集合、复数平面向量练习题
最新年高考数学二轮复习 专题能力训练3 平面向量与复数 理(考试必备)
专题能力训练3 平面向量与复数一、能力突破训练1.设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p42.设a,b是两个非零向量,则下列结论一定成立的为()A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|3.(2018全国Ⅲ,理2)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i4.在复平面内,若复数z的对应点与的对应点关于虚轴对称,则z=()A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.26.(2018浙江,4)复数(i为虚数单位)的共轭复数是 ()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i7.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.-a2B.-a2C.a2D.a28.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(t m+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-9.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=,I2=,I3=,则()A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I310.(2018全国Ⅲ,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .11.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2=λ(λ∈R),且=-4,则λ的值为.12.设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .13.已知a,b∈R,(a+b i)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,|AD|=|AB|,|BE|=|BC|.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.二、思维提升训练15.在△ABC中,已知D是AB边上一点,+λ,则实数λ=()A.-B.-C.D.16.已知,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.2117.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且||·||+=0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为()A.2B.3C.4D.618.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.19.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ= .20.已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.专题能力训练3平面向量与复数一、能力突破训练1.B解析p1:设z=a+b i(a,b∈R),则R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;p2:因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.2.C解析设向量a与b的夹角为θ.对于A,可得cos θ=-1,因此a⊥b不成立;对于B,满足a⊥b 时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cos θ=-1,因此成立,而D显然不一定成立.3.D解析 (1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.4.D解析=2+i所对应的点为(2,1),它关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i.5.C解析∵2a+b=(1,0),又a=(1,-1),∴(2a+b)·a=1+0=1.6.B解析=1+i,∴复数的共轭复数为1-i.7.D解析如图,设=a,=b.则=()=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+a2=a2.8.B解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(t m+n),所以n·(t m+n)=n·t m+n·n=t|m|·|n|cos<m,n>+|n|2=t×3k×4k+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.9.C解析由题图可得OA<AC<OC,OB<BD<OD,∠AOB=∠COD>90°,∠BOC<90°,所以I2=>0,I1=<0,I3=<0,且|I1|<|I3|,所以I3<I1<0<I2,故选C.10解析 2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=11解析=2,)=又=,∠A=60°,AB=3,AC=2,=-4,=3×2=3,()=-4, 即=-4,4-9+3=-4,即-5=-4,解得λ=12.-1解析∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,∴a+1=0,即a=-1.13.52解析由题意可得a2-b2+2ab i=3+4i,则解得则a2+b2=5,ab=2.14解析由题意)=-,故λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=二、思维提升训练15.D解析如图,D是AB边上一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,过点D作DF∥AC,交BC于点F,则因为+,所以=由△ADE∽△ABC,得,所以,故λ=16.A解析以点A为原点,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B,C(0,t),=(1,0),=(0,1),=(1,0)+4(0,1)=(1,4),∴点P的坐标为(1,4),=(-1,t-4),=1--4t+16=-+17≤-4+17=13.当且仅当=4t,即t=时取“=”,的最大值为13.17.B解析因为M(-3,0),N(3,0),所以=(6,0),||=6,=(x+3,y),=(x-3,y).由||·||+=0,得6+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x 的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以d min=3.18.42解析设向量a,b的夹角为θ,由余弦定理得|a-b|=,|a+b|=,则|a+b|+|a-b|=令y=,则y2=10+2[16,20],据此可得(|a+b|+|a-b|)max==2,(|a+b|+|a-b|)min==4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是219.1解析如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以=0,=0.又因为=0,所以①同理由①+②得,2+()+()=, 所以).所以λ=,μ=所以λ+μ=1.20.-2解析i为实数,∴-=0,即a=-2.。
第五章平面向量与复数
第五章 平面向量与复数第26讲 平面向量的概念与线性运算A 应知应会选择题1.（多选）如图，若D , E , （）AC 与BD 交于点O ,若A B + AD = AO ，贝U 入等AB , BC , CA 的中点分别为 E , F , D ，则EC + F A 等于（））已知 e i,e 2 是不共线向量，a = me i + 2e 2, b = n e i - e 2,且 mn ^ 0,若a // b ，则m 等于（）A. FD + DA + DE B .AD + BE + CF C. FD + DE + AD =AB D. AD + EC + FD =BD于（） A. 1 B. 2 C. 4D.63.在等腰梯形 ABCD 中，AB =— 2CD , M 为BC 的中点，贝U AM 等于（） A D B. 4 AB +1 A DADD. 2 A B +3ADA. -2C. - 2D. 2中正确的是F 分别是△ ABC 的边AB ，BC , CA 的中点，则下列等式2.在平行四边形 ABCD 中，对角线4.在^ ABC 中，设三边 A. BDB. 1BDC. ACD. 2 AC 5. （2019河北三市联考解答题6.设e1, e2是两个不共线向量，已知A B =2e1 —862, CB = e1 + 3e2, CD =2e1 —62.⑴求证：A, B, D三点共线;⑵若BF = 3e1—ke2,且B, D, F三点共线，求k的值.7.在^ ABC 中, D , E分别为BC, AC边上的中点，G为BE 上一点，且GB= 2GE, 设A B = a, AC = b, 试用a, b表示AD , AG .B组能力提升填空题1.在^ ABC 中,T T T 1 T T若AD = 2DB , CD = 3 CA + CB，则入=2. （2019无锡期末）在四边形ABCD中，已知AB = a+ 2b,—3b，其中a, b是不共线的向量，则四边形ABCD的形状是_BC = —4a—b, CD = —5a3. （2019潍坊一模改编）若M是^ ABC内一点，且满足BA + BC = 4BM，则△ ABM与△ ACM的面积之比为__________ .4. （2019泰州期末）已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点，且满足PA + P B + 2PD = 0, PA + pPB + PC = 0，贝U 入=解答题5.在直角梯形ABCD 中，/ A = 90° / B= 30° AB = 2^3 , BC = 2,点E在线段CD 上，若AE = AD + pAB，求□的取值范围.6. （1）如图（1），在同一个平面内，向量OA , OB , 00的模分别为1 , 1,OC的夹角为a,且tan a= 7, OB与OC 的夹角为45。
2020届高考数学一轮复习第六篇平面向量与复数专题6.4复数练习含解析
专题6.4 复 数【考试要求】1.通过方程的解，认识复数；2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 【知识梳理】 1.复数的有关概念内容 意义 备注复数的概念形如a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )的数叫复数，其中实部为a ，虚部为b若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数复数相等a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d(a ，b ，c ，d∈R)共轭复数a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d(a ，b ，c ，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ →对应的复数为z ＝a ＋b i ，则向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 22.复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.3.复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i≠0).【微点提醒】 1.i 的乘方具有周期性 i n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系z ·z －＝|z |2＝|z －|2.3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 【教材衍化】2.(选修2－2P106A2改编)若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1 B.2 C.1或2 D.－1【答案】 B【解析】 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.3.(选修2－2P116A1改编)复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i【答案】 C【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i.【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i【答案】 D 【解析】3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 D 【解析】11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i 的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 【答案】 －1【解析】 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ， ∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 【考点聚焦】考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( )A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( )A.2－iB.2＋iC.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A.1B.0C.－12D.－1【答案】 (1)D (2)D (3)D【解析】 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 【规律方法】1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.2.解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部.【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i (2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B.(2)∵1－i ＝2＋a i1＋i ，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2，解得a ＝0.故选C. 考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i 对应的点关于实轴对称，则z ＝( )A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i【答案】 (1)D (2)D 【解析】 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D.【规律方法】1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )Z (a ，b )OZ →＝(a ，b ).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i【答案】 (1)D (2)D【解析】 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D. 考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D. 2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________.【答案】 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【解析】 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i2i＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.【规律方法】 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答.【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i5B.2＋i5C.1－2i5D.1＋2i5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z＝( )A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i【答案】 (1)D (2)D (3)C【解析】 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i 5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.【反思与感悟】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 【易错防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.注意复数的虚部是指在a ＋b i(a ，b ∈R )中的实数b ，即虚部是一个实数. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：30分钟) 一、选择题1.已知复数(1＋2i)i ＝a ＋b i ，a ∈R ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3【答案】 B【解析】 因为(1＋2i)i ＝－2＋i ，所以a ＝－2，b ＝1，则a ＋b ＝－1，选B. 2.(2018·浙江卷)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i【答案】 B【解析】 因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i的共轭复数为1－i.故选B. 3.设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A.2－i B.2＋i C.1D.－1－2i【答案】 A【解析】 复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i ，故选A. 4.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1＋i)2B.i 2(1－i) C.(1＋i)2D.i(1＋i)【答案】 C【解析】 i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数.故选C. 5.设z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.2【答案】 B【解析】 因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 6.若a 为实数，且1＋2ia ＋i 为实数，则a ＝( )A.1B.12C.－13D.－2【答案】 B【解析】 因为1＋2i a ＋i ＝（1＋2i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＝a ＋2＋（2a －1）i a 2＋1是一个实数，所以2a －1＝0，∴a ＝12.故选B.7.(2019·豫南九校质量考评)已知复数a ＋i2＋i＝x ＋y i(a ，x ，y ∈R ，i 是虚数单位)，则x ＋2y ＝( )A.1B.35C.－35D.－1【答案】 A【解析】 由题意得a ＋i ＝(x ＋y i)(2＋i)＝2x －y ＋(x ＋2y )i ，∴x ＋2y ＝1，故选A.8.(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z －对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】 A【解析】 由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z －＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A. 二、填空题9.(2018·天津卷)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝________.【答案】 4－i 【解析】6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝20－5i5＝4－i. 10.复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________. 【答案】 5【解析】 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5. 11.(2019·西安八校联考)若a ＋b ii(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________.【答案】 －7 【解析】 ∵a ＋b i i＝（a ＋b i ）（－i ）－i2＝b －a i ，(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，a ＋b ii(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，∴b ＝3，a ＝－4，则a －b ＝－7，故答案为－7.12.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________. 【答案】 －2＋i【解析】 因为A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i (i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2【答案】 A【解析】 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i 13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A.14.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B【解析】 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B.15.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2【答案】 B【解析】 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i 2＝i ，1－i1＋i＝－i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.16.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i ，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】 D【解析】 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5，11 ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D.。
第五章 必刷小题10 平面向量与复数
一、单项选择题1．(2023·马鞍山模拟)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(2m －1,3)，若a 与b 共线，则实数m 等于( ) A.132 B ．5 C.72D ．1 2．设复数z 是纯虚数，若1－i z ＋2是实数，则z 等于( ) A ．－2i B ．－i C ．i D ．2i3．(2024·哈尔滨模拟)已知|b |＝3，且a ·b ＝－2，则向量a 在向量b 上的投影数量为( )A ．－23b B.23b C ．－233 D.2334．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)5．(2023·洛阳模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，a 与b 的夹角为120°，若|a －b |＝7，则|b |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2023·临沂模拟)已知复数z 0＝8＋6i 3－4i，其中i 为虚数单位，且|z －z 0|＝1，则复数z 的模的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．(2023·淄博模拟)如图，已知在△ABO 中，OA ＝1，OB ＝2，OA →·OB →＝－1，过点O 作OD ⊥AB于点D ，则( )A.OD →＝57OA →＋27OB → B.OD →＝37OA →＋47OB → C.OD →＝27OA →＋57OB →D.OD →＝47OA →＋37OB → 8．(2023·北京模拟)已知正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 内部(不含边界)的动点，且满足P A →·PB →＝0，则CP →·DP →的取值范围是( )A ．(0,8]B ．[0,8)C ．(0,4]D ．[0,4)二、多项选择题9．已知向量a ，b 满足a ·b ＝1，|b |＝1，且|a ＋b |＝7，则( )A ．|a |＝2B ．a ⊥(a －b )C ．a 与b 的夹角为π3D ．a 与b 的夹角为π610．(2023·沈阳模拟)已知复数z 1＝m 2－1＋(m ＋1)i ，z 2＝cos 2θ＋isin θ，下列说法正确的是( )A ．若z 1为纯虚数，则m ＝1B ．若z 2为实数，则θ＝k π，k ∈ZC ．若z 1＝z 2，则m ＝0或m ＝－43D ．若z 1≥0，则m 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)11．(2024·黄山模拟)如图，EF 为圆O 的一条直径，点P 是圆周上的动点，M ，N 是直径EF 上关于圆心O 对称的两点，且EF ＝8，MN ＝6，则( )A.PM →＝18PE →＋78PF → B.PE →＋PF →＝PM →＋PN →C.PM →·PN →>PE →·PF →D.PF →－PE →>PN →－PM →12．(2023·忻州模拟)若△ABC 的三个内角均小于120°，点M 满足∠AMB ＝∠AMC ＝∠BMC ＝120°，则点M 到三角形三个顶点的距离之和最小，点M 被人们称为费马点．根据以上性质，已知a 是平面内任意一个向量，向量b ，c 满足b ⊥c ，且|b |＝2|c |＝23，则|a －b |＋|a －c |＋|a ＋c |的取值可以是( )A ．9B ．4 3C ．3 3D ．6三、填空题13．(2023·西安检测)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i －3i 2 025，且z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝________.14.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 和点F 分别是CD 和BC 边上的动点，连接EF ，交AC 于点G ，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R 且λ＋μ＝32，则|AG →||GC →|＝________.15．(2023·开封模拟)已知复数z 满足|z ＋2i|＝|z |，写出一个满足条件的复数z ＝________.16．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在边长为2的正八边形ABCDEFGH 中，若AE →＝λAC →＋μAF →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________；若P 是正八边形ABCDEFGH 八条边上的动点，则AP →·AB →的最小值为________．。
