三角恒等变换与解三角形(学生版)

高考微点六 三角恒等变换与解三角形

牢记概念公式，避免卡壳

1.三角恒等变换的主要公式

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

cos(α±β)＝cos αcos βsin αsin β；

tan(α±β)＝tan α±tan β1tan αtan β

； sin 2α＝2sin αcos α；

cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2 α；

tan 2α＝2tan α1－tan 2α

. 2.正弦定理与余弦定理

(1)正弦定理

①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .

②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R .

③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .

注：R 是三角形的外接圆半径.

(2)余弦定理

①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac

， cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab .

②b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，

a 2＋

b 2－

c 2＝2ab cos C .

活用结论规律，快速抢分

1.辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中

⎭

⎪⎫tan φ＝b a . 2.在△ABC 中，A >B sin A > sinB. 3.△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .

4.设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，则

(1)若a 2＋b 2＝c 2，则C ＝π2；(2)若a 2＋b 2>c 2，则C <π2；

(3)若a 2＋b 2π2

. 高效微点训练，完美升级

1.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则2cos 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6＋α2－1＝( ) A.13 B.－13 C.79 D.－79

2.(2019·东北三省三校联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α－π3的值为( ) A.12 B.23 C.－12 D.1

3.(2018·沈阳质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( )

A.2

B.1

C. 3

D. 2 4.sin 10°1－3tan 10°

＝( ) A.14 B.12 C.32 D.1

5.在△ABC 中，三边长分别为a ，a ＋2，a ＋4，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为( )

A.154 3

B.154

C.214 3

D.354 3

6.(2019·成都诊断)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sin B ＋sin C ＋b a ＋c ＝1，则C ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6

7.(2019·昆明诊断)已知3cos 2α＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4，π，则sin 2α＝( ) A.79 B.－79 C.19 D.－19

8.(2019·石家庄一模)在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则AC ＋3BC 的最大值为( )

A.7

B.27

C.37

D.47

9.(2019·江西八所重点中学联考)若点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，则cos 2θ＋sin θcos θ＝( )

A.1110

B.－1110

C.1

D.－1

10.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝____________. 11.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.

12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos

A ＝－14，则a 的值为________.

13.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值.

14.(2019·潍坊一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0.

(1)求B ； (2)若b ＝3，△ABC 的周长为3＋23，求△ABC 的面积.