h m =-+， 原问题等价于()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，则5ln 2024m m --+≥>-，解得：5ln 224m +≤<，即m 的取值范围为5ln 2,24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将两函数图象对称点个数的问题转化为方程根的个数的问题，进一步通过构造函数的方式将问题转化为函数零点个数的问题.二、填空题13．如图风筝图案中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为_________.【答案】13【解析】根据面积比即可得到所求概率. 【详解】由图形可知，阴影部分面积为总体面积的41123=，∴飞镖落在阴影部分的概率为13. 故答案为：13. 【点睛】本题考查几何概型面积型问题的求解，属于基础题.14．若1a ，2a ，…，20a 这20个数据的平均数为x ，方差为0.21，则1a ，2a ，…，20a ，x 这21个数据的方差为__________．【答案】0.20【解析】根据平均数与方差的概念，利用公式，准确计算，即可求解． 【详解】由题意，数据1a ，2a ，…，20a 这20个数据的平均数为x ，方差为0.21， 由方差的公式，可得222212201[()()()]0.2120s a x a x a x =⨯-+-++-=L ， 所以2221220()()() 4.2a x a x a x -+-++-=L ， 所以22222122011[()()()()] 4.20.202121s a x a x a x x x '=⨯-+-++-+-=⨯=L ， 故答案为：0.20． 【点睛】本题主要考查了平均数与方差的概念及应用，其中解答中熟记平均数和方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．15．过抛物线2:4C y x =的焦点F 作斜率等于3的直线与抛物线C 交于A ．B 两点，则AB =_________. 【答案】16【解析】将直线方程代入抛物线方程，利用抛物线焦点弦长公式，结合韦达定理可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：()1,0F ，则直线AB 方程为：)1y x =-， 代入抛物线方程可得：()212143x x x -+=，整理得：21410x x -+=，12214216AB x x ∴=++=+=.故答案为：16. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的求解问题，属于基础题.16．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数.命题q ：当x ∈1[,2]2时，函数f (x )＝x ＋11x c>恒成立.如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围是________.【答案】1(0,][1,)2⋃+∞【解析】根据指数函数的图象与性质，可求出命题p 真时c 的取值范围，根据对勾函数的图象与性质，可求得命题q 真时c 的范围，再由,p q 中一真一假，即可求解. 【详解】若命题p ：函数xy c =为单调递减函数，则01c <<，即当p 为真时，实数c 的取值范围是(0,1)c ∈；又命题q ：当1[,2]2x ∈时，函数()12f x x x =+≥=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立，所以函数()f x 的最小值为2，要使得()11f x x x c =+>恒成立，则12c>且0c >，解得1(,)2c ∈+∞，即命题q 为真命题时，实数c 的取值范围是1(,)2c ∈+∞.因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以,p q 中一真一假.若p 真q 假时，则1(0,]2c ∈，若p 假q 真时，则[1,)c ∈+∞. 所以实数c 的取值范围是1(0,][1,)2⋃+∞. 【点睛】本题主要靠考查了复合命题的真假判定及应用，同时考查了指数函数的图象与性质，以及对勾函数的图象与性质，其中根据命题,p q 为真时，求得c 的取值范围是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力.三、解答题17．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：（1）求y 关于x 的线性回归直线方程；（2）如果某天的气温是–10C ︒，预测这天卖出的热饮杯数（四舍五入，取整数）.附：对于线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx ybxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-， 【答案】（1）ˆ 5.9129.5y x =-+；（2）189杯.【解析】（1）根据表中数据计算可得所需数据，利用最小二乘法可求得回归直线方程； （2）代入10x =-即可求得预测值. 【详解】（1）由表中数据得：505101555x -++++==，15712710772371005y ++++==，517855357205551025i ii x y==-+++=∑，5212525100225375i i x ==+++=∑，102555100ˆ 5.9375525b-⨯⨯∴==--⨯，ˆ100 5.95129.5a ∴=+⨯=，y ∴关于x 的线性回归直线方程为：ˆ 5.9129.5y x =-+.（2）令10x =-，解得：188.5189y =≈，∴如果某天的气温是–10C ︒，预测这天卖出的热饮杯数为189杯.【点睛】本题考查利用最小二乘法求解回归直线、利用回归直线求解预测值的问题；关键是熟练掌握最小二乘法，考查学生的计算能力.18．某校从参加某次知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛的均分；（2）如果确定不低于85分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进人复赛；（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20的概率.【答案】（1）频率分布直方图见解析；均分为71分；（2）175；（3）1 3 .【解析】（1）根据频率和为1可求得[)70,80组对应的频率，由此可补全频率分布直方图；利用平均数的估计方法计算可得结果；（2）由频率分布直方图计算可得分数不低于85分的频率，利用总数⨯频率即可计算得到结果；（3）根据分层抽样原则可计算求得第一组、第二组和第六组分别抽取的人数，采用列举法可确定所有基本事件和满足题意的基本事件，由古典概型概率公式计算可得结果. 【详解】（1）[)70,80组的频率为()10.010.0150.0150.0250.0051010.70.3-++++⨯=-=，∴补全频率分布直方图如下图所示：均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）. （2）由频率分布直方图可知：分数不低于85分的频率为10.025100.005100.1752⨯⨯+⨯=，1000∴名参赛同学中，预估有10000.175175⨯=人进入复赛.（3）第一组、第二组和第六组的频率之比为2:3:1，∴第一组抽取2626⨯=人，第二组抽取3636⨯=人，第六组抽取1616⨯=人， 记第一组和第二组的5人为,,,,a b c d e ，第六组的1人为A ，则随机抽取2人，有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a A ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b A ，(),c d ，(),c e ，(),c A ，(),d e ，(),d A ，(),e A ，共15种情况，成绩之差的绝对值大于20的有：(),a A ，(),b A ，(),c A ，(),d A ，(),e A ，共5种情况，∴所求概率51153p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数和频率、估计平均数等知识，同时考查了分层抽样和古典概型概率问题的求解，是对概率和统计部分知识的综合考查，属于常考题型. 19．已知抛物线()2:20C y px p =>上的点()5,M m 到焦点F 的距离为6.（1）求,p m 的值；（2）过点()2,1P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线l 方程.【答案】（1）2p =，m =±（2）230x y --=.【解析】（1）利用抛物线焦半径公式可求得p ，将()5,M m 代入抛物线方程可求得m ； （2）利用点差法可求得直线l 斜率，由点斜式可求得直线l 的方程. 【详解】（1）由抛物线焦半径公式知：562pMF =+=，解得：2p =， 2:4C y x ∴=，25420m ∴=⨯=，解得：m =±（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得：()()()1212124y y y y x x +-=-， 1212124l y y k x x y y -∴==-+，()2,1P Q 为AB 的中点，122y y ∴+=，2l k ∴=，∴直线l 的方程为：()122y x -=-，即230x y --=.【点睛】本题考查抛物线焦半径公式的应用、点差法求解中点弦方程的问题；关键是熟练掌握点差法.20．已知函数21()2(2)2ln x f x a x a x =+-+ （1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）求()f x 的单调区间. 【答案】（1）极大值为()512f =-，极小值为()22ln 24f =-；（2）详见解析. 【解析】（1）由导函数的正负可确定()f x 的单调性，进而确定极大值为()1f ，极小值为()2f ，代入可求得结果；（2）求得()f x '后，分别在0a ≤、02a <<、2a =和2a >四种情况下确定()f x '的正负，由此可得单调区间. 【详解】（1）当1a =时，()212ln 32f x x x x =+-， ()()()()21223230x x x x f x x x x x x---+'∴=+-==>， ∴当()0,1x ∈和()2,+∞时，()0f x '>；当()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x ∴在()0,1，()2,+∞上单调递增，在()1,2上单调递减， ()f x ∴在1x =处取得极大值，在2x =处取得极小值，()f x ∴极大值为()512f =-，极小值为()22ln 24f =-.（2）由题意得：()()()()()()2222220x a x a x a x af x x a x x x x-++--'=+-+==>，①当0a ≤时，当()0,2x ∈时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞；②当02a <<时，当()0,x a ∈和()2,+∞时，()0f x '>；当(),2x a ∈时，()0f x '<，()f x ∴的单调递减区间为(),2a ，单调递增区间为()0,a ，()2,+∞；③当2a =时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，()f x ∴的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；④当2a >时，当()0,2x ∈和(),a +∞时，()0f x '>；当()2,x a ∈时，()0f x '<，()f x ∴的单调递减区间为()2,a ，单调递增区间为()0,2，(),a +∞；综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞；当02a <<时，()f x 的单调递减区间为(),2a ，单调递增区间为()0,a ，()2,+∞；当2a =时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当2a >时，()f x 的单调递减区间为()2,a ，单调递增区间为()0,2，(),a +∞. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的极值、讨论含参数函数的单调性的问题；讨论含参数函数单调性的关键是能够通过导函数的零点所处的范围进行分类讨论，由此确定导函数的正负.21．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为42.（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的右焦点2F 作直线l 与E 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB V 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【答案】（1）22142x y +=；（2）OAB V 2，此时直线l 的方程为：2x【解析】（1）利用椭圆四个顶点构成的四边形面积、离心率和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（2）①当直线AB 斜率不存在时，易求得OAB S V ；②当直线AB 斜率存在时，假设直线方程，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得AB ，利用点到直线距离公式求出d ，从而得到OAB S V ，利用函数求最值的方法可求得OAB S V 的范围；综合两种情况可得最终结果. 【详解】（1）Q以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为1222a b ∴⨯⨯=即ab =①，又2c e a ==…②，222a b c =+…③， 则①②③联立可求得：2a =，b =c =∴椭圆E 的方程为：22142x y +=.（2）①当直线AB斜率不存在时，则方程为x =，222b AB a∴==，122OAB S ∴=⨯=△②当直线AB斜率存在时，可设其方程为：(y k x =，由题意可知：0k ≠，由(22142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()222212440k x x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y，则12x x +=21224412k x x k -=+，224421k AB k +∴===+，又原点到直线距离d =，()22211221OABk S AB d k +∴=⋅===+△=令21tk=>，则()()()22224111114114412114121t tkt t t t tk k t+++===++++++++++++，0t>Q，11t∴+>，1121tt∴++>+，()1114121tt∴<++++，12OABS∴<=△，综上所述：OABV，此时直线l的方程为：x【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中三角形面积最值的求解问题；关键是能够将所求三角形面积表示为关于某一个变量的函数的形式，利用函数最值的求解方法来求得面积的最值.22．已知函数32()f x ax bx=-在点(1,(1))f处的切线方程为31=0x y+-.（1）求实数a，b的值；（2）若过点()1,4()m m-≠-可做曲线()y f x=的三条切线，求实数m的取值范围.【答案】（1）13ab=⎧⎨=⎩；（2）()4,4-.【解析】（1）根据切线方程可知()1f和()1f'，由此构造方程组求得,a b；（2）将问题转化为y m=与()()3261h x x x x=-+≠-有三个不同的交点，利用导数可得到()h x的图象，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】（1）由切线方程知：()13112f=-⨯+=-，()13f'=-，又()232f x ax bx'=-，2323a ba b-=-⎧∴⎨-=-⎩，解得：13ab=⎧⎨=⎩.（2）由（1）知：()323f x x x=-，则()236f x x x'=-，4m ≠-Q ，()1,m ∴-不在()f x 上，又()1369f '-=+=，可知切点横坐标不为1-，设切点坐标为()32000,3x x x -，01x ≠-，则切线斜率322000003361x x m k x x x --==-+，整理得：30026m x x =-+， Q 过()1,m -可作()f x 三条不同的切线，30026m x x ∴=-+有三个不为1-的解；令()()3261h x x x x =-+≠-，则()()()266611h x x x x '=-+=-+-，∴当(),1x ∈-∞-和()1,+∞时，()0h x '<；当()1,1x ∈-时，()0h x '>，()h x ∴在(),1-∞-和()1,+∞上单调递减，在()1,1-上单调递增，由此可得()h x 图象如下图所示：30026m x x =-+有三个不为1-的解等价于y m =与()h x 有三个不同的交点，由图象可知：44m -<<，∴实数m 的取值范围为()4,4-.【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到根据切线方程求解函数解析式、根据过某一点曲线切线的个数求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为两函数交点个数问题，从而利用数形结合的方式来进行求解.。
2019-2020学年安徽省宣城市郎溪、旌德、广德、泾县、绩溪、宣城二中等七校高二(上)期中数学试卷及答案
2019-2020学年安徽省宣城市郎溪、旌德、广德、泾县、绩溪、宣城二中等七校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（）A．∀x∉R，2x≤0B．∀x∈R，2x≤0C．∃x0∈R，＞0D．∃x0∈R，≤02．2019年，云南省丽江市某高级中学高一年级有100名学生，高二年级有200名学生，高三年级有150名学生．现某社会民间组织按年级采用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则应从高一年级抽取的学生人数为（）A．6人B．2人C．8人D．4人3．已知p：x＜y，q：log2x＜log2y，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为20，则a的值为（）A．5B．﹣25C．25D．5或﹣55．已知具有线性相关关系的变量x，y的一组数据如表：可求得线性回归方程为，则x0﹣y0的值为（）A．3B．﹣5C．﹣3D．26．若执行如图所示的程序框图输出的结果为26，则M处可填入的条件为（）A．k≥31B．k≤31C．k＜63D．k≥157．已知A是圆M的圆周上一定点，若在圆M的圆周上的其他位置任取一点B，连接AB，则“线段AB的长度不大于圆M的半径”的概率约为（）A．B．C．D．8．已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到全是白球”的概率是（）A．B．C．D．9．已知A，B分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，线段AB的垂直平分线过右顶点．若椭圆C的焦距为2，则椭圆C的长轴长为（）A．B．C．D．10．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若△POF2（O为坐标原点）是边长为的正三角形，则b2＝（）A．B．C．D．11．将﹣颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则关于x，y方程组，有实数解的概率为（）A．B．C．D．12．已知椭圆（a＞b＞0）过点（1，），其离心率的取值范围是，则椭圆短轴长的最大值是（）A．4B．3C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．将某年级的360名学生编号为001，002，…，360，采用系统抽样方法抽取一个容量为4的样本，且在某组随机抽得的一个编号为120，则剩下的三个编号依次是（按编号从小到大排列）．14．已知某样本数据频率分布直方图共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的，则中间一个小长方形的面积为．15．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，上顶点为B．若BF1是△BAF2的中线，则该椭圆的离心率为．16．设P，Q分别是圆x2+（y+1）2＝7和椭圆上的点，则P，Q间的最大距离是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知t∈R，命题p：关于x的方程x2﹣2tx+1＝0有两个不同的实数根且均小于零；命题q：∃x0∈[1，+∞），x0+≤4t2﹣1．（1）当t＝1时，判断命题q的真假，并简要说明理由；（2）若命题p∨q是假命题，求实数t的取值范围．18．大城市往往人口密集，城市绿化在健康人民群众肺方面发挥着非常重要的作用，历史留给我们城市里的大山拥有品种繁多的绿色植物更是无价之宝．改革开放以来，有的地方领导片面追求政绩，对森林资源野蛮开发受到严肃查处事件时有发生．2019年的春节后，广西某市林业管理部门在“绿水青山就是金山银山”理论的不断指引下，积极从外地引进甲、乙两种树苗，并对甲、乙两种树苗各抽测了10株树苗的高度（单位：厘米）数据如茎叶图：（1）据茎叶图求甲、乙两种树苗的平均高度；（2）据茎叶图，运用统计学知识分析比较甲、乙两种树苗高度整齐情况，并说明理由．19．据史载知，新华网：北京2008年11月9日电，国务院总理温家宝主持召开国务院常务会议，研究部署进一步扩大内需促进经济平稳较快增长的措施，以应对日趋严峻的全球性世界经济金融危机．在提高城乡居民特别是低收入人群的收入水平政策措施的刺激下，某零售店当时近5个月的销售额和利润额数据统计如表：（1）若x与y之间是线性相关关系，求利润额y关于销售额x的线性回归方程＝x+；（2）若9月份的销售额为8千万元，试利用（1）的结论估计该零售店9月份的利润额．参考公式：＝，．20．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益．联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”．2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如图：（1）求实数a的值；（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），P是椭圆上任意一点，且点P与两个焦点构成的三角形的面积的最大值为8．（1）求椭圆C的方程；（2）若B是上顶点，直线l交椭圆C于M，N两点，△BMN的重心恰好为点F，求直线l的方程的一般式．22．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：mx﹣y﹣m＝0（m∈R）与椭圆C交于M，N两点（点M在x轴的上方）．（1）若m＝﹣1，求△MF1F2的面积；（2）是否存在实数m使得以线段MN为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．2019-2020学年安徽省宣城市郎溪、旌德、广德、泾县、绩溪、宣城二中等七校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（）A．∀x∉R，2x≤0B．∀x∈R，2x≤0C．∃x0∈R，＞0D．∃x0∈R，≤0【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为特称命题，即∃x0∈R，≤0，故选：D．2．2019年，云南省丽江市某高级中学高一年级有100名学生，高二年级有200名学生，高三年级有150名学生．现某社会民间组织按年级采用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则应从高一年级抽取的学生人数为（）A．6人B．2人C．8人D．4人【解答】解：依题意，抽样比为，所以高一抽取人数为100×＝4人．故选：D．3．已知p：x＜y，q：log2x＜log2y，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由于q：log2x＜log2y⇔0＜x＜y；所以p：x＜y推不出q：log2x＜log2y；反之，由对数函数单调性，q：log2x＜log2y⇒p：x＜y；故p是q的必要不充分条件；故选：B．4．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为20，则a的值为（）A．5B．﹣25C．25D．5或﹣5【解答】解：椭圆的两个焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为20，可得4|a|＝20，解得a＝±5．故选：D．5．已知具有线性相关关系的变量x，y的一组数据如表：可求得线性回归方程为，则x0﹣y0的值为（）A．3B．﹣5C．﹣3D．2【解答】解：，，∴样本点的中心的坐标为（，）．∴，即x0﹣y0＝﹣3．故选：C．6．若执行如图所示的程序框图输出的结果为26，则M处可填入的条件为（）A．k≥31B．k≤31C．k＜63D．k≥15【解答】解：k＝1，s＝0；s＝0+1＝1，k＝2×1+1＝3；s＝1+3＝4，k＝2×3+1＝7；s＝4+7＝11，k＝2×7+1＝15；s＝11+15＝26，k＝2×15+1＝31，循环结束，故选：A．7．已知A是圆M的圆周上一定点，若在圆M的圆周上的其他位置任取一点B，连接AB，则“线段AB的长度不大于圆M的半径”的概率约为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示的圆O中，△AMD和△AMC为等边三角形，点B位于劣弧CD 上时满足题意，由几何概型计算公式可得，满足题意的概率值为：P＝＝．故选：B．8．已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到全是白球”的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，任取2个球的所有结果＝＝10，而取到全是白球的结果＝3，所以所求的概率P＝，故选：A．9．已知A，B分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，线段AB的垂直平分线过右顶点．若椭圆C的焦距为2，则椭圆C的长轴长为（）A．B．C．D．【解答】解：A，B分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，线段AB 的垂直平分线过右顶点．若椭圆C的焦距为2，则2b＝，化简可得a2＝3b2，又a2＝b2+c2，c＝1，所以，2a＝．故选：D．10．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若△POF2（O为坐标原点）是边长为的正三角形，则b2＝（）A．B．C．D．【解答】解：连接PF1，由题意，可得△PF1F2是直角三角形，PF1＝3，PF2＝，F1F2＝2，由椭圆的定义可得2a＝3+，则b2＝a2﹣c2＝．故选：C．11．将﹣颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则关于x，y方程组，有实数解的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将y＝代入x2+y2﹣4＝0，整理得，（a2+b2）x2﹣16ax+64﹣4b2＝0，△＝（﹣16a）2﹣4（a2+b2）•（64﹣4b2）≥0，得a2+b2≥16，由题意得，a，b的所有取值结果是（a，b）数对（1，1），（1，2），（1，3）……（6，6）共6×6＝36（种），不满足a2+b2≥16的有8（种），所以所求概率为1﹣＝，故选：B．12．已知椭圆（a＞b＞0）过点（1，），其离心率的取值范围是，则椭圆短轴长的最大值是（）A．4B．3C．D．