2024年高考数学真题分类汇编03：复数和平面向量
复数和平面向量一、单选题1．（2024·全国）若1i 1zz =+-，则z =（）A ．1i--B ．1i-+C ．1i-D ．1i+2．（2024·全国）已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若(4)b b a ^-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（2024·全国）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C D ．24．（2024·全国）已知向量,a b 满足1,22a a b =+=，且()2b a b -^，则b =（）A ．12B C D ．15．（2024·全国）设z =，则z z ×=（）A ．-iB ．1C ．-1D ．26．（2024·全国）设5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．2-7．（2024·全国）已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ^”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ^”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件8．（2024·北京）已知i 1iz=-，则z =（）．A ．1i-B ．i-C ．1i--D ．19．（2024·北京）已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =或a b =-”的（）条件．A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题10．（2024·天津）已知i 是虚数单位，复数))i 2i ×=．11．（2024·天津）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r l m ，则l m +=；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×的最小值为．12．（2024·上海）已知()(),2,5,6,k a b k Î==R ，且//a b ，则k 的值为．13．（2024·上海）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=ÎR ，则实数m 为．参考答案：1．C【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【解析】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.2．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【解析】因为()4b b a ^-，所以()40b b a ×-=，所以240b a b -×=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.3．C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【解析】若1i z =--，则z ==故选：C.4．B【分析】由()2b a b -^得22b a b =×，结合1,22a a b =+=，得22144164a b b b +×+=+=，由此即可得解.【解析】因为()2b a b -^，所以()20b a b -×=，即22b a b =×，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +×+=+=，从而22=b .故选：B.5．D【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【解析】依题意得，z =，故22i 2zz =-=.故选：D 6．A【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【解析】由5i 5i,10z z z z =+Þ=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A 7．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【解析】对A ，当a b ^时，则0a b ×=，所以(1)20x x x ×++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==，故0a b ×=，所以a b ^，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b 时，则22(1)x x +=，解得1x =±B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b 不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.8．C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【解析】由题意得()i i 11i z =-=--，故选：C.9．A【分析】根据向量数量积分析可知()()0a b a b +×-=等价于a b =，结合充分、必要条件分析判断.【解析】因为()()220a b a b a b +×-=-=，可得22a b =，即a b =，可知()()0a b a b +×-=等价于a b =，若a b =或a b =-，可得a b =，即()()0a b a b +×-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +×-=，即a b =，无法得出a b =或a b =-，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b =，但a b ¹且a b ¹-，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +×-=”是“a b ¹且a b ¹-”的必要不充分条件.故选：A.10．7【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【解析】))i 2i 527×=-+=.故答案为：7.11．43518-【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE ，即可得l m +，设BF BEk =uu u r uur，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ×的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得l m +，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ×的最小值.【解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13l m ==，所以43l m +=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==×=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+Î，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC æö=+=+=-+ç÷èø，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC æöæö=+=-+=-+-ç÷ç÷èøèø，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC éùéùæöæöæö×=-+×-+-ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëû22111563112329510k k k k æöæöæö=-+-=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø，又因为[]0,1k Î，可知：当1k =时，AF DG ×取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E æö---ç÷èø，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE æö=-==-ç÷èø，因为(),BE BA BC l m l m =+=-，则131l m ì-=-ïíï=î，所以43l m +=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x éù=-Î-êúëû上，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，且G 为AF 中点，则13,22a G a -æö-ç÷èø，可得()131,3,,122a AF a a DG a +æö=+-=--ç÷èø，则()()22132331522510a AF DG a a a +æöæö×=+---=+-ç÷ç÷èøèø，且1,03a éùÎ-êúëû，所以当13a =-时，AF DG ×取到最小值为518-；故答案为：43；518-.12．15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【解析】//a b ，256k \=´，解得15k =．故答案为：15．13．2【分析】设1i z b =+，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【解析】设1i z b =+，b ÎR 且0b ¹.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b æöæö+-+=++=+=ç÷ç÷+++èøèø，mÎR，2232310 1bmbb bbì+=ïï+\í-ï=ï+î，解得2m=，故答案为：2.。
高中数学第七章复数经典大题例题(带答案)
高中数学第七章复数经典大题例题单选题1、已知z =2+i ，则z−i 1+i =（ ）A ．1−2iB ．2+2iC ．2iD ．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ，得z =2−i ，所以z−i 1+i =2−i−i 1+i =2(1−i )×(1−i )(1+i )×(1−i )=2×(1−2i+i 2)2=−2i .故选：D.2、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可. 因为(−1+2i )x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1，解得{x =−3y =4， 所以|x −yi |=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.3、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z =a 所以z =z ,反之当z =z 时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .5、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|2答案：D解析：举反例z 1=2+i ，z 2=2−i 可判断选项A 、B ，举反例，z 2=i 可判断选项C ，设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，分别计算|z 12|、|z 1|2即可判断选项D ，进而可得正确选项.对于选项A ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，z 12=(2+i )2=3+2i ，z 22=(2−i )2=3−2i ，满足z 12+z 22=6>0，但z 12与z 22是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，|z 1−z 2|=|2i |=2，而√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2=√42−4(2+i )(2−i )=√16−20无意义，故选项B 不正确；对于选项C ：取，z 2=i ，则z 12+z 22=0，但是z 1≠0，z 2≠0，故选项C 不正确；对于选项D ：设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，则z 12=(a +bi )2=a 2−b 2+2abi11z =11z =|z 12|=√(a 2−b 2)2+4a 2b 2=√(a 2+b 2)2=a 2+b 2，z 1=a −bi ，|z 1|=√a 2+b 2，所以|z 1|2=a 2+b 2，所以|z 12|=|z 1|2，故选项D 正确.故选：D.6、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（ ）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解.根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.7、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D8、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（ ）A ．3＋iB ．3－iC．－3－iD．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n的值，进而得出复数z. 由题意知（n2＋mn）＋2n i＝－2－2i，即{n 2+mn+2=02n+2=0，解得{m=3,n=−1，∴z=3−i故选：B多选题9、已知复数z=21+i，则正确的是（）A．z的实部为﹣1B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的虚部为﹣iD．z的共轭复数为1+i答案：BD分析：根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.因为z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以z的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为z=1+i，故AC错误，BD正确.故选：BD10、复数z=1−i，则（）A．z在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)B．z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)C．|z|=2D．|z|=√2答案：AD分析：利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为(1,−1)，即可得答案；z=1−i在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，|z|=√2．故选：AD.11、已知复数z满足(1+i3)z=2，则下列说法中正确的有（）A．z的虚部是iB．|z|=√2C．z⋅z=2D．z2=2答案：BC分析：根据复数的除法运算求出z，结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i，其虚部为1，|z|=√2，z⋅z=(1+i)(1−i)=2，z2=(1+i)2=2i≠2．故选：BC.12、已知复数z1=−2+i（i为虚数单位），复数z2满足|z2−1+2i|=2，z2在复平面内对应的点为，则（）A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B．1z1=−25−15iC．(x+1)2+(y−2)2=4D．|z2−z1|的最大值为3√2+2答案：ABD分析：利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.对于A选项，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(−2,1)，该点位于第二象限，A对；对于B选项，1z1=1−2+i=−2−i(−2+i)(−2−i)=−25−15i，B对；对于C选项，由题意可得z2−1+2i=(x−1)+(y+2)i，因为|z2−1+2i|=2，则(x−1)2+(y+2)2=4，C错；对于D选项，z1−1+2i=−3+3i，则|z1−1+2i|=√(−3)2+32=3√2，所以，|z2−z1|=|(z2−1+2i)−(z1−1+2i)|≤|z2−1+2i|+|z1−1+2i|=2+3√2，D对.(), M x y故选：ABD.13、若复数z 满足：z (z +2i )=8+6i ，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C ．zz =√10D ．z 在复平面上对应的点位于第一象限答案：ABD分析：根据待定系数法，将z =a +bi (a,b ∈R )代入条件即可求解a =3，b =1，进而即可根据选项逐一求解. 设z =a +bi (a,b ∈R )，因为z (z +2i )=8+6i ，所以zz +2iz =8+6i ，所以(a 2+b 2−2b )+2ai =8+6i ，所以a 2+b 2−2b =8，2a =6，所以a =3，b =1，所以z =3+i ，所以z 的实部为3，虚部为1，故A ，B 正确；zz =|z |2=10，故C 不正确；z 在复平面上对应的点(3,1)位于第一象限，故D 正确．故选:ABD ．填空题14、i 2 021＝________.答案：i分析：利用周期性求得所求表达式的值.i 2021=i 505×4+1=i 1=i所以答案是：i15、设复数z ，满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=√3−i ，则|z 1−z 2|=____________．答案：√6解析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出|z 1−z 2|的值.设z 1,z 2在复平面中对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，z 1+z 2对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如下图所示：因为z 1+z 2=√3−i ，所以|z 1+z 2|=√3+1=2，所以cos∠OZ 1Z 3=12+22−221×2×2=14， 又因为∠OZ 1Z 3+∠Z 1OZ 2=180°，所以cos∠Z 1OZ 2=−cos∠OZ 1Z 3=−14，所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OZ 12+OZ 22−2OZ 1⋅OZ 2⋅cos∠Z 1OZ 2=1+4+1=6， 所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，又|z 1−z 2|=|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，所以答案是：√6.小提示：名师点评复数的几何意义：（1）复数z =a +bi (a,b ∈R )一一对应↔复平面内的点Z (a,b )(a,b ∈R )； （2）复数z =a +bi (a,b ∈R ) 一一对应↔平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 16、在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z =___________.答案：−2−8i ##−8i −2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5)，则z =3−5i ，所以(1−i)z =(1−i)(3−5i)=−2−8i .所以答案是：−2−8i解答题17、已知复数z 1＝4－m 2＋（m －2）i ，z 2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i （其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R ）.(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围.答案：(1)-2；(2)[2，6]分析：（1）z 1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；（2）由z 1＝z 2，实部、虚部分别相等，求得λ关于θ的函数表达式，根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数，则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3=(sinθ−1)2+2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6].18、已知m ∈R ，α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m 的值；（2）用m 表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析：（1）由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．可得α+β=−2，αβ=m ，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m 及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．∴α+β=−2，αβ=m ，若α，β为实数，即Δ=4−4m ≥0，解得m ≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ，解得m =−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m <0，解得m >1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m −4i|，解得m =3．综上可得：m =−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。
2022版人教A版高中数学必修第二册练习题--复数的几何意义
