第6章 电路的暂态分析
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4）由 t=0+ 时刻的等效电路求所需各变量的 0+ 值。
小结
1. 换路瞬间， 能突变，变不变由计算结果决定；
uC、iL 不能突变。其它电量均可
2. 换路瞬间， C
路；
电容相当于恒压 u (0 ) U 0 0， 源，其值等于 U 0 ；u (0 ) 0， 电容相当于短 C
3. 换路瞬间，iL (0
第六章
电路的暂态分析
教案制作 龙达峰
2010年9月
重点：1. 2. 3. 4. 5.
动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定 一阶电路时间常数的概念 一阶电路的零输入响应和零状态响应 求解一阶电路的三要素方法 自由分量和强制分量、暂态分量和稳态分量的概念
难点： 1. 应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路 方程 2. 电路初始条件的概念和确定方法； 3. 一阶电路的时间常数、零输入响应、零状态响应、冲激响 应、强制分量、自由分量、稳态分量和暂态分量的概念及求 解。
例1 电路如图。已知R1=60，R2=40，C=0.005F， Us=15V，开关在位置1已经很久，t=0时开关由位置1换 到位置2，求t 0的uc和u1。
解：求uc时可将电路简化，如下图所示
等效电阻R为： R= R1+ R2
时间常数为
=RC=100 0.005=0.5s
根据前面的分析知
。
解：t<0时电路处于稳态，采用相量法求解，相量电路如下图（a）。
iL=2.236sin(500t-26.57o)A uc=70.71sin(500t-45o)V
所以
iL(0-)=2.236sin(-26.57o)A=-1A
uc(0-)=70.71sin(-45o)V=-50V 根据换路定则得 iL(0+) = iL(0-)=-1A uc(0+)= uc(0-)=-50V
例2 电路如图所示。uc(0-)=20V，t=0时开关K1闭合， t=0.1s时开关K2闭合。求t 0的电容电压uc(t)。
解： 0t<0.1s时，等效电路如下图（a）所示。 R1C=0.1s uc(0+) = uc(0-) =20V uc(t)=20e-10tV
t 0.1s 时，等效电路如下图（b）所示。
E 1.5 mA R R1
uC (0 ) i1 (0 ) R1 3 V
根据换路定则知
iL (0) i1 (0) 1.5 mA
uC (0 ) uC (0)1 3 V
用数值为uc(0+)的电压源替代电容，用数值为iL(0+)的电流源替代 电感，即为0＋时刻的等效电路，如图所示。
求A:
的解。
u"C Ae
t
uC (t ) u'C u"C us Ae
t
RC
uC (t ) u'C u"C us Ae
代入该电路的起始条件
t
RC
u C (0 ) u C (0 ) 0
0
得:
uC (0 ) us Ae US A 0
t t
uC (t ) Uoe
US (1 e
)
全响应＝零输入响应＋零ห้องสมุดไป่ตู้态响应
显然第一项是电路的零状态解，第二项是电路的零输 入解，因此一阶电路的全响应也可以看成是零状态解加零输 入解，即：全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
则
§6－4 一阶电路的全响应
当一阶电路的外加激励和初始状态都不为零时，由 此产生的电路响应称为一阶电路的全响应。
K
+ _ Us
R
i
C
图所示电路在开关K闭合前电容C上已充有电荷，初始条件 uc(0-)=U0，t=0开关闭合，电源接入电路。
以电容电压uc为变量，t0的KVL方程为
duC RC uC Us dt
§6－2 一阶电路的零输入响应
• 零输入响应
是指电路的外加 激励源为零，而由动 态元件的初始储能引 起的响应。
图1是一个没有外加激励源的RC 电路，电容C上已充有电荷， 且电压值Uc(0-)=U0，t=0时开关K闭合，求t 0时的响应uc。
根据KVL知 uc-Ri = 0
所以
而
一阶常系数齐次微分方程
i
dt
一阶常系数 线性微分方程
uC RC duC uC Us
由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：
u'C 方程的特解 u"C 对应齐次方程的通解
即：
uC (t ) u 'C u"C
1. 不难求得特解 ——
u'C (t ) Us
2. 求齐次方程的通解 —— u"C
duC 通解即： RC uC 0 dt
注意一般情况下
uc(0+)= uc(0-)，但ic(0+)≠ic(0-)； iL(0+) = iL(0-)，但uL(0+)≠uL(0-)。
例2
+
2 K R
i i2
i1
uL
R1 2k R2 1k
1
E
2k
_ 6V
uC
已知: K 在“1”处停留已久，在t=0时合向“2”
i求:i1、i2、uC、u L、u R 2、u R1 、
i L (0 ) i L (0 ) 0 A
i L 不能突变
换路时电压方程 :
开关闭合前 iL 0 A
设 t 0 时开关闭合 求:
U i (0 ) R u L (0 )
u L 发生了突变
iL (0 ), u L (0 )
u L (0 ) 20 0 20 V
iL (0 )
u（0 ） C
u L (0 ) E i1 (0 ) R1 3 V
计算结果
K + _ 6V E 1
2 R 2k
i i2
i1
uL
R1 2k
R2 k
uC
i1 iL i2 i uC u L t 0 1.5mA 1.5mA 0 3V 0 t 0 4.5mA 1.5mA 3mA 3V 3V
§6.1 换路定理及初始值的确定
6.1.1 换路定理
换路: 电路状态的改变。如：
1 . 电路接通、断开电源
2 . 电路中电源的升高或降低
3 . 电路中元件参数的改变
…………..