【解答】解：由题意，可得，因为a2＝b2+c2，所以＝＝3﹣b2，离心率的取值范围是，所以，解得b∈[，]，所以椭圆短轴长的最大值是：．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．将某年级的360名学生编号为001，002，…，360，采用系统抽样方法抽取一个容量为4的样本，且在某组随机抽得的一个编号为120，则剩下的三个编号依次是030，210，300（按编号从小到大排列）．【解答】解：依题意，抽样间隔为＝90，假设第一段中的号码为m，故抽出的样本编号符合90k+m，所以120＝90k+m⇒m＝030，则剩下的三个编号为：030，90×2+30＝210，90×3+30＝300，所以则剩下的三个编号依次：030，210，300．故答案为：030，210，300．14．已知某样本数据频率分布直方图共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的，则中间一个小长方形的面积为0.2．【解答】解：设频率直方图中间的面积为x，则x+4x＝1，所以x＝0.2．故答案为：0.2．15．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，上顶点为B．若BF1是△BAF2的中线，则该椭圆的离心率为．【解答】解：如图，根据题意，a﹣c＝2c，即a＝3c，e＝，故答案为：．16．设P，Q分别是圆x2+（y+1）2＝7和椭圆上的点，则P，Q间的最大距离是．【解答】解：圆心C（0，1）到椭圆上的点Q（2cosα，sinα）（α∈[0，2π））的距离d＝＝≤，当且仅当sinα＝﹣时取等号．∴P，Q两点间的最大距离是d+r＝+＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知t∈R，命题p：关于x的方程x2﹣2tx+1＝0有两个不同的实数根且均小于零；命题q：∃x0∈[1，+∞），x0+≤4t2﹣1．（1）当t＝1时，判断命题q的真假，并简要说明理由；（2）若命题p∨q是假命题，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）当t＝1时，q为真命题．当t＝1时，∃x0＝1，有1+＜4×12﹣1．∴命题q：∃x0∈[1，+∞），x0+≤4t2﹣1成立．q为真命题．（2）若p为真命题，则，解得t＜﹣1．故当p为假命题时，t≥﹣1．当q为真命题时，则（x+）min≤4t2﹣1；即4t2﹣1≥2；解得t≤﹣或t≥．∴q为假命题时，＜t＜．∵命题p∨q是假命题，∴命题p，q都是假命题；即，解得，＜t．故实数t的取值范围是：（，）．18．大城市往往人口密集，城市绿化在健康人民群众肺方面发挥着非常重要的作用，历史留给我们城市里的大山拥有品种繁多的绿色植物更是无价之宝．改革开放以来，有的地方领导片面追求政绩，对森林资源野蛮开发受到严肃查处事件时有发生．2019年的春节后，广西某市林业管理部门在“绿水青山就是金山银山”理论的不断指引下，积极从外地引进甲、乙两种树苗，并对甲、乙两种树苗各抽测了10株树苗的高度（单位：厘米）数据如茎叶图：（1）据茎叶图求甲、乙两种树苗的平均高度；（2）据茎叶图，运用统计学知识分析比较甲、乙两种树苗高度整齐情况，并说明理由．【解答】解：（1）如茎叶图数据分析，预估甲种树苗的平均高度x甲＝＝27（厘米），预估乙种树苗的平均高度x 乙＝＝30（厘米）；（2）由茎叶图分析值甲种树苗高度较为集中，乙种树苗高度较为分散， 所以甲种树苗将会长得比较整齐，乙种树苗将会长得参差不齐．19．据史载知，新华网：北京2008年11月9日电，国务院总理温家宝主持召开国务院常务会议，研究部署进一步扩大内需促进经济平稳较快增长的措施，以应对日趋严峻的全球性世界经济金融危机．在提高城乡居民特别是低收入人群的收入水平政策措施的刺激下，某零售店当时近5个月的销售额和利润额数据统计如表：（1）若x 与y 之间是线性相关关系，求利润额y 关于销售额x 的线性回归方程＝x +； （2）若9月份的销售额为8千万元，试利用（1）的结论估计该零售店9月份的利润额．参考公式：＝，．【解答】解：（1），，∴＝＝0.5，＝3.4﹣0.5×6＝0.4．∴利润额y 关于销售额x 的线性回归方程为y ＝0.5x +0.4；（2）把x＝8代入y＝0.5x+0.4，得y＝0.5×8+0.4＝4.4（百万元）．即当9月份的销售额为8千万元，估计该零售店9月份的利润额为4.4百万元．20．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益．联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”．2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如图：（1）求实数a的值；（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率．【解答】解：（1）由题意知（0.01+0.07+0.06+a+0.02）×5＝1，∴a＝0.04，（2）由题意知，随机抽取100名大学生中第四组有20人，第五组有10人，∴抽取的6名学生中有第四组6×人，即4人，抽取6名学生中有第五组6﹣4＝2人，设6人中来自第四组的人数为a，b，c，d，来自第五组的人数为A，B，从中抽取2人的所有基本事件为：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种，其中2人为不同组有8种，∴所求概率为．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），P是椭圆上任意一点，且点P与两个焦点构成的三角形的面积的最大值为8．（1）求椭圆C的方程；（2）若B是上顶点，直线l交椭圆C于M，N两点，△BMN的重心恰好为点F，求直线l的方程的一般式．【解答】解：（1）由已知得c＝2，当点P与短轴端点重合时，点P与两个焦点构成的三角形的面积最大值，则，b＝4，a2＝22+b2＝20．∴椭圆C的方程为．（2）设线段MN的中点为Q（x0，y0），由三角形重心的性质知BF＝2FQ，又B（0，4），∴（2，﹣4）＝2（x0﹣2，y0），即，故得x0＝3，y0＝﹣2，即Q的坐标为（3，﹣2），设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝6，y1+y2＝﹣4，且，把以上两式相减得，所以k MN＝＝﹣•＝﹣×＝，故直线MN的方程为y+2＝，即6x﹣5y﹣28＝0．22．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：mx﹣y﹣m＝0（m∈R）与椭圆C交于M，N两点（点M在x轴的上方）．（1）若m＝﹣1，求△MF1F2的面积；（2）是否存在实数m使得以线段MN为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为c，因为a2＝4，b2＝1，c2＝a2﹣b2，所以c2＝3，c＝，F1F2＝2，联立化简得5y2﹣2y﹣1＝0，解得y＝或y＝，又点M在x轴的上方，所以y M＝，所以△MF1F2的面积为＝．（2）假设存在实数m使得以线段MN为直径的圆恰好经过坐标原点O，则有OM⊥ON，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立得（4m2+1）x2﹣8m2x+12m2﹣4＝0，（*）则x1+x2＝，x1x2＝，由OM⊥ON得，，所以x1x2+y1y2＝0，即m2（x1﹣）（x2﹣）+x1x2＝0，整理得，（m2+1）x1x2﹣m2（x1+x2）+3m2＝0，所以（m2+1）﹣m2+3m2＝0，解得m＝，经检验m＝，（*）中△＞0，所以存在m＝，使得以线段MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．。
2019-2020学年安徽省宣城市高一(下)期末数学试卷(文科)
2019-2020学年安徽省宣城市高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若a>b，则下列不等式成立的是（）A.a2>b2B.a3>b3C.2a−b<1D.lg(a−b)<12. 已知sin(30∘+α)=13+cosα，则sin(2α+30∘)＝（）A.−79B.79C.4√39D.−4√393. 在正三棱柱ABC−A1B1C1中，M为侧面ABB1A1的中心，N为侧面ACC1A1的中心，P为BC的中点，则直线MN与直线AP的位置关系是（）A.相交B.平行C.异面但不垂直D.异面且垂直4. 关于x的不等式ax2−(a+1)x+1>0(a<0)的解集为（）A.{x|1a <x<1} B.{x|x<1或x>1a}C.{x|x<1a或x>1} D.{x|1<x<1a}5. 满足黄金分割比的人体是最美人体，0.618是黄金分割比m=√5−12的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72∘，则m√4−m22cos227−1=()A.4B.√5+1C.2D.√5−16. 一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A.9+√3B.8+√3C.10D.12+√37. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＝sin A sin C，ac+ca=1+√3，则B＝（）A.56π B.16π C.π3D.π28. 若数列{a n}的通项公式为a n=n+12n，则满足a n<10112020的最小的n的值为（）A.1009B.1010C.1011D.10129. 已知m，n>0，1m+4n=3，则m+n的最小值为（）A.3B.9C.6D.410. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan C=√7，cos A=5√28，b＝3√2时，则△ABC的面积为（）A.3√7B.3√72C.3√74D.3√7811. 设S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n+n(n∈N∗)，则{a n}的通项公式为a n＝（）A.2−3nB.2−3nC.1−2nD.1−2n12. 长方体ABCD−A1B1C1D1的各个顶点都在体积为323π的球O的球面上，其中AA1＝2，底面ABCD是正方形，则OA与平面ABCD所成角的大小为（）A.π6B.π3C.π2D.56π二、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．若圆台的母线与高的夹角为π3，且上下底面半径之差为4，则该圆台的高为________．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，AB→⋅AC→=185，则a＝________．已知a n＝n2−tn+2020(n∈N∗, t∈R)，若数列{a n}中最小项为第3项，则t∈________．在△ABC中，cos A+cos B=√3，AB＝2√3．当sin A+sin B取最大值时，△ABC的外接圆半径为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中cos Acos B =ba．（1）若a＝2，b=√3，求边c；（2）若sin C＝cos A，求角C．已知函数f(x)=√24sin(π3−x)+√64cos(π3−x)．（1）求函数f(x)在区间[π3, 3π2]上的最值；（2）若cosθ=−45，θ∈(π, 3π2)，求f(2θ+π3)的值．数列{a n}满足a1＝1，a n＝a n+1(1+2a n)(n∈N∗)．（1）求证：数列{1a n}是等差数列；（2）若a1a2+a2a3+...+a n a n+1>1633，求正整数n的最小值．如图，在四棱锥P−ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，点E是AD中点，PB＝AB=AE＝2．（1）求证：平面PCE⊥平面PBE；（2）求点D到平面PCE的距离．新冠肺炎疫情发生以后，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p(x)万元，当产量不足90万箱时，p(x)=12x2+40x；当产量不小于90万箱时，p(x)=101x+8100x−2180，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．(1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式；(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？最大利润是多少？已知等差数列{a n}满足a5＝4，2a6+a9＝18，数列{b n}的前n项和为S n，满足S n＝2b n−1．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）若任意n∈N∗，a1b1+a2b2+...+a n b n≥(n−2)t+2恒成立，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年安徽省宣城市高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【考点】不等式的基本性质【解析】取a＝−1，b＝−20，利用排除法可判断出ACD不正确．另一方面：考察函数y＝x3在R上单调递增，即可判断出正误．【解答】取a＝−1，b＝−20，则a2<b2，2a−b>1，lg(a−b)<1．∴ACD不正确．另一方面：考察函数y＝x3在R上单调递增，∵a>b，∴a3>b3．因此B正确．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意利用两角和差的三角公式、诱导公式、二倍角公式，求得结果．【解答】∵sin(30∘+α)=13+cosα，即12cosα+√32sinα=13+cosα，花简可得sin(α−30∘)=13．则sin(2α+30∘)＝sin(2α−60∘+90∘)＝cos(2α−60∘)＝1−2sin2(α−30∘)＝1−2×19=79，【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．3.【答案】D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】推导出MN // BC，AP⊥BC，从而MN⊥AP，且直线MN与直线AP异面．【解答】∵在正三棱柱ABC−A1B1C1中，M为侧面ABB1A1的中心，N为侧面ACC1A1的中心，P为BC的中点，∴MN // BC，AP⊥BC，∴MN⊥AP，且直线MN与直线AP异面，【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．4.【答案】A【考点】其他不等式的解法一元二次不等式的应用【解析】根据a<0，原不等式化为(x−1a)(x−1)<0，求出它的解集即可．【解答】不等式可化为(ax−1)(x−1)>0，∵a<0，∴原不等式等价于(x−1a)(x−1)<0，且不等式对应的一元二次方程的根为1a和1；又1a<1，原不等式的解集为{x|1a<x<1}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是基础题目．5.【答案】C【考点】黄金分割法—0.618法【解析】直接利用三角函数关系式和诱导公式的应用求出结果．【解答】0.618是黄金分割比m=√5−12的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72∘，所以m√4−m22cos227−1=2cos72√4−(2cos72)22cos227−1=2(2cos72sin72)cos54=2sin144cos54=2sin(90+54)cos54=2．【点评】本题考查的知识要点：黄金分割点，三角函数关系式的变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】 D【考点】由三视图求体积 【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是一个棱长与底面边长都是2的正三棱柱截去一个三棱锥得到的几何体，再由三角形、矩形及梯形的面积公式求解． 【解答】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体是一个棱长与底面边长都是2的正三棱柱截去一个三棱锥得到的几何体． 该几何体的表面积S =S △ABC +S CBB 1C 1+S ACC 1P +S ABB 1P +S △PC 1B 1 =√34×4+2×2+2×12×(2+1)×2+12×√5−1×2=√3+12．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 7. 【答案】 B【考点】 正弦定理 【解析】由题意和正弦定理可得b 2＝ac ，a 2+c 2＝(1+√3)ac ，再由余弦定理可得B 的余弦值，进而求出B 的值． 【解答】因为sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理可得b 2＝ac ， 而ac+ca =a 2+c 2ac=1+√3，所以a 2+c 2＝(1+√3)ac ，由余弦定理可得a 2+c 2−b 2＝2ac cos B ， 所以(1+√3)ac −ac ＝2ac cos B ，可得cos B =√32， 又B ∈(0, π)，所以可得B =π6，【点评】本题考查正余弦定理的应用，属于基础题． 8. 【答案】 C【考点】数列的函数特性 【解析】根据通项公式直接解不等式即可． 【解答】 ∵ a n =n+12n，∴ a n <10112020⇒n+12n<10112020⇒n >1010；又因为n 为正整数；故满足a n <10112020的最小的n 的值为1011；【点评】本题主要考查不等式的求解以及数列的相关知识，比较基础． 9.【答案】 A【考点】基本不等式及其应用 【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】∵ m ，n >0，1m+4n =3，则m +n =13(m +n)(1m +4n )=13(5+n m +4m n)≥13(5+2√n m ⋅4m n)=3，当且仅当nm =4m n且1m+4n=3即m ＝1，n ＝2时取等号，【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题． 10.【答案】 B【考点】 正弦定理 【解析】由A ，C 的范围及C 的正切值和A 的余弦值可得A ，C 的正弦值，进而可得B 的正弦值，由正弦定理可得a 的值，代入面积公式可得其值． 【解答】因为tan C =√7，C ∈(0, π)，所以sin C =√7√(√7)2+1=√144，cos C =√(√7)2+12=√24， 又因为cos A =5√28，A ∈(0, π)，所以sin A =√148， sin B ＝sin [π−(A +C)]＝sin (A +C)＝sin A cos C +cos A sin C =√148⋅√24+5√28⋅√144=3√78， 由正弦定理可得asin A =bsin B ，而b ＝3√2，所以a ＝2， 所以S △ABC =12ab sin C =12×2×3√2×√144=3√72， 【点评】本题考查诱导公式即正弦定理和三角形的面积公式，属于基础题． 11.【答案】C【考点】数列递推式【解析】当n≥2时，将n换成n−1，两式相减，化简整理，即可得到所求数列的通项公式；【解答】∵S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n+n(n∈N∗)，①∴a1＝2a1+1⇒a1＝−1；当n≥2时，S n−1＝2a n−1+n−1；②①-②可得：a n＝2a n−2a n−1+1⇒a n＝2a n−1−1⇒a n−1＝2(a n−1−1)；∵a1−1＝−2；∴a n−1＝−2n；∴a n＝1−2n；【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系式．12.【答案】A【考点】直线与平面所成的角【解析】求出球的半径R＝2，从而长方体的对角线d＝2R＝4，设AB＝a，由AA1＝2，底面ABCD是正方形，求出a=√6，连结AC，过点O作OE⊥平面ABCD，交AC于点E，则∠OAE是OA与平面ABCD所成角，由此能求出OA与平面ABCD所成角的大小．【解答】∵长方体ABCD−A1B1C1D1的各个顶点都在体积为323π的球O的球面上，∴设球的半径为R，则43πR3=323π，解得R＝2，从而长方体的对角线d＝2R＝4，设AB＝a，∵AA1＝2，底面ABCD是正方形，则a2+a2+22＝16，解得a=√6，连结AC，过点O作OE⊥平面ABCD，交AC于点E，则∠OAE是OA与平面ABCD所成角，∵OA＝2，OE＝1，∴sin∠OAE=OEOA =12．则OA与平面ABCD所成角的大小为π6．【点评】本题考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．【答案】4√33【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】根据圆台的上底面半径与下底面半径的差和圆台的母线与高组成直角三角形，计算即可．【解答】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，圆台的母线与高所在直线的夹角为π3，轴截面如图所示；所以圆台的高为ℎ=R−rtanπ3=√3=4√33．【点评】本题考查了圆台的几何特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．【答案】√1455【考点】余弦定理【解析】由已知利用平面向量数量积的运算可求cos A的值，进而根据余弦定理即可求解a的值．【解答】因为b＝2，c＝3，可得AB→⋅AC→=bc cos A＝6cos A=185，可得cos A=35，由余弦定理可得a2＝b2+c2−2bc cos A＝4+9−2×2×3×35=295，可得a=√1455．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．【答案】(5, 7)【考点】数列的函数特性【解析】由题意利用二次函数的性质，数列的函数特性，求出t的范围．【解答】∵已知a n＝n2−tn+2020(n∈N∗, t∈R)，∵数列{a n}中最小项为第3项，∴52<t2<72，求得5<t<7，【点评】本题主要考查二次函数的性质，数列的函数特性，属于基础题．【答案】2【考点】正弦定理【解析】设sin A+sin B＝t，由于cos A+cos B=√3，将两式子平方后相加，可得cos(A−B)=1+t 22，可得A＝B时，t max＝1，可求∠C=2π3，利用正弦定理即可求解△ABC的外接圆半径．【解答】设sin A+sin B＝t，因为cos A+cos B=√3，所以3+t2＝sin2A+2sin A sin B+sin2B+cos2A+2cos A cos B+cos2B＝2+2cos(A−B)，所以cos(A−B)=1+t 22，所以当A＝B时，t max＝1，∠C=2π3，此时△ABC的外接圆半径为√3√3=2．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．【答案】∵cos Acos B =ba=sin Bsin A，∴可得：sin A cos A＝sin B cos B，可得：sin2A＝sin2B，∴可得：2A＝2B（舍去），或2A+2B＝π，∴C＝π−(A+B)=π2，∴c=√a2+b2=√7．…5分由（1）可知2A＝2B，或2A+2B＝π，当2A＝2B时，由sin C＝cos A＝sin(π2−A)，可得：C=π2−A，或C+(π2−A)＝π，①当C=π2−A时，又A＝B，联合可得A+C+B+C＝π，不合题意；②C+(π2−A)＝π时，又A＝B，代入A+B+C＝π，可得：A=π6C=2π3，当2A+2B＝π时，即A+B=π2，可得：C=π2，显然不符合条件sin C＝cos A，故舍去．综上可得：C=2π3．…12分【考点】正弦定理【解析】（1）利用正弦定理及二倍角的正弦函数公式化简已知等式可得sin2A＝sin2B，由题意可求2A+2B＝π，求得C=π2，利用勾股定理可求c的值．（2）由（1）可知2A＝2B，或2A+2B＝π，分类讨论利用三角形的内角和定理可求C的值．【解答】∵cos Acos B=ba=sin Bsin A，∴可得：sin A cos A＝sin B cos B，可得：sin2A＝sin2B，∴可得：2A＝2B（舍去），或2A+2B＝π，∴C＝π−(A+B)=π2，∴c=√a2+b2=√7．…5分由（1）可知2A＝2B，或2A+2B＝π，当2A＝2B时，由sin C＝cos A＝sin(π2−A)，可得：C=π2−A，或C+(π2−A)＝π，①当C=π2−A时，又A＝B，联合可得A+C+B+C＝π，不合题意；②C+(π2−A)＝π时，又A＝B，代入A+B+C＝π，可得：A=π6C=2π3，当2A+2B＝π时，即A+B=π2，可得：C=π2，显然不符合条件sin C＝cos A，故舍去．综上可得：C=2π3．…12分【点评】本题主要考查了正弦定理及二倍角的正弦函数公式，勾股定理，三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中档题．【答案】∵f(x)=√24sin(π3−x)+√64cos(π3−x)，=√24(√32cos x−12sin x)+√64(12cos x+√32sin x)，=√64cos x+√24sin x，=√22sin(x+π3)，∵x∈[π3, 3π2]，∴2π3≤x+π3≤11π6，∴−1≤sin(x+π3)≤√32，−√22≤√22sin(x+π3)≤√64，故函数的最大值√64，最小值−√24．∵cosθ=−45，θ∈(π, 3π2)，∴sinθ=−35，sin2θ＝2sinθcosθ=2425，∴ f(2θ+π3)=√22sin (2θ+2π3)=√22(−12sin 2θ+√32cos 2θ)=−√24×2425+√64×725=7√6−24√2100． 【考点】两角和与差的三角函数 【解析】（1）先利用和差角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解； （2）由已知结合同角平分关系及和差角公式进行化简即可求解． 【解答】 ∵ f(x)=√24sin (π3−x)+√64cos (π3−x)，=√24(√32cos x −12sin x)+√64(12cos x +√32sin x)， =√64cos x +√24sin x ， =√22sin (x +π3)，∵ x ∈[π3, 3π2]， ∴ 2π3≤x +π3≤11π6，∴ −1≤sin (x +π3)≤√32， −√22≤√22sin (x +π3)≤√64， 故函数的最大值√64，最小值−√24．∵ cos θ=−45，θ∈(π, 3π2)，∴ sin θ=−35，sin 2θ＝2sin θcos θ=2425，∴ f(2θ+π3)=√22sin (2θ+2π3)=√22(−12sin 2θ+√32cos 2θ)=−√24×2425+√64×725=7√6−24√2100． 【点评】本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了正弦函数的性质的应用． 【答案】证明：由a n ＝a n+1(1+2a n )(n ∈N ∗)， 可得a n −a n+1＝2a n a n+1， 则1an+1=1a n=2，所以数列{1a n}是首项为1，公差为2的等差数列；由（1）可得1a n=1+2(n −1)＝2n −1，即a n =12n−1，a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以a 1a 2+a 2a 3+...+a n a n+1=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1>1633，解得n >16，所以正整数n 的最小值为17． 【考点】数列的求和 数列递推式 【解析】 （1）由题意可得1an+1=1a n=2，结合等差数列的定义，即可得证；（2）运用等差数列的通项公式，可得a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，再由数列的裂项相消求和，结合不等式解法可得所求最小值． 