2022版人教A版高中数学必修第二册--7.1.2复数的几何意义基础过关练题组一复数与复平面内点的对应关系1.已知复数z=-i,则z在复平面内对应的点Z的坐标为()A.(0,-1)B.(-1,0)C.(0,0)D.(-1,-1)2.(2021湖南娄底一中高一下期中)复数z1=1+√3i,z2=1-√3i在复平面内对应的点关于()A.实轴对称B.第一、三象限的角平分线对称C.虚轴对称D.第二、四象限的角平分线对称3.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i4.若x,y∈R,i为虚数单位,且x+y+(x-y)i=3-i,则复数x+y i在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限?(2)在实轴负半轴上?(3)位于上半平面(含实轴)?题组二 复数与平面向量的对应关系6.在复平面内,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3)对应的复数为 ( )A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.-3-2i7.(2021重庆外国语学校高一下期中)四边形ABCD 是复平面内的平行四边形,已知A 、B 、C 三点对应的复数分别是1+3i ,-i ,2+i ,则向量BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是 ( ) A.1-2i B.2+2i C.2-2i D.3+6i8.在复平面内,点A ,B ,C 对应的复数分别为1+4i ,-3i ,2,O 为坐标原点.(1)求向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数;(2)求平行四边形ABCD 的顶点D 对应的复数.题组三 复数的模及其应用9.已知复数z =(m -3)+(m -1)i 的模等于2,则实数m 的值为 ( )A.1或3B.1C.3D.210.在复平面内,若点P 对应的复数z 满足|z |≤1,则点P 的集合构成的图形是( )A.直线B.线段C.圆D.单位圆以及圆内部11.若复数z =2a -1a+2+(a 2-a -6)i (a ∈R)是实数,则z 1=(a -1)+(1-2a )i 的模为 .12.已知3-4i=x+y i(x,y∈R),则|1-5i|,|x-y i|,|y+2i|的大小关系为.13.(2020北京房山高一下期末)已知复数z=3+a i,且|z|<4,则实数a的取值范围是.14.已知复数1,-1+2i,-3i,6-7i,在复平面内画出这些复数对应的向量,并求出各复数的模.15.已知复数z1=√3-i,z2=-12+√32i.设z∈C,试问在复平面内,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点的集合是什么图形?题组四共轭复数16.已知i为虚数单位,若(x-2)+y i和3x-i互为共轭复数,则实数x,y的值分别是()A.3,3B.5,1C.-1,-1D.-1,117.设复数z满足z=|1-i|+i(i为虚数单位),则复数z= ()A.√2−iB.√2+iC.1D.-1-2i18.若复数z1,z2满足z1=z2,则z1,z2在复平面内对应的点Z1,Z2()A.关于实轴对称B.关于虚轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称19.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则|z|=,z=.答案全解全析基础过关练1.A 复数z =-i 的实部为0,虚部为-1,故z 在复平面内对应的点Z 的坐标为(0,-1).2.A 设z 1=1+√3i 和z2=1−√3i 在复平面内对应的点分别为P ,Q ,则P (1,√3),Q (1,-√3),则P ,Q 关于实轴对称.故选A.3.C 复数6+5i 对应的点A 的坐标为(6,5),-2+3i 对应的点B 的坐标为(-2,3).由中点坐标公式知点C 的坐标为(2,4),∴点C 对应的复数为2+4i ,故选C.4.A ∵x +y +(x -y )i=3-i ,∴{x +y =3,x -y =-1,解得{x =1,y =2, ∴复数x +y i=1+2i 在复平面内所对应的点为(1,2),在第一象限.5.解析 (1)要使复数z 在复平面内对应的点位于第四象限,需满足{m 2-8m +15>0,m 2+3m -28<0,∴{m <3或m >5,-7<m <4,∴-7<m <3. (2)要使复数z 在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足{m 2-8m +15<0,m 2+3m -28=0,∴{3<m <5,m =-7或m =4,∴m =4. (3)要使复数z 在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足m 2+3m -28≥0,解得m ≥4或m ≤-7.6.A 由复数的几何意义,知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3)对应的复数为2-3i .故选A.7.D 由题意得点A ,B ,C 的坐标分别为(1,3),(0,-1),(2,1),设点D 的坐标为(x ,y ),由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x -1,y -3)=(2,2),∴x -1=2,y -3=2, 解得x =3,y =5,故D (3,5),∴BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6),则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为3+6i .故选D. 8.解析 (1)由已知得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数分别为1+4i ,-3i ,2, 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-4),故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为1+i ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为1-4i . (2)解法一:由已知得,点A ,B ,C 的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),则AC 的中点坐标为(32,2),由平行四边形的性质知,BD 的中点坐标也是(32,2).设D (x 0,y 0),则{0+x 02=32,-3+y 02=2,解得{x 0=3,y 0=7,所以D (3,7),故D 对应的复数为3+7i . 解法二:由已知得,点A ,B ,C 的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),设D (x 0,y 0),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-7),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x 0,-y 0).因为四边形ABCD 为平行四边形,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{-1=2-x 0,-7=-y 0,解得{x 0=3,y 0=7.故D 对应的复数为3+7i .解法三:由(1)知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,7),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3), 由平行四边形的性质得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,10),所以OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,7),故D 对应的复数为3+7i .9.A 依题意可得√(m -3)2+(m -1)2=2,解得m =1或m =3,故选A.10. D 由|z |≤1,得|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |≤1(O 为原点),所以满足条件的点P 的集合是以原点O 为圆心,1为半径的圆及其内部.11.答案 √29解析∵复数z为实数,∴a2-a-6=0且a+2≠0,∴a=3,∴z1=2-5i,∴|z1|=√29.12.答案|y+2i|<|x-y i|<|1-5i|解析由3-4i=x+y i(x,y∈R),得x=3,y=-4.∴|x-y i|=|3+4i|=√32+42=5,|y+2i|=|-4+2i|=√(-4)2+22=2√5.易得|1-5i|=√1+(-5)2=√26,∵2√5<5<√26,∴|y+2i|<|x-y i|<|1-5i|.13.答案(-√7,√7)解析解法一:∵z=3+a i(a∈R),∴|z|=√32+a2,由已知得32+a2<42,∴a2<7,∴a∈(-√7,√7).解法二:利用复数的几何意义,由|z|<4,知z在复平面内对应的点在以原点为圆心,4为半径的圆内.由z=3+a i知z对应的点Z在直线x=3上,∴线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知-√7<a<√7.14.解析 设复数1,-1+2i ,-3i ,6-7i 在复平面内对应的点分别为A ,B ,C ,D ,对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图所示.|1|=1,|-1+2i|=√(-1)2+22=√5,|-3i|=√(-3)2=3,|6-7i|=√62+(-7)2=√85.15.解析 |z 1|=|√3−i|=√(√3)2+(-1)2=2,|z 2|=|-12+√32i|=√(-12)2+(√32)2=1. ∵|z 2|≤|z |≤|z 1|,∴1≤|z |≤2,对应的点的集合是以原点O 为圆心,以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界),如图所示.16.D ∵(x -2)+y i 和3x -i 互为共轭复数,∴{x -2=3x ,y +(-1)=0,解得{x =-1,y =1.17.A 因为z =|1−i|+i =√2+i ,所以复数z =√2-i .故选A.18.A 设z 1=a +b i ,z 2=c +d i ,其中a ,b ,c ,d ∈R,则Z 1(a ,b ),Z 2(c ,d ).由z 1=z 2得,a +b i=c -d i ,则a =c ,b =-d ,所以z 1,z 2在复平面内对应的点Z 1,Z 2关于实轴对称. 方法总结共轭复数的特点:1.在复平面内,共轭复数对应的两个点关于实轴对称;2.共轭复数的模相等,即|z |=|z |.19.答案 12;-12i解析 由题意得{m 2+2m -3≠0,m 2-9=0,所以m =3,因此z =12i ,故|z |=12,z =-12i .。
2023届高考二轮总复习试题(适用于老高考旧教材) 数学(理)复数、平面向量(含解析)
2.复数、平面向量考向1 复数的概念、运算及几何意义1.(2022·河南开封一模)设(1+i 4n+3)z=i,n ∈Z ,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2022·全国甲·理1)若z=-1+√3i,则zz -1=( )A.-1+√3iB.-1-√3iC.-13+√33iD.-13−√33i3.(2022·全国乙·理2)已知z=1-2i,且z+a z +b=0,其中a ,b 为实数,则( ) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-24.(2022·山东潍坊一模)已知复数z 满足z+3=4z +5i,则在复平面内复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.(2022·新高考Ⅰ·2)若i(1-z )=1,则z+z =( ) A.-2B.-1C.1D.2考向2 平面向量的概念及线性运算6. (2022·河南名校联盟一模)如图,在△ABC 中,点M 是AB 上的点且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是CM 上的点,且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.12a +14b B.35a +15b C.14a +12bD.310a +35b7.(2022·河南名校联盟一模)下列关于平面向量的说法正确的是( ) A.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则点A ,B ,C ,D 必在同一直线上 B.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cC.若G 为△ABC 的外心,则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.若O 为△ABC 的垂心,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.(2022·新高考Ⅰ·3)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD=2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n9.(2022·河南许昌质检)正方形ABCD 中,P ,Q 分别是边BC ,CD 的中点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=( ) A.1113B.65C.56D.3210.(2022·河南名校联盟一模)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R ,n ∈R ),则n-m= . 考向3 平面向量的数量积11.(2022·新高考Ⅱ·4)已知向量a =(3,4),b =(1,0),c =a +t b ,若<a ,c >=<b ,c >,则实数t=( ) A.-6 B.-5C.5D.612. (2022·新高考八省第二次T8联考)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB ,AD 向外分别作正方形ABEF ,正方形ADMN ,其中AB=2,AD=1,∠BAD=π4,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗=( )A.-2√2B.2√2C.0D.-1 13.(2022·山东威海期末)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=2,且a -b 在a 上的投影为2+√3,则<a ,b >=( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π614.(2022·山东潍坊期末)已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的内切圆的一条弦,点P 为正方形四条边上的动点,当弦MN 的长度最大时,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[0,1]B.[0,√2]C.[1,2]D.[-1,1]15.(2022·山东济宁一模)等边三角形ABC 的外接圆的半径为2,点P 是该圆上的动点,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.4 B.7C.8D.111 3,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=.16.(2022·全国甲·理13)设向量a,b的夹角的余弦值为2.复数、平面向量1.B 解析: ∵i 4n+3=i 4n ·i 3=-i, ∴(1+i 4n+3)z=(1-i)z=i, ∴z=i1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-12+12i,∴复数z 在复平面内对应的点为-12,12位于第二象限. 故选B . 2.C 解析: zz -1=√3i(-1+√3i )(-1-√3i )-1=√3i(-1)2+(√3)2-1=-13+√33i,故选C .3.A 解析: ∵z=1-2i, ∴z =1+2i,∴z+a z +b=1-2i +a (1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i =0, ∴{a +b +1=0,2a -2=0, 解得{a =1,b =-2.故选A .4.A 解析: 设z=x+y i,x ,y ∈R ,则z =x-y i,由z+3=4z +5i 得(x+y i)+3=4(x-y i)+5i,即(x+3)+y i =4x+(5-4y )i,于是得{x +3=4x ,y =5-4y ,解得x=y=1,则有z=1+i 对应的点为(1,1),所以在复平面内复数z 对应的点在第一象限. 故选A .5.D 解析: ∵i(1-z )=1, ∴z=i -1i=1+i, ∴z =1-i . ∴z+z =2. 故选D .6.B 解析: AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=45AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45×34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +15b .7.D 解析: 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则直线AB 与CD 平行或重合,∴点A ,B ,C ,D 不一定在同一直线上,A 错;当b =0时,满足a ∥b 且b ∥c ,不能得出a ∥c ,B 错; 当G 为△ABC 的重心,则GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C 错; 若O 为△ABC 的垂心,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴D 正确,故选D . 8.B解析: 如图.∵BD=2DA ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m +3n . 故选B .9.C 解析: ∵P ,Q 分别是正方形边BC ,CD 的中点,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-12y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y )AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -12y =1,x +y =12,∴{x =56,y =-13,故选C . 10.12解析: 由题意在题图中以O 为原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴非负半轴,过O 与OA 垂直向上为y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则A (1,0),∵向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α, tan α=7,∴cos α=√210,sin α=7√210, 又|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴C15,75,cos(α+45°)=-35,sin(α+45°)=45,∴B -35,45, ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴15,75=m (1,0)+n -35,45,∴{m -35n =15,45n =75,解得{m =54,n =74,∴n-m=12. 11.C 解析: 由题意得c =(3+t ,4),cos <a ,c >=cos <b ,c >,故9+3t+16|c |×5=3+t|c |×1,解得t=5.故选C .12.C 解析: AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +A A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π4+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 3π4+0=√2−√2=0.选C . 13.D 解析: (a -b )·a =|a -b ||a |cos <a -b ,a >=(2+√3)·2, 即a 2-a ·b =4+2√3,a ·b =-2√3.所以|a ||b |cos <a ,b >=-2√3,cos <a ,b >=-√32,<a ,b >=5π6.14.A 解析: 由题当弦MN 长度最大时,即MN 为直径,设弦MN 的中点为O ,由题意,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|-1,由1≤|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√2,得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,1]. 15.C解析: 如图所示,建立平面直角坐标系,设△ABC 的边长为a ,则asinA =2R=4(R 为△ABC 外接圆半径),所以a=2√3,A (0,3),B (-√3,0),C (√3,0),△ABC 的外接圆的方程为x 2+(y-1)2=4,设P 点坐标为(2cos θ,1+2sin θ),θ∈R ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+2√3cos θ+2sin θ=4+4cos θ-π6≤8,当cos θ-π6=1时,等号成立.故选C .。
高考数学平面向量及复数专项训练试题、参考答案
高考数学平面向量及复数专项训练试题一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设向量(cos 23,cos67),(cos53,cos37),a b a b =︒︒=︒︒⋅=则 （ ）AB ．12C ．D ．12-2．如果复数212bi i-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于（ ）A B ．23C ．2D ． 23-3．220041i i i ++++的值是 （ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．i 4．若(2,3)a =-, (1,2)b =-，向量c 满足c a ⊥,1b c ⋅=,则c 的坐标是 （ ） A ．(3,2)- B ．(3,2) C ．(3,2)-- D ．(3,2)- 5．使4()a i R +∈(i 为虚数单位）的实数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．设e 是单位向量，3,3,3AB e CD e AD ==-=，则四边形ABCD 是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为(0,0)O ，(3,0)A ，(0,3)B ，点P 在线段AB 上，且(0AP t AB =≤t ≤1),则OA OP ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则使向量a b λ+与2a b λ-的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 （ ）A ． (,1-∞--B ． (1)-++∞C ． (,1(13,)-∞--++∞D ． (11--+9．若z 为复数，下列结论正确的是 （ ）A ．若12,z z C ∈且120z z ->且12z z >B ．22z z =C ．若0,z z -=则z 为纯虚数D ．若2z 是正实数，那么z 一定是非零实数10．若sin 211)i θθ-++是纯虚数，则θ的值为 （ ） A ．2()4k k Z ππ-∈ B ．2()4k k Z ππ+∈ C ．2()4k k Z ππ±∈ D ．()24k k Z ππ+∈11．已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，下列结论中正确的是 （ ） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 是AC 边的一个三等分点 12．复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数21zz+ （ ）A ．是纯虚数B ．是虚数但不是纯虚数C ．是实数D ．只能是零 二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足等式：2||212z zi i -=+，则z= .14．把函数)2245y x x =-+的图象按向量a 平移后，得到22y x =的图象，且a ⊥b ，(1,1)c =-，4b c ⋅=，则b =_____________。
数学练习(新教材人教A版强基版)第五章平面向量与复数51平面向量的概念及线性运算
1．化简2(a －3b )－3(a ＋b )的结果为( )A ．a ＋4bB ．－a －9bC ．2a ＋bD ．a －3b2．(多选)下列命题中，正确的是( )A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D ．如果非零向量a ，b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向与a ，b 之一的方向一定相同3．设a ，b 是平面内两个向量，“|a |＝|a ＋b |”是“|b |＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则( )A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线5．在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，且FC →＝λFD →＋μFE →，则λ＋μ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ等于( )A ．2B ．－2C ．－12 D.12 8．已知向量OA →＝OB →·logsin θ＋OC →·log 2cos θ，若A ，B ，C 三点共线，则sin θ＋cos θ等于( )A ．－355B.355 C ．－55 D.559．设向量a ，b 不平行，向量t a ＋b 与a ＋3b 平行，则实数t 的值为________．10．已知A ，B ，C 三点共线，且AC →＝3BC →，若AB →＝λCB →，则λ＝________.11．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－4OB →＋3OC →＝0，则|AB →||CA →|等于( ) A.13 B.34 C.12 D.4312．已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是( )A ．|MA →|＝|MB →|＝|MC →|B.MA →＋MB →＋MC →＝0C.BM →＝23BA →＋13BD → D ．S △MBC ＝13S △ABC 13．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△ABO 与△ABC 的面积之比为( )A.16B.13C.12D.2314．(2023·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD →|＝13|AC →|，点Q 为线段BD 上任意一点，若实数x ，y 满足AQ →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋1y的最小值为________．15．(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( )A ．若BM →＝13BC →，则AM →＝13AC →＋23AB → B ．若AM →＝2AC →－3AB →，则点M ，B ，C 三点共线C ．若点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0D ．若AM →＝xAB →＋yAC →且x ＋y ＝13，则△MBC 的面积是△ABC 面积的2316．如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC ＝CN CE ＝r ，当r ＝________时，B ，M ，N 三点共线．。
热点1 客观题中的集合、复数、平面向量-2018年高考数学三轮复习重点知识整合与原创题训练