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。
设：t=0 时换路
0
--- 换路前最终时刻
0
则：
--- 换路后最初时刻
u C (t ) U 0 e
当 t
t
时:
0
u ( ) U 0 36 .8 0
uC
t
0
2
3
4
5
0.0067U0
6
U0 0.368U 0.135U 0.05U 0.018U
这是因为t=3时的电容电压uc只有初始值的5%，而当t =5 时电容电压uc仅为初始值的0.7%,故工程上近似认为uc≈0。
) I0 0
电感相当于恒流源，
其值等于 I
iL (0 ) 0 ，电感相当于断路。 0；
练习 iK iR iC iL R2 UC R3 UL
K
10mA
R1
例4 图所示电路中，us(t) = 100sin500t V，R1=20Ω， R2=40Ω，C=100μF，L=0.04H，K闭合已很久，t=0时开 关K打开。求初始值iL(0+)和UL(0+)
所以 uc (0+)=2.5V 时间常数 =RC=10.2=0.2s 故 回原电路求uR有
例2 图示电路原本处于稳定状态，在t=0时打开开关K，求 t＞0后iL和uL的变化规律。
解：这是一个RL电路零状态响应问题， t＞0 后的等效电路如 图（b）所示，
因此时间常数为：
把电感短路得电感电流的稳态解：
引言 一阶电路的概念
电路的方程是一阶微分方程描述的
动态电路与电阻性电路的区别
+
(t=0)
i1 R1
i2
-
us
+
(t=0) C
-
us
ic
i2
电路的方程： 代数方程
微分或积分方程
§6.1 概述
“稳态”与 “暂态”的概念:
K
+
_
R
R
+
E
uC
C
E _ 电路处于新稳态
uC
电路处于旧稳态
uC
过渡过程 :
uC (0 ) uC (0 )
i L ( 0 ) i L (0 )
6.1.2 初始值的确定
初始值（起始值）：电路中 u、i 在 t=0+ 时 的大小。
下面通过例题说明电路初始条件的求解。
例1
K t=0
uR iL
解:
根据换路定理
U
uL
已知: R=1kΩ, L=1H , U=20 V、
图3所示的RL电路
根据KCL得
代入零初始条件可得电感电流的零状态响应为
所以
其中时间常数
IL IS (1 e
t
)
对应的零状态响应曲线如图
例1 图所示电路，在t<0时处于稳态，开关K 在t=0时闭合 求t 0时的uc(t)、uR(t) 。
解：求电容电压时可将电容元件的左侧电路用戴维南等效电路来 等效，如下图(a)所示。
的初始值，即 t=(0 )时刻的值。
+
解：
K
+ _ 6V E 1
2 R 2k
i i2 R i1 2k
1
换路前的等效电路 R2 1k
+
_E
R
R1
R2
uL
uC
i1 uC
由于开关K换位前电路已达到稳态，所以电感相当于短路， 电容相当于开路，t(0-)时刻的等效电路如上图所示 可求得: i (0 ) i (0 ) L 1
电量
初始值的确定
求初始值的具体步骤是：
1）由换路前 t=0－时刻的电路，求uC (0－) 或 iL (0－) 2）由换路定律得uC (0+) 和iL (0+) ；
3）画 t=0+ 时刻的等效电路： 电容用电压源替代， 电感用电流源替代（取 0+ 时刻值，方向与原假定的 电容电压、电感电流方向相同）；
方程通解
初始条件uc(0-)=U0
t
uC (t ) u'C u"C us Ae
RC
代入该电路的起始条件
U 0 us Ae
0
A U 0 Us
所以
uC (t ) us Ae
t
RC
t
Us (U 0 US )e
改写上式得
全响应＝稳态分量＋暂态分量
所以 代入初始条件确定待定常数K uc(0+) = uc(0-) =U0＝K 所以有