【解答】证明：由a n ＝a n+1(1+2a n )(n ∈N ∗)， 可得a n −a n+1＝2a n a n+1， 则1an+1=1a n=2，所以数列{1a n}是首项为1，公差为2的等差数列；由（1）可得1a n=1+2(n −1)＝2n −1，即a n =12n−1，a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以a 1a 2+a 2a 3+...+a n a n+1=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1>1633，解得n >16，所以正整数n 的最小值为17．【点评】本题考查等差数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题． 【答案】证明：PB ⊥底面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，∴ PB ⊥CE ， ∵ 四边形ABCD 是矩形，E 是AD 中点，且AB ＝AE ＝2， ∴ DE ＝CD ＝2，∠BAE ＝∠CDE ＝90∘，∴ ∠BEA ＝∠CED ＝45∘，∴ ∠BEC ＝90∘，∴ CE ⊥BE ， ∵ PB ∩BE ＝B ，PB ，BE ⊂平面PBE ，∴ CE ⊥平面PBE ， ∵ CE ⊂平面PCE ，∴ 平面PCE ⊥平面PBE ． 由（1）知AB ＝AE ＝DE ＝CD ＝2，∵ ∠BAD ＝∠ADC ＝90∘，∴ BE ＝CE ＝2√2，且△CDE 的面积为2， ∵ PB ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，∴ PB ⊥BE ， ∵ PB ＝2，∴ PE =√4+8=2√3， ∵ CE ⊥平面PBE ，∴ CE ⊥PE ，∴ △PCE 的面积为2√6， 设点D 到平面PCE 的距离为d ，由V D−PCE ＝V P−CDE ，得13×2√6d =13×2×2，解得d=√63．∴点D到平面PCE的距离为√63．【考点】平面与平面垂直点、线、面间的距离计算【解析】（1）推导出PB⊥CE，CE⊥BE，从而CE⊥平面PBE，由此能证明平面PCE⊥平面PBE．（2）设点D到平面PCE的距离为d，由V D−PCE＝V P−CDE，能求出点D到平面PCE的距离．【解答】证明：PB⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD，∴PB⊥CE，∵四边形ABCD是矩形，E是AD中点，且AB＝AE＝2，∴DE＝CD＝2，∠BAE＝∠CDE＝90∘，∴∠BEA＝∠CED＝45∘，∴∠BEC＝90∘，∴CE⊥BE，∵PB∩BE＝B，PB，BE⊂平面PBE，∴CE⊥平面PBE，∵CE⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBE．由（1）知AB＝AE＝DE＝CD＝2，∵∠BAD＝∠ADC＝90∘，∴BE＝CE＝2√2，且△CDE的面积为2，∵PB⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PB⊥BE，∵PB＝2，∴PE=√4+8=2√3，∵CE⊥平面PBE，∴CE⊥PE，∴△PCE的面积为2√6，设点D到平面PCE的距离为d，由V D−PCE＝V P−CDE，得13×2√6d=13×2×2，解得d=√63．∴点D到平面PCE的距离为√63．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【答案】解：(1)根据题意，当0<x<90时，y=100x−(12x2+40x)−200=−12x2+60x−200；当x≥90时，y=100x−(101x+8100x−2180)−200=1980−(x+8100x)，∴y={−12x2+60x−200,0<x<90,1980−(x+8100x),x≥90.(2)①当0<x<90时，y=−12x2+60x−200=−12(x−60)2+1600≤1600，②当x≥90时，y=1980−(x+8100x)≤1980−2√x⋅8100x=1800>1600，当且仅当x=8100x，即x=90时，y取得最大值，最大值为1800万元．综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．【考点】函数解析式的求解及常用方法基本不等式在最值问题中的应用二次函数的性质【解析】（1）根据题意结合“利润＝销售收入-成本”，即可列出函数关系式；（2）利用二次函数性质及基本不等式，求出分段函数各段函数上的最大值即可求解．【解答】解：(1)根据题意，当0<x<90时，y=100x−(12x2+40x)−200=−12x2+60x−200；当x≥90时，y =100x −(101x +8100x −2180)−200=1980−(x +8100x)，∴ y ={−12x 2+60x −200,0<x <90,1980−(x +8100x),x ≥90.(2)①当0<x <90时， y =−12x 2+60x −200=−12(x −60)2+1600≤1600，②当x ≥90时， y =1980−(x +8100x) ≤1980−2√x ⋅8100x=1800>1600， 当且仅当x =8100x ，即x =90时， y 取得最大值，最大值为1800万元．综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．【点评】本题是一道关于分段函数的实际应用题，关键是熟练掌握二次函数的性质及基本不等式的应用，属于中档题．【答案】设数列{a n }的公差为d ，则{a 1+4d =43a 1+18d =18 ，解得{a 1=0d =1，所以a n ＝a 1+(n −1)d ＝n −1，对于数列{b n }，当n ＝1时，b 1＝S 1＝2b 1−1，所以b 1＝1．当n⩾2时，由S n ＝2b n −1，①可知S n−1＝2b n−1−1，②①-②得b n ＝2b n −2b n−1，即b n ＝2b n−1，故{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以b n =2n−1．设T n ＝a 1b 1+a 2b 2+...+a n b n ，由（1）知，当n ＝1时，T 1＝0，当n⩾2时，T n =1×21+2×22+⋯+(n −2)2n−2+(n −1)2n−1，③2T n =1×22+2×23+⋯+(n −2)2n−1+(n −1)2n ，④③-④得−T n =2+22+23+⋯+2n−1−(n −1)2n ， 所以−T n =2−2n 1−2−(n −1)2n =−(n −2)2n −2，所以T n =(n −2)2n +2，当n ＝1也符合该式，所以T n =(n −2)2n +2， 故题中不等式可化为 (n −2)2n ⩾(n −2)t ，(∗)当n ＝1时，不等式(∗)可化为−2⩾−t ，t⩾2； 当n ＝2时，不等式(∗)可化为0⩾0，此时 t ∈R ；当n ≥3时，不等式(∗)可化为t⩽2n ，因为数列{2n }是递增数列，所以t⩽8． 综上，实数t 的取值范围为[2, 8]． 【考点】 数列的求和 数列递推式【解析】（1）根据等差数列通项结合题意可以列方程求出a 1和d ，进而求出数列{a n }的通项公式，再利用当n ≥2时，b n ＝S n −S n−1求出数列{b n }的通项公式；（2）设T n ＝a 1b 1+a 2b 2+...+a n b n ，先求出T n ，当n ≥3时，原不等式等价于t⩽2n ，求出数列{2n }的最大值即可求解． 【解答】设数列{a n }的公差为d ，则{a 1+4d =43a 1+18d =18 ，解得{a 1=0d =1，所以a n ＝a 1+(n −1)d ＝n −1，对于数列{b n }，当n ＝1时，b 1＝S 1＝2b 1−1，所以b 1＝1．当n⩾2时，由S n ＝2b n −1，① 可知S n−1＝2b n−1−1，② ①-②得b n ＝2b n −2b n−1，即b n ＝2b n−1，故{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以b n =2n−1． 设T n ＝a 1b 1+a 2b 2+...+a n b n ， 由（1）知，当n ＝1时，T 1＝0， 当n⩾2时，T n =1×21+2×22+⋯+(n −2)2n−2+(n −1)2n−1，③2T n =1×22+2×23+⋯+(n −2)2n−1+(n −1)2n ，④③-④得−T n =2+22+23+⋯+2n−1−(n −1)2n ，所以−T n =2−2n1−2−(n −1)2n =−(n −2)2n −2， 所以T n =(n −2)2n +2，当n ＝1也符合该式，所以T n =(n −2)2n +2，故题中不等式可化为(n −2)2n ⩾(n −2)t ，(∗)当n ＝1时，不等式(∗)可化为−2⩾−t ，t⩾2；当n ＝2时，不等式(∗)可化为0⩾0，此时 t ∈R ；当n ≥3时，不等式(∗)可化为t⩽2n ，因为数列{2n }是递增数列，所以t⩽8．综上，实数t 的取值范围为[2, 8]．【点评】 本题考查数列通项的求法，通项与前n 项和之间的关系，错位相减法求和，不等式转化，数列的单调性，主要考查学生的转化能力与计算能力，属于中档题．。
安徽省宣城市2019-2020学年高一下学期期末数学文(解析版)
故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ．
（2）因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，
所以
．
【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最值的求解，考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了两角差了正弦公式，属于中档题.
19.数列 满足 ， ．
（1）求证：数列 是等差数列；
11.设 是数列 的前 项和，且 ，则 的通项公式为 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 结合 即可求出 和 ，通过构造法即可求出通项公式.
【详解】当 时， ，解得 ；当 时， ．
∴ ，∴ ．∵ ，∴ ，
∴ ．
故选:C．
【点睛】本题考查了数列通项公式的求解，考查了 的递推关系求通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了构造法求数列的通项公式，属于中档题.
6.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）
A. B. C.10D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三视图得出空间几何体的直观图，结合三角形、矩形和梯形的面积公式，即可求解.
【详解】由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体，如图所示，
则
．
故选：D．
4.关于 的不等式 的解集为（）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
不等式转化为 ，再根据两个根的大小关系，解不等式.
【详解】由 ，即
不等式对应方程的两个根 ，所以不等式的解集是 .
故选：A．
【点睛】本题考查含参不等式的解法，重点考查计算能力，属于基础题型，本题的易错点是当 时，两边同时除以 时，不要忽略变号.
2023-2024学年安徽省宣城市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．设不同的直线l 1：2x ﹣my ﹣1＝0，l 2：x ﹣2y +1＝0，若l 1∥l 2，则m 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．42．数列{a n }满足a n+1=11−a n ，a 1＝3，则a 2024＝（ ） A ．−52B ．23C ．−12D ．33．直线l 过圆C ：（x +3）2+y 2＝4的圆心，并且与直线x +y +2＝0垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．x +y ﹣2＝0B ．x ﹣y +2＝0C ．x +y ﹣3＝0D ．x ﹣y +3＝04．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则FG →=（ ） A ．13AB →−23AC →−12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→5．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 3＝4，a 4+a 5+a 6＝8，则S 9S 6=（ ） A ．2B ．73C ．53D ．376．已知直线l 经过点A （﹣1，1，1）和点B （1，﹣1，1），下列点P 在直线l 上的是（ ） A ．P （3，﹣3，1） B ．P （﹣2，3，1） C ．P （1，﹣3，1） D ．P （3，3，1）7．如图，在两条异面直线a ，b 上分别取点A '，E 和点A ，F ，使AA '⊥a ，且AA '⊥b ．已知AA '＝6，A ′E ＝3，AF ＝4，EF ＝7，则异面直线a ，b 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将△ABC 的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan A +3tan B +2tan C ＝0，则椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．√33C ．23D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(−2√2，0)，F 2(2√2，0)，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为x 2﹣y 2＝4，则条件p 可以是（ ） A ．实轴长为4 B ．双曲线C 为等轴双曲线 C ．离心率为√22D ．渐近线方程为y ＝±x10．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0．则下列命题中正确的有（ ）A ．直线l 恒过定点（3，1）B ．圆C 被y 轴截得的弦长为4 C ．直线l 与圆C 恒相离D ．直线l 被圆C 截得最短弦长时，直线l 的方程为2x ﹣y ﹣5＝0 11．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3=152，则（ ） A ．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣4 B ．数列{a n }的公差为−12C ．数列{a n }的前n 项和为S n =−n 2+13n4D ．数列{|a n |}的前20项和为56 12．已知四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则（ ）A ．侧棱CC 1上一点E ，满足C 1E C 1C =13，则A 1B ∥面AD 1EB ．若E 为CC 1的中点，过A ，D 1，E 的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为3：5C ．DA →+BB 1→+12DC →=DA 1→D ．设DB 1与面AD 1C 的交点为O ，则DOOB 1=21三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 77−S 33=4，则a 5﹣a 3＝ ．14．圆x 2+y 2＝1与圆（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝25的公共弦长等于 ．15．在空间直角坐标系中，已知向量u →=(1，1，1)，点P 0（1，1，1），点P （x ，y ，z ）．若平面α经过点P 0，且以u →为法向量，P 是平面α内的任意一点，则点P 的坐标满足的关系式为 ． 16．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆O ：x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则|MF |+2|NF |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n +2＝2a n +1﹣a n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{2a n a n+1}的前n 项和S n ． 18．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1＝2，∠ABC ＝90°，M 是BC 的中点． （1）求证：A 1B ∥面AMC 1； （2）求点A 1到平面AMC 1的距离．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点E 满足|EF 1|﹣|EF 2|＝2，记E 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）若过点F 2的直线l 与C 交于M 、N 两点，且MF 2→=2F 2N →，求直线l 的方程．20．（12分）如图，在五面体ABCDE 中，已知AC ⊥BD ，AC ⊥BC ，ED ∥AC ，且AC ＝BC ＝2ED ＝2，DC =DB =√3．（1）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（2）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39，若存在，求BFBC的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知正项数列{a n}中，√a1+√a2+⋯+√a n=n(n+1)2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n={√a n，n为奇数n⋅2√a n，n为偶数，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0）分别是椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1⊥F1F2时，|PF2|＝3|PF1|．（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C的上下顶点分别为A，B，过点（0，3）且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，证明：直线BM与AN的交点G在定直线上，并求出该定直线的方程．2023-2024学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．设不同的直线l 1：2x ﹣my ﹣1＝0，l 2：x ﹣2y +1＝0，若l 1∥l 2，则m 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4解：因为两条直线平行，所以21=−m −2≠−11，解得m ＝4．故选：D ．2．数列{a n }满足a n+1=11−a n，a 1＝3，则a 2024＝（ ） A ．−52B ．23C ．−12D ．3解：由题可知，a 2=11−a 1=11−3=−12，a 3=11−a 2=11−(−12)=23，a 4=11−a 3=11−23=3=a 1， ∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，∴a 2024=a 2+3×674=a 2=−12．故选：C ．3．直线l 过圆C ：（x +3）2+y 2＝4的圆心，并且与直线x +y +2＝0垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．x +y ﹣2＝0B ．x ﹣y +2＝0C ．x +y ﹣3＝0D ．x ﹣y +3＝0解：由（x +3）2+y 2＝4可知圆心为（﹣3，0）， 又因为直线l 与直线x +y +2＝0垂直， 所以直线l 的斜率为k ＝1， 由点斜式得直线l ：y ﹣0＝x +3， 化简得直线l 的方程是x ﹣y +3＝0． 故选：D ．4．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则FG →=（ ） A ．13AB →−23AC →−12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→解：如图所示：由于AG →=2GE →，故FG →−FA →=2(FE →−FG →)，整理得3FG →=2FE →+FA →；故FG →=13AB →−23AC →−12AA 1→．故选：A ．5．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 3＝4，a 4+a 5+a 6＝8，则S 9S 6=（ ） A ．2B ．73C ．53D ．37解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若S 3＝4，则有a 4+a 5+a 6＝q 3（a 1+a 2+a 3）＝q 3×S 3＝8，变形可得q 3＝2，则S 9S 6=a 1(1−q 9)1−q a 1(1−q 6)1−q=1−q 91−q 6=73． 故选：B ．6．已知直线l 经过点A （﹣1，1，1）和点B （1，﹣1，1），下列点P 在直线l 上的是（ ） A ．P （3，﹣3，1） B ．P （﹣2，3，1） C ．P （1，﹣3，1） D ．P （3，3，1） 解：点A （﹣1，1，1），点B （1，﹣1，1），则AB →=(2，−2，0)，对于A ，AP →=(4，−4，0)，则AP →=2AB →，且有公共点A ，故点P 在直线l 上，故A 正确； 对于B ，AP →=（﹣1，2，0），不存在实数λ，使得AP →=λAB →，故点P 不在直线l 上，故B 错误； 对于C ，AP →=（2，﹣4，0），不存在实数λ，使得AP →=λAB →，故点P 不在直线l 上，故C 错误； 对于D ，AP →=（4，2，0），不存在实数λ，使得AP →=λAB →，故点P 不在直线l 上，故D 错误． 故选：A ．7．如图，在两条异面直线a ，b 上分别取点A '，E 和点A ，F ，使AA '⊥a ，且AA '⊥b ．已知AA '＝6，A ′E ＝3，AF ＝4，EF ＝7，则异面直线a ，b 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：如图，过点A 作直线a ′∥a ，过点E 作EB ∥AA ′，交直线a 于点B ，连接BF ，由AA ′⊥a ，a ′∥a ，得AA ′⊥a ′，结合AA ′⊥b ，且a ′、b 是平面ABF 内的相交直线，可得AA ′⊥平面ABF ，而EB ∥AA ′，所以EB ⊥平面ABF ，结合BF ⊂平面ABF ，可得EB ⊥BF ． 根据题意得BE ＝AA ′＝6，EF ＝7，在Rt △EBF 中，FB =√EF 2−BE 2=√13， 设异面直线a 、b 所成的角为θ，则∠BAF ＝θ，由AB ＝A ′E ＝3，根据余弦定理得cosθ=AB 2+AF 2−FB 22AB×AF =9+16−1324=12，结合0＜θ＜π2，可得θ=π3，即异面直线a 、b 所成的角为π3．故选：C ．8．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将△ABC 的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan A +3tan B +2tan C ＝0，则椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．√33C ．23D ．√63解：因为3tan A +3tan B +2tan C ＝0可得3sinA cosA +3sinB cosB =2×sin(A+B)cos(A+B)，即3(sinAcosB+sinBcosA)cosAcosB=2×sin(A+B)cos(A+B)，而在三角形中，sin A cos B +cos A sin B ＝sin （A +B ）≠0，所以上式可得3cos （A +B ）﹣2cos A cos B ＝0 而cos （A +B ）＝cos A cos B ﹣sin A sin B ，所以可得cos A cos B ＝3sin A sin B ，即tan A •tan B =13，由题意可得A （﹣a ，0），B （a ，0），设C （x 0，y 0），可得x02a2+y02b2=1，由双曲线的对称性设C在第一象限，如图所示：在△ACD中，tan A=y0x0+a，在△ABD中，tan B=y0a−x0，所以tan A•tan B=y0x0+a•y0a−x0=y02a2−x02=b2(1−x02a2)a2−x02=b2a2，所以可得b2a2=13，所以离心率e=ca=√1−b2a2=√1−13=√63．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知双曲线C的两个焦点分别为F1(−2√2，0)，F2(2√2，0)，且满足条件p，可以解得双曲线C的方程为x2﹣y2＝4，则条件p可以是（）A．实轴长为4B．双曲线C为等轴双曲线C．离心率为√22D．渐近线方程为y＝±x解：设该双曲线标准方程为x2a2−y2b2=1，则c=2√2，对于A选项，若实轴长为4，则a＝2，∴b2＝c2﹣a2＝4，符合题意；对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a＝b，又c=2√2，a2+b2＝c2＝8，可解得a2＝b2＝4，符合题意；对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D选项，若渐近线方程为y＝±x，则a＝b，结合a2+b2＝c2＝8，可解得a2＝b2＝4，符合题意，故选：ABD．10．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．则下列命题中正确的有（）A．直线l恒过定点（3，1）B．圆C被y轴截得的弦长为4C．直线l与圆C恒相离D．直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为2x﹣y﹣5＝0解：将直线l的方程整理为（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）＝0，令{x+y−4=02x+y−7=0，解得{x=3y=1，则无论m 为何值，直线l 过定点D （3，1），故A 正确；令x ＝0，则（y ﹣2）2＝24，解得y =2±2√6，故圆C 被y 轴截得的弦长为4√6，故B 错误； 因为（3﹣1）2+（1﹣2）2＝5＜25，所以点D 在圆C 的内部，直线l 与圆C 相交，故C 错误；圆心C （1，2），半径为5，|CD|=√5，当截得的弦长最短时，l ⊥CD ，k CD =−12，则直线l 的斜率为2，此时直线l 的方程为y ﹣1＝2（x ﹣3），即2x ﹣y ﹣5＝0，故D 正确． 故选：AD ．11．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3=152，则（ ） A ．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣4 B ．数列{a n }的公差为−12C ．数列{a n }的前n 项和为S n =−n 2+13n4D ．数列{|a n |}的前20项和为56 解：由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 3=a 1+2d =2S 3=3a 1+3×22d =152，化简整理，得{a 1+2d =22a 1+2d =5，解得{a 1=3d =−12，故选项B 正确； ∴a n ＝3−12•（n ﹣1）=−12n +72，故选项A 错误；S n ＝3n +n(n−1)2•（−12）=−n 2+13n4，故选项C 正确； ∵令a n ＞0，即−12n +72＞0，解得n ＜7，令a n ＝0，即−12n +72=0，解得n ＝7，令a n ＜0，即−12n +72＜0，解得n ＞7，∴|a n |={a n ，n ≤7−a n ，n ＞7，∴数列{|a n |}的前20项和为：|a 1|+|a 2|+…+|a 20| ＝a 1+a 2+…+a 7﹣a 8﹣a 9﹣…﹣a 20 ＝a 1+a 2+…+a 7﹣（a 8+a 9+…+a 20） ＝S 7﹣（S 20﹣S 7） ＝2S 7﹣S 20＝2×−72+13×74−−202+13×204＝56，故选项D 正确．