热点一 集合、复数、平面向量2018年高考数学三轮复习重点知识整合与原创题训练【名师精讲指南篇】 【重点知识整合】1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性,2.空集是一个特殊且重要的集合,它不含有元素,是任何一个集合的子集,是任何一个非空集合的真子集.要掌握有空集参与的集合间的关系或运算,特别是根据两个集合的包含关系来讨论参数的值或范围时,不要忽视空集的特殊性.如遇到AB =∅时,你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时,你是否忘记∅=A 的情形？3.对于含有n 个元素的有限集合M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n，12-n .22-n4.集合的运算性质：⑴A B A B A =⇔⊆； ⑵AB B B A =⇔⊆；⑶A B ⊆⇔u u A B ⊇痧；⑷u uA B A B =∅⇔⊆痧； ⑸u A B U A B =⇔⊆ð； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C AB C A C B =.5. 研究集合问题,一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素.如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集.6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.7.复数的基本基本概念：⑴a bi c di a c +=+⇔=且(,,,)c d a b c d R =∈；⑵复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.（3）复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<. 8.复数运算公式：设1z a bi =+,2(,,,)z c di a b c d R =+∈,12()()z z a c b d i ±=±+±,12()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++,1222222(0)z ac bd bc ad i z z c d c d+-=+≠++. 9.复数中的几个重要的结论：⑴2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+；⑵22||||z z z z ⋅==；⑶若z 为虚数,则22||z z ≠. 10.复数中的常用计算结论： ⑴2(1)2i i ±=±；⑵11i ii +-=,11i ii -+=-；⑶1230()n n n n i i i i n N ++++++=∈；⑷1||11zz zz z =⇔=⇔=；122ω=-+,2122ωω=--=,31ω=,210ωω++=. （1）两个向量的夹角：对于非零向量,,作,OA a OB b ==,AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ,b 的夹角,当θ＝0时,a ,b 同向,当θ＝π时,a ,b 反向,当θ＝2π时,a ,b 垂直. （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ,b ,它们的夹角为θ,我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积）,记作：a ∙b ,即a ∙b ＝cos a b θ.规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量.（3）在上的投影为||cos b θ,它是一个实数,但不一定大于0.（4）∙的几何意义：数量积∙等于的模||a 与在上的投影的积. （5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ,b ,其夹角为θ,则： ①0a b a b ⊥⇔∙=；②当a ,b 同向时,a ∙b ＝a b ,特别地,222,a a a a a a =∙==；当a 与b 反向时,a ∙b ＝－a b ；当θ为锐角时,∙＞0,且 a b 、不同向,0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时,∙＜0,且 a b 、不反向,0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量,夹角θ的计算公式：cos a b a bθ∙=；④||||||a b a b ∙≤.11．向量的运算： （1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==,那么向量AC 叫做a 与b 的和,即a b AB BC AC +=+=；②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么,由减向量的终点指向被减向量的终点.注意：此处减向量与被减向量的起点相同. （2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==,则： ①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±,12)y y ±. ②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==.③若1122(,),(,)A x y B x y ,则()2121,AB x x y y =--,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.④平面向量数量积：1212a b x x y y ∙=+. ⑤向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+.12．向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+,()()a a λμλμ=,a b b a ∙=∙；(2)结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+,()()()a b a b a b λλλ∙=∙=∙；（3）分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+,()a b c a c b c +∙=∙+∙.提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律,即c b a c b a )()(∙≠∙,为什么？13．向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ⇔=22()(||||)a b a b ⇔⋅=1212x y y x ⇔-＝0.如(13)设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===,则k ＝_____时,A,B,C 共线.14．向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=.特别地()()AB AC AB AC ABACABAC+⊥-.【应试技巧点拨】1.分析集合关系时,弄清集合由哪些元素组成,这就需要我们把抽象的问题具体化、形象化,也就是善于对集合的三种语言(文字、符号、图形)进行相互转化,同时还要善于将多个参数表示的符号描述法(){}x p x 的集合化到最简形式．此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时．因此分类讨论思想是必须的．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系．2.求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn 图或数轴,进而用集合语言表示,增强运用数形结合思想方法的意识．要善于运用数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法来解决集合的问题．要注意若A B ⊆,则,A B A A B B ==,U U C A C B ⊇,U A C B φ=这五个关系式的等价性．已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析．3.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a bi +(,a b R ∈)的形式,以确定实部和虚部．2.复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥. 4.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<.5. 对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点z 及向量OZ 相互联系,即z a bi =+ (,a b R ∈)(),Z a b ⇔⇔ OZ ； (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观．6. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把i 的幂写成最简单的形式,在运算过程中,要熟悉i 的特点及熟练应用运算技巧．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式．7.如何利用向量的几何表示三角形的各种心向量的几何表示是高考的热点问题,特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材,常见的结论如下：①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心,特别地0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心；(),[0,)AB AC λλ+∈+∞是BC 边上的中线AD 上的任意向量,过重心；()1,2AD AB AC =+等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线.②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ+[0,)λ∈+∞是△ABC 的边BC 的高AD 上的任意向量,过垂心.③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ ABC ∆的内心；向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线).④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +⋅=+⋅=+⋅=222OA OB OC OA OB OC ⇔==⇔==⇔O 为ABC ∆的外心.8.向量与平行四边形相关的结论向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到,其应用非常广泛.在平行四边形ABCD 中,设,AB a AC b ==,则有以下的结论：①,AB AC a b AD +=+=通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若C AB D =,可判断四边形为平行四边形；②,,a b AD a b CB +=-=若0a b a b a b +=-⇔⋅=对角线相等或邻边垂直,则平行四边形为矩形；()()0a b a b a b +⋅-=⇔=对角线垂直.则平行四边形为菱形；③222222a b a b a b ++-=+说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；④||||||||||||a b a b a b -≤±≤+,特别地,当 a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；当 a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+；当 a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+(这些和实数比较类似).9. 向量平行和垂直的重要应用向量平行和垂直的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断垂直或平行；二是利用平行或垂直的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件.（1）向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ⇔=22()(||||)a b a b ⇔⋅=1212x y y x ⇔-＝0;（2）向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-12120x x y y ⇔+=.10.一个共线结论：,,,O A B C 是平面内不同4点,则,,A B C 共线OC xOA yOB ⇔=+,且1x y +=. 11.向量运算问题的两大处理思路向量运算包括几何运算和坐标运算.利用几何运算就是充分利用加法和减法的几何含义,以及一些具有几何含义的式子,进行化简、转化向量的计算.利用坐标运算,实际上就是转化为代数问题,即向量问题坐标化. 树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系时,要正确运用共线向量和平面向量的基本定理,去计算向量的模、两点的距离等.由于向量作为工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解析几何等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点. 12.如何恰当的选择向量的数量积的公式求向量的数量积的公式有两个：一是定义式a ∙b ＝cos a b θ；二是坐标式a b ⋅=1212x x y y +.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解.即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便.13.如何判断三角形形状给出三角形边相关的向量关系式,判断三角形的形状是一个热点题型.此类题的关键是对给定的关系式恰当的去化简,变形,整理.最终能够说明三角形的形状.常用的技巧有： （1）利用向量加减法的运算可以合并或分解. （2）利用拆、添、减项等技巧,对式子进行变形化简. （3）利用一些常见的结论进行判断. 【考场经验分享】1.对于集合问题的考查,常以不等式为载体进行命题,试题难度不大,考查基本的计算能力,因题目为选择题,故在考试中能够恰当应用验证的方法进行解决可节省不少时间.在平时训练是应注意这种方法的强化,争取在几秒钟内得到正确答案.2.新课标对复数的要求较低,根据课标的要求,本部分内容的考查不会太难,一般出一道选择题(或填空题)考查基本概念与运算,与概率等结合的题目可能会出,但都比较容易解决．所以本热点必须得满分.3.复数这个热点一般出现在试卷的前三道题目中,难度较低,但是解题时需加小心,千万不能因为不重视而导致失分.例如复数的实部和虚部要分清楚,例如1i -的实部是-1,虚部为1,运算时要注意21i =-.3.学会必要的检验,例如将求解的复数代入验证,若复数为纯虚数时,实部等于0,要验证虚部不为0,利用复数相等进行复核等方法,确保万无一失.5．求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角关系是钝角． 6.如果高考单独考查向量的运算,如代数或几何运算,一般试题难度较低,位置较为靠前,一般为选择题的前8题,或填空题的前2题,此时应为的全分题,如果向量和其它知识相结合,考查最值等问题,一般会出现在后几道选择题中,难度较大,此时应充分考虑向量的几何意义,或坐标法表示进行解决,在利用坐标法解决问题时,可考虑一般问题特殊化,即恰当的建立坐标系,将问题转化为代数运算,如果探求一些范围问题,适当的代值验证是一个良策. 【热点深度剖析】1.高考对集合问题的考查,主要以考查概念和计算为主,考查两个集合的交集、并集、补集运算；从考查形式上看,主要以小题形式出现,常联系不等式的解集与不等关系,试题难度较低,一般出现在前三道题中,常考查数形结合、分类讨论等数学思想方法, 预测2018年高考仍是考查集合的运算为主, 理科考查不等式解集的交集与并集运算,文科考查离散数集的运算,理科可能与指对不等式及分式不等式结合,会涉及到集合的交集、并集、补集, 文科主要考查集合的交集与并集运算,另外集合的子集及补集问题已连续3年没有考查,今年考查的可能性比较大．2.从近三年的高考试题来看,复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点,每套高考试卷都有一个小题,并且一般在前三题的位置上,主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算,预测2018年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点,其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度！3.从近几年的高考试题来看,向量的运算,向量的几何意义,平面向量基本定理,向量的数量积,向量的坐标运算及向量共线的坐标表示,及向量的数量积及运算律,向量垂直的充要条件是高考的热点,题型既有选择题、填空题,有时也涉及解答题,往往和解析几何结合出题,函数等结合出题,与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及,而对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本,重点突出,有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接,全面考查向量的数量积及运算律等内容．预测2018年高考将以向量的坐标运算、向量共线的坐标表示,向量的数量积,向量的平行,垂直为主要考点.另外还要注意向量与平面几何、三角、解析几何知识交汇问题． 【名题精选练兵篇】1. 【四川省雅安中学2018届高三下学期第一次模拟】已知集合{}|31,A x x n n Z ==+∈,{}|44B x x =-≤≤,则集合A B ⋂=A. {}4,1,1,4--B. {}2,1,4-C. {}1,4D. {}4,1,2-- 【答案】B【解析】∵集合{}|31,A x x n n Z ==+∈, {}|44B x x =-≤≤ ∴集合{}2,1,4A B ⋂=-,故选B.2．【辽宁省瓦房店市2018届高三下学期第一次模拟】已知全集U Z =,集合{}220,M x x x x Z =--<∈,{}1,0,1,2N =-,则()U C M N ⋂=（ ）A. {}1,2-B. {}1,0-C. {}0,1D. {}1,2 【答案】A【解析】由题意易得： {}0,1M =,∴()U C M N ⋂= {}1,2-,故选A3．【四川省成都市龙泉驿区2018届高三3月“二诊”】设集合()22,|1 416x y A x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭, (){},|3 xB x y y ==,则A B ⋂的子集的个数是：（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A4．【山东省济南市2018届高三第一次模拟】已知集合2{|230}A x x x =+-=, {}1,1B =-,则A B ⋃=（ ）A. {}1B. {}1,1,3-C. {}3,1,1--D. {}3,1,1,3-- 【答案】C【解析】集合}{}2{| 2303,1A x x x =+-==-,所以{}3,1,1A B ⋃=--,选C.5．【山东省枣庄市2018届高三二模】已知集合2{|20}A x x x =--≥,则R C A =（ ） A. ()1,2- B. []1,2- C. ()2,1- D. []2,1-【答案】A【解析】 由题意2{|20}{|2A x x x x x =--≥=≥或1}x ≤-, 所以{|12}R C A x x =-<<,故选A.6．【江西省分宜中学等九校2018届高三联考】已知,m n R ∈,集合{}72,log A m =,集合{},B m n =,若{}1A B ⋂=,则m n +=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 【答案】D【解析】因为{}1,A B ⋂=则7log 1,7m m ==, {}{},7,B m n n ==,n=1, 则m n +=8. 故答案为：D.7．【湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量监】已知(){}2log 31A x y x ==-, {}224B y x y =+=,则()R C A B ⋂=（ ）A. 12,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意得： 13A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭, {}2y 2B y =-≤≤,∴(){}112y 22,33R C A B x x y ⎧⎫⎡⎤⋂=≤⋂-≤≤=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦故选：A8．【河南省郑州市2018年高中毕业年级第二次质量预】已知集合(){}{}2A |log 31,|02x R x B x R x =∈-≤=∈≤≤,则A B ⋃= ( )A. []0,3B. []1,2C. )[0 ,3D. []1,3 【答案】C9．【辽宁省瓦房店市2018届高三下学期第一次模拟】若复数2iz i-=-,则复数z 所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A【解析】212i12i 1i z i -+===+-,复数z 所对应的点()1,2,∴点在第一象限,故选：A 10．【辽宁省辽阳市2018学届高三第一次模拟】复数2i12i=+（ ） A. 42i 55+ B. 42i 55- C. 42i 55-+ D. 42i 55--【答案】A【解析】()212i 24212555i ii i -==++ .故选：A 11．【四川省成都市龙泉驿区2018届高三3月“二诊”】复数2i 1iz -=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】∵2i 11=22i i iz -=-=+, ∴复数z 在复平面内对应的点为()2,1,在第一象限.选A.12．【宁夏吴忠市2018届高三下学期联】已知复数()12i i a bi +=+, a R ∈, b R ∈, a b +=（ ） A. 3- B. 1- C. 1 D. 3 【答案】B【解析】因为()122i i i +=-+,所以2,1,1a b a b =-=+=-,选B.13．【山东省济南市2018届高三第一次模拟】欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x π=时, 10i e π+=被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知, 4i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C【解析】由已知有4cos4sin4i e i =+,因为342ππ<<,所以4在第三象限,所以cos40,sin40<<,故4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限,选C.14．【江西省临川一中等九校2018届高三联考】已知a 是实数,1a i i +-是实数,则7cos 3a π的值为( )A.12 B. 12-【答案】A【解析】知a 是实数, 1a i i +-是实数化简为11i 2a a -++（） ,则a=—1, 则77cos cos 33a ππ=-=12. 故答案为：A.15．【湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量监测】已知复数z 满足()1+243i z i =+,则z 的虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】B【解析】由题意得： ()()()()431243105i2i 12121214i i i z i i i +-+-====-++-+ ∴2i z =+,∴z 的虚部是1,故选：B16．【湖南省三湘名校教育联盟2018届高三第三次联考】已知i 为虚数单位,复数322iz i+=-,则以下为真命题的是（ ） A. z 的共轭复数为7455i - B. z 的虚部为85C. 3z =D. z 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D17．【四川省成都市龙泉驿区2018届高三3月“二诊”】如图,已知平行四边形ABCD 中, 2BC =,45BAD ∠=︒, E 为线段BC 的中点, BF CD ⊥,则AE BF ⋅=（ ）A. 【答案】D【解析】由题意,得BF FC ==设(0)AB a a =>,以DC 所在直线为x 轴, FB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则(()(),,,,0,0A a B CE F -⎝⎭,2,AE a ⎛=+ ⎝⎭, (0,BF =,则1AE BF ⋅=.故选D.18．【四川省成都市2018届高三3月“二诊”】已知12,e e 为单位向量,且1e 与122e e +垂直,则12,e e 的夹角为（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150 【答案】C【解析】设12,e e 的夹角为θ,因为1e 与122e e +垂直,所以()11220e e e ⋅+=,即211220e e e cos θ+=,即12cos 0θ+=,即1cos 2θ=-,又因为000180θ<<,所以0120θ=.故选C. 19．【2018届广东省揭阳市模拟】已知a = πsin ,24b = πcos 24,且、a b 的夹角为π12,则⋅=a b A.116 B. 18C. 8D. 14 【答案】B【解析】因为a = πsin ,24b = πcos 24,且、a b 的夹角为π12, 所以⋅a b =πcos 12a b = πππsin ?cos ?cos 242412=1ππsin ?cos 22412=1πsin 46=18. 故答案为：B.20．【北京市朝阳区2018年高三一模】在平面直角坐标系xOy 中,已知点)A, ()1,2B ,动点P 满足OP = OA OB λμ+,其中][,0,1,1,2λμλμ⎡⎤∈+∈⎣⎦,则所有点P 构成的图形面积为( )A. 1B. 2【答案】C【解析】设(),P x y ,则()()3,2,OP OA OB x y λμλμμ=+=+=,2x yμμ+=∴= 2{ 32y y x μλ=∴⎛⎫=- ⎪⎝⎭,012{01 212232yy x y y x ≤≤⎫∴≤-≤⎪⎝⎭⎫≤+-≤⎪⎝⎭)02{02 21y x y x y ≤≤∴≤-≤≤+≤,所有点P 构成图形如图所示（阴影部分）,122S ==故选C . 21．【2018届天津市滨海新区七所重点学校高三联考】已知菱形ABCD 的边长为2,,点E 、F 分别在边,BC CD 上, BE BC λ=, DF DC μ=,若522λμ+=, 则AE AF ⋅的最小值___________． 【答案】322．【山东省济南市2018届高三第一次模拟】已知向量a , b 满足5b =, 253a b +=, 52a b -=,则a =__________．【解析】由已知有22224475{ 250a ab b a a b b +⋅+=-⋅+= ,将2225b b ==代入方程组,解得563a =. 【高考真题再现】1. （2017全国卷2）设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若1AB =,则B =（）.A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 【答案】C【解析】由题意知1x =是方程240x x m -+=的解,代入解得3m =,所以2430x x -+=的解为1x =或3x =,从而{}13B =，.故选C. 2.（2017全国卷3）已知集合A ={}22(,)1x y x y +=,{}(,)B x y y x ==,则A B 中元素的个数为（）.A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B3.【2016全国卷3】设集合{}(2)(3)0S x x x =--…,{}0T x x =>,则S T I =（）. A.[]2,3 B.