高中数学书本基础定理和公式(有拓展)

高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.A A ∅⇔≠∅Ø2 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有22n -个.3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式） （4）切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。

（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的横坐标为0x 时，设为此式）4 真值表： 同真且真，同假或假 56 .）互 否 充要条件： (1)、p q ⇒，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；（2）、p q ⇒，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ⇒，则P 是q 的必要不充分条件；4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。

7 函数单调性:增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。

D 则就是f （x ）的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。

D 则就是f （x ）的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

等价关系：(1)设1212,,,x x a b x x ∈≠那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：定义：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或， 则f （x ）就是奇函数。

性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间； （3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 .偶函数：定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。

性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称； （2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．9函数的周期性：定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ），则就叫f （x ）是周期函数，其中，T 是f （x ）的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：(1)、f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ；（2）、 f （x+m ）=f （x+n ），此时周期为2m n - ； (3)、1()()f x m f x +=-，此时周期为2m 。

10常见函数的图像：11 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b ax -=对称. 12 分数指数幂与根式的性质：(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）. （2）1m n m naa-==（0,,a m n N *>∈，且1n >）.（3）na =.（4）当n a =；当n ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.13 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.指数性质： (1)1、1p pa a-=； （2）、01a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)rsr sa a a a r s Q +⋅=>∈ ； (5)、m na =；指数函数：(1)、 (1)x y a a =>在定义域内是单调递增函数；（2）、 (01)x y a a =<<在定义域内是单调递减函数。

注： 指数函数图象都恒过点（0，1）对数性质：(1)、 log log log ()a a a M N MN += ；（2）、 log log log a a a MM N N-= ； (3)、 log log m a a b m b =⋅ ；(4)、 log log m n a a nb b m=⋅ ； (5)、 log 10a =(6)、 log 1a a = ； (7)、 log a b a b = 对数函数： (1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数；（2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）(3)、 log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >⇔∈∈+∞或(4)、log 0(0,1)(1,)a x a x <⇔∈∈+∞则 或 (1,)(0,1)a x ∈+∞∈则14 对数的换底公式 :log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 对数恒等式：log a N a N =(0a >,且1a ≠, 0N >).推论 log log m n a a nb b m=(0a >,且1a ≠, 0N >).15对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a MM N N=-;(3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m n a a nN N n m R m=∈。

16 平均增长率的问题（负增长时0p <）：如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+. 17 等差数列：通项公式： （1） 1(1)n a a n d =+- ，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为末项。

（2）推广： ()n k a a n k d =+-（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）前n 项和： （1）1()2n n n a a S +=；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。

（2）1(1)2n n n S na d -=+（3）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） （4）12n n S a a a =+++L （注：该公式对任意数列都适用）常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；注：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+⇔n 、m 、p 成等差。

（2）、若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。

（3）、{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。

（4）、,,0p q p q a q a p a +===则 ； （5） 1+2+3+…+n=2)1(+n n 等比数列：通项公式：（1） 1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈ ，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比。

（2）推广：n k n k a a q -=⋅（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）前n 项和：（1）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）（2）12n n S a a a =+++L （注：该公式对任意数列都适用）（3）11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a ⋅=⋅ ；注：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2m n p a a a =⋅⇔n 、m 、p 成等比。

（2）、若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n a b ⋅为等比数列。

18分期付款(按揭贷款) ：每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 19三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.20 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ， 21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 22 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=).23 二倍角公式及降幂公式sin 2sin cos ααα=22tan 1tan αα=+. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+. 22tan tan 21tan ααα=-. sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==24 三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 三角函数的图像：25 正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=26余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-. 27面积定理：（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=2,2a b c S r r a b c ∆∆∆+==++斜边内切圆直角内切圆－28三角形内角和定理 ：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：(1) 结合律：λ(μa r )=(λμ) a r;(2)第一分配律：(λ+μ) a r =λa r +μa r;(3)第二分配律：λ(a r +b r )=λa r+λb r . 30a r 与b r 的数量积(或内积)：a r ·b r =|a r ||b r|cos θ。