故选：BCD ．12．已知四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则（ ）A ．侧棱CC 1上一点E ，满足C 1EC 1C =13，则A 1B ∥面AD 1EB ．若E 为CC 1的中点，过A ，D 1，E 的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为3：5C ．DA →+BB 1→+12DC →=DA 1→D ．设DB 1与面AD 1C 的交点为O ，则DOOB 1=21解：对于A ，连结D 1E ，并延长交DC 于F ，CF ＝4，连AF 交BC 于G 点，则G 为BC 中点，连D 1G ， 由四棱台的结构可知A 1D 1∥AD ，AD ∥BC ，所以A 1D 1∥BG ，A 1D 1＝BG ， 所以四边形A 1BGD 1为平行四边形，A 1B ∥D 1G ，又因为A 1B ⊄平面AD 1E ，D 1G ⊂平面AD 1E ，所以A 1B ∥面AD 1E ，选项A 正确； 对于B ，设四棱台的高为h ，若E 为CC 1中点，则CF ＝2，CG =13CB ，V 多面体ACDD 1EG =V 三棱锥D 1−AEF −V 三棱锥E ﹣CGF =13×12×4×6•h −13×12×43×2•12h =349h ， V 四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1=13(16+4+8)⋅ℎ=283ℎ，所以V 上=283ℎ−349ℎ=509ℎ，所以V 小V 大=1725，选项B 错误；对于C ，DA →+BB 1→+12DC →=DA →+BA →+AA 1→+A 1B 1→+12DC →=DA →+BA →+AA 1→+DC →=DA →+AA 1→=DA 1→，选项C 正确；对于D ，连接AC 、BD 交于点P ，连接D 1P ，B 1D 1，由四棱台的结构特征可得B 1D 1∥BP ，B 1D 1＝BP ， 所以四边形BPD 1B 1为平行四边形，所以BB 1∥D 1P又BB 1⊄平面AD 1C ，D 1P ⊂平面AD 1C ，所以BB 1∥平面AD 1C ， 所以V B 1−AD 1C =V B−AD 1C =V D 1−ABC ，V D−AD 1C =V D 1−ADC ，所以V D 1−ABC =V D 1−ADC ，所以点D 、B 1到平面AD 1C 的距离相等，设直线DB 1与面AD 1C 所成角为θ，则sinθ=ℎDDO =ℎB 1OB 1，所以DO ＝OB 1，选项D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 77−S 33=4，则a 5﹣a 3＝ 4 ．解：因为等差数列{a n }中，S n n=a 1+(n−1)d2，又S 77−S 33=4，所以a 1+3d ﹣a 1﹣d ＝2d ＝4，即d ＝2，则a 5﹣a 3＝2d ＝4．故答案为：4．14．圆x 2+y 2＝1与圆（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝25的公共弦长等于 √2 ． 解：圆x 2+y 2＝1与圆（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝25的方程相减得：x +y ﹣1＝0， 由圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0），半径r 为1， 且圆心（0，0）到直线x +y ﹣1＝0的距离d =1√2，则公共弦长为2√1−12=√2．故答案为：√2．15．在空间直角坐标系中，已知向量u →=(1，1，1)，点P 0（1，1，1），点P （x ，y ，z ）．若平面α经过点P 0，且以u →为法向量，P 是平面α内的任意一点，则点P 的坐标满足的关系式为 x +y +z ﹣3＝0 ． 解：根据题意，点P 0（1，1，1），点P （x ，y ，z ）．P 0P →=（x ﹣1，y ﹣1，z ﹣1），平面α经过点P 0，且以u →为法向量，则有u →•P 0P →=1×（x ﹣1）+1×（y ﹣1）+1×（z ﹣1）＝x +y +z ﹣3＝0．故点P 的坐标满足的关系式为x +y +z ﹣3＝0． 故答案为：x +y +z ﹣3＝0．16．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆O ：x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则|MF |+2|NF |的最小值为 3+2√2 ．解：由抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆O ：x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，得到第一象限交点（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，所以22＝2p，解得p＝2，所以C：y2＝4x，则F（1，0），设直线l：x＝my+1，与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以|MN|=√1+m2|y1−y2|=√1+m2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=4(1+m2)，由抛物线的定义，1|MF|+1|NF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=m(y1+y2)+4(y1y2)216+m(y1+y2)+3=4m2+44m2+4=1，所以|MF|+2|NF|＝（|MF|+2|NF|）（1|MF|+1|NF|）＝3+2|NF||MF|+|MF||NF|≥3+2√2，当且仅当|MF|=1+√2，|NF|=1+√22时等号成立．故答案为：3+2√2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，a n+2＝2a n+1﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{2a n a n+1}的前n项和S n．解：（1）因为a n+2＝2a n+1﹣a n，所以a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n，故数列{a n}为等差数列，设数列{a n}的公差为d，又因为a1＝1，a2＝3，即1+d＝3，解得公差d＝2，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）记b n=2a n a n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，S n=b1+b2+b3+⋯+b n=(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)=1−12n+1=2n2n+1．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1＝2，∠ABC＝90°，M是BC的中点．（1）求证：A1B∥面AMC1；（2）求点A1到平面AMC1的距离．解：（1）证明：连接A 1C ，交AC 1于O ，连接OM ， 在△A 1BC 中，OM 是三角形 A 1BC 的中位线， ∴OM ∥A 1B ，又∵OM ⊂平面 AMC 1，∴A 1B ∥平面 AMC 1． （2）∵ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，且∠ABC ＝90°， ∴BA ，BC ，BB 1 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），C （，2，0，0），A （0，2，0），M （1，0，0），C （2，0，1），B 1（0，0，1），A 1（0，2，1），设平面AMC 1的法向量为 n →=(x ，y ，z)，AA 1→=(0，0，1)，AM →=(1，−2，0)，C 1M →=(−1，0，−1)， ∴{n →⋅C 1M →=x −2y =0n →⋅AM →=−x −z =0，令x ＝2，得n →=(2，1，−2)，AA 1→=(0，0，1)，设点A 1到平面AMC 1的距离为d ， 则点A 1到平面AMC 1的距离为d =|AA 1→⋅n →||n →|=|0×2+0×1+1×(−2)|√4+1+4=23． 19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点E 满足|EF 1|﹣|EF 2|＝2，记E 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）若过点F 2的直线l 与C 交于M 、N 两点，且MF 2→=2F 2N →，求直线l 的方程． 解：（1）因为|EF 1|﹣|EF 2|＝2， 又F 1（﹣2，0），F 2（2，0），所以点E 的轨迹是F 1，F 2为焦点的双曲线右支， 此时2c ＝4，2a ＝2，解得a ＝1，c ＝1，则b 2＝c 2﹣a 2＝3， 故C 的方程为x 2−y 23=1(x ≥1)； （2）易知直线l 的斜率不为0，不妨设直线l 的方程为x ＝my +2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =my +2x 2−y 23=1，消去x 并整理得（3m 2﹣1）y 2+12my +9＝0，此时3m 2﹣1≠0， 由韦达定理得y 1+y 2=−12m 3m 2−1，y 1y 2=93m 2−1， 因为MF 2→=2F 2N →，所以（2﹣x 1，﹣y 1）＝2（x 2﹣2，y 2），解得﹣y 1＝2y 2， 所以y 2=12m 3m 2−1且−2y 22=93m 2−1， 即−2×144m 2(3m 2−1)2=93m 2−1，解得m =±√3535． 故直线l 的方程为35x ±√35y −70=0．20．（12分）如图，在五面体ABCDE 中，已知AC ⊥BD ，AC ⊥BC ，ED ∥AC ，且AC ＝BC ＝2ED ＝2，DC =DB =√3．（1）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（2）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39，若存在，求BFBC的值；若不存在，说明理由．（1）证明：∵AC ⊥BD ，AC ⊥BC ，BC ∩BD ＝B ，∴AC ⊥平面BCD ， ∵ACC 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ， 取BC 的中点O ，AB 的中点H ，连接OD 、OH 、EH ， ∵BD ＝CD ，∴DO ⊥BC ，又DO ⊂平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD ，平面BCD ∩平面ABC ＝BC ，∴DO ⊥平面ABC ，又OH ∥AC ，OH =12AC ，DE ∥AC ，DE =12AC ，∴OH ∥DE 且OH ＝DE ，∴四边形OHED 为平行四边形，∴EH ∥OD ， ∵DO ⊥面ABC ，∴EH ⊥平面ABC ， 又∵EH ⊂面ABE ，∴平面ABC ⊥平面ABC ． （2）解：∵AC ⊥BC ，OH ∥AC ，则OH ⊥BC ， ∵OD ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，OH 、OB 、OD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A （2，﹣1，0）、B （0，1，0）、C （0，﹣1，0）、E(1，0，√2)、H （1，0，0）， HE →=(0，0，√2)，AB →=(−2，2，0)，设平面ABE 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m ⋅HE →=√2z 1=0m →⋅AB →=−2x 1+2y 1=0，取x 1＝1，则y 1＝1，z 1＝0，可得平面ABE 的法向量为m →=(1，1，0)， 设在线段BC 上存在点F （0，t ，0）（﹣1≤t ≤1）， 使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39， 设平面AEF 的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)， AF →=(−2，t +1，0），AE →=(−1，1，√2)， 由{n →⋅AF →=−2x 2+(t +1)y 2=0AE →=−x 2+y 2+√2z 2=0，取x 2=√2(t +1），y 2＝2√2，z 2＝t ﹣1，可得平面AEF 的法向量为n →=(√2(t +1)，2√2，t −1)， 由题意可得|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√2(t+3)|√2⋅√(3t +2t+11=5√39，整理可得3t 2﹣7t +2＝0，解得t =13或t ＝2（舍去），∴F(0，13，0)，则BF =23，∴BF BC =13，综上所述：在线段BC 上存在点F ，满足BFBC =13，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39． 21．（12分）已知正项数列{a n }中，√a 1+√a 2+⋯+√a n =n(n+1)2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记b n ={√a n ，n 为奇数n ⋅2√a n ，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）因为√a 1+√a 2+⋯+√a n =n(n+1)2， 所以√a 1+√a 2+...+√a n−1=n(n−1)2（n ≥2）， 两式相减有√a n =n(n ≥2)，即a n =n 2(n ≥2)， 因为√a 1+√a 2+⋯+√a n =n(n−1)2， 令n ＝1有√a 1=1， 所以a 1＝1，满足上式， 所以a n =n 2(n ∈N ∗)；（2）由（1）得b n ={n ，n 为奇数n ⋅2n，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝1+2×22+3+4×24+…+（n ﹣1）+n •2n ＝[1+3+…（n ﹣1）]+（2×22+4×2++…+n •2n ）， 令A ＝1+3+…+（n ﹣1），则A =n2(1+n−1)2=n 24； 令B ＝2×22+4×24+⋯+n •2n ，所以4B ＝2×24+4×26+⋯+n •2n +2， 两式相减得，﹣3B ＝2×22+2×24+2×26+…+2•2n﹣n •2n +2=8−8⋅2n−3−n ⋅2n+2，所以B =89−89⋅2n +n 3⋅2n+2， 所以T n ＝A +B =n 24+89+12n−89•2n；当n 为奇数时，T n ＝T n ﹣1+b n =(n−1)24+89+12n−209•2n ﹣1+n =(n+1)24+89+3n−59•2n +1；所以T n ={(n+1)24+89+3n−59⋅2n+1，n 为奇数n 24+89+12n−89⋅2n，n 为偶数．22．（12分）已知F 1（﹣2，0），F 2（2，0）分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，当PF 1⊥F 1F 2时，|PF 2|＝3|PF 1|． （1）求椭圆C 的方程；（2）记椭圆C 的上下顶点分别为A ，B ，过点（0，3）且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程． （1）解：易知|PF 1|+|PF 2|＝2a ， 因为|PF 2|＝3|PF 1|，所以|PF 1|=a 2，|PF 2|=3a2，①因为PF 1⊥F 1F 2，所以|PF 1|2+|F 1F 2|2=|PF 2|2，② 联立①②， 解得a 2＝8， 则b 2＝a 2﹣c 2＝4， 故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1；（2）证明：由（1）知A （0，2），B （0，﹣2），直线MN 的方程为y ＝kx +3， 不妨设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y =kx +3x 28+y 24=1，消去y 并整理得（1+2k 2）x 2+12kx +10＝0，此时Δ＝64k 2﹣40＞0， 由韦达定理得x 1+x 2=−12k 1+2k 2，x 1x 2=101+2k2， 因为直线AN 的方程为y −2=y 2−2x 2x ，直线BM 的方程为y +2=y 1+2x 1x ， 联立{y −2=y 2−2x 2xy +2=y 1+2x 1x，此时y−2y+2=(y 2−2)x 1(y 1+2)x 2=(kx 2+3−2)x 1(kx 1+3+2)x 2=kx 1x 2+x 1kx 1x 2+5x 2=kx 1x 2+x 1+x 2−x 2kx 1x 2+5x 2=kx 1x 2+(x 1+x 2)−x 2kx 1x 2+5x 2，因为x 1+x 2=−12k 1+2k 2，x 1x 2=101+2k2， 所以k101+2k 2+(−12k1+2k 2)−x 2k 101+2k 2+5x 2=−15，解得y =43，故直线BM 与AM 的交点G 在定直线y =43上．。
安徽省宣城市2019-2020学年高二上学期期末文科数学试题(word无答案)
安徽省宣城市2019-2020学年高二上学期期末文科数学试题一、单选题(★) 1 . 为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高大约为( )A．1.57 m B．1.56 m C．1.55 m D．1.54 m(★) 2 . 从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合子集的概率是（）A．B．C．D．(★) 3 . 是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★) 4 . 从一批产品中取出三件产品，设事件 A为“三件产品全不是次品”，事件 B为“三件产品全是次品”，事件 C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A．B与C互斥B．任何两个均互斥C．A与C互斥D．任何两个均不互斥(★) 5 . 甲、乙两名篮球运动员10场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两名运动员得分数据的中位数之差的绝对值是（）A．0B．1C．2D．3(★) 6 . 已知椭圆 C的中心在原点，焦点在 y轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为（）A ．B ．C ．D ．(★) 7 . 下列命题中正确的是（） A ．“”是“”的充分条件B ．命题“，”的否定是“，”.C ．使函数是奇函数D ．设p ，q 是简单命题，若是真命题，则也是真命题(★) 8 . 设双曲线的左，右焦点分别为 ， ，直线 与双曲线的其中一条渐近线交于点 P ，则的面积是（）A ．B ．C ．D ．(★) 9 . 《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“益”卦，符号“ ”表示的十进制数是（）A．49B．50C．81D．97(★) 10 . 图中给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）.A．B．C．D．(★★) 11 . 已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点 P为和的一个公共点，且，若，则的值是（）A．B．C．D．(★★) 12 . 已知函数与函数，的图象上恰有两对关于 x 轴对称的点，则实数 m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 如图风筝图案中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为_________.(★★) 14 . 若，，…，这20个数据的平均数为，方差为0.21，则，，…，，这21个数据的方差为__________．(★) 15 . 过抛物线的焦点 F作斜率等于的直线与抛物线 C交于两点，则_________.A．B(★★) 16 . 已知 c＞0，设命题 p：函数 y＝ c x为减函数.命题 q：当x∈ 时，函数 f( x)＝ x＋恒成立.如果“ p∨ q”为真命题，“ p∧ q”为假命题，则 c的取值范围是 ________ . 三、解答题(★★) 17 . 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度051015 Array热饮杯数1571271077237（1）求y关于x的线性回归直线方程；（2）如果某天的气温是，预测这天卖出的热饮杯数（四舍五入，取整数）.附：对于线性回归直线方程，其中，，(★★) 18 . 某校从参加某次知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛的均分；（2）如果确定不低于85分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进人复赛；（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20的概率.(★) 19 . 已知抛物线上的点到焦点 F的距离为.（1）求的值；（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程. (★★) 20 . 已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）求的单调区间.(★★) 21 . 设椭圆的离心率为，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为.（1）求椭圆 E的方程；（2）过椭圆 E的右焦点作直线与 E交于 A， B两点， O为坐标原点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.(★★) 22 . 已知函数在点处的切线方程为.（1）求实数 a， b的值；（2）若过点可做曲线的三条切线，求实数 m的取值范围.。
2019-2020学年高二第一学期期末统考数学试卷(文科)(解析版)
2019-2020学年高二第一学期期末统考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.将圆平分的直线是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：将圆的方程化为标准方程得：，可得出圆心坐标为，将，代入A选项得：，故圆心不在此直线上；将，代入B选项得：，故圆心不在此直线上；将，代入C选项得：，故圆心在此直线上；将，代入D选项得：，故圆心不在此直线上，则直线将圆平分．故选：C．将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．2.设命题p：，，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：，，则￢为：，．故选：B．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．3.下列四个结论：两条直线和同一个平面垂直，则这两条直线平行；两条直线没有公共点，则这两条直线平行；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；一条直线和一个平面内任意直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】解：两条直线都和同一个平面垂直，则这两条直线平行，根据线面垂直的性质，可得正确；两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故错误；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，故错误；一条直线和一个平面内任意直线直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行，故正确．故选：C．在中，根据线面垂直的性质，可得正确；在没有公共点的两条直线平行或异面；在中，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面；根据线面平行的定义可以判断．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4.若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设扇形的圆心角为，则扇形的面积为、半径为1，，，故选：B．利用扇形的面积公式，即可求得结论．本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．5.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是，点在双曲线方程上，所以，，故所求的双曲线方程是，故选：B．设所求的双曲线方程是，由点在双曲线方程上，求出k值，即得所求的双曲线方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是，属于基础题．6.一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是，剩余部分的表面积，故选：B．根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．7.已知点，，是抛物线上的三点，其中，则，，大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：点，，是抛物线上的三点，其中，．在上是减函数，，，，故有，故选：A．由题意利用对数函数的单调性可得，从而得出．本题主要考查对数函数的单调性，属于基础题．8.设x，，，，且，则点到点的最短距离是A. 2B. 3C.D.【答案】D【解析】解：，，即，．点到点的距离为．故选：D．根据得出x，y的关系，代入两点间的距离公式，配方得出答案．本题考查了平面向量的数量积运算，两点间的距离公式，属于中档题．9.入射光线l从出发，经x轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意利用反射定律可得，点Q关于x轴的对称点在入射光线所在的直线上，故入射光线l所在直线的方程为：，化简可得，故选：D．求得点Q关于x轴的对称点的坐标，再用两点式求得入射光线所在的直线的方程．本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用两点式求直线的方程，属于中档题．10.“，”是“数列为等比数列”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若，则满足，但数列不是等比数列，即充分性不成立，反之若数列为等比数列，则，，成立，即必要性不成立，即“，”是“数列为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的性质是解决本题的关键．11.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设BC的中点为D，连接D、AD、，易知即为异面直线AB与所成的角；并设三棱柱的侧棱与底面边长为1，则，，，由余弦定理，得．故选：D．首先找到异面直线AB与所成的角如；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出的长度即可；不妨设三棱柱的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．12.已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则的面积为A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】解：抛物线C：的焦点为，准线为设，过A点向准线作垂线AB，则，又由得，即，解得的面积为故选：B．