(][),23,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][)0,23,+∞U 【答案】D【解析】由{}{}32,0S x x x T x x ==>或??,得S T =I {}0<23.x x x或剠故选D.4.【2016全国卷1】设集合2{|430}A x x x =-+<,{|230}B x x =->,则A B =I （）. A.33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可得()1,3A =,3,2B ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭,所以3,32A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I .故选D. 5. （2017全国卷1）设有下面四个命题：1:p 若复数z 满足1z∈R ,则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =；4:p 若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为（）.A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p 【答案】B6. （2107全国卷3）设复数z 满足()1i 2i z +=,则z =（）.A ．12BCD ．2【答案】C【解析】由题意得()()()2i 1i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 2z -+====+++-,则z 故选C. 7．【2016全国卷3】若12i z =+,则4i1zz =-（）. A.1 B.1- C.i D.i - 【答案】C【解析】 因为25,z z z⋅==所以4i 4ii 14zz ==-.故选C. 8.【2016全国卷2】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是(). A.()31-，B.()13-，C.()1+∞，D.()3-∞-，【答案】A【解析】由题意知,30m +>,10m -<,所以31m -<<.故选A ．9. （2017全国3理12）在矩形ABCD 中,1AB =,2AD =,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+,则λμ+的最大值为（）.A ．3B．D ．2【答案】A【解析】解法一：由题意,作出图像,如图所示．设BD 与C 切于点E ,联结CE ．以点A 为坐标原点,AD 为x 轴正半轴,AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系,则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =,||2BC =．所以BD BD 切C 于点E ．所以CE ⊥BD ．所以CE是Rt BCD △斜边BD上的高．1222BCDBC CDS EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C．因为点P 在C 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ,可以设出点P坐标满足的参数方程0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,而00(,)AP x y =,(0,1)AB =,(2,0)AD =． 因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=,所以0112x μθ==+,01y λθ==．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++=2sin()3θϕ++≤ (其中sin ϕ=,cos ϕ=当且仅当π2π2k θϕ=+-,k ∈Z 时,λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示,考虑向量线性分解的等系数和线,可得λμ+的最大值为3.λ+μ=2λ+μ=3DCBA10. （2017全国卷2）已知ABC △是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）.A.2-B.32- C. 43- D.1- 【答案】B解法二（解析法）：建立如图所示的直角坐标系,以的BC 的中点为坐标原点,所以(0A ,()10B -，,()10C ，．设点()P x y ，,()PA x y =-,()1PB x y =---，,()1PC x y =--，,所以()2222PA PB PC x y ⋅+=-+22324x y ⎡⎤⎛⎢⎥=+- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,此时0x =,y =．故选B.11.【2016全国卷3理文】已知向量1,22BA ⎛= ⎝⎭uu v,122BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u v ,则ABC ∠=（ ）. A.30 B. 45 C. 60 D. 120 【答案】A【解析】由3cos 2BA BC ABC BA BC⋅∠==.又0πABC <∠<,所以π6ABC ∠=. 故选A.12.【2016全国卷1乙理】设向量(,1)m =a ,(1,2)=b ,且222+=+a b a b ,则m = . 【答案】2-。
2023年高考数学一轮复习第五章平面向量与复数3平面向量的数量积练习含解析
平面向量的数量积考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θe . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示 坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模|a |＝a ·a|a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a∥b 的充要条件a ＝λb (λ∈R )x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b | (当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( × )(2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．9解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0，a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，3则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos∠DBM ＝|BM →|2＝1.思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝1，3·3，432＋42＝1525＝35. 教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋e 2|＝3，则|e 1－e 2|＝________. 答案 1解析 由|e 1＋e 2|＝3，两边平方， 得e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝3.又e 1，e 2是单位向量， 所以2e 1·e 2＝1，所以|e 1－e 2|2＝e 21－2e 1·e 2＋e 22＝1， 所以|e 1－e 2|＝1.思维升华 (1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a ||b |，求解时应求出a ·b ，|a |，|b |的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2 (1)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉等于( ) A.73B.23C.79D.29答案 B解析 方法一 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则c ＝(7，2)，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. 方法二 a ·c ＝a ·(7a ＋2b ) ＝7a 2＋2a ·b ＝7， |c |＝7a ＋2b2＝7a 2＋2b 2＋214a ·b ＝7＋2＝3，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝71×3＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. (2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知，|OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |221＋cos θ.当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求：(1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2＝12＋2×1×6＋22cos45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ， 则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋1＋32＋2×1×1＋3cos θ，解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋1＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×1＋3＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[]a ＋b2－a －b2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，PA →·PB →有最小值，即PA →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1B ．2C.2D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，M 为AB 的中点，由极化恒等式有(a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2， 所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝a －b ·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32， 因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫255，55C.⎝⎛⎭⎪⎫255，55 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b62＋－32＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55.5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2，故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误；对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－－1＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin2x ＋12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－12.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－12＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中，BE ＝22＋⎝⎛⎭⎪⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos∠BDA －|DC →||BD →|cos∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， 所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12， 所以cos∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝102N ，则物体的重力大小为________N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝102N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20N ， ∴物体的重力大小为20N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ，DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos0°＋(1－2x )2＝1， ∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin2C ，所以sin2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b .21 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。
《平面向量与复数》测试卷及答案解析
2021年新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》测试卷及答案解析一、选择题1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|·a答案 B解析 对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．2．(2020·联考)已知向量a ＝(0,1)，b ＝(2,1)，且(b ＋λa )⊥a ，则实数λ的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析 已知向量a ＝(0,1)，b ＝(2,1)，b ＋λa ＝(2,1＋λ)，(b ＋λa )⊥a ，即(b ＋λa )·a ＝1＋λ＝0⇒λ＝－1. 故选D.3．(2020·诊断)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，m )，且a －b 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(－∞ ,2)C ．(－2,2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案 D解析 a －b ＝(0,2－m )，由于两个向量的夹角为钝角，由夹角公式得(a －b )·b |a －b ||b |＝2m －m 2|2－m |·1＋m 2<0，即2m －m 2<0，解得m <0或m >2.故选D.4．(2020·诊断)已知向量a ＝(4，－7)，b ＝(3，－4)，则a －2b 在b 方向上的投影为( )A ．2B ．－2C ．－2 5D ．2 5答案 B解析 向量a ＝(4，－7)，b ＝(3，－4)，∴a －2b ＝(－2,1)，∴(a －2b )·b ＝(－2,1)·(3，－4)＝－10，|b |＝32＋(－4)2＝5，∴向量a －2b 在向量b 方向上的投影为|a －2b |cos 〈(a －2b )，b 〉＝(a －2b )·b |b |＝－105＝－2. 故选B. 5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵O 为BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →) ＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1， ∴m ＋n ＝2.6．已知△ABC 为等腰三角形，满足AB ＝AC ＝3，BC ＝2，若P 为底边BC 上的动点，则AP →·(AB→＋AC →)( )A ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4 答案 D解析 如图，设AD 是等腰三角形底边BC 上的高，长度为3－1＝ 2.故AP →·(AB →＋AC →)＝(AD→＋DP →)·2AD →＝2AD →2＋2DP →·AD →＝2AD →2＝2×(2)2＝4.故选D.7．(2019·福建闽侯五校期中联考)设单位向量e 1，e 2对于任意实数λ，都有⎪⎪⎪⎪e 1＋12e 2≤|e 1－λe 2|成立，则向量e 1，e 2的夹角为( )。
平面向量与复数
平面向量与复数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={复数}，M={有理数}，N={虚数}，则（ U M ）∪（ U N ）是 （ ）A ．{有理数}B ．{无理数}C ．{实数}D ．{复数}2．已知⋅是两个非零向量，则与不共线是||||||||||||+<-<-的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件3．在四边形ABCD 中，0=⋅=⋅=⋅DC AD AD AB BC AB ，则该四边形是 （ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．已知032),,(),3,4(),2,5(=+-=--=-=c b a y x c b a 若则c 等于 （ ）A ．)38,1(B ．)38,313(C ．)34,313(D ．)34,313(--5．有长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡要伸长（ ）A ．1B ．sin10°C ．cos10°D ．cos20°6．在△ABC 中，若B A C ab c b a c b a cos sin 2sin 3))((==-+++且，则ABC 是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形7．已知a b a b a 与且-==,2||,1||垂直，则b a 与的夹角为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 8．△ABC 中，若1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则（ ） A ．a 、b 、c 成等差数列 B ．a 、c 、b 成等差数列C ．a 、b 、c 成等比数列D ．a 、c 、b 成等比数列9．已知点A （2，3）、B （10，5），直线AB 上一点P 满足|PA|=2|PB|，则P 点坐标是（ ） A ．)313,322(B ．（18，7）C ．)313,322(或（18，7）D ．（18，7）或（－6，1）10．在△ABC 中，A=60°，b=1，CB A cb a S ABC sin sin sin ,3++++=∆则等于（ ）A ．338 B ．3392 C ．3326 D ．3211．已知函数2)32cos(++-=πx y 按向量a 平移所得图象的解析式为)(x f y =，当)(x f y = 为奇函数时，向量a 可以是（ ）A ．)2,6(--πB ．)2,12(--πC ．)2,6(πD ．)2,12(π-12．△ABC 的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则BC AB ⋅的值为 （ ）A ．19B ．－19C ．－18D ．－14二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．设x 是纯虚数，y 是实数，且y x i y y i x +--=+-则,)3(12等于 . 14．已知k 3)2,3(),2,1(-+-==与且平行，则k 的值为 . 15．在塔底的水平地面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向前走310米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是 . 16．设j i ,是与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，j i AC j i AB 47,24+=-=，63+=，则四边形ABCD 的面积是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知i z z baz z i z -=+-+++=11,122若，求实数a 、b 的值.18．（本小题满分12分） 在△ABC 中，)0(>=λλ，求证：λλ++=1AD .19．（本小题满分12分）设,分别是x 轴、y 轴正方向的两个单位向量，在同一条直线上有A 、B 、C 三点，n m -=+=+-=5,,2.若与互相垂直，求实数m 、n.20．（本小题满分12分）已知△ABC 的顶点坐标为A （1，0），B （5，8），C （7，－4），在边AB 上有一点P ，其横坐标为4，在边AC 上求一点Q ，使线段PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分.21．（本小题满分12分）把抛物线2x y -=怎样平移，才能使平移后的抛物线与22--=x x y 的两个交点关于原点对称，并求出平移后函数的表达式.22．（本小题满分14分）在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h ，同时岸边有一人， 从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h ，在水中游的速度为2km/h. 问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？参考答案及评分意见一、1.D 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.C 8.C 9.C 10.B 11.B 12.B 二、13．i 251--； 14． 31-； 15． 15米； 16．30三、17．i b a a i b a i a i i b i a i z z b az z )()2()()2(1)1()1()1()1(12222+-+=+++=++-+++++=+-++…………6分， 即2,1,112,1)()2(=-==+=+∴-=+-+b a b a a i i b a a 解得且……………………12分 18．由BD BC DC BD BC BD DC DC BD λλλλ+=∴+===1,,1得，于是λλ+=1，BC DC λ+=11……6分，又λ=-=-=及,，)(-=-∴λ 即λλλλ++=∴+=+1,)1(AD AC AB AD ……………………12分19．j i n OB OC BC j m i n OA OB AB 2)5(,)1()2(--=-=-++=-=，由于A 、B 、C 共线，]2)5[()1()2(,n m n --=-++=∴λλ即 λλ21)5(2-=--=+∴m n n 且.消去λ得5m －n －mn=9……5分，又02,0)2)((,=-∴=+-+⊥n m m n 则……8分解得m=6，n=3或m=3，n=23…………12分20．设11211541,2,λλλλ++===则AC QA AB PA 431-=∴λ……4分 又||||AC AQ AB AP S S ABC APQ ⋅=∆∆32,021||43|,|43||||2222-=∴<===λλλλ又则AC QA AB PA ……8分，设点Q 的坐标为（x Q ，y Q ）， 则321)4()32(,3217)32(1--⨯-+=-⨯-+=Q Q y O x ，得)38,5(,38,5-∴-==Q y x Q Q …………12分 21．设按向量),(k h =平移，则,,k y y h x x -'=-'=代入得2)(h x k y -'-=-'即k h x h x y +-'+'-='222∴平移后的函数式k h hx x y +-+-=222.…………4分，由⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=--=kh hx x y x x y 22222得2)21(222=--++-k h x h x ，设它们的交点为),(),,(2211y x y x ，则0,02121=+=+y y x x由21022121-==+=+h h x x 得，……8分 又0)41()41(22212121=+---++---=+k x x k x x y y即049221472212221)(2)(212121221=-=+---=+-=+-+-++-k k k k x x k x x x x x x 49=∴k 故按向量)49,21(-=a 平移满足条件，这时平移后的函数表达式为22+--=x x y ……12分22．设船速为v ，显然h km v /4≥时人是不可能追上小船，当20≤≤v km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑42<<v 的情况，由于人在水中游的速度 小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。
第五章平面向量与复数(测试)
