随机信号的功率谱估计方法

数字信号处理II

——随机信号的功率谱估计方法

一、实验目的

1．利用自相关函数法和周期图法实现对随机信号的功率谱估计。 2．观察数据长度、自相关序列长度、信噪比、窗函数、平均次数等对谱估计的分辨率、稳

定性、主瓣宽度和旁瓣效应的影响。 3．学习使用FFT 提高谱估计的运算速度。 4．体会非参数化功率谱估计方法的优缺点。

二、实验原理与方法

假设信号()x n 为平稳随机过程，其自相关序列定义为:

{}*()()()m E x n x n m φ+

(0.1)

其中{}E ∙表示取数学期望，{}*

∙表示取共轭。根据定义，()x n 的功率谱密度()P w 与自相关序列()m φ存在如下关系：

()()j m

m P m e

ωωφ+∞

-=-∞

=

∑ (0.2)

1

()()2j m

m P e

d π

ωπφωωπ

-

=

⎰

(0.3)

然而，实际中我们很难得到准确的自相关序列()m φ，只能通过随机信号的一段样本序列来估计信号的自相关序列，进而得到信号的功率谱估计。目前常用的线性谱估计方法有两种：自相关函数法和周期图方法，本实验将对这两种方法分别予以讨论。

1．自相关函数法

假设已知随机信号()x n 的N 个观测样本，则其自相关序列可以用下式进行估计:

||1

*0

1

ˆ()()()||1||N m n m x n x n m m N N m φ

--==+≤--∑

(0.4)

当仅使用长度为2M-1的自相关序列时，对其进行傅立叶变换即可得到功率谱估计如下:

11

ˆˆ()()M j m m M P

m e ωωφ

--=-+=∑

(0.5)

其中M 为加窗长度，Re ()c

M

W m 为矩形窗函数，定义如下:

Re 1,||()0,||c

M

m M W

m m M <⎧=⎨≥⎩

(0.6)

因此， ˆ()P

w 在一定程度上可以看作是“真正的功率谱()P w ”与窗函数傅立叶变换的卷积。

矩形窗函数不仅降低了谱估计的分辨率，而且使谱估计产生了旁瓣，旁瓣效应使那些处于旁瓣附近功率较小的频率分量被淹没掉。为了降低旁瓣影响，可以采用具有较小旁瓣的窗函数，如Hamming 窗，它定义为：

0.540.46cos ,||()0,

||Ham

M m m M W m M

m M

π⎧

+<⎪=⎨⎪≥⎩ (0.7)

这种窗函数可以有效的抑制旁瓣，但此时主瓣宽度增大，从而降低了谱估计的分辨率。这种主瓣和旁瓣之间的矛盾在非参数化功率谱估计方法中是无法解决的。

2．周期图方法

假设已知随机信号()x n 的N 个样本，利用周期图方法，信号()x n 的功率谱估计为:

1

20

1ˆ()|()|N j m n P

x n e N ωω--==∑ (0.8)

利用上述方法得到的谱估计方差与信号()x n 的功率谱平方2[()]P w 成正比，为了减小它的方差，可以将信号序列进行分段处理，然后再求各分段结果的平均，这就是平均周期图方法，即Bartlett 方法,它特别适用于FFT 直接计算功率谱估值。

（1）Bartlett 平均周期图方法

将一个随机序列()x n (0)n N ≤≤分成K 段，每段长度为L ，各段之间互不重叠，因而N LK =。可以想到，第i 段的信号序列可表示为：

()((1))

0n<,1i x n x n i L L i K =+-≤≤≤ (0.9)

每一段的周期图又可写成：

120

1ˆ()|()|1L j m i i n I x n e i K L ωω--==≤≤∑ (0.10)

于是，功率谱估计定义为：

1

1ˆˆ()()K

i i P

I K

ωω==∑

(0.11)

对于固定的记录长度来讲，分段数K 增大可使谱估计的方差减小，但是由于L 的减小，相应的功率谱主瓣增宽，谱分辨率降低，显然，方差和分辨率也是矛盾的。

除了分辨率降低以外，分段处理还会引起序列的长度有限所带来的旁瓣效应。为减小这种影响，最有效的办法是给分段序列用适当的窗函数加权，可以得到较平滑的谱估计，当然，相应的分辨率也有所下降。

（2）平滑平均周期图方法

这是一种改进的Bartlett 周期图方法，将长度为 N 的平稳随机信号序列

()x n 分成K 段，每段长度为L ，即/L N K =。这里在计算周期图之前，先用窗

函数L W (n)给每段序列(n)i x 加权，K 个修正的周期图定义为：

2-1

-=0

1ˆ()=(n)W (n)e

1L W j m

i

i

L

n I x i K LU

ωω≤≤∑ (0.12)

其中U 表示窗函数序列每个样本的平均能量，即：

2

-1

=0

1=

W (n)

L L

n U L

∑ (0.13)

在这种情况下，功率谱估计可按下面表达式给出：

=1

1ˆˆ

()=()K

W i

i P

I K

ωω∑

(0.14)

本实验主要是利用自相关函数法和周期图方法对下面受噪声干扰扰的正弦信号进行谱估计：

(n+)=1(n)=+(n)s

i i N j i i x a e w ωϕ∑

(0.15)

其中N s 为正弦个数，i ω，i ϕ和i a 分别为第i 个正弦信号的数字频率、相位