根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设，过A 点向准线作垂线AB，则，根据及，进而可求得A点坐标，进而求得的面积．本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在中集中条件求出是关键；二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为______．【答案】【解析】解：圆锥侧面展开图是一个圆心角为半径为3的扇形圆锥的母线长为，底面周长即扇形的弧长为，底面圆的半径，可得底面圆的面积为又圆锥的高故圆锥的体积为，故答案为：．由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为，半径为3的扇形，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求同底面的半径r，求出底面圆的面积，再由求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积．本题考查弧长公式及旋转体的体积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力．14.直线l垂直于，且平分圆C：，则直线l的方程为______．【答案】【解析】解：根据题意，直线l垂直于，设直线l的方程为，圆C：的圆心C为，若直线l平分圆C：，则直线l经过圆心C，则有，解可得；则直线l的方程为；故答案为：．根据题意，设直线l的方程为，分析圆C的圆心，分析可得直线l经过圆心C，则有，解可得m的值，将m的值代入直线l的方程，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意直线平分圆的含义，属于基础题．15.已知的三个顶点在以O为球心的球面上，且，，，三棱锥的体积为，则球O的表面积为______．【答案】【解析】解：中，，，由勾股定理可知斜边AC的中点就是的外接圆的圆心，三棱锥的体积为，，，球O的表面积为．故答案为：．确定斜边AC的中点就是的外接圆的圆心，利用三棱锥的体积，求出O到底面的距离，求出球的半径，然后求出球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．16.椭圆C：的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若，，则椭圆C的离心率为______．【答案】【解析】解：不妨设点P在第一象限，由对称性可得，，在中，，，，代入椭圆方程得：，，整理得，离心率．故答案为：．设点P在第一象限，由对称性可得，推导出，，由此能求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：，，命题q：点在圆的内部．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．【答案】解：命题p为真命题，：，恒成立，，解得．所以实数m的取值范围是．命题“p或q”为假命题，与q都为假命题，当q为真命题时，，解得，为假命题时或，由知，p为假命题时：．从而，解得或．或所以实数m的取值范围为．【解析】命题p为真命题，由，恒成立，可得，解得实数m的取值范围．由命题“p或q”为假命题，可得p与q都为假命题，进而得出实数m的取值范围．本题考查了不等式的性质与解法、充要条件的判定方法、点与圆的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段，BD的中点．求证：平面；四棱柱的外接球的表面积为，求异面直线EF与BC所成的角的大小．【答案】解：连接，在中，E、F分别为线段、BD的中点，为中位线，，面，面，平面；由知，故即为异面直线EF与BC所成的角，四棱柱的外接球的表面积为，四棱柱的外接球的半径，设，则，解得，在直四棱柱中，平面，平面，，在中，，，，，则，异面直线EF与BC所成的角为．【解析】连接，由中位线定理证明，由线面平行的判定定理证明平面；由和异面直线所成角的定义，得异面直线EF与BC所成的角是，由题意和球的表面积公式求出外接球的半径，由勾股定理求出侧棱的长，由直四棱柱的结构特征和线面垂直的定义，判断出，在中求出，求出可得答案．本题考查了异面直线所成角的定义以及求法，线面平行的判定定理，球的表面积公式，以及直四棱柱的结构特征，属于中档题．19.已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，．求圆的标准方程；直线l过点且与圆C相交，所得弦长为4，求直线l的方程．【答案】解：设圆心为M，则M应在AB的中垂线上，其方程为，由，即圆心M坐标为又半径，故圆的方程为．点在圆内，且弦长为，故应有两条直线符合题意，此时圆心到直线距离．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线距离为1，符合题意．当直线的斜率存在时，设其斜率为k，直线方程为整理为，则圆心到直线距离为解得，直线方程为综上，所求直线方程为或．【解析】根据题意，设圆心为M，分析可得圆心再直线和上，解可得圆心的坐标，进而可得r的值，由圆的标准方程计算可得答案；根据题意，求出圆心到直线的距离，分2种情况讨论：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，当直线的斜率存在时，设其斜率为k，直线方程为，由直线与圆的方程可得k的值，综合2种情况即可得答案．本题考查直线与圆的方程以及应用，关键是求出圆M的方程，属于基础题．20.已知，动点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，动点Q满足：．求动点Q的轨迹E的方程；过点且斜率为k的直线交轨迹E于A，B两点，M点的坐标为，设直线MA，MB的斜率分别为和，求的值．【答案】解：设点，由，则点，将点代入得．动点Q的轨迹E的方程为．设过点N的直线方程为，，联立，得，则，．，，．【解析】设，则，代入得出轨迹方程；联立直线AB方程与Q的轨迹方程，得出A，B的坐标关系，代入斜率公式计算化简即可．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率，属于中档题．21.如图1所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，将沿AC折起，使得点D在平面ABC的正投影O恰好落在AC边上，得到几何体，如图2所示．求证：平面BCD；求点C到平面ABD的距离．【答案】证明：据题意得：平面ABC，，因为，，，满足，所以又，所以平面ADC，得，分又，，平面分设点C到平面ABD的距离为d，由知：DO是三棱锥的高，且，，，，，由，得，所以点C到平面ABD的距离：分【解析】推导出平面ABC，从而，推导出，从而平面ADC，，再由，能证明平面BCD．设点C到平面ABD的距离为d，由，能求出点C到平面ABD的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.给定椭圆C：，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．求椭圆C的方程和其“准圆”方程．点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，，使得，与椭圆C都只有一个交点求证：．【答案】解：因为，所以所以椭圆的方程为，准圆的方程为．当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或，显然直线，垂直；同理可证方程为时，直线，垂直．当，都有斜率时，设点，其中，设经过点，与椭圆只有一个公共点的直线为，则，消去y得到，即，，经过化简得到：，因为，所以有，设，的斜率分别为，，因为，与椭圆都只有一个公共点，所以，满足上述方程，所以，即，垂直．【解析】欲求椭圆C的方程和其“准圆”方程，只要求出半径即可，即分别求出椭圆方程中的a，b即得，这由题意不难求得；先分两种情况讨论：当，中有一条无斜率时；当，都有斜率时，第一种情形比较简单，对于第二种情形，将与椭圆只有一个公共点的直线为，代入椭圆方程，消去去y得到一个关于x的二次方程，根据根的判别式等于0得到一个方程：，而直线，的斜率正好是这个方程的两个根，从而证得．本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高．。
2020-2021学年安徽省宣城市高二(上)期末数学试卷(文科) (解析版)
2020-2021学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．命题“∀x∈R，x≥2”的否定是（）A．∀x∈R，x≤2B．∀x∈R，x＞2C．∃x∈R，x＞2D．∃x∈R，x＜2 2．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，3，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若38号学生被抽到，则下面学生能被抽到的是（）A．16号学生B．49号学生C．618号学生D．815号学生3．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2， (20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx4．十进制数49化成二进制数是（）A．100011（2）B．100101（2）C．110001（2）D．101001（2）5．直线3x﹣4y﹣15＝0过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．某学校计划从2名男生和3名女生中任选3人参加抗疫英雄事迹演讲比赛，记事件M为“至少有2名女生参加演讲”，则下列事件中与事件M对立的是（）A．恰有2名女生参加演讲B．至多有2名男生参加演讲C．恰有1名女生参加演讲D．至多有2名女生参加演讲7．一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.32，中鼓励奖的概率为0.42，则不中奖的概率为（）A．0.16B．0.12C．0.18D．0.588．在某次测量中得到的A样本数据如下17，22，37，42，31，58，61，若B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差9．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．B．C．D．10．已知a，b是实数，则“|a﹣b|＝|a|﹣|b|”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数g（x）＝（2x﹣1）e x﹣ax2+a在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．曲线y＝sin x在点O（0，0）处的切线方程为．14．寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00～8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是．15．设P是抛物线y2＝8x上的一个动点，若点B为（3，2），则|PB|+|PF|的最小值为．16．若函数f（x）＝xlnx+1的图象总在直线y＝ax的上方，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题）.17．已知命题p：函数f（x）＝x2﹣2mx+1的图象与x轴至多有一个交点，命题q：|log2m﹣1|≤1．（1）若￢q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）＝（x2﹣4）（2x﹣a），a∈R，f'（x）为f（x）的导函数，且f'（﹣1）＝0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．19．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a的值；（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率．20．某位同学连续5次历史、政治的测试成绩如表：次数12345历史（x分）7981838587政治（y分）7779798283（1）求该生5次历史、政治成绩的平均分；（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x、y的线性回归方程．参考公式：，，，表示样本均值．21．设抛物线C：y2＝4x，点A（4，0），B（﹣4，0），过点A的直线l与C交于M，N 两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．22．已知函数．（1）若f（x）在x＝1处的切线过点（2，2），求a的值；（2）若f（x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．命题“∀x∈R，x≥2”的否定是（）A．∀x∈R，x≤2B．∀x∈R，x＞2C．∃x∈R，x＞2D．∃x∈R，x＜2解：因为命题“∀x∈R，x≥2”，故其否定是：∃x∈R，x＜2．故选：D．2．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，3，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若38号学生被抽到，则下面学生能被抽到的是（）A．16号学生B．49号学生C．618号学生D．815号学生解：某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，3， (1000)从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，抽样间隔为：＝10，38号学生被抽到，则尾号为8的同学都被抽到，∴618号学生被抽．故选：C．3．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2， (20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，y）在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y＝a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：D．4．十进制数49化成二进制数是（）A．100011（2）B．100101（2）C．110001（2）D．101001（2）解：49÷2＝24 (1)24÷2＝12 012÷2＝6 06÷2＝3 03÷2＝1 (1)1÷2＝0 (1)故49（10）＝110001（2）故选：C．5．直线3x﹣4y﹣15＝0过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：直线l：3x﹣4y﹣15＝0经过点（5，0），可得c＝5，即a2+b2＝25，①由题意可得直线l平行于渐近线y＝x，可得，②由①②解得a＝4，b＝3，则双曲线的方程为：．故选：A．6．某学校计划从2名男生和3名女生中任选3人参加抗疫英雄事迹演讲比赛，记事件M为“至少有2名女生参加演讲”，则下列事件中与事件M对立的是（）A．恰有2名女生参加演讲B．至多有2名男生参加演讲C．恰有1名女生参加演讲D．至多有2名女生参加演讲解：某学校计划从2名男生和3名女生中任选3人参加抗疫英雄事迹演讲比赛，记事件M为“至少有2名女生参加演讲”，对于A，恰有2名女生参加演讲与至少有2名女生参加演讲”能同时发生，不是对立事件，故A错误；对于B，至多有2名男生参加演讲与至少有2名女生参加演讲”能同时发生，不是对立事件，故B错误；对于C，恰有1名女生参加演讲“至少有2名女生参加演讲”是对立事件，故C正确；对于D，至多有2名女生参加演讲和“至少有2名女生参加演讲”能同时发生，不是对立事件，故D错误．故选：C．7．一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.32，中鼓励奖的概率为0.42，则不中奖的概率为（）A．0.16B．0.12C．0.18D．0.58解：一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.32，中鼓励奖的概率为0.42，则不中奖的概率为P＝1﹣0.1﹣0.32﹣0.42＝0.16．故选：A．8．在某次测量中得到的A样本数据如下17，22，37，42，31，58，61，若B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差解：在某次测量中得到的A样本数据如下17，22，37，42，31，58，61，若B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A样本的平均数、众数、中位数都比B两样本的平均数、众数、中位数都大于2，A，B两样本的方差相同．故选：D．9．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．B．C．D．解：模拟程序的运行，可得：A＝，k＝1；满足条件k≤2，执行循环体，A＝2+，k＝2；满足条件k≤2，执行循环体，A＝2+，k＝3；此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A的值为A＝，观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A＝2+．故选：D．10．已知a，b是实数，则“|a﹣b|＝|a|﹣|b|”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若|a﹣b|＝|a|﹣|b|，不一定得到ab＞0，比如a＝b＝0；∴|a﹣b|＝|a|﹣|b|不是ab＞0的充分条件；若ab＞0，不一定得到|a﹣b|＝|a|﹣|b|，比如a＝1，b＝2；∴|a﹣b|＝|a|﹣|b|不是ab＞0的必要条件；综上得，|a﹣b|＝|a|﹣|b|是ab＞0的既不充分又不必要条件．故选：D．11．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：设椭圆的左焦点为M，则|AM|+|AF|＝2a，根据椭圆的对称性可得四边形AMBF为矩形，所以|AB|＝|MF|＝2c，因为AF⊥BF，∠ABF＝α，所以|AF|＝2c sinα，|AM|＝2c cosα，则|AF|+|AM|＝2a，即，因为，则，所以sin（），则，所以，故选：B．12．已知函数g（x）＝（2x﹣1）e x﹣ax2+a在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．解：g′（x）＝（2x+1）e x﹣2ax，由题意得：g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即2a≤恒成立，设f（x）＝（x＞0），f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）min＝f（）＝4，故a≤2，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把正确的答案填在答题卡的相应位置）13．曲线y＝sin x在点O（0，0）处的切线方程为x﹣y＝0．解：∵y′＝cos x，∴切线的斜率k＝y′|x＝0＝1，∴切线方程为y﹣0＝x﹣0，即x﹣y＝0．故答案为：x﹣y＝0．14．寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00～8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是．解：设两人到达图书馆门口的时刻分别为x，y，依题意，|x﹣y|≤10，试验包含的所有事件是Ω＝{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，满足两人能够在图书馆门口会合的事件为A，则A＝{（x，y）|}，如图，则两人能够在图书馆门口会合的概率是p＝＝．故答案为：．15．设P是抛物线y2＝8x上的一个动点，若点B为（3，2），则|PB|+|PF|的最小值为5．解：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，由抛物线的定义得：|P1Q|＝|P1F|，所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|＝|BQ|＝3+2＝5，即|PB|+|PF|的最小值为5．故答案为：5．16．若函数f（x）＝xlnx+1的图象总在直线y＝ax的上方，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．解：∵函数f（x）＝xlnx+1的图象总在直线y＝ax的上方，∴xlnx+1﹣ax＞0对任意x＞0恒成立，令F（x）＝xlnx﹣ax+1（x＞0），则F′（x）＝lnx﹣a+1，由F′（x）＝0，得x＝e a﹣1．当x∈（0，e a﹣1）时，F′（x）＜0；当x∈（e a﹣1，+∞）时，F′（x）＞0，∴，∴e a﹣1＜1，∴a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1）．三、解答题（本大题共6题，共70分，解答题需写出文字说明，证明过程和演算步骤）17．已知命题p：函数f（x）＝x2﹣2mx+1的图象与x轴至多有一个交点，命题q：|log2m﹣1|≤1．（1）若￢q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．解：命题p：函数f（x）＝x2﹣2mx+1的图象与x轴至多有一个交点⇔△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4≤0⇔m∈[﹣1，1]；命题q：|log2m﹣1|≤1⇔﹣1≤log2m﹣1≤1⇔0≤log2m≤2⇔m∈[1，4]；（1）因为￢q为真命题，所以q假，m∉[1，4]，即m∈（﹣∞，1）∪（4，+∞）；（2）p∧q为假命题，p∨q为真命题，即p与q一真一假，当p为真q为假时，则m∈[﹣1，1]，m∉[1，4]，所以实数m的取值范围为m∈[﹣1，1）；当q为真P为假时，则m∈[1，4]，m∉[﹣1，1]，所以实数m的取值范围为m∈（1，4]；综上，当p∧q为假命题，p∨q为真命题，实数m的取值范围为m∈[﹣1，1）∪∈（1，4]．18．已知函数f（x）＝（x2﹣4）（2x﹣a），a∈R，f'（x）为f（x）的导函数，且f'（﹣1）＝0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．解：由f（x）＝（x2﹣4）（2x﹣a），则f'（x）＝6x2﹣2ax﹣8，∵f'（﹣1）＝0，∴6+2a﹣8＝0，∴a＝1，∴f'（x）＝6x2﹣2x﹣8＝（2x+2）（2x﹣4），令f'（x）＝0，则x＝﹣1或，∴当x＜﹣1或x＞时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜时，f'（x）＜0，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）知，f（x）在（﹣2，﹣1）和（，2）上单调递增，在（﹣1，）上单调递减，又f（﹣2）＝f（2）＝0，f（﹣1）＝9，，∴当x∈[﹣2，2]时，f（x）max＝9，．19．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a的值；（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率．解：（1）由频率分布直方图得：（0.010+a+0.035+0.030+0.010）×10＝1，解得a＝0.015．（2）从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则从第1组抽：5×＝2人，从第二组抽：5×＝3人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，基本事件总数n＝＝10，第2组恰好抽到2人包含的基本事件个数m＝＝6，∴第2组恰好抽到2人的概率P＝＝＝0.6．20．某位同学连续5次历史、政治的测试成绩如表：次数12345历史（x分）7981838587政治（y分）7779798283（1）求该生5次历史、政治成绩的平均分；（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x、y的线性回归方程．参考公式：，，，表示样本均值．解：（1）该生5次月考历史成绩的平均分＝（79+81+83+85+87）＝83，该生5次月考政治成绩的平均分＝（77+79+79+82+83）＝80；（2）计算得＝30，＝40，∴回归系数为＝＝0.75，＝80﹣0.75×83＝17.75，故所求的线性回归方程为＝0.75x+17.75．21．设抛物线C：y2＝4x，点A（4，0），B（﹣4，0），过点A的直线l与C交于M，N 两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．【解答】（1）解：当l与x轴垂直时，x＝4，代入抛物线解得y＝±4，∴M（4，4）或M（4，﹣4），直线BM的方程：y＝x+2，或y＝﹣x﹣2；（2）证明：设直线l的方程为l：x＝ty+4，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消x得y2﹣4ty﹣16＝0，即y1+y2＝4t，y1y2＝﹣16，则有k BN+k BM＝+＝＝，∴直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN．22．已知函数．（1）若f（x）在x＝1处的切线过点（2，2），求a的值；（2）若f（x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝lnx+x2﹣ax+（a∈R），∵f′（x）＝+x﹣a，∴f′（1）＝2﹣a，又f（1）＝2﹣a，∴f（x）在x＝1处的切线方程为：y﹣（2﹣a）＝（2﹣a）（x﹣1），即：y＝（2﹣a）x，∵切线过点（2，2），∴a＝1；（2）当a≤2时，f′（x）≥2﹣a≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值，不合题意，舍去，当a＞2时，令f′（x）＝0，得：x1＝，x2＝（0＜x1＜x2），f′（x）＞0⇔0＜x＜x1或x＞x2；f′（x）＜0⇔x1＜x＜x2，∴f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，∴f（x）恰有两个极值点x1，x2，符合题意，故a的取值范围是：（2，+∞）．。
2019-2020年高二上学期期末联考数学(文)试题 含答案
xx 学年度高xx 级上期过程性调研抽测数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．2019-2020年高二上学期期末联考数学（文）试题 含答案注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选择其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