第五章 平面向量与复数（测试）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量,a b r r为单位向量，||c =r 0a b c ++=r r r r，则a r 与b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π32．已知向量||3,|||2|a a b a b =-=+r r r r r，则||a b +=r r （ ）AB ．2CD ．33．复数202474ii 2iz -+=-在复平面内对应的点位于（ ）A ．直线230x y +=上B ．直线230x y -=上C ．直线320x y +=上D ．直线320x y -=上4．若复数z 满足(1i)2i z +=，则z 等于（ ）A ．1i+B ．1i-+C ．1i-D ．1i--5．设12,z z 是关于x 的方程20x px q ++=的两根，其中,p q ÎR，若11z =-（i 为虚数单位），则1211z z +=（ ）A ．23-B ．23C ．2-D ．26．已知非零不共线向量,a b r r 满足2,a b =r r 2a b -=r r ，则a b r r g 的取值范围为（ ）A ．3,84æö-ç÷èøB ．2,83æö-ç÷èøC ．()1,8-D ．8,89æö-ç÷èø7．已知x ，y 都是正实数，若向量()1,2a =r ，11,12b x y æö=ç÷++èør ，且满足31a b ×=r r ，则xy 的最小值是（ ）A ．50B．C．D．8．ABC V 是等腰直角三角形，其中,1AB AC AB ^=uuu r∣∣，P 是ABC V 所在平面内的一点，若CP CA CB l m =+uuu r uuu r uuu r （0,0l m ³³且22l m +=），则CA uuu r 在CP uuur 上的投影向量的长度的取值范围是（ ）A．æçèB．ùúûC．éëD．2ùû二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量a r ，b r ，c r为非零向量，下列说法正确的有（ ）A ．若a b ^r r ，b c ^r r ，则a c^r rB ．已知向量()1,2a =r，()23,2a b +=r r ，则()1,2b =r C ．若a b a c ×=×r r r r，则b r 和c r 在a r 上的投影向量相等D ．已知2AB a b =+uu r u r r ，56BC a b =-+uuu r r r ，72CD a b =-uuu r r r，则点A ，B ，D 一定共线10．已知复数12,z z ，下列说法正确的是（ ）A ．若12=z z ，则2212z z =B ．1212z z z z =C ．1212z z z z -£+D ．1212z z z z +£+11．已知点O (0,0)，()2,1A ，()1,2B ，()()cos ,sin 02πP a a a £<，则下列结论正确的是（ ）A ．若π2a =，则AB BP ^uuu r uuu r B ．若AB OP ∥uuu r uuu r ，则3π4a =C ．若15AB OP ×=-uuu r uuu r ，24sin 225a =D ．AP uuu r的最大值为1第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知正方形ABCD ，边长为1，点E 是BC 边上一点，若2BE CE =，则AE CE ×=uuu r uuu r.13．已知复数i(,R)z a b a b =+Î，且2z =，则453a z z a -+-+的最小值是 ．14．如图所示，正方形ABCD EFGH 边长为1，则AE AG ×uuu r uuu r的值为.若在线段AB 上有一个动点M ，则ME MG ×uuur uuuu r的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.15．已知平面向量()1,2a =-r，()1,1b =--r .(1)求2a b -r r 的值；(2)求a r 与b r夹角的余弦值.16．已知复数1i z =与212z =-．(1)求1z 及2z 的值；(2)设z ÎC ，满足21||z z z ££的点Z 的集合是什么图形？17．在复数域中，对于正整数n 满足1n z =的所有复数()2π2πcosisin Z k k k k n nw =+Î称为单位根，其中满足对任意小于n 的正整数m ，都有1m z ¹，则称这种复数为n 次的本原单位根，例如当4n =时，存在四个4次单位根1,i ±±，因为1211,(1)1=-=，因此只有两个4次本原单位根i ±．(1)直接写出复数z 的3次单位根，并指出那些是复数z 的3次本原单位根（无需证明）．(2)①若k w 是复数z 的8次本原单位根，证明：2710k k k w w w ++++=L ．②若k w 是复数z 的n 次本原单位根，证明：23110n k k k k w w w w -+++++=L ．18．如图，在平面四边形ABCD 中，已知2CD BA =uuu r uuu r ，2BC CD ==uuu r uuu r ，1BA BC ×=uuu r uuu r ，O 为线段BC 上一点.(1)求ABC Ð的值；(2)若O 为线段BC 的中点，求OA OD ×uuu r uuu r的值；(3)试确定点O 的位置，使得OA OD ×uuu r uuu r最小.19．定义向量(),OM a b =uuuu r的“伴随函数”为()sin cos f x a x b x =+；函数()sin cos f x a x b x =+的“伴随向量”为(),OM a b =uuuu r.(1)写出()1,2OM =uuuu r 的“伴随函数”()f x ，并直接写出()f x 的最大值；(2)写出函数()πsin sin 3f x x x æö=-+ç÷èø的“伴随向量”为ON uuu r ，并求ON uuu r ；(3)已知1OM ON ==uuuu r uuu r ，OM uuuu r 的“伴随函数”为()f x ，ON uuu r的“伴随函数”为()g x ，设()00OP OM ON l m l m =+>>uuu r uuuu r uuu r ，，且OP uuu r的伴随函数为()h x ，其最大值为p .①若1l m ==，求p 的取值范围；②求证：向量OM ON =-uuuu ruuu r的充要条件是p l m =-.参考答案：1．C【分析】利用转化法求得a b ×r r，再利用两个向量夹角的余弦公式即可得解.【详解】因为向量,a b r r 均为单位向量，即||||1a b ==r r ，且0a b c ++=r r r r，||c =r 则a b c +=-r r r，两边平方可得222||||2||a b a b c ++×=r r r r r ，即21a b ×=r r，所以1||||cos ,cos ,2a b a b a b a b ×=××áñ=áñ=r r r r r r r r ，又0,πa b £áñ£r r ，所以a r 与b r 的夹角为π3．故选：C ．2．D【分析】对|||2|a b a b -=+r r r r 两边平方化简可得220b a b +×=r r r，再对||a b +r r 平方化简后再开方即可.【详解】由|||2|a b a b -=+r r r r 两边平方得，2222244a b a b a b a b +-×=++×r r r r r r r r，所以220b a b +×=r r r，所以2||a b +=r r 2222||9a b a b a ++×==r r r r r，所以||3a b +=r r，故选：D.3．B【分析】利用复数的乘方运算以及除法法则可得32i z =--，求得其对应点坐标可得结论.【详解】易知()()1012101220242i i 11==-=，所以()()()()2274i 12i 74i 714i 4i 8i 1510i32i 12i 12i 12i 14i 5z -++-+--++--=====----+-，可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,2--，位于直线230x y -=上.故选：B 4．A【分析】由复数z 满足()1i 2i z +=，得2i1iz =+，利用复数的除法运算求出结果.【详解】Q 复数z 满足()1i 2i z +=，()()()22i 1i 2i 2i 2i 1i 1i 1i 1i 2z --\====+++-.故选：A 5．A【分析】根据实系数一元二次方程在复数范围内根的关系求出另一个根，再代入求解即可.【详解】因为关于x 的方程20(,R)x px q p q ++=Î的一个根为11z =-，所以另一个根21z =-，所以121123z z +===-.故选：A.6．D【分析】先设b m =r ，根据条件求出2522a b m ×=-r r ，利用向量减法的几何意义和三角形三边关系定理求出m 的范围，再结合二次函数的单调性即可求得.【详解】设b m =r ，0,m >则2a m =r ，由2a b -=rr 两边平方得，22|2|4a a b b -×+=r r r r ，整理得，2522a b m ×=-r r ，因,a b r r 是非零不共线向量，则a b a b a b -<-<+r r r r r r ，即23m m <<，解得，223m <<，此时函数25()22f m m =-是增函数，故8()89f m -<<，即a b r r g 的取值范围为8,89æö-ç÷èø.故选：D.7．A【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算即可得到36112x y +=++，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】因为向量()1,2a =r ，11,12b x y æö=ç÷++èør ，且31a b ×=r r ，则123112x y æö+=ç÷++èø，所以36112x y +=++，化简可得()()()()123261x y y x ++=+++，整理可得1042xy x y -=+，因为 x ，y 都是正实数，所以1042xy x y -=+³100xy -³，所以0+³³£，³50xy ³，当且仅当421042x yxy x y =ìí-=+î时，即510x y =ìí=î时，等号成立，所以xy 的最小值是50.故选：A 8．B【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．【详解】设2CQ CA =uuu r uur ，CP CA CB l m =+uuu r uuu r uuu r（0,0l m ³³且22l m +=），则2CP CQ CB l m =+uuu r uuu r uuu r （00l m ³³，且12lm +=），则P 在线段QB 上，如图所示，当P 与Q 重合时，CA uuu r 在CP uuur 上的投影向量的长度取得最大值，最大值为||1CA =；当P 与B 重合时，CA uuu r在CP uuu r上的投影向量的长度取得最小值，最小值为1||2CB =；则CA uuu r 在CP uuur 上的投影向量的长度的取值范围是ùúû．故选：B.9．CD【分析】根据向量的线性运算、投影向量的意义和向量共线定理即可判断出正确答案.【详解】对于A ，若a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r可能平行，故A 错误；对于B ，设(),b x y =r ，则()()22,43,2a b x y +=++=rr ，解得1,2x y ==-，所以()1,2b =-r ，故B 错误；对于C ，若a b a c ×=×r r r r ，则cos ,cos ,a b a b a c a c ×=×r r r r r r r r，所以cos ,cos ,b a b c a c =r r r r r r ，所以br和c r 在a r上的投影向量相等，故C 正确；对于D ，因为2AB a b =+uu r u r r ，24BD BC CD a b =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，所以2BD AB =uuu r uuu r,所以点A ，B ，D 一定共线，故D 正确.故选：CD.10．BCD【分析】举出反例即可判断A ；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B ；根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断CD.【详解】对于A ，设1212i,2i z z =+=+，显然12=z z ，但221234i 34i z z =-+¹=+，故A 错；对于B ，设12i,i z a b z c d =+=+，则()12i z z ac bd ad bc =-++，==所以1212z z z z =，故B 对；对于CD ，根据复数的几何意义可知，复数1z 在复平面内对应向量1OZ uuuu r，复数2z 对应向量2OZ uuuu r，复数加减法对应向量加减法，故12z z -和12z z +分别为1OZ uuuu r 和2OZ uuuur 为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，所以1212z z z z -£+，1212z z z z +£+，故C 对，D 对.故选：BCD.11．ACD【分析】对于A ，当π2a =时，计算0AB BP ×=uuu r uuu r 即可；对于B ，由//AB OP uuu r uuu r ，即存在实数l ，使得AB OP l =uuu r uuu r ，计算得tan 1a =-即可；对于C ，由15AB OP ×=-uuu r uuu r 得，1cos sin 5a a -+=-两边平方结合二倍角公式即可；对于D ，由向量的模运算得||AP uuu r.【详解】由题意可知，(1,1)(cos ,sin )AB OP a a =-=uuu r uuu r，，对于A ，当π2a =时，(0,1)P ，所以(1,1)BP =--uuu r ,即110AB BP ×=-=uuu r uuu r ，故AB BP ^uuu r uuu r，故A 正确；对于B ，因为//AB OP uuu r uuu r，所以存在实数l ，使得AB OP l =uuu r uuu r ，即1cos 1sin l al a-=ìí=î，解得tan 1a =-，故3π4a =或7π4a =，故B 错误；对于C ，因为1cos sin 5AB OP a a ×=-+=-uuu r uuu r ，所以21(cos sin )25a a -+=，解得24sin 225a =，故C 正确；对于D ，因为(cos 2,sin 1)AP a a =--uuu r，所以||AP ==uuur=sin j j ==所以当sin()1a j +=-时，max ||1AP ===uuu r，故D 正确.故选：ACD.12．29-【分析】借助平面向量的三角形法则，用,AB AC uuu r uuu r作为基底，分别表示,AE CE uuu r uuu r 向量，然后用平面向量的线性运算和数量积即可得解.【详解】因为在单位正方形ABCD ，点E 是BC 边上一点，又2BE CE =，所以23AE AB BE AB BC =+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，13CE BC =-uuu r uuur ，所以22112233399AE CE AB BC BC AB BC BC æöæö×=+×-=-×-=-ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故答案为：29-13．1【分析】由2z =，得224a b +=，22a -££，则4(i)(i)i 2ia b a b z a b a z a b +-+=++=+，所以45(3)8233a a z a z a a -+-+-=-++，变形后利用基本不等式可求得结果.【详解】因为复数i(,R)z a b a b =+Î，且2z =，所以224a b +=，所以24a £，得22a -££，所以224(i)(i)i i 2i i a b a b a b z a b a b a z a b a b ++-+=++=++=++，所以45(3)8233a a z a z a a -+-+-=-++8213a a =+-+82(3)73a a =++-+，因为22a -££，所以a +所以82(3)778713a a ++-³=-=+，当且仅当82(3)3a a +=+，即1a =-或5a =-（舍去）时取等号，所以453a z z a -+-+的最小值是1.故答案为：1【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查基本不等式的应用，解题的关键是化简4(i)(i)i 2ia b a b z a b a z a b +-+=++=+，考查数学转化思想，属于较难题.14．6114【分析】易知正方形ABCD 与正方形EFGH 的中心为O ，然后将涉及到的向量用,AO OG uuu r uuu r或,MO OGuuuu r uuu r来表示，结合数量积的运算律即可求解.【详解】由已知得正方形ABCD 与正方形EFGH的中心重合，不妨设为O ，所以AO =OG OE =，则()()()2222226AE AG AO OE AO OG AO AO OE OG OG AO OG ×=+×+=+×+-=-=-=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ；()()()2222212ME MG MO OE MO OG MO MO OG OE OG MO OG MO ×=+×+=+×+-=-=-uuur uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu ruuuu r uuu r uuuu r ，显然，当M 为AB 的中点时，min MO 所以()min13111424ME MG×=-=uuur uuuu r故答案为：6；114．15【分析】（1）计算出()323,a b =--r r，由公式求出模长；（2）利用向量余弦夹角公式进行求解.【详解】（1）()()()322,41,13,a b =----=--rr，故2a b -==r r （2）设a 与b r夹角为q，cos q ==，故a r 与b r 16．(1)12z =，21z =(2)是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界【分析】（1）利用求复数模的公式求解即可；（2）利用复数的几何意义，确定出点的集合即可判断．【详解】（1i 2-==，2112z =-=；（2）由（1）知12z ££，设i z x y =+（x 、y ÎR ）．因为不等式1z ³的解集是以为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合，不等式2z £的解集是以O 为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件12z ££的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．17．(1)复数z 的3次单位根为111,22--，复数z 的3次本原单位根为1122-+-(2)①证明见解析，②证明见解析【分析】（1）根据n 次的本原单位根的定义，可直接得到答案；（2）①由题意可得81(8),1m k k m w w ¹<=，从而推出41k w =-，继而分组求和，即可证明结论；②由题意得1(),1m nk k m n w w ¹<=，则可推出k S S w =，继而得()10k S w -=，结合10k w -¹，即可证明结论.【详解】（1）由题意可得1n z =的解为()2π2πcosisin 0,1,233k k z k =+=，则复数z 的3次单位根为11,2-，由于因为111=，1122--2次方均不等于1，故复数z 的3次本原单位根为12.（2）证明：①因为k w 是复数z 的8次本原单位根，所以81(8),1m k k m w w ¹<=.因为()2841k k w w ==，所以41k w =-，所以()()()542624373410,10,10k k k k k k k k k k k k w w w w w w w w w w w w +=+=+=+=+=+=，则2710k k k w w w ++++=L .②因为k w 是复数z 的n 次本原单位根，所以1(),1m nk k m n w w ¹<=，设2311n k k k k S w w w w -=+++++L ，则231n nk k k k k k S w w w w w w -=+++++L .因为1nk w =，所以231n n k k k k k S w w w w w -=+++++L ，所以k S S w =，所以()10k S w -=.因为1()mk m n w ¹<，所以1k w ¹，即10k w -¹，则0S =，即23110n k k k k w w w w -+++++=L .18．(1)π3ABC Ð=(2)12(3)7BO OC =uuu r uuu r时，OA OD ×uuu r uuu r 最小【分析】（1）根据平面向量夹角公式计算即可；（2）将向量,OA OD uuu r uuu r转化为已知向量,OB BA uuu r uuu r 等，进行运算；（3）法一：设BO tBC =uuu r uuu r(01t ££)，利用基底法计算OA OD ×uuu r uuu r ，结合二次函数求最值；法二：建立平面直角坐标系，设()0,0O x (002x ££)，利用数量积的坐标运算，再求最值.【详解】（1）2CD BA =u Q uu r uuu r ，2CD =uuu r ，//BA CD \uuu r uuu r，1AB =uuu r ，1BA BC ×=uuu r uuu rQ ，1cos 2BA BC ABC BA BC ×\Ð==×uuu r uuu ruuu r uuu r ，()0,πABC ÐÎQ ，π3ABC \Ð=；（2）=()()OA OD OB BA OC CD ×+×+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r OB OC OB CD BA OC BA CD×+×+×+×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r =1111222=--++=（3）法一：设BO tBC =uuu r uuu r(01t ££)，则()1OC t BC =-uuu r uuu r ，OA BA BO BA tBC\=-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，2(1)OD OC CD BA t BC =+=+-uuu r uuu r uuur uuu r uuu r ()()()222(1)2131OA OD BA tBC BA t BC BA t BA BC t t BCéù\×=-×+-=+-×--ëûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()222113114473t t t t t =´+-´--´=-+当78t =时，即7BO OC =uuu r uuu r 时，OA OD ×uuu r uuu r 最小.法二：建立如图平面直角坐标系，则()0,0B，12A æççè，()2,0C，(D ，设()0,0O x (002x ££)，则012OA x æ=-ççèuuu r，(03OD x =-uuu r()20000173322OA OD x x x x æö\×=-´-=-+ç÷èøuuu r uuu r 当074x =时，即7BO OC =uuu r uuu r 时，OA OD ×uuu r uuu r 最小．19．(1)()sin 2cos f x x x =+(2)3,2ON æ=ççèuuu r(3)①[]0,2；②证明见解析【分析】（1）由辅助角公式化简即可求解；（2）结合两角差的正弦公式和辅助角公式化简即可求解；（3）设()()cos ,sin ,cos ,sin OM ON a a b b ==uuuu r uuu r，得到p =明充分性，再证明必要性.【详解】（1）因为()1,2OM =uuuu r ，所以1,2a b ==，所以()()sin cos sin 2cos f x a x b x x x x j =+=+=+，所以()f x ；（2）因为()π13sin sin sin sin sin 322fx x x x x x x x æö=-+=+=ç÷èø，所以“伴随向量”为3,2ON æ=ççèuuu r（3）设()()cos ,sin ,cos ,sin OM ON a a b b ==uuuu r uuu r，①因为1l m ==，所以()cos cos ,sin sin OP OM ON a b a b =++=+uuu r uuuu r uuu r，所以()()()cos cos sin sin sin cos h x x xa b a b =+++()x j =+，所以p ===因为()1cos 1a b -£-£，所以p 的取值范围是[]0,2；②因为()cos cos ,sin sin OP OM ON l a m b l a m b l m ++=+=uuu r uuuu r uuu r ，所以()()()cos cos sin sin sin cos h x x xl a m b l a m b =+++()x y =+()x y =+，所以p =充分性：p m =³-，当且仅当π2π,Z k a b -=+Î，即OM ON =-uuuu ruuu r时，等号成立，所以OM ON =-uuuu ruuu r.必要性：当OM ON =-uuuu ruuu r时，π2π,Z k a b -=+Î，所以p m ==-，综上所述，向量OM ON =-uuuu ruuu r的充要条件是p l m =-.【点睛】方法点睛：第三问要设出向量，表达出()cos cos ,sin sin OP l a m b l a m b ++=uuu r ，OP uuu r的伴随函数为()h x ，其最大值p =性.。
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、复数 1-1-2 Word版含答案.doc
限时规范训练二 平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2i ＋2－2＝－3i 3＝－i.5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B.∵复数z ＝11－i＝1＋i －＋＝12＋12i ，∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1D.2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y＝32时，等号成立． ∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414B ．－414C.94D ．－94解析：选C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94.10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i －32＝3＋i－2－23i ＝3＋i －＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10.答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。
人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(含答案解析)(1)
2．D
解析：D
【分析】
根据 z100
z50
1的结构特点，先由 z
1i 2
，得到 z2
1 i2
2
i ，再代入
z100 z50 1求解.
【详解】
因为 z 1 i 2
所以 z2 1 i2 i,
2
所以 z50 i25 i, z100 i50 i2 1 ，
所 z100 z50 1 i ，
（1）实数 m 取什么数时，z 是实数； （2）实数 m 取什么数时，z 是纯虚数；
（3）实数 m 取什么数时，z 对应的点在直线 x y 7 0 上．
24．已知复数 z1 a i ， z2 1 i ， a R ．
（Ⅰ）当 a 1时，求 z1 z2 的值；
（Ⅱ）若 z1 z2 是纯虚数，求 a 的值；
根据复数与复平面内的点一一对应，
可得向量 OA (2, 3) ， OB (3, 2) ．
由向量减法的坐标运算可得向量 BA OA OB (5, 5) ，
根据复向量、复数与复平面内的点一一对应，
可得向量 BA 对应的复数是 5 5i ，故选 B．
【点睛】 解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实 现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
除运算法则，计算可得所求和． 【详解】 设 S i 2i2 3i3 2020i2020 ， iS i2 2i3 3i4 2020i2021 ， 上面两式相减可得， (1 i)S i i2 i3 i2020 2020i2021
i(1 i2020 ) 2020i2021 i(1 1) 2020i 2020i ，
求解.
