复数的概念-全文课件高中数学(人教A版)

为纯虚数．
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复数相等的充要条件
[探究问题] 1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个 复数能比较大小吗？ [提示] 由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可 以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
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2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？ [提示] 若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0.
第七章 复 数
7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念
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学习目标
核心素养
1.了解引进虚数单位 i 的必要性，
了解数系的扩充过程．(重点) 1.通过学习数系的扩充，培养逻辑
2．理解复数的概念、表示法及相 推理的素养．
关概念．(重点)
2．借助复数的概念，提升数学抽
3．掌握复数的分类及复数相等的 象的素养.
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2．已知 m∈R，复数 z＝lg m＋(m2－1)i，当 m 为何值时， (1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数．
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m2－1＝0，
[解] (1)当z为实数时，m需满足m＞0，
解得m＝1.
(2)当z为虚数时，m需满足mm2＞－01，≠0， 解得m＞0，且m≠1.
lg m＝0， (3)当z为纯虚数时，m需满足m2－1≠0， 无解，即不存在m使z
D．x＝0，y＝0
A [∵(x＋y)i＝x－1，
∴xx＋ －y1＝＝00，， ∴x＝1，y＝－1.]
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3．在下列数中，属于虚数的是
是
．
，属于纯虚数的
0,1＋i，πi， 3＋2i，13－ 3i，π3i. 1＋i，πi， 3＋2i，13－ 3i，π3i πi，π3i
[根据虚数的概念知：
1＋i，πi， 3＋2i，13－ 3i，π3i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，π3 i都是纯虚数．]
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复数的概念
【例1】 给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋
bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；
④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个
数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
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C [复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定 是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③ 错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以 有3个错误．]
充要条件．(重点、易混点)
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1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数所构成的集合C＝_{_a_＋__b_i_|a_，__b_∈__R__}__，叫做复数集．
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2．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d . 3．复数的分类
实数(b ＝ 0 ) z＝a＋bi(a，b∈R)__虚__数___b≠0非 纯纯 虚虚 数数 (aa＝≠ 00)
x2－x＋x－3 6＝0， (3)当x满足x2－2x－15≠0，
x＋3≠0，
即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
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复数分类的关键 (1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标 准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要 全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式． (2)注意分清复数分类中的条件 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔ b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，④z＝0⇔a＝0，且b＝0.
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1．若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m 的值．
[解] 由题意可知，1＋1－2i ＋3m－i＝0， 即m＝－23＋i.
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C [选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚 数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有 y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚 数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项 D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．]
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【例3】 (1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等
于
．
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数
m的值．
[思路探究] (1)等价转化为虚部为零，且实部小于零． (2)根据复数相等的充要条件求解．
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m2－9＝0， (1)－3 [∵z<0，∴m＋1<0， ∴m＝－3.] (2)[解] 设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即 (a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0， 所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0， 所以a＝－12且－122－12＋3m＝0，所以m＝112.
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思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关 系？
[提示]
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1．复数i－2的虚部是( )
A．i
B．－2
C．1
D．2
C [i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]
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2．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝－1
B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0
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判断复数概念方面的命题真假的注意点 (1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概 念，注意它们之间的区别与联系； (2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同； (3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假．
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1．下列说法中正确的是( ) A．复数由实数、虚数、纯虚数构成 B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0 C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯 虚数 D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
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复数的分类
【例2】
实数x分别取什么值时，复数z＝
x2－x－6 x＋3
＋(x2－2x－
15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
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x2－2x－15＝0，
[解] (1)当x满足x＋3≠0，
即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足xx2＋－32≠x－0，15≠0， 即x≠－3且x≠5时，z是虚数．