参考公式：球的表面积公式： 柱体的体积公式：球的体积公式： 锥体的体积公式 ：棱台的体积公式一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知圆，则圆心坐标是（ ）2.抛物线的准线方程是( )3. 曲线在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是A. -9B. -3C.15D. 94．已知直线l:则过点且与直线l 平行的直线方程是（ ）5．“直线l 与平面内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面垂直”的（ ）条件. 充要 充分非必要 必要非充分 既非充分又非必要6．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）7．若直线与圆相离，则点与圆的位置关系是（ ）在圆上 在圆外 在圆内 以上都有可能8． 已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )A ．在上为减函数B ．在处取极小值C ．在上为减函数D．在处取极大值9．设是空间不同的直线，是空间不同的平面①则// ; ②//，则//;③则//; ④则//.以上结论正确的是（）①②①④③④②③10．一个圆形纸片，圆心为为圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使点与点重合，然后抹平纸片，折痕为,设与交与点，则点的轨迹是（）双曲线椭圆抛物线圆第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．已知双曲线，则它的渐近线方程是.12．已知椭圆，则它的离心率为 .13．已知则 .14．如右图是一个几何体的三视图，俯视图是顶角为120度的等腰三角形，则这个几何体的表面积为.15．已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数等于 .三、解答题：本大题6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应位置上．16（本大题满分13分）已知直线过两直线和的交点．求解下列问题.(1)直线经过点，求直线的方程；(2)直线与直线垂直，求直线的方程．17．（本大题满分13分）已知命题命题若命题“且”是真命题，求实数的取值范围.第19题图C 1B 1A 1C BA 18．（本大题满分13分）已知函数.（1）求的单调递减区间.（2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值.19．（本大题满分12分）直三棱柱中，．（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积．20．（本大题满分12分）已知22x f (x)(x ax 2a 3a)e (x R,a R)=+-+∈∈.时，求曲线在处的切线的斜率.当时，求函数的极值.21．（本大题满分12分）若分别是椭圆的左、右焦点.（1）设点是第一象限内椭圆上的点，且求点的坐标.（2）设过定点的直线l 与椭圆交于不同的点且，（其中为原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.数学参考答案及评分意见一、选择题：1—5 A B D D C ： 6—10 B C C A B二、填空题：11．； 12．； 13．； 14． ； 15．三、解答题：16．解：（1）由···········3分所求直线方程为：···············7分（2）设所求直线方程为：············8分又过P(0,2) ······················10分直线方程为：················13分17．解：由命题可知： ···········5分由命题可知：····9分···································11分又是真命题··································13分18．解：（1）'22f (x)3x 6x 93(x 2x 3)3(x 3)(x 1)=-++=---=--+······3分 ························5分减区间为························7分（2）由（1）知，在上单调递减 上单调递增·········10分···············12分····································13分19．解：（Ⅰ）直三棱柱中，，又可知，………………………2分由于，则由可知，，…………………… 4分则所以有平面 ……………………………………………6分（Ⅱ）直三棱柱中，，…………………….8分因为，所以ABC 面积为................10分.............12分20．解：（1）时，2x '2x 'f (x)x e ,f (x)(x 2x)e ,f (1)3e ==+=在处的切线斜率为3e ················3分(2)令得················4分①当时，得：f(x)在为增函数在为减函数··········6分极大值f(x)极小值············8分②当时，得在上为增函数，在上为减函数········10分极大值极小值··············12分21．解：(1)易知12a 2,b 1,c F (==∴设则22125PF PF (x,x,y)x y 34=---=+-=-，又········3分 联立得 解得，·················5分（2）显然不满足题设条件，可设l 的方程为设联立得 ··················7分 ··················8分由△222(16k)412(14k )04k 30,=-⋅⋅+>⇒->得··············9分 又·················10分 212121212y y (kx 2)(kx 2)k x x 2k(x x )4=++=+++2222121211222212(1k )2k 16k 4(4k )x x y y (1k )x x 2k(x x )440,14k 14k 14k +-∴+=++++=-+=>+++综上可得的取值范围是·····12分。
2019-2020学年度第一学期高二数学期末考试试卷
2019-2020学年度第一学期高二数学期末考试试卷(满分：150分，时间：120分钟 )一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则=∠A ( )A ．060B ．0120C ．030D ．0150 2. 已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )A ．4B ．5C ．6D ．73. 不在 3x + 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是 （ ） A ．（0，0） B ．（1，1） C ．（0，2） D ．（2，0）4. 下列语句不是命题的是( )A.3是15的约数B.x 2+2x +1≥0C.4不小于2D.5能被15整除吗? 5. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知,42212019=++a a a 则=39S ( ) A ．38 B ．39 C ．20 D ．196.等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）A ．130B ．170C ．210D ．2607. 等比数列{}n a ，19127,,0.243a a q ==<则8a =（ ） A. 811640 B. 164081 C. 164081- D. 164081±8. 命题“若C ∠=90°，则△ABC 是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.39. 已知向量a =(x -1,2),b =(2,1),则a ⊥b 的充要条件是 ( )A. x =12- B. x =-1 C. x =5 D. x =010. 一元二次不等式2210x x --≤的解集为( )A.]1(,12- B. ]1,12⎡-⎢⎣C. 1(,)2-∞-∪[1，＋∞) D. 1(,2⎤-∞-⎥⎦∪[1，＋∞)11. 已知点（1，2）和点（－3,4）在直线 x +y + m = 0 的两侧，则 （ ） A ．m ＜－3或m ＞-1 B ．－1＜m ＜-3 C ．m ＝－3或m ＝-1D ．－3<m <-112. 若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z =2x +y 的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.4 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件为 ,结论为14. 若实数,a b 满足2a b +=，则33a b +的最小值为______ 15. 求不等式x 2+2x －3＞0的解集_________16. 已知函数231()log ()f x ax ax =-+的定义域为R ，求实数a 的取值范围三． 解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. （10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(sin B ＋sin C ，sin A －sin B )，n ＝(sin B －sin C ，sin(B ＋C ))，且m ⊥n .(1)求角C 的大小； (2)若sin A ＝45，求cos B 的值．18.（15分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .19. （15分）解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.20. （15分）(1)用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？21. （15分）一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 、硝酸盐18 t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 、硝酸盐15 t.现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66 t ，在此基础上生产这两种混合肥料.若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？。
2019-2020年高二上学期期末模块考试数学(文)试题 含答案
2019-2020年高二上学期期末模块考试数学（文）试题含答案说明：本卷为发展卷，采用长卷出题、附加计分的方式。
第Ⅰ、Ⅱ卷为必做题，第Ⅲ卷为选做题，必做题满分为 120 分，选做题满分为30分。
第Ⅰ卷为第1题页至第 10 题，第Ⅱ卷为第11 题至第18 题，第Ⅲ卷为第19 题至第22 题。
考试时间120 分钟。
温馨提示：生命的意义在于不断迎接挑战，做完必做题后再挑战一下发展题吧，你一定能够成功！第I卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知在等差数列中，若=4，，则该数列的公差d等于A. 1B.C. - 2D. 32. 在中，已知，，则的值为A. B. C. D.3. 设，，则下列不等式成立的是A. B.C. D.4. 在中，，则的面积为A. B. C. D. 305. 在等差数列中，有，则该数列的前13项之和为A．24 B. 52 C. 56 D. 1046. 不等式组表示的区域为D，点P (0，－2)，Q (0，0)，则A. PD，且Q DB. PD，且Q ∈DC. P∈D，且Q DD. P∈D，且Q ∈D7. 在中，，那么的值为A. B. C. D.8. 在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为，则=A．32 B. 24 C. 27 D．549．已知变量满足约束条件,若目标函数的最大值是A．6 B．3 C. D．110. 等比数列的前n项和，若，则A. 72B. 81C. 90D. 99提示：请将1—10题答案涂在答题卡上，11-22题写在答题纸上第Ⅱ卷（非选择题，共70 分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11. 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是，若，则.12. 正数满足，则的最大值为______ .13. 数列的前n 项和满足，则= .14. 在中，若，则的形状一定是三、解答题(本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15. (本小题满分12分)解下列不等式（1） ; （2）.16. (本小题满分12分)已知在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是，若（1）求边长c 的大小;（2）求三角形ABC 的面积.17. (本小题满分13分)已知等差数列的前项和为，，（1）求数列的通项公式；（2） 设，求数列的前n 项和.18 (本小题满分13分)云南省镇雄县高坡村发生山体滑坡，牵动了全国人民的心，为了安置广大灾民，救灾指挥部决定建造一批简易房,每间简易房是地面面积为100，墙高为3m 的长方体样式，已知简易房屋顶每1的造价为500元，墙壁每1的造价为400元.问怎样设计一间简易房地面的长与宽，能使一间简易房的总造价最低？最低造价是多少？第Ⅲ卷（发展题，共 30 分）19 （3分）在下列函数中，最小值是的是A. B.C. D.20 （3分）不等式2(2)2(2)40a x a x x R a -+--<∈对一切恒成立，则实数的 取值范围是 .21. (本小题满分12分) 设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,（1）求B 的大小；（2）求的取值范围.22. (本小题满分12分)等差数列中，，前项和满足条件.(1)求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和济南外国语学校xx学年度第一学期高二期末模块考试数学试题（xx.1）文科答题纸二、填空题（每小题5分，共20分）11、12、13、14、三、解答题（共50分）15、（12分）16、（12分）17、（13分）18、（13分）发展卷19、20 、21、（12分）22、（12分）xx年1月高二期末模块考试数学试卷（文科）发展卷参考答案一、选择题（5*10=50）1.C2.A3.D4.B5.B6.C7.C8.B9.A 10.B二、填空题（5*4=20）11. 12 1 13. 14 等腰三角形.三、解答题15.解：(1) - ----------------------------------------6分(2) ----------------------------------------12分16.解：（1）由题知解得,----------------------------------------6分（2）----------------------------------------12分17解:（1）设的公差为d, 则------3分即,解得, -----------------------------------------6分. -------------------------------8分(2)--------------------------------------10分------------------------------------------13分18．解：设地面的长为m,宽为--------------------------------------2分则总造价--------------------------------------6分------------------------------------8分所以，当且仅当时，即x=10m 时，y 取得最小值. --------------------------------------11分 答：设计地面长宽均为10m 时，造价最低，为98000元。
安徽省宣城市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
高一数学试题
考生注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择題）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 .全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 2.答题前，考生先将自己的姓名、 考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域 . 3.考生作答时请将答案答在答题卷上 .第Ⅰ卷每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卷上对应题 目的答案标号涂黑； 第Ⅱ卷请用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效 . 4.考试结束时，务必将答题卡交回 .
【详解】解： Q f ( x)
2ex 1, x 2 log3 x2 1 , x 2
f 2 log 3 22 1 lo g3 3 1
f f2
f 1 2e1 1 2
故选： C
【点睛】本题考查分段函数求函数值， 考查指数以及对数的运算， 属于基础题 .
4.已知角 的终边过点 p 8m, 3 ， cos
4
，则 m 的值为（
C. 3,4
D. 2,7
【答案】 B 【解析】 【分析】 根据交集、补集的定义计算可得 .
【详解】解 : Q U 1,2,3,4,5,6,7,8 , B 1,2,4,6,7
eU B 3,5,8 Q A 2,3,5,7
A I eU B 3,5
故选 : B
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题 .
1
r
r
rr
2.已知 a (4, 2) ， b =（ x ， 6），且 a / /b ，则 x （ ）
A. 12
B. 13
C. 14
【答案】 A
【解析】 【分析】
安徽省宣城市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
宣城市2019—2020学年度第一学期期末调研测试高二数学试题（文科）1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟2.答题前，考生先将自己的姓名考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域.3.考生作答时，请将答案答在答题卷上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.4.考试结束时，务必将答题卡交回.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确的选项.） 1.为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60 m ；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m ．由此可估计我国13岁男孩的平均身高大约为( ) A. 1.57 m B. 1.56 mC. 1.55 mD. 1.54 m【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平均数公式求出这500名13岁男孩的平均身高即可得结果. 【详解】因为从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m ， 从南方抽取了200个男孩，平均身高 1.50m ，所以这500名13岁男孩的平均身高是1.6300 1.52001.56500⨯+⨯=，据此可估计我国13岁男孩的平均身高约为1.56m ，故选B ．【点睛】本题主要考查平均数的求法与应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.2.从集合{},,a b c 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a 子集的概率是（ ） A.35B.25C.14D.18【答案】C 【解析】 【分析】根据集合元素个数可确定子集的个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】集合{},,a b c 的子集共有328=个，集合{}a 的子集共有2个， 则从{},,a b c 的所有子集中任取一个，恰是集合{}a 子集的概率为2184=. 故选：C .【点睛】本题考查古典概型概率问题求解，涉及到集合子集个数的求解，属于基础题. 3.0mn <是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义进行判断：若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件．【详解】方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线，则有00m n ><，.故0mn <. 若0mn <，则有0m >，0n <或00m n ，. 故选B ．【点睛】本题考查双曲线的方程形式与充分必要条件的判断，关键在于掌握二元二次方程mx 2+ny 2=1表示双曲线的条件．4.从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ） A. B 与C 互斥 B. 任何两个均互斥 C. A 与C 互斥 D. 任何两个均不互斥【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义可判断出结果.【详解】事件C 包含事件B ，故A 、B 错误； 事件A 与事件C 没有相同的事件，故C 正确，D 错误.故选：C .【点睛】本题考查互斥事件的判断，属于基础题.5.甲、乙两名篮球运动员10场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两名运动员得分数据的中位数之差的绝对值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据茎叶图可计算得到甲、乙运动员得分的中位数，由此计算得到结果. 【详解】由茎叶图可知：甲运动员得分的中位数为2430272+=；乙运动员得分的中位数为2630282+=， ∴中位数之差的绝对值为27281-=.故选：B .【点睛】本题考查利用茎叶图计算中位数的问题，属于基础题.6.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且短轴的长为225，则该椭圆的标准方程为（ ）A. 221204x y +=B. 221204y x +=C. 2215y x +=D. 2215x y +=【答案】C 【解析】 【分析】根据短轴长、离心率和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆方程.【详解】设椭圆C 标准方程为：()222210y x a b a b+=>>.短轴长为2，22b ∴=，解得：1b =.离心率5c e a ==，又22221a b c c =+=+，25a ∴=， ∴椭圆C 的标准方程为2215y x +=.故选：C .【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解问题，属于基础题. 7.下列命题中正确的是（ ） A. “3x >”是“5x >”的充分条件 B. 命题“x R ∀∈，210x ”的否定是“x R ∃∉，210x +≤”.C. m ∃∈R 使函数()()2f x x mx x R =+∈是奇函数D. 设p ，q 是简单命题，若p q ∧是真命题，则p q ∨也是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、含量词命题的否定、复合命题真假性、奇函数定义等知识依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于A ，35x x >>，53x x >⇒>，则A 错误；对于B ，根据含全称量词命题的否定可知原命题的否定为：x R ∃∈，210x +≤，则B 错误； 对于C ，若()f x 为奇函数，则()()()222f x x mx x mx x mx f x -=--=-=--=-，方程无解，则不存在m R ∈，使得()f x 为奇函数，则C 错误；对于D ，若p q ∧是真命题，则,p q 均为真命题，那么p q ∨为真命题，则D 正确. 故选：D .【点睛】本题考查简易逻辑部分知识的综合应用，涉及到充分条件的判定、复合命题的真假性、含量词的命题的否定等知识.8.设双曲线2219y x -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，直线1x =与双曲线的其中一条渐近线交于点P ，则12PF F △的面积是（ ） A. 310 B.1103C. 62D. 32【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线方程求得渐近线方程和焦点坐标，由此确定P 点坐标，计算可得结果. 【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：3y x =±，焦点()110,0F -，()210,0F ，则直线1x =与双曲线的渐近线交于点()1,3，()1,3-， 不妨设()1,3P ，则12121033102PF F S =⨯⨯=△. 故选：A .【点睛】本题考查根据双曲线方程求解渐近线方程、焦点坐标等，属于基础题.9.《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下： 卦名 符号表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兑0113以此类推，则六十四卦中的“益”卦，符号“”表示的十进制数是（ ） A. 49B. 50C. 81D. 97【答案】A【解析】【分析】根据已知条件可得到所给符号表示的二进制数，根据二进制和十进制的转化可求得结果. 【详解】由题意可知：符号“”表示的二进制数为：110001，则表示的十进制数为：0451212121163249⨯+⨯+⨯=++=.故选：A.【点睛】本题考查二进制和十进制数的转化问题，关键是能够通过已知所给的定义确定符号所表示的二进制数.10.图中给出的是计算111124620++++的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）.A21i≤ B. 11i≤ C. 21i≥ D. 11i≥【答案】D【解析】观察程序框图,每执行一次赋值语句,2i的值增加2,要求的式子有10个数据,所以执行10次语句即可,故应填11i≥.故选D.点睛：本题是对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11.已知点1F，2F分别是椭圆1C和双曲线2C的公共焦点，1e，2e分别是1C和2C的离心率，点P为1C和2C的一个公共点，且122 3F PF π∠=，若22e=，则1e的值是（）C.7【答案】D【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程2221243c a a=+，由此得到关于离心率的方程求得结果.【详解】设椭圆长半轴长为1a，双曲线实半轴长为2a，焦点坐标为()1,0F c-，()2,0F c，不妨设P为第一象限内的点，则1212+=PF PF a，1222-=PF PF a，则221212PF PF a a=-，由余弦定理得：2222212121212242cos3c PF PF PF PF PF PF PF PFπ=+-=++，()22222211212443c a a a a a∴=--=+，2212314e e∴+=，又22e=，2145e∴=，15e∴=.故选：D.【点睛】本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.12.已知函数2()f x x m =+与函数1()ln 3g x x x =--，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 5ln )4[2,2+B. 5[2ln 2,ln 2)4-+ C. 5(ln 2,2ln 2)4+- D. (]2ln2,2-【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为()()f x g x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不同的解，令()()()h x f x g x =+，将问题转化为()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性，进而确定区间端点值和最值，由此构造不等式求得结果. 