【详解】
由题意，复数
z
高中数学计算练习题
高中数学计算练习题一、集合与函数1. 计算下列集合的交集和并集：A = {x | x² 3x + 2 = 0}，B = {x | x² 4x + 3 = 0}2. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(2)和f(1)的值。
3. 设函数g(x) = x² 5x + 6，求g(x)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。
4. 计算下列函数的定义域：h(x) = √(4 x²)5. 已知函数f(x) = (x 1) / (x + 2)，求f(x)的值域。
二、三角函数与解三角形6. 已知sinα = 3/5，α为第二象限角，求cosα和tanα的值。
7. 计算sin(π/6 + π/4)的值。
8. 在△ABC中，a = 5, b = 8, C = 120°，求c的长度。
9. 已知tanA = 1/2，求sinA和cosA的值。
10. 计算下列各式的值：(1) cos²30° sin²30°(2) sin(45° + 30°) cos(45° 30°)三、数列11. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n 1，求前10项的和。
12. 计算等差数列5, 8, 11, 14, 的第10项。
13. 已知等比数列的首项为3，公比为2，求前5项的和。
14. 设数列{bn}的通项公式为bn = 3n + 1，求证数列{bn}为递增数列。
15. 计算数列1, 1/2, 1/4, 1/8, 的前n项和。
四、平面向量与复数16. 已知向量a = (2, 3)，求向量a的模。
17. 计算向量b = (4, 1)与向量c = (2, 3)的夹角。
18. 已知向量d = (m, 2)，向量e = (3, m)，且向量d与向量e共线，求m的值。
19. 计算复数(1 + i)²的值。
20. 已知复数z = 3 + 4i，求z的模和辐角。
平面向量与复数核心考点综合演练
ʏ王立超一㊁选择题1.下列说法正确的是( )㊂A .单位向量都相等B .若a ʊb ,则|a |=|b |C .若|a |=|b |,则a =bD .若a =λb (b ʂ0),则a 与b 是平行向量2.已知M 为әA B C 的边A B 的中点,N为әA B C 内一点,且A N ң=A M ң+13B C ң,则S әA MNS әB C N=( )㊂A .16 B .13 C .12 D .233.在锐角әA B C 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,S 为әA B C 的面积,且2S =a 2-(b -c )2,则b c的取值范围为( )㊂A .12,2() B .23,32()C .34,43()D .35,53()4.已知|a |=|b |=2,a ㊃b =-2,若|c -a -b |=1,则|c |的取值范围为( )㊂A .12,32[]B .12,52[]C .[2,3]D .[1,3]5.已知i 是虚数单位,a ,b ɪR ,则 a =b =1 是 (a +b i )2=2i 的( )㊂A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.已知复数z =i +i 2+i 3+ +i20151+i,则复数z 在复平面内对应的点位于( )㊂A.第一象限 B .第二象限C .第三象限 D .第四象限7.(多选题)已知向量a =(2,1),b =(1,-1),c =(m -2,-n ),其中m ,n 均为正数,且(a -b )ʊc ,则下列说法正确的是( )㊂A .a 与b 的夹角为钝角B .向量a 在b 方向上的投影为55C .2m +n =4D .m n 的最大值为28.(多选题)әA B C 中,A B ң=c ,B C ң=a ,C A ң=b ,现有下列四个命题,其中真命题是( )㊂A .若a ㊃b >0,则әA B C 为锐角三角形B .若a ㊃b =0,则әA BC 为直角三角形C .若a ㊃b =c ㊃b ,则әA B C 为等腰三角形D .若(a +c -b )㊃(a +b -c )=0,则әA B C 为直角三角形9.(多选题)下列说法中错误的是( )㊂A .已知a =(1,2),b =1,1(),且a 与a +λb 的夹角为锐角,则λɪ-53,+ɕ()B .点O为әA B C的内心,且O B ң-O C ң()㊃O B ң+O C ң-2O A ң()=0,则әA B C 为等腰三角形C .若a 与b 平行,则a 在b 方向上的投影为aD .若非零向量a ,b 满足a =b =a -b ,则b 与a +b 的夹角是60ʎ10.(多选题)已知z 1与z 2互为共轭复数,现有以下四个命题,其中真命题是( )㊂A .z 21<|z 2|2B .z 1z 2=|z 1z 2|C .z 1+z 2ɪRD .z 1z 2ɪR 11.(多选题)设z 1,z 2是复数,则下列命题中是真命题的为( )㊂A .若|z 1-z 2|=0,则z 1=z 2B .若z 1=z 2,则z 1=z 2C .若|z 1|=|z 2|,则z 1㊃z 1=z 2㊃z 2D .若|z 1|=|z 2|,则z 21=z 22二㊁填空题12.在әA B C 中,设D 是B C 边上一点,且满足C D ң=2D B ң,C D ң=λA B ң+μA C ң,则λ+μ的值是㊂13.在әA B C 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且(a -b )s i n B =a (s i n A +2s i n B )-c s i n C ,әA B C 的外接圆半径为2,若a +t b 有最大值,则实数t 的取值范围是㊂14.在锐角әA B C 中,B C =1,B =2A ,则A Cc o s A的值等于,A C 的取值范围为㊂15.已知复数z =3+2i2-3i,i 为虚数单位,则z 的共轭复数z =㊂16.已知m ɪR ,复数m +i 1+i -12的实部和虚部相等,则m =㊂17.已知复数z 1,z 2满足|z 1|=1,|z 2|=5,则|z 1-z 2|的取值范围是㊂18.计算(2+i 15)-1+i 2æèçöø÷22=㊂19.设z 的共轭复数是z ,若z +z =4,z ㊃z =8,则|z |=,zz=㊂20.对任意复数z =x +y i (x ,y ɪR ),i 为虚数单位,则下列结论正确的是㊂(填序号)①|z -z |=2y ;②z 2=x 2+y 2;③|z -z |ȡ2x ;④|z |ɤ|x |+|y|㊂三㊁解答题21.如图1,已知әA B C 的面积为14,D ㊁E 分别为边A B ㊁B C 上的点,且A D ʒD B =B E ʒE C =2ʒ1,A E 与C D 交于点P ㊂设存在λ和μ,使A P ң=λA E ң,P D ң=μC D ң,A B ң=a ,B C ң=b ㊂图1(1)求λ及μ㊂(2)用a ,b 表示B P ң㊂(3)求әP A C 的面积㊂22.设әA B C 的面积为S ,且2S +3A B ң㊃A C ң=0㊂(1)求角A 的大小㊂(2)若|B C ң|=3,且角B 不是最小角,求S 的取值范围㊂23.如图2,已知矩形A B C D ,A B =2,A D =3,点P 为矩形内一点,且|A P ң|=1,设øB A P =α㊂图2(1)当α=π3时,求证:P C ңʅP D ң㊂(2)求(P C ң+P D ң)㊃A P ң的最大值㊂24.已知向量a =(2,1)㊂(1)若向量b =(-1,1),且m a -b 与a -2b 垂直,求实数m 的值㊂(2)若向量c =(-2,λ),且c 与a 的夹角为钝角,求|c -2a |的取值范围㊂25.在锐角әA B C 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且满足3a -2b s i n A =0㊂(1)求角B 的大小㊂(2)若a +c =5,且a >c ,b =7,求A B ң㊃A C ң的值㊂26.如图3,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛B 与小岛A ㊁小岛C 相距都为5k m ,与小岛D 相距为35k m ,øB A D 为钝角,且s i n A =35㊂图3(1)求小岛A 与小岛D 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积㊂(2)记øB D C为α,øC B D为β,求s i n(2α+β)的值㊂27.在әA B C中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a s i n B=-3b c o s A㊂(1)求A的值㊂(2)若b=2,c=3,øB A C的平分线A D 交B C于D,求A D的长㊂28.已知复数z的模为1,求|z-1-2i|的最大值和最小值㊂29.实数m取什么数值时,复数z= m2+m-2m+1+(m2-1)i分别是下列的数(1)实数㊂(2)纯虚数㊂30.已知复数z满足(z-2)㊃(1+i)= 1-i(i为虚数单位)㊂(1)求复数z㊂(2)求|(3+i)㊃z|㊂31.四边形A B C D是复平面内的平行四边形,A,B,C,D四点对应的复数分别为1+ 3i,2i,2+i,z㊂(1)求复数z㊂(2)z是关于x的方程2x2-p x+q=0的一个根,求实数p,q的值㊂32.已知关于x的方程x2+4x+p=0(pɪR)的两个根是x1,x2㊂(1)若x1为虚数且|x1|=5,求实数p的值㊂(2)若|x1-x2|=2,求实数p的值㊂一㊁选择题1.提示:单位向量的模相等,但方向不一定相同,A错误㊂当aʊb时,其模长|a|与|b|可能相等或|a|=λ|b|(λȡ0)或|b|=λ|a|(λȡ0),B错误㊂当|a|=|b|时,不一定有a=b,a与b有可能反向的情况,C错误㊂a=λb(bʂ0),则a与b是平行向量,D正确㊂应选D㊂2.提示:由A Nң=A Mң+13B Cң得MNң=13B Cң,即MNʊB C㊂因为M为A B的中点,所以点A到MN的距离等于点N到B C的距离,则SәA MNSәB C N=|MNң||B Cң|=13㊂应选B㊂3.提示:在әA B C中,a2=b2+c2-2b c c o s A,S=12b c s i n A㊂由2S=a2-(b-c)2,可得b c s i n A=2b c-2b c c o s A,所以s i n A=2(1-c o s A),即2s i n A2c o s A2= 4s i n2A2㊂因为s i n A2>0,所以t a n A2=12㊂由倍角公式得t a n A=43,所以s i n A=45,c o s A=35,所以b c=s i n Bs i n C=s i n(A+C)s i n C= s i n A c o s Cs i n C+c o s A s i n Cs i n C=45t a n C+35㊂因为әA B C为锐角三角形,所以A+C>π2,所以0<π2-C<A<π2,所以0<1t a n C= t a nπ2-C()<t a n A=43,所以35<45t a n C+ 35<45ˑ43+35=2515=53,所以bcɪ35,53()㊂应选D㊂4.提示:因为|a|=|b|=2,a㊃b=-2, |c-a-b|=1=|c-(a+b)|ȡ|c|-|a+ b|,所以|c|ɤ1+|a+b|㊂又|a+b|= (a+b)2=a2+2a㊃b+b2=2,所以|c|ɤ3㊂由1=|c-a-b|=|c-(a+b)|ȡ|a+b|-|c|,可得|c|ȡ|a+b|-1=2-1=1㊂故1ɤ|c|ɤ3㊂应选D㊂5.提示:当a=b=1时,(a+b i)2=(1+i)2=2i㊂若(a+b i)2=2i,则a=b=-1或a=b=1㊂故 a=b=1 是 (a+b i)2=2i 的充分不必要条件㊂应选A㊂6.提示:因为i+i2+i3+i4=0,i5+i6+ i7+i8=0, ,i2009+i2010+i2011+i2012=0, i2013+i2014+i2015=i-1-i=-1,所以z= -11+i=-12+12i,所以对应点-12,12()在第二象限㊂应选B ㊂7.提示:由题意知a ㊃b =1>0,所以a 与b 的夹角为锐角,A 错误㊂向量a 在b 方向上的投影为a ㊃b |b |=12=22,B 错误㊂a -b =(1,2),因为(a -b )ʊc ,所以-n =2m -4,即2m +n =4,C 正确㊂由基本不等式知4=2m +n ȡ22m n ,m n ɤ2,当且仅当2m =n =2时取等号,故m n 的最大值为2,D 正确㊂应选C ,D ㊂8.提示:在әA B C 中,A B ң=c ,B C ң=a ,C A ң=b ,若a ㊃b >0,则øB C A 是钝角,即әA B C 是钝角三角形,A 错误㊂若a ㊃b =0,则B C ңʅC A ң,即әA B C 为直角三角形,B 正确㊂若a ㊃b =c ㊃b ,即b ㊃(a -c )=0,也即C A ң㊃(B C ң-A B ң)=0,则C A ң㊃(B C ң+B A ң)=0㊂取A C 中点D ,则C A ң㊃B D ң=0,所以B A =B C ,即әA B C 为等腰三角形,C 正确㊂若(a +c -b )㊃(a +b -c )=0,则a 2=(c -b )2,即b 2+c 2-a 2=2b ㊃c ,也即b 2+c 2-a 22|b ||c |=-c o s A ㊂由余弦定理得c o s A =-c o s A ,即c o s A =0,可得A =π2,所以әA B C 为直角三角形,D 正确㊂应选B ,C ,D ㊂9.提示:a =(1,2),b =1,1(),且a 与a +λb 的夹角为锐角,所以a ㊃(a +λb )=(1,2)㊃(1+λ,2+λ)=3λ+5>0,且λʂ0(λ=0时,a 与a +λb 的夹角为0),所以λ>-53且λʂ0,A 错误㊂O B ң-O C ң()㊃(O B ң+O C ң-2O A ң)=C B ң㊃(O B ң-O A ң+O C ң-O A ң)=C B ң㊃(A B ң+A C ң)=(A B ң-A C ң)(A B ң+A C ң)=AB ң2-AC ң2=0,所以|A B ң|=|A C ң|,所以әA B C 为等腰三角形,B 正确㊂若a ʊb ,则a 在b 方向上的投影的数量为ʃ|a |,C 错误㊂因为|a |=|b |=|a -b |,所以|a |2=b2=2a ㊃b ,则a ㊃(a +b )=|a |2+a ㊃b =32|a |2,|a +b |=(a +b )2=|a |2+2a ㊃b +|b |2=3|a |,故c o s <a ,a +b >=a ㊃(a +b )|a ||a +b |=32|a |2|a |㊃3|a |=32㊂又向量的夹角范围是[0ʎ,180ʎ],所以a 与a +b 的夹角为30ʎ,D 错误㊂应选A ,C ,D ㊂10.提示:设z 1=a +b i ,z 2=a -b i (a ,b ɪR ),z 21=a 2-b 2+2a b i ,|z 2|2=a 2+b 2,A 不正确㊂z 1z 2=|z 1z 2|=a 2+b 2,B 正确㊂z 1+z 2=2a ɪR ,C 正确㊂z 1z 2=a +b i a -b i =(a +b i )2(a -b i )(a +b i )=a 2-b 2a 2+b 2+2a ba 2+b2i 不一定是实数,D 不正确㊂应选B ,C ㊂11.提示:对于A ,若|z 1-z 2|=0,则z 1-z 2=0,即z 1=z 2,所以z 1=z 2㊂对于B ,若z 1=z 2,则z 1和z 2互为共轭复数,所以z 1=z 2㊂对于C ,设z 1=a 1+b 1i ,z 2=a 2+b 2i ,若|z 1|=|z 2|,则a 21+b 21=a 22+b 22,z 1㊃z 1=a 21+b 21,z 2㊃z 2=a 22+b 22,所以z 1㊃z 1=z 2㊃z 2㊂对于D ,若z 1=1,z 2=i ,则|z 1|=|z 2|,而z 21=1,z 22=-1,显然z 21ʂz 22㊂应选A ,B ,C ㊂二㊁填空题12.提示:因为C D ң=2D B ң,所以C D ң=23C B ң=23(A B ң-A C ң)=23A B ң-23A C ң=λA B ң+μA C ң㊂由A B ң,A C ң不共线得λ=23,μ=-23,所以λ+μ=0㊂13.提示:由已知及正弦定理得(a -b )b =a (a +2b )-c 2,整理得a 2+b 2-c 2=-a b ㊂由余弦定理得c o s C =a 2+b 2-c22a b=-12㊂因为C ɪ(0,π),所以C =2π3㊂由正弦定理得b s i n B =as i n A=4,所以a +t b =4(s i n A +t s i n B )=4t s i n B +4s i n π3-B ()=4t s i n B +432c o s B -12s i n B æèçöø÷=(4t -2)㊃s i n B +23c o s B =(4t -2)2+12㊃s i n (B +θ),其中t a n θ=32t -1㊂因为B ɪ0,π3(),要使a +t b 存在最大值,需满足B +θ=π2,此时t a n B =t a n π2-θ()=1t a n θ=2t -13ɪ(0,3),所以t ɪ12,2()㊂14.提示:设A =θ,则B =2θ㊂由正弦定理得A C s i n 2θ=B C s i n θ,所以A C 2c o s θ=1,即A Cc o s θ=2㊂由锐角әA B C 得0ʎ<2θ<90ʎ,即0ʎ<θ<45ʎ㊂又0ʎ<180ʎ-3θ<90ʎ,所以30ʎ<θ<60ʎ,所以30ʎ<θ<45ʎ㊂故22<c o s θ<32,所以A C =2c o s θɪ(2,3)㊂15.提示:(方法1)z =3+2i 2-3i =i (2-3i)2-3i =i ,所以z 的共轭复数为-i㊂(方法2)z =3+2i 2-3i =(3+2i )(2+3i)(2-3i )(2+3i)=13i13=i ,所以z 的共轭复数为-i㊂16.