例谈转化思想在解数列题中的应用

例谈转化思想在解数列题中的应用

324100 浙江省江山中学 杨作义

转化也叫化归，是一种常用的思想方法。前苏联数学家雅诺夫斯卡娅说：“解题——就是意味着把所要解决的问题转化为已经解过的问题。”因此，当我们接触的问题难以入手时，思维就不应该停留在原问题上，而应将原问题转化为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。例如等差、等比数列是我们比较熟悉的两类数列，解数列问题时，运用转化思想，把问题化归为等差、等比数列，应用等差、等比数列的性质来解，便是一种重要策略。现例谈如下，以供参考。

例1、 已知：115,23n n a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。

解：设112(),2n n n n a x a x a a x +++=+=+即,与已知条件比较，得x=3. {}132(3), 3n n n a a a +∴+=+∴+是等比数列，公比为2，首项为138a +=, 12382,2 3.n n n n a a -+∴+=⨯=-即

注：形如1 (0,1)n n a ca d c c +=+≠≠的递推数列，都可以设1()n n a c a λλ++=+应用待定系数法，化归为等比数列解决。化难为易。

例2、 已知数列{}n a 满足关系：1121,.2

n n n a a a a +==+求数列{}n a 的通项公式。 解：111221111,222n n n n n n n a a a a a a a a +++==∴==++且，即11112

n n a a +-=， ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是以111a =为首项，以12为公差的等差数列，11121(1),221

n n n n a a n +∴=+-⨯=∴=+ 注：分析题意，取倒数转化为等差数列，化暗为明。

例3、使用计算器依照预先编制的程序进行计算，当依次输入数据1和1时，输出结果为2；若依次输入两个数据m 和n 时，输出结果为k ；依次输入两个数据m 和n+1时，输出结果为k+3，则依次输入数据1和n 时，输出结果为_________.

解：设f (x,y)=z 表示输入的数据为x 和y 时,输出的结果为z,则

f (1,1)=2, f (m,n)=k, f (m,n+1)=k+3 ∴f (m,n+1)-f (m,n)=3

∴{}(,)f m n 是关于n 的等差数列，公差为3，首项为f(m,1) ∴f (m,n)=f (m,1)+3 (n-1) ∴f (1,n) = f (1,1)+3 (n-1) = 2+3 (n-1) =3n-1.

注：根据题意，把问题数学化，发现规律，转化为等差数列来解，化抽象为具体。

例4、（2003年高考题） 设0a 为常数，且1132(*)n n n a a n N --=-∈

（1）证明对任意n n n n n n n a a n 2)1(]2)1(3[5

1,11⋅-+⋅-+=≥-； （2）假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求n a 的取值范围.

证明：设1132(3),n n n n a a a a ---⋅=--⋅ 用1123---=n n n a a 代入，可解出5

1=a . 111132(3),55

n n n n a a ---⋅=--⋅ ∴35n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭

是公比为－2，首项为135a -的等比数列. 1033(12)(2)(*).55

n n n a a n N -∴-=---∈ 即11[3(1)2](1)25n n n n n n n a a -=+-⋅+-⋅. （2）略。

注：根据已知的递推关系，待定系数，巧妙地转化为等比数列，化繁为简. 例5、设数列｛n a ｝中，n S ＝４1-n a ＋１（ｎ≥２），且1a ＝１.

（1）若n n n a a b 21-=+， 求证：数列｛n b ｝是等比数列;

（2）求数列｛n a ｝的通项公式.

证明：（1）当n ≥2时，n a =1--n n S S = 4

（21---n n a a ） ∴12--n n a a =2（212---n n a a ） ∴1-n n b b =1

122-+--n n n n a a a a =2 又∵ 2S =41a +1=5 ∴2a =4，1b =122a a -=２， ∴｛n b ｝是以２为首项，２为公比的等比数列.

（2）由（１）知，n n b 2= ∴n n n a a 221+=+，设n c =n n a 2，则n c ＝n n a 2＝n n n a 22211--+ ＝112

21--+n n a ＝121-+n c ,∴｛n c ｝是以1c ＝21为首项，21为公差的等差数列. ∴n c ＝21)1(21⋅-+n ＝2n ， ∴n a ＝n n c ⋅2＝2

2n n ⋅＝ｎ12-⋅n . 注：应用公式1 (2)n n n a s s n +=-≥转化为等比数列；设n c =n n a 2

，化为等差数列，问题迎刃而解。注意与上例的区别和联系，可以用相同的解法吗？

总之，数学解题，要注意转化，懂得转化，这是最基本的常规的解题思路和解题模式。

———本文发表于《高中数学教与学》2009年第1期上