【详解】()f x 与()g x 在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，()()f x g x ∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不同的解，即221ln3ln 30x m x x x x m x +--=+-+=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的解， 令()2ln 3h x x x x m =+-+，则()()()2211123123x x x x h x x x x x---+'=+-==， ∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当()1,2x ∈时，()0h x '>，()h x ∴在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，又15ln 224h m ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，()12h m =-，()2ln 22h m =-+，原问题等价于()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，则5ln 2024m m --+≥>-，解得：5ln 224m +≤<，即m 的取值范围为5ln 2,24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故选：A .【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将两函数图象对称点个数的问题转化为方程根的个数的问题，进一步通过构造函数的方式将问题转化为函数零点个数的问题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置） 13.如图风筝图案中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为_________.【答案】13【解析】 【分析】根据面积比即可得到所求概率.【详解】由图形可知，阴影部分面积为总体面积的41123=，∴飞镖落在阴影部分的概率为13. 故答案为：13. 【点睛】本题考查几何概型面积型问题的求解，属于基础题.14.若1a ，2a ，…，20a 这20个数据的平均数为x ，方差为0.21，则1a ，2a ，…，20a ，x 这21个数据的方差为__________． 【答案】0.20 【解析】 【分析】根据平均数与方差的概念，利用公式，准确计算，即可求解．【详解】由题意，数据1a ，2a ，…，20a 这20个数据的平均数为x ，方差为0.21， 由方差的公式，可得222212201[()()()]0.2120s a x a x a x =⨯-+-++-=，所以2221220()()() 4.2a x a x a x -+-++-=，所以22222122011[()()()()] 4.20.202121s a x a x a x x x '=⨯-+-++-+-=⨯=， 故答案为：0.20．【点睛】本题主要考查了平均数与方差的概念及应用，其中解答中熟记平均数和方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题． 15.过抛物线2:4C y x=的焦点F 作斜率等于3的直线与抛物线C 交于A.B 两点，则AB =_________.【答案】16 【解析】 【分析】将直线方程代入抛物线方程，利用抛物线焦点弦长公式，结合韦达定理可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：()1,0F ，则直线AB 方程为：)1y x =-， 代入抛物线方程可得：()212143x x x -+=，整理得：21410x x -+=， 12214216AB x x ∴=++=+=.故答案为：16.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的求解问题，属于基础题.16.已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数.命题q ：当x ∈1[,2]2时，函数f (x )＝x ＋11x c>恒成立.如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围是________. 【答案】1(0,][1,)2⋃+∞ 【解析】 【分析】根据指数函数的图象与性质，可求出命题p 真时c 的取值范围，根据对勾函数的图象与性质，可求得命题q 真时c 的范围，再由,p q 中一真一假，即可求解.【详解】若命题p ：函数xy c =为单调递减函数，则01c <<，即当p 为真时，实数c 的取值范围是(0,1)c ∈；又命题q ：当1[,2]2x ∈时，函数()12f x x x =+≥=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立，所以函数()f x 的最小值为2，要使得()11f x x x c =+>恒成立，则12c>且0c >，解得1(,)2c ∈+∞，即命题q 为真命题时，实数c 的取值范围是1(,)2c ∈+∞.因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以,p q 中一真一假.若p 真q 假时，则1(0,]2c ∈，若p 假q 真时，则[1,)c ∈+∞. 所以实数c 的取值范围是1(0,][1,)2⋃+∞.【点睛】本题主要靠考查了复合命题的真假判定及应用，同时考查了指数函数的图象与性质，以及对勾函数的图象与性质，其中根据命题,p q 为真时，求得c 的取值范围是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力.三、解答题（本大题共6题，共70分.解答题需写出文字说明，证明过程和演算步骤） 17.有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：（1）求y 关于x 的线性回归直线方程；（2）如果某天气温是–10C ︒，预测这天卖出的热饮杯数（四舍五入，取整数）.附：对于线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb xx xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-， 【答案】（1）ˆ 5.9129.5y x =-+；（2）189杯.【分析】（1）根据表中数据计算可得所需数据，利用最小二乘法可求得回归直线方程； （2）代入10x =-即可求得预测值. 【详解】（1）由表中数据得：505101555x -++++==，15712710772371005y ++++==，517855357205551025i ii x y==-+++=∑，5212525100225375i i x ==+++=∑，102555100ˆ 5.9375525b-⨯⨯∴==--⨯，ˆ100 5.95129.5a ∴=+⨯=，y ∴关于x 的线性回归直线方程为：ˆ 5.9129.5y x =-+.（2）令10x =-，解得：188.5189y =≈，∴如果某天的气温是–10C ︒，预测这天卖出的热饮杯数为189杯.【点睛】本题考查利用最小二乘法求解回归直线、利用回归直线求解预测值的问题；关键是熟练掌握最小二乘法，考查学生的计算能力.18.某校从参加某次知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛的均分；（2）如果确定不低于85分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进人复赛； （3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20的概率.【答案】（1）频率分布直方图见解析；均分为71分；（2）175；（3）13.【分析】（1）根据频率和为1可求得[)70,80组对应的频率，由此可补全频率分布直方图；利用平均数的估计方法计算可得结果；（2）由频率分布直方图计算可得分数不低于85分的频率，利用总数⨯频率即可计算得到结果； （3）根据分层抽样原则可计算求得第一组、第二组和第六组分别抽取的人数，采用列举法可确定所有基本事件和满足题意的基本事件，由古典概型概率公式计算可得结果. 【详解】（1）[)70,80组的频率为()10.010.0150.0150.0250.0051010.70.3-++++⨯=-=，∴补全频率分布直方图如下图所示：均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）. （2）由频率分布直方图可知：分数不低于85分的频率为10.025100.005100.1752⨯⨯+⨯=， 1000∴名参赛同学中，预估有10000.175175⨯=人进入复赛.（3）第一组、第二组和第六组的频率之比为2:3:1，∴第一组抽取2626⨯=人，第二组抽取3636⨯=人，第六组抽取1616⨯=人， 记第一组和第二组的5人为,,,,a b c d e ，第六组的1人为A ，则随机抽取2人，有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a A ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b A ，(),c d ，(),c e ，(),c A ，(),d e ，(),d A ，(),e A ，共15种情况，成绩之差的绝对值大于20的有：(),a A ，(),b A ，(),c A ，(),d A ，(),e A ，共5种情况，∴所求概率51153p ==.【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数和频率、估计平均数等知识，同时考查了分层抽样和古典概型概率问题的求解，是对概率和统计部分知识的综合考查，属于常考题型. 19.已知抛物线()2:20C y px p =>上的点()5,M m 到焦点F 的距离为6.（1）求,p m 的值；（2）过点()2,1P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线l 方程. 【答案】（1）2p =，m =±（2）230x y --=. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式可求得p ，将()5,M m 代入抛物线方程可求得m ； （2）利用点差法可求得直线l 斜率，由点斜式可求得直线l 的方程. 【详解】（1）由抛物线焦半径公式知：562pMF =+=，解得：2p =， 2:4C y x ∴=，25420m ∴=⨯=，解得：m =±（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得：()()()1212124y y y y x x +-=-， 1212124l y y k x x y y -∴==-+，()2,1P 为AB 的中点，122y y ∴+=，2l k ∴=，∴直线l 的方程为：()122y x -=-，即230x y --=.【点睛】本题考查抛物线焦半径公式的应用、点差法求解中点弦方程的问题；关键是熟练掌握点差法.20.已知函数21()2(2)2ln x f x a x a x =+-+ （1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）极大值为()512f =-，极小值为()22ln 24f =-；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）由导函数的正负可确定()f x 的单调性，进而确定极大值为()1f ，极小值为()2f ，代入可求得结果；（2）求得()f x '后，分别在0a ≤、02a <<、2a =和2a >四种情况下确定()f x '的正负，由此可得单调区间.【详解】（1）当1a =时，()212ln 32f x x x x =+-， ()()()()21223230x x x x f x x x x x x---+'∴=+-==>， ∴当()0,1x ∈和()2,+∞时，()0f x '>；当()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x ∴在()0,1，()2,+∞上单调递增，在()1,2上单调递减， ()f x ∴在1x =处取得极大值，在2x =处取得极小值，()f x ∴极大值为()512f =-，极小值为()22ln 24f =-.（2）由题意得：()()()()()()2222220x a x a x a x af x x a x x x x-++--'=+-+==>，①当0a ≤时，当()0,2x ∈时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞；②当02a <<时，当()0,x a ∈和()2,+∞时，()0f x '>；当(),2x a ∈时，()0f x '<，()f x ∴的单调递减区间为(),2a ，单调递增区间为()0,a ，()2,+∞；③当2a =时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，()f x ∴的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；④当2a >时，当()0,2x ∈和(),a +∞时，()0f x '>；当()2,x a ∈时，()0f x '<，()f x ∴的单调递减区间为()2,a ，单调递增区间为()0,2，(),a +∞；综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞；当02a <<时，()f x 的单调递减区间为(),2a ，单调递增区间为()0,a ，()2,+∞；当2a =时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当2a >时，()f x 的单调递减区间为()2,a ，单调递增区间为()0,2，(),a +∞.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的极值、讨论含参数函数的单调性的问题；讨论含参数函数单调性的关键是能够通过导函数的零点所处的范围进行分类讨论，由此确定导函数的正负.21.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为42.（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的右焦点2F 作直线l 与E 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【答案】（1）22142x y +=；（2）OAB 2，此时直线l 的方程为：2x =【解析】 【分析】（1）利用椭圆四个顶点构成的四边形面积、离心率和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（2）①当直线AB 斜率不存在时，易求得OABS；②当直线AB 斜率存在时，假设直线方程，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得AB ，利用点到直线距离公式求出d ，从而得到OABS，利用函数求最值的方法可求得OABS的范围；综合两种情况可得最终结果. 【详解】（1）以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为1222a b ∴⨯⨯=即ab =2c e a ==…②，222a b c =+…③， 则①②③联立可求得：2a =，b =c =∴椭圆E 的方程为：22142x y +=.（2）①当直线AB斜率不存在时，则方程为x =，222b AB a∴==，122OAB S ∴=⨯=△；②当直线AB斜率存在时，可设其方程为：(y k x =-，由题意可知：0k ≠，由(22142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()222212440k x x k +-+-=， 设()11,A x y ，()22,B x y，则12x x +=，21224412k x x k -=+，224421k AB k +∴===+，又原点到直线距离d =，()22211221OABk S AB d k +∴=⋅===+△=，令210t k =>，则()()()22224111114114412114121t t k t t t t t k k t +++===++++++++++++，0t >，11t ∴+>，1121t t ∴++>+，()1114121t t ∴<++++，12OAB S ∴<=△，综上所述：OAB，此时直线l的方程为：x .【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中三角形面积最值的求解问题；关键是能够将所求三角形面积表示为关于某一个变量的函数的形式，利用函数最值的求解方法来求得面积的最值.22.已知函数32()f x ax bx =-在点(1, (1))f 处的切线方程为31=0x y +-.（1）求实数a ，b 的值；（2）若过点()1,4()m m -≠-可做曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.【答案】（1）13a b =⎧⎨=⎩；（2）()4,4-.【解析】 【分析】（1）根据切线方程可知()1f 和()1f '，由此构造方程组求得,a b ；（2）将问题转化为y m =与()()3261h x x x x =-+≠-有三个不同的交点，利用导数可得到()h x 的图象，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】（1）由切线方程知：()13112f =-⨯+=-，()13f '=-，又()232f x ax bx '=-，2323a b a b -=-⎧∴⎨-=-⎩，解得：13a b =⎧⎨=⎩.（2）由（1）知：()323f x x x =-，则()236f x x x '=-，4m ≠-，()1,m ∴-不在()f x 上，又()1369f '-=+=，可知切点横坐标不1-，设切点坐标为()32000,3x x x -，01x ≠-，则切线斜率322000003361x x m k x x x --==-+，整理得：30026m x x =-+， 过()1,m -可作()f x 三条不同的切线，30026m x x ∴=-+有三个不为1-的解；令()()3261h x x x x =-+≠-，则()()()266611h x x x x '=-+=-+-，∴当(),1x ∈-∞-和()1,+∞时，()0h x '<；当()1,1x ∈-时，()0h x '>，()h x ∴在(),1-∞-和()1,+∞上单调递减，在()1,1-上单调递增，由此可得()h x 图象如下图所示：30026m x x =-+有三个不为1-的解等价于y m =与()h x 有三个不同的交点，由图象可知：44m -<<，∴实数m 的取值范围为()4,4-.【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到根据切线方程求解函数解析式、根据过某一点曲线切线的个数求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为两函数交点个数问题，从而利用数形结合的方式来进行求解.。
安徽省界首市2019～2020学年度高二上学期期末考试文科数学试题参考答案
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安徽省宣城市2019-2020学年数学高二下期末预测试题含解析
安徽省宣城市2019-2020学年数学高二下期末预测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数f （x ）＝xlnx 的图象与直线y ＝2x+m 相切，则实数m 的值为（ ） A ．e B ．﹣e C ．﹣2e D ．2e【答案】B 【解析】 【分析】设切点为（s ，t ），求得f （x ）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s ，t ，进而求得m ． 【详解】设切点为（s ，t ），f （x ）＝xlnx 的导数为f ′（x ）＝1+lnx ， 可得切线的斜率为1+lns ＝2，解得s ＝e ， 则t ＝elne ＝e ＝2e+m ，即m ＝﹣e ． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题． 2．若复数z 满足 2 5z i i +=（），则复数z 的虚部为. A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2.【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则去计算即可. 【详解】因为 2 5z i i +=（），所以()()()52512222i i iz i i i i -===+++-，虚部是2， 故选D. 【点睛】本题考查复数的除法运算以及复数实部、虚部判断，难度较易.复数除法运算时，注意利用平方差公式的形式将分母实数化去计算3．若函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()8,-+∞ B ．[)6-+∞, C ．(],6-∞-D ．[]8,6--【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，同增异减，则235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，再根据定义域则2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立求解.【详解】因为函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数， 所以235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，且2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立. 所以16a≤-且350a ++≥， 解得86a -≤≤-. 故选：D 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题.4．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=。
2019-2020学年宣城市高二(下)期末数学试卷(文科)
2019-2020学年宣城市高二(下)期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，中间的数字表示得分的十位数，据图可知()A. 甲运动员的最低得分为0分B. 乙运动员得分的中位数是29C. 甲运动员得分的众数为44D. 乙运动员得分的平均值在区间(11,19)内2.从1，2，3，4这四个数字中依次取(不放回)两个数，使得的概率是()A. B. C. D.3.“a>1且b>2”是“a+b>3”成立的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件4.如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为()A. 0.504B. 0.994C. 0.496D. 0.065.甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中两台机床每天生产出的次品数分别是：甲0421302201乙2112121011x1、x2分别表示甲乙两组数据的平均数，S1、S2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是()A. x1−=x2−,S1>S2B. x1−<x2−,S1>S2C. x1−>x2−,S1>S2D. x1−>x2−,S1<S26. 若两个椭圆的离心率相同，则称此两个椭圆相似．已知椭圆的焦点在x轴上，与x24+y23=1相似且过点(2,3)，则此椭圆的长轴长为()A. 4B. 6C. 8D. 167. 命题“∀x∈R，3x−x3≤0”的否定是()A. ∃x∈R，3x−x3≥0B. ∃x∈R，3x−x3>0C. ∀x∈R，3x−x3≥0D. ∀x∈R，3x−x3>08. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A. B. C. D.9. 如图是把二进制数化为十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是A.B.C.D.10. 如果执行如图的程序框图，输入正整数n，m，且满足n≥m，那么输出的p等于()A. A n m−1B. A n mC. C n m−1D. C n m11. 方程与的曲线在同一坐标系中的示意图最有可能的是( )A. B.C. D.12. 函数f(x)=2−x 2+3x −2的单调递增区间是A. (−∞,32)B. (32,+∞)C. (1,32]D. [32,2)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在平面区域{(x,y)|y ≤−x 2+2x ，且y ≥0}内任意取一点P ，则所取的点P 恰是平面区域{(x,y)|y ≤x ，x +y ≤2，且y ≥0}内的点的概率为______．14. 已知x 1,x 2,x 3,⋯ x n 的平均数为4，方差为7，且ax 1+b,ax 2+b,ax 3+b,⋯,ax n +b(a >0)的平均数是9，方差是28，则a +b = ．15. 设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过焦点F 作直线MN ⊥x 轴，交抛物线于M ，N 两点，再过F 点作直线AB 使得AB//OM 其中O 是坐标原点)，交抛物线于A 、B 两点，则三角形ABN 的面积是______．16. 已知命题：方程在[−1,1]有解；命题：只有一个实数满足不等式，若命题：“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2001到2007年七年间每年考入大学的人数．为方便计算，2001年编号为1，2002年编号为2，…2007年编号为7.数据如下： 年份(x) 1 2 3 4 5 6 7 人数(y) 35811131722(1)从这7年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有1年多于15人的概率；(2)根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程y =b ̂x +a ̂，并计算第7年的估计值和实际值之间的差的绝对值．{b̂=∑n i=1i x)(y i y)∑(n i=1x −x)2=∑x i n i=1y i −nxy∑x i2n i=1−nx 2â=y −b ̂x18. “世界睡眠日”定在每年的3月21日，2009年的世界睡眠日主题是“科学管理睡眠”，以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识，为此某网站进行了持续一周的在线调查，共有200人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示． 序号(i) 分组睡眠时间 组中值(m i ) 频数 (人数) 频率 (f i ) 1 [4,5) 4.5 8 0.04 2 [5,6) 5.5 52 0.26 3 [6,7) 6.5 60 0.30 4 [7,8) 7.5 56 0.28 5 [8,9) 8.5 20 0.10 6[9,10]9.540.02(1)在答题卡给定的坐标系中画出频率分布直方图；(2)睡眠时间小于8的概率是多少？(3)为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算．分析中一部分计算见算法流程图，求输出的S的值，并说明S的统计意义．19. 如图，已知抛物线y2=4x，过焦点F且斜率不为零的直线l交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2))两点，且与其准线交于点D．(1)若|AB|=8，求直线l的方程；(2)若点M在抛物线上且|MF|=2.求证：对任意的直线l，直线MA，MD，MB的斜率依次成等差数列．20. 已知函数f(x)=ln(2x−1)−m(2x−1)+1．(1)若y=f(x)在x=2处的切线与直线3x−y+2017=0垂直，求y=f(x)的极值；(2)若函数y=f(x)的图象恒在直线y=1的下方．