高中数学书本基础定理和公式(有拓展)

高中数学常用公式及结论

1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.A A ∅⇔≠∅Ø

2 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有22n -个.

3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;

(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为

12(,0),(,0)x x 时，设为此式） （4）切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且

切点的横坐标为0x 时，设为此式）

4 真值表： 同真且真，同假或假 5

6 .）

互 否 充要条件： (1)、p q ⇒，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；

（2）、p q ⇒，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ⇒，则P 是q 的必要不充分条件；

4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。

7 函数单调性:

增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的

1212

,,x x D x x ∈<且，

都有

12()()

f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的

1212

,,x x D x x ∈<且，都有

12()()

f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）的递减

区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；

(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

等价关系：(1)设1212,,,x x a b x x ∈≠那么

[]1212()()()0x x f x f x -->⇔

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在⇔>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --<⇔

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：定义：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或， 则f （x ）就是奇函数。 性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间； （3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 .

偶函数：定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。

性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称； （2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

9函数的周期性：

定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ），则就叫f （x ）是周期函数，其

中，T 是f （x ）的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

(1)、f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ；

（2）、 f （x+m ）=f （x+n ），此时周期为2m n - ； (3)、1

()()

f x m f x +=-

，此时周期为2m 。 10常见函数的图像：

11 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2

b

a x +=

;两个函数)(a x f y +=与

)(x b f y -= 的图象关于直线2

b a

x -=对称. 12 分数指数幂与根式的性质：

(1)m n

a =

0,,a m n N *>∈，且1n >）. （2）1

m n m n

a

a

-=

=

（0,,a m n N *>∈，且1n >

）.

（3）n

a =.

（4）当n a =；当n ,0

||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩

.

13 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.

指数性质： (1)1、1p p

a a

-=

； （2）、0

1a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,

)r

s

r s

a a a a r s Q +⋅=>∈ ； (5)、m n

a =；

指数函数：

(1)、 (1)x y a a =>在定义域内是单调递增函数；

（2）、 (01)x y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）

对数性质：

(1)、 log log log ()a a a M N MN += ；（2）、 log log log a a a M

M N N

-= ； (3)、 log log m a a b m b =⋅ ；(4)、 log log m n a a n

b b m

=

⋅ ； (5)、 log 10a =