提示:m +i 1+i -12=(m +i )(1-i)(1+i )(1-i)-12=(m +1)+(1-m )i 2-12=m +(1-m )i2㊂由已知得m 2=1-m 2,则m =12㊂17.提示:(方法1)设z 1,z 2在复平面内对应的点分别为Z 1,Z 2㊂易得z 1,z 2对应的点的轨迹分别是以坐标原点为圆心,1和5为半径的圆,所以|z 1-z 2|的最小值为4,最大值为6㊂故|z 1-z 2|的取值范围是[4,6]㊂(方法2)因为||z 1|-|z 2||ɤ|z 1-z 2|ɤ|z 1|+|z 2|,所以|1-5|ɤ|z 1-z 2|ɤ|1+5|,即4ɤ|z 1-z 2|ɤ6,则|z 1-z 2|的取值范围是[4,6]㊂18.提示:(2+i 15)-1+i 2æèçöø÷22=(2-i )-1+i 2æèçöø÷2éëêêùûúú11=2-i -i 11=2-i -(-i )=2㊂19.提示:设z =x +y i (x ,y ɪR ),则z =x -y i㊂由题意得x +y i +x -yi =4,(x +y i )(x -yi )=8,{所以x =2,x 2+y2=8,{解得x =2,y =ʃ2㊂{所以|z |=22㊂所以z z =x -y i x +y i =x 2-y 2-2x y ix 2+y2=ʃi ㊂20.提示:对于①,z =x -y i (x ,y ɪR ),|z -z |=|x +y i -x +y i |=|2y i |=|2y|,①不正确㊂对于②,z 2=x 2-y 2+2x yi ,②不正确㊂对于③,|z -z |=|2y|ȡ2x 不一定成立,③不正确㊂对于④,|z |=x 2+y 2ɤx 2+y 2+2|x ||y|=|x |+|y |,④正确㊂答案为④㊂三㊁解答题21.提示:(1)因为A D ʒD B =B E ʒE C =2ʒ1,A B ң=a ,B C ң=b ,所以A E ң=A B ң+B E ң=a +23b ,C D ң=C B ң+B D ң=-b -13a ㊂因为A P ң=λA E ң,P D ң=μC D ң,所以A P ң=λa +23b (),P D ң=μ-b -13a (),所以A D ң=A P ң+P D ң=λa +23b ()+μ-b -13a ()=λ-13μ()a +23λ-μ()b ㊂又因为A D ң=23A B ң=23a ,所以λ-13μ=23,23λ-μ=0,ìîíïïïï解得λ=67,μ=47㊂ìîíïïïï(2)由(1)知P D ң=47-b -13a (),B D ң=-13a ,A B ң=a ,所以B P ң=B D ң+D P ң=-13a +47b +13a ()=-17a +47b ㊂(3)因为B E ʒE C =2ʒ1,S әA B C =14,所以S әA C E =13S әA B C =143㊂又因为A P ң=λA E ң=67A E ң,所以S әP A C =67S әA C E =67ˑ143=4㊂22.提示:(1)设әA B C 中角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ㊂由2S +3A B ң㊃A C ң=0,可得2ˑ12b c s i n A +3b c c o s A =0,即s i n A +3c o s A =0,所以t a n A =-3㊂又A ɪ(0,π),所以A =2π3㊂(2)因为|B C ң|=3,所以a =3㊂由正弦定理得3s i n2π3=b s i n B =cs i n C ,所以b =2s i n B ,c =2s i n C ,所以S =12b c s i n A =3s i n B s i n C =3s i n B s i nπ3-B ()=3s i n B 32c o s B -12s i n B æèçöø÷=334s i n 2B -æèç1-c o s 2B 4)=32s i n 2B +π6()-34㊂又B ɪπ6,π3(),2B +π6ɪπ2,5π6(),所以S ɪ0,34æèçöø÷㊂23.提示:以A 为坐标原点,A B 为x 轴,建立平面直角坐标系(图略),则A (0,0),B (2,0),C (2,3),D (0,3)㊂当α=π3时,点P 12,32æèçöø÷,则P C ң=32,32æèçöø÷,P D ң=-12,32æèçöø÷,所以P C ң㊃P D ң=32ˑ-12()+32æèçöø÷2=0,所以P C ңʅP D ң㊂(2)由三角函数的定义,可设P (c o s α,s i n α),则P C ң=(2-c o s α,3-s i n α),P D ң=(-c o s α,3-s i n α),A P ң=(c o s α,s i n α),所以P C ң+P D ң=(2-2c o s α,23-2s i n α),所以(P C ң+P D ң)㊃A P ң=2c o s α-2c o s 2α+23s i n α-2s i n 2α=4s i n α+π6()-2㊂因为0<α<π2,所以当α=π3时,(P C ң+P D ң)㊃A P ң取得最大值2㊂24.提示:(1)因为m a -b =(2m +1,m -1),a -2b =(4,-1),又m a -b 与a -2b 垂直,所以4(2m +1)-(m -1)=0,解得m =-57㊂故所求实数m =-57㊂(2)因为c 与a 的夹角为钝角,所以a ㊃c =2ˑ(-2)+λ=λ-4<0,即λ<4㊂又当λ=-1时,c ʊa ,所以λ<4且λʂ-1㊂因为c -2a =(-6,λ-2),所以|c -2a |=(λ-2)2+36㊂当λ<4且λʂ-1时,(λ-2)2+36ɪ[36,45)ɣ(45,+ɕ),所以|c -2a |的取值范围为[6,35)ɣ(35,+ɕ)㊂25.提示:(1)因为3a -2b s i n A =0,所以3s i n A -2s i n B s i n A =0㊂因为s i n A ʂ0,所以s i n B =32㊂又B 为锐角,故B =π3㊂(2)由(1)可知,B =π3㊂因为b =7,根据余弦定理得7=a 2+c 2-2a c c o sπ3,整理得(a +c )2-3a c =7㊂由已知a +c =5,可得a c =6㊂又a >c ,所以a =3,c =2㊂由上可得c o s A =b 2+c 2-a 22b c =714㊂故A B ң㊃A C ң=|A B ң|㊃|A C ң|c o s A =c b c o s A =1㊂26.提示:(1)因为s i n A =35,且角A 为钝角,所以c o s A =-1-s i n 2A =-45㊂在әA B D 中,由余弦定理得A D 2+A B 2-2A D ㊃A B c o s A =B D 2,所以A D 2+25-10A D ㊃-45()=45,即A D 2+8A D -20=0,解得A D =2或A D =-10(舍去),所以小岛A 与小岛D 之间的距离为2k m ㊂因为A ,B ,C ,D 四点共圆,所以角A 与角C 互补,所以s i n C =s i n A =35,c o s C =c o s (180ʎ-A )=-c o s A =45㊂在әB D C 中,由余弦定理得C D 2+C B 2-2C D ㊃C B c o s C =BD 2,所以C D 2+25-8C D =45,所以C D 2-8C D -20=0,解得C D =-2(舍去)或C D =10㊂所以S 四边形A B C D =S әA B D +S әB C D =12A B ㊃A D ㊃s i n A +12C B ㊃C D ㊃s i n C =12ˑ5ˑ2ˑ35+12ˑ5ˑ10ˑ35=18㊂故四个小岛所形成的四边形面积为18k m 2㊂(2)在әB C D 中,由正弦定理得B Cs i n α=B D s i nC ,即5s i n α=3535,解得s i n α=55㊂因为B D >B C ,所以α<C ㊂又C 为锐角,所以α为锐角,所以c o s α=255㊂因为s i n (α+β)=s i n (180ʎ-C )=s i n C =35,c o s (α+β)=c o s (180ʎ-C )=-c o s C =-45,所以s i n (2α+β)=s i n [α+(α+β)]=s i n αc o s (α+β)+c o s αs i n (α+β)=2525㊂27.提示:(1)由a s i n B =-3b c o s A 得s i n A s i n B =-3s i n B c o s A ,所以s i n A =-3c o s A ,即t a n A =-3㊂又A ɪ(0,π),所以A =2π3㊂(2)因为A D 为øB A C 平分线,且A =2π3,所以øB A D =øC A D =π3㊂因为b =2,c =3,所以әA B C 面积S =12b c s i n A =332㊂又因为әA B C 面积S =S әB A D +S әC A D ,所以12ˑ3ˑA D ˑ32+12ˑ2ˑA D ˑ32=332,解得A D =65㊂28.提示:因为复数z 的模为1,所以z 在复平面内的对应点是以原点为圆心,1为半径的圆㊂|z -1-2i |=|z -(1+2i )|可以看成圆上的点到点A (1,2)的距离,如图4所示㊂图4由图可知,|z -1-2i |m i n =|A B |=|O A |-|O B |=5-1,|z -1-2i |m a x =|A C |=|O A |+|O C |=5+1㊂29.提示:(1)由m 2-1=0且m +1ʂ0,得m =1,所以当m =1时,z 是实数㊂(2)由m 2+m -2m +1=0,m 2-1ʂ0,{解得m =-2,所以当m =-2时,z 是纯虚数㊂30.提示:(1)由(z -2)㊃(1+i )=1-i ,可得z =1-i 1+i +2=(1-i)2(1+i )(1-i)+2=2-i ㊂(2)由z =2-i ,可得|(3+i )㊃z |=|(3+i )(2-i )|=|7-i |=72+(-1)2=52㊂31.提示:(1)复平面内A ,B ,C 对应点的坐标分别为(1,3),(0,2),(2,1)㊂设点D 的坐标为(x ,y )㊂由于A D ң=B C ң,所以(x -1,y -3)=(2,-1),所以x -1=2,y -3=-1,解得x =3,y =2,即点D (3,2)㊂故点D 对应的复数z =3+2i㊂(2)因为3+2i 是关于x 的方程2x 2-p x +q =0的一个根,所以3-2i 是关于x 的方程2x 2-p x +q =0的另一个根,则3+2i +3-2i =p 2,(3+2i )(3-2i )=q2,解得p =12,q =26㊂32.提示:(1)由题意知Δ<0,所以16-4p <0,解得p >4㊂因为x 1x 2=p ,x 1x 2=x 1x 1=|x 1|2=25,所以p =25㊂(2)由韦达定理得x 1+x 2=-4,x 1x 2=p ㊂当方程的判别式Δȡ0,即p ɤ4时,方程有两个实数根x 1,x 2,则|x 1-x 2|2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=16-4p =4,解得p =3;当方程的判别式Δ<0,即p >4时,方程有一对共轭虚数根x 1,x 2,则|x 1-x 2|=|4p -16|=4p -16=2,解得p =5㊂故所求实数p 的值为3或5㊂作者单位:河南省开封高级中学(责任编辑 郭正华)。
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集合与复数
1. [2014·辽宁卷] 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合U (A ∪B )＝( )
A ．{x |x ≥0}
B ．{x |x ≤1}
C ．{x |0≤x ≤1}
D ．{x |0＜x ＜1}
2． 设集合M ＝{1，2，4，6，8}，N ＝{1，2，3，5，6，7}，则M ∪N 中元素的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
3.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合A ＝{－2，0，2}，B ＝{x |x 2－x －2＝0}，则A ∩B ＝( )
A ．
B ．{2}
C ．{0}
D ．{－2}
4．[2014·陕西卷] 设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2＜1，x ∈R }，则M ∩N ＝( )
A ．[0，1]
B ．(0，1)
C ．(0，1]
D ．[0，1)
5. 满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是
（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
6.[2014·福建卷] 命题“x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( )
A ．x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0
B ．x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0
C ．x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0
D ．x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0
7. （2009重庆卷文2）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（
） A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
8. 已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是（ ）
（A ）若a+b+c ≠3，则222a b c ++<3 （B ）若a+b+c =3，则222a b c ++<3
（C ）若a+b+c ≠3，则222a b c ++≥3 （D ）若222a b c ++≥3，则a+b+c =3
9. 设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
10. 设 i 是虚数单位，复数ai i 1+2-为纯虚数，则实数a 为（ ）
（A ）2 (B) -2 (C) 1
-2 (D) 1
2
11. 设复数z 满足(1+i )z=2，其中i 为虚数单位，则z=（ ）
A ．1+i
B ．1-i
C ．2+2i
D ．2-2i
12. 设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________，虚部是
13．设i
i z 21+=，则复数=_z 14．a 为正实数，i 为虚数单位，
2=+i i a ，则=a 15．复数i
i z +-=22在复平面内对应的点在第 象限。
16．[2014·陕西卷] 已知复数z ＝2－i ，则z ·z －的值为
17. [2012·上海卷] 若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( )
A ．b ＝2，c ＝3
B ．b ＝2，c ＝－1
C ．b ＝－2，c ＝－1
D ．b ＝－2，c ＝3
18.ABCD 是复平面内的四边形，C B A ,,三点对应的复数分别是i 31+，i -，i +2，则点
D 对应的复数是
平面向量
1、（2016年北京高考）设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2、（2016年山东高考）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=
13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为
（A ）4 （B ）–4 （C ）94 （D ）–
94 3、（2016年四川高考）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB
﹒DC =DC ﹒DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2
BM 的最大值是
（A ）434 （B ）494
（C ）374+ （D ）374+ 4、（2016年天津高考）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的
中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC 的值为（ ）
（A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）811
5、（2016年全国II 高考）已知向量(1,)(3,2)a m a =-，
=，且()a b b ⊥+，则m =（ ）
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
6、（2016年全国III高考）已知向量
13
(,)
22
BA=,
31
(,),
22
BC=则∠ABC=
(A)300(B) 450(C) 600(D)1200
7、（2016年全国I高考）设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= .
8、（2016年浙江高考）已知向量a、b, ｜a｜=1，｜b｜=2，若对任意单位向量e，均有｜
a·e｜+｜b·e｜≤6,则a·b的最大值是．
9、(2016江苏省高考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
4
BA CA
⋅=，1
BF CF
⋅=-，则BE CE
⋅的值是.。