①求实数m的取值范围；②求证：对任意正整数n>1，都有ln[(2n)！]<4n(n+1)5．21. 已知右焦点为F(c,0)的椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,32)，且椭圆M关于直线x=c对称的图形过坐标原点．(1)求椭圆M的方程；(2)过点(4,0)且不垂直于y轴的直线与椭圆M交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称原点为E，证明：直线PE与x轴的交点为F．22. 直线y=12x+b能作为下列函数图象的切线吗？若能，求出切点坐标：若不能，简述理由．(1)f(x)=1x；(2)f(x)=x4；(3)f(x)=sinx；(4)f(x)=e x．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查的知识点是茎叶图，及中位数，众数的概念，平均值等，由茎叶图中分析出甲、乙两名篮球运动员某赛季各场次得分，再由定义进行判断，易得结果，茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键，属于中档题．解：分析茎叶图可得：甲运动员的得分为：10，15，22，23，31，32，34，35，37，38，44，44，49，51乙运动员的得分为：8，12，14，17，21，29，29，33，36，52则甲运动员得分的众数为44，甲运动员的最低得分为10分乙运动员得分的中位数是25.乙运动员得分的平均值为25.1故选A．2.答案：C解析：试题分析：当时，；当时，；当时，，∴共6种情况，∴．考点：随机事件的概率．3.答案：A解析：解：a、b是实数，则“a>1，且b>2”⇒“a+b>3”正确，反之，当a=10，b=0.2时，a+b>3，但是a>1，且b>2不成立，即前者是推出后者，后者推不出前者，所以a、b是实数，则“a>1且b>2”是“a+b>3”成立的充分而不必要条件．故选A．通过基本不等式的性质判断前者是否推出后者，通过特例判断后者是否推出前者，即可得到结论．本题考查充要条件的应用，考查不等式的基本性质，是基础题．4.答案：B解析：本题考查互斥事件的概率及相互独立事件同时发生的概率，由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，A，B，C3种开关中至少有1个开关能正常工作的对立事件是3种开关都不能工作，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．解：由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，A，B，C3种开关中至少有1个开关能正常工作的对立事件是3种开关都不能工作，分别记A，B，C开关能正常工作分别为事件A1，A2，A3，P(E)=1−P(A1⋅A2⋅A3)=1−0.1×0.2×0.3=0.994故选B．5.答案：C解析：解：由题意得：x−1=1(0+4+2+1+3+0+2+2+0+1)=1.5．10(2+1+1+2+1+2+1+0+1+1)=1.2．x−2=110由表中数据得甲中的数据比乙中的数据分散，∴x−1>x−2，S1>S2．故选：C．求出x−1，x−2，再由表中数据得甲中的数据比乙中的数据分散，能得到x−1>x−2，S1>S2．本题考查两组数据的平均数、方差的比较，考查平均数计算公式、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：C解析：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆方程的求法，是基础题．求出已知椭圆的离心率为12，设出椭圆方程，由椭圆的离心率为12、椭圆过点(2,3)及隐含条件c 2=a 2−b 2联立方程组求得椭圆的长轴长． 解：椭圆x 24+y 23=1的离心率为12，设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则c a =12， ∵椭圆过点(2,3)， ∴4a2+9b 2=1，又c 2=a 2−b 2，解得a 2=16，b 2=12，故2a =8．故选：C ．7.答案：B解析：解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x ∈R ，3x −x 3≤0”的否定是：∃x ∈R ，3x −x 3>0． 故选：B ．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．8.答案：C解析：本题考查抛物线和双曲线的性质．解：过P 作准线的垂线，垂足为N ，根据抛物线的定义有|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|，则，设PA 的倾斜角为α，则，当m 取最大值时，最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为y =kx −1，代入，得，即，∴，得，又点P 恰好在A ，B 为焦点的双曲线上，有，∴双曲线的离心率为．故选C．9.答案：B解析：试题分析：根据二进制数与十进制数的转化方法可知是退出循环，所以判断框中应填入的条件是．考点：本小题注意考查程序框图的理解，不同进制间数的转化．点评：程序框图的题目一般离不开循环结构，这时要分清是当型循环还是直到型循环，还要仔细判断退出循环的条件，避免多执行或少执行一步．10.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得：第一次循环：k=1，p=1，p=n−m+1m；第二次循环：k=2，p=n−m+1m ⋅n−m+2m−1；第三次循环：k=3，p=n−m+1m ⋅n−m+2m−1⋅n−m+3m−2…第m次循环：k=m，p=n−m+1m ⋅n−m+2m−1⋅n−m+3m−2…n1此时结束循环，输出p=n−m+1m⋅n−m+2m−1⋅n−m+3m−2…n1=n!(n−m)!m!=C n m故选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算并输出变量P的值，模拟程序的运行对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．本题考查了程序框图的应用问题，排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，程序要注意对第m次循环结果的归纳，这是本题的关键，属于中档题．11.答案：B解析：本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题．解：方程mx+ny2=0即y2=−mnx，表示抛物线，方程mx2−ny2=1(|m|>|n|>0)表示双曲线．当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2−ny2=1(|m|>|n|>0)表示焦点在y轴上的双曲线，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线y2=−mnx开口向右，方程mx2−ny2=1(|m|>|n|>0)表示焦点在x轴上双曲线，故选B．12.答案：A解析：略13.答案：34解析：解：设平面区域{(x,y)|y≤−x2+2x，且y≥0}为区域M，平面区域{(x,y)|y≤x，x+y≤2，且y≥0}为区域A，对于区域M，函数y=−x2+2x与x轴的交点为(0,0)与(2,0)，则区域M的面积为∫(20−x2+2x)dx=(−13x3+x2)|02=43，区域A的面积为12×2×1=1；则点P恰是平面区域A内的点的概率为34；故答案为34．根据题意，设平面区域{(x,y)|y≤−x2+2x，且y≥0}为区域M，平面区域{(x,y)|y≤x，x+y≤2，且y≥0}为区域A，由积分可得区域M的面积，区域A为三角形，计算可得A的面积，由几何概型公式，计算可得答案．本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出两个区域对应面积的大小，并将其代入几何概型计算公式进行求解．14.答案：3解析：本题考查样本的平均数和方差，依据平均数和方差的计算公式直接计算即可，属基础题． 解：因为x 1,x 2,x 3...x n 的平均数为4，方差为7，且ax 1+b,ax 2+b,ax 3+b,⋯,ax n +b (a >0)的平均数是9，方差是28， 则{a ×4+b =9a 2×7=28，解得a =2,b =1， 所以a +b =3． 故答案为3．15.答案：√54解析：解：由题意作出抛物线的图象如图：可得p =1，F(12,0)，M(12,1)，N(12,−1)，所以K AB =k OM =2，则直线AB 的方程为：y =2(x −12)，由{y =2x −1y 2=2x ，k 可得4x 2−6x +1=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=32，因为弦AB 是焦点弦，所以|AB|=x 1+x 2+p =52，又点N 到直线AB 的距离为d =|2×12−1−1|√22+(−1)2=√55，三角形ABN 的面积为S =12×|AB|×d =12×52×√55=√54．故答案为：√54．画出图形，求得直线AB 的斜率，可得直线AB 的方程，代入抛物线的方程，根据抛物线的焦点弦公式，以及点到直线的距离，通过三角形的面积公式即可求得△ABN 的面积．本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及抛物线的焦点弦公式，焦点三角形的面积公式，考查转化思想，属于中档题．16.答案：解析：试题分析：由“p 或q ”是假命题，根据真值表可知，命题和全为假命题，先将命题翻译为最简，即命题：；命题：或，然后求和，再求交集．试题解析：由，得或，∵方程在[−1,1]有解，∴，或，所以，故命题：，又只有一个实数满足不等式，∴，∴或，故命题：或，所以：或；：且，∵“p 或q ”是假命题，∴命题和全为假命题，故或，所以a 的取值范围．考点：1、一元二次方程和一元二次不等式；2、复合命题的真假．17.答案：解：(1)考入大学不超过15人的年份分别设为a 、b 、c 、d 、e ，超过15人的年份设为F 、G ，从这7年中随机抽取两年的基本事件为ab 、ac 、ad 、ae 、aF 、aG 、bc 、bd 、be 、bF 、bG 、 cd 、ce 、cF 、cG 、de 、dF 、dG 、eF 、eG 、FG 共21种， 其中至少有1年多于15人的基本事件为aF 、aG 、bF 、bG 、cF 、cG 、dF 、dG 、eF 、eG 、FG 共11种， 故所求的概率为P =1121；(2)根据前5年的数据，计算x =15×(1+2+3+4+5)=3， y =15×(3+5+8+11+13)=8，∑x i 5i=1y i =3+10+24+44+65=146，∑x i 25i=1=1+4+9+16+25=55，则b̂=146−5×3×855−5×9=2.6，a ∧=8−2.6×3=0.2，∴y 关于x 的回归方程为y =2.6x +0.2，则第7年的估计值和实际值之间的差的绝对值为|2.6×7+0.2−22|=3.6． 解析：(1)由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；(2)根据前5年的数据计算平均数和回归系数，求出回归方程，计算对应的绝对值． 本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．18.答案：解：(1)频率分布直方图如图所示(2)由频率分布直方图知：睡眠时间小于8小时的包括前4组， ∴概率P =0.04+0.26+0.30+0.28=0.88；(3)根据所给的程序框图，输出数据S 为数据的平均数，∴S =4.5×0.04+5.5×0.26+6.5×0.30+7.5×0.28+8.5×0.10+9.5×0.02=6.70，则输出的S 值为6.70，S 的统计意义是指参加调查者的平均睡眠时间．解析：本题考查了利用频率分布表，作频率分布直方图，考查了利用频率分布直方图求频率(概率)，平均数，考查了程序框图，解题的关键是读懂程序框图．(1)利用频率分布表，求出各组数据对应小矩形的高，作频率分布直方图； (2)由频率分布直方图，求前4个小矩形的面积和，可得答案；(3)根据程序框图的运算规律，可得输出数据S 为样本数据的平均数，所以求每个小矩形的底边中点的横坐标乘以对应小矩形的高之和，可得答案．19.答案：解：(1)因为抛物线y 2=4x ，所以抛物线焦点坐标为F(1,0)，∵直线l 的斜率不为0，所以设直线l 的方程为：x =my +1， 由{x =my +1y 2=4x得y 2−4my −4=0， 所以y 1+y 2=4m ，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2， ∴|AB|=x 1+x 2+2=4m 2+4=8，∴m 2=1， ∴m =±1，∴直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −1=0；(2)证明：因为|MF|=2，所以由抛物线的定义可得，点M 的横坐标为1， 故M(1,2)或M(1,−2)，由(1)知D(−1,−2m )， ①M(1,2)时，则k MA =y 1−2x1−1=4y1+2，k MB =y 2−2x2−1=4y2+2，k MD =2+2m2=m+1m，因为k MA +k MB =4y1+2+4y 2+2=4⋅y 1+y 2+4(y 1+2)(y 2+2)=4⋅y 1+y 2+4y 1y 2+2(y 1+y 2)+4， 由(1)知y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4，代入上式得k MA +k MB =2m+2m，显然2k MD =k MA +k MB ，②若M(1,−2)时，仿上(或由对称性)可得2k MD =k MA +k MB ，综上可得，对任意的直线f(0)=1，直线a +b +c =1，a ，b 的斜率始终依次成等差数列． 解析：(1)显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：x =my +1，与抛物线方程联立，利用韦达定理得x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2，所以|AB|=x 1+x 2+2=4m 2+4=8，从而求出m 的值，得到直线l 的方程；(2)利用抛物线的定义可知点M 的横坐标为1，故M(1,2)或M(1,−2)，由(1)知D(−1,−2m )，再对M 的坐标分情况讨论，利用韦达定理分别k MA +k MB 的值，即可得到2k MD =k MA +k MB ．本题主要考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，以及等差数列的性质，是中档题．20.答案：解(1由f(x)=1n(2x −1)−m(2x −1)+1可得f′(x)=22x−1−2m ，由条件可得f′(2)=23−2m =−13，即m =12． 则f(x)=1n(2x −1)−x +32，f′(x)=22−1−1=−(2x−3)2x−1 (x >12)，令f′(x)=0可得x =32，当x >32时，f′(x)<0，当12<x <32时，f′(x)>0． ∴f(x)在(32′+∞)上单调递减，在(12,32)上单调递增， ∴f(x)的极大值为f(32)=1n2−32+32=1n2，无极小值．(2)①由条件可知：只需f(x)<1，即1n(2x −1)−m(2x −1)<0在(12,+∞)上恒成立． 即m(2x −1)>1n(2x −1)，而x >12， ∴2x −1>0，∴m >1n(2x−1)2x−1恒成立．令g(x)=1n(2x−1)2x−1，则g′(x)=2−21n(2x−1)(2x−1)2，令g′(x)=0可得x = e+12．当12<x <e+12时g′(x)>0，当x >e+12时，g′(x)<0，∴g(x)在(12,e+12)上单调递增，在(e+12,+∞)上单调递减，故g(x)的最大值为g(e+12)=1e ，∴m >1e ，即实数m 的取值范围是(1e ,+∞)． ②由①可知，m =25时，1n(2x−1)2x−1<25，即1n(2x −1)<2(2x−1)5对任意的x >12恒成立．令m =2x −1(m ∈N +)，则1nm <2m 5．1n1+1n2+1n3+⋯+1n(2n)<25(1+2+3+⋯+2n)， 即ln1+ln2+⋯+ln(2n)<2n(1+2n)5，∴ln[(2n)!]<2n(2n +1)5<4n(n +1)5解析：(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义及直线垂直时斜率的关系可求m ，然后结合单调性可求极值；(2)①由已知可得1n(2x −1)−m(2x −1)<0在(12,+∞)上恒成立，分离参数后通过构造函数，转化为求解相应函数的最值，结合导数可求； ②结合①可得1n(2x −1)<2(2x−1)5对任意的x >12恒成立，赋值m =2x −1(m ∈N +)，可得1nm <2m 5，然后结合对数的运算性质可求．本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数及利用分离法求解参数范围问题，体现了转化思想的应用．21.答案：解：(1)由题意可知：椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)焦点在x 轴上，椭圆过点(1,32)，即1a 2+94b 2=1，椭圆M 关于直线x =c 对称的图形过坐标原点， ∴a =2c ，由a 2=b 2+c 2，则b 2=34a 2， 解得：a 2=4，b 2=3， ∴椭圆的标准方程x 24+y 23=1；(2)证明：设直线PQ 的方程为：y =k(x −4)，k ≠0，∴{y =k(x −4)x 24+y 23=1，整理得：(3+4k 2)x 2−32k 2x +64k 2−12=0，∵过点P 0(4,0)且不垂直于x 轴的直线与椭圆交于P ，Q 两点，∴由△=(−32k 2)2−4(3+4k 2)(64k 2−12)>0，得：k ∈(−12,12)， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，E(x 4,−y 4)， 则x 1+x 2=32k 23+4k2，x 1⋅x 2=64k 2−123+4k 2，则直线AE 的方程为y −y 1=y 1+y2x 1−x 2(x −x 1)，令y =0得：x =−y 1⋅x 1−x2y 1+y 2+x 1=x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=x 1⋅k(x 1−4)+x 2k(x 2−4)k(x 1+x 2−8)=2x 1x 2−4(x 1+x 2)x 1+x 2−8=2×64k 2−123+4k 2−4×32k 23+4k 232k 23+4k 2−8=1．∴直线PE 过定点(1,0)，由椭圆的焦点坐标为(1,0)，则直线PE 与x 轴的交点为F ． 解析：(1)由题意可知：椭圆M ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)焦点在x 轴上，将点(1,32)代入椭圆上，即1a 2+94b 2=1，a =2c ，则b 2=34a 2，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程； (2)设直线PQ 的方程为：y =k(x −4)，k ≠0，代入椭圆方程，得(3+4k 2)x 2−32k 2x +64k 2−12=0，由根的判别式得到k ∈(−12,12)，由韦达定理及直线的方程代入x =−y 1⋅x 1−x2y 1+y 2+x 1=1，由此能证明直线AE 过定点(1,0)，由椭圆的焦点坐标为(1,0)，则直线PE 与x 轴的交点为F ．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线方程的应用，考查计算能力，属于中档题．22.答案：解：直线y =12x +b 的斜率k =12，(1)由题意得，f′(x)=−1x 2，令−1x 2=12，则方程无解，则切点不存在，所以直线y =12x +b 不能作为函数f(x)的切线； (2)由题意得，f′(x)=4x 3，令4x 3=12，解得x =12，则切点的坐标是(12,116)，则切点存在， 所以直线y =12x +b 能作为函数f(x)的切线； (3)由题意得，f′(x)=cosx ，令cosx =12，则方程有无数个解，则切点存在， 所以直线y =12x +b 能作为函数f(x)的切线．(4)由题意的，f′(x)=e x ，令e x =12，解得x =ln 12=−ln2，则切点坐标为(12,−ln2)，则切点存在， 所以直线y =12x +b 能作为函数f(x)的切线．解析：先由直线方程求出直线的斜率，由求导公式和法则求出f′(x)，由导数的几何意义列出方程，判断出方程是否有解，即可得到答案本题主要考查导数的几何意义：在某点出的切线的斜率是该点处的导数值的应用，以及方程思想．。
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宣城市2019—2020学年度第一学期期末调研测试
高二数学试题（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个正确的选项．）
1．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高160cm ；从南方抽取了200个男孩，平均身高为150cm ．由此可估计我国13岁男孩的平均身高大约为 A ．157cm
B ．156cm
C ．155cm
D ．154cm
2．从集合{},,a b c 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a 子集的概率是
A ．3
5
B ．
25
C ．
14
D ．18
3．“0mn <”是“方程2
2
1mx ny +=表示焦点在y 轴上的双曲线”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是 A ．B 与C 互斥 B ．任何两个均互斥 C ．A 与C 互斥
D ．任何两个均不互斥
5．甲、乙两名篮球运动员10场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两名运动员得分数据的中位数之差的绝对值是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且短轴的长为2，离心率等于
5
，则该椭圆的标准方程为 A ．
22
1204
x y +=
B ．
22
1204
y x +=
C ．2
215
y x +=
D ．2
215
x y += 7．下列命题中正确的是
A ．“3x >”是“5x >”的充分条件
B ．命题“x R ∀∈，210x +>”的否定是“x R ∃∉，2
10x +≤”． C ．m R ∃∈使函数()()2f x x mx x R =+∈是奇函数 D ．设p ，q 是简单命题，若
p q ∧是真命题，则p q ∨也是真命题
8．设双曲线2
2
19y x -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，直线1x =与双曲线的其中一条渐近线交于点P ，则12PF F V 的面积是
A ．
B
C ．
D ．9．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“━━”当做数字“1”，把阴爻“━━”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：
以此类推，则六十四卦中的“益”卦，符号“”表示的十进制数是 A ．49
B ．50
C ．81
D ．97
10．如图给出的是计算
1111
24620
++++L 的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是 A 21?i ≤
B ．11?i ≤
C ．21?i ≥
D ．11?i ≥
11．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和
2C 的一个公共点，且1223
F PF π
∠=
，若22e =，则1e 的值是
A B C D 12．已知函数2
()m x f x =+与函数1()ln
3g x x x =--，1,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是 A ．5
ln )4
[2,2+
B ．5
[2ln 2,
ln 2)4
-+ C ．5(ln 2,2ln 2)4
+-
D ．(]2ln2,2-
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）
13．图3风筝图案中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在
阴影部分的概率为_________．
14．若1220,,a a a L 这20个数据的平均数为x ，方差为0．21，则1220,,a a a L ，x 这21个数据的方差为
_________．
15．过抛物线2
:4C y x =的焦点F C 交于A ．B 两点，则AB =_________． 16．已知0c >，设命题
:p 函数x y c =为减函数，
命题:q 当1,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，函数11()f x x x c =+>恒成立；
如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则c 的取值范围是_________．
三、解答题（本大题共6题，共70分．解答题需写出文字说明，证明过程和演算步骤） 17．（10分）
有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
（1）求y 关于x 的线性回归直线方程；
（2）如果某天的气温是–10C ︒，预测这天卖出的热饮杯数（四舍五入，取整数）．
附：对于线性回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+， 其中1
1
2
2
2
1
1
()()
ˆ()n
n
i
i i i
i i n
n
i
i
i i x
x y y x y
nx y b
x
x x
nx ====---==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-， 18．（12分）
某校从参加某次知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[)40,50，[)
50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛的均分；
（2）如果确定不低于85分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进人复赛； （3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取
的2人成绩之差的绝对值大于20的概率．
19．（12分）已知抛物线2
(:0)2C y px p ->上的点()5,M m 到焦点F 的距离为6．
（1）求的p ，m 的值；
（2）过点()2,1P 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点P 是线段的AB 中点，求直线l 方程． 20．（12分）已知函数2
1()2(2)2
ln x f x a x a x =+
-+ （1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）求()f x 的单调区间． 21．（12分）
设椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过椭圆E 的右焦点2F 作直线l 与E 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB V 面积的最大值，并
求此时直线l 的方程．
22．（12分）
已知数3
2
()f x ax bx =-在点(1, (1))f 处的切线方程为31=0x y +-．的值； （1）求实数a ，b 的值；
（2）若过点()1,4()m m -≠-可做曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．。