电容电压与电容电流的变化曲线如图2所示，
在t-的区间内，随着t的增长逐渐衰减最终到零。由 式（1）、（2）知在相同的初始值下，电阻R与电容C的乘积 越大，uc、i曲线的衰减就越慢，反之就越快，因此电阻R与 电容C的乘积在RC一阶电路的分析中是一个非常重要的参数， 并定义 =RC 称之为RC一阶电路的时间常数，其单位为秒（s）. 按照理论分析，只有当t- 时电压uc、电流i的曲线才会 衰减到零，也即电路的过渡过程才会结束，但是工程上通常认 为换路后经过3-5 过渡过程就结束了，
所以
A US
UC (t ) US (1 e
t
故齐次方程的通解为 ：
)
其中：
RC
对应的零状态响应曲线如图2， 由此可知当过渡过程结 束后电容电压稳定在电源电 压上，此时电容相当于开路， 所以电容电压的特解也可以 通过换路后的稳态电路进行 求解。 由式（1）可以得到电容电流：
i
i2
+
_E
R1
R2
1.5mA
3V
+ E _
i1
1.5mA
R1 2k
+
R2 1k 3V
uL -
t=0 + 时的等效电路
由0＋时刻的等效电路求得
i
+
i2
i1
E 1.5mA
i1 (0 ) iL (0 ) iL (0 )
+ R2 1k 3V
R1 2k
1.5 mA
_
uL
E uC (0 ) i2 (0 ) R2 3 mA i (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 4.5 mA
RC=0.05s uc(0.1+) = uc(0.1-) =20e-1=7.358V
uc(t)=7.358e-20(t-0.1)V
由此知电容电压的变化规律为
对应的变化曲线如下图（c）所示
例3 图所示电路在t <0时处于稳态，t=0时开关 K打开，求t0的电感电压uL(t) 。
§6－3 一阶电路的零状态响应
暂态
稳态
旧稳态
新稳态
E
t
电路中的 u、i在过渡过程期间，从“旧稳态”进
入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态， 所以过渡过程又称为电路的暂态过程。
一阶电路过渡过程的分析
K t=0
i
C R
+ _E
电压方程
uC
Ri uC 0 duC RC uC 0 dt
初始值（起始值）：电路中 u、i 在 t=0+ 时 的大小。
如果电路的初始状态为零（即换路前电容电压为 零，电感电流为零），那么由外加激励源产生的响应即 被称为零状态响应。 K R i + _ Us
C
图所示的一阶RC电路，开关K闭合前电容电压为零，即uc(0-)=0， t=0时开关K闭合。以电容电压uc为变量，开关K闭合后的KVL方程 为
K + _ Us
R C
小结
1. 换路瞬间， 能突变，变不变由计算结果决定；
uC、iL 不能突变。其它电量均可
2. 换路瞬间， C
路；
电容相当于恒压 u (0 ) U 0 0， 源，其值等于 U 0 ；u (0 ) 0， 电容相当于短 C
3. 换路瞬间，iL (0
第六章
电路的暂态分析
教案制作 龙达峰
2010年9月
重点：1. 2. 3. 4. 5.
动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定 一阶电路时间常数的概念 一阶电路的零输入响应和零状态响应 求解一阶电路的三要素方法 自由分量和强制分量、暂态分量和稳态分量的概念
难点： 1. 应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路 方程 2. 电路初始条件的概念和确定方法； 3. 一阶电路的时间常数、零输入响应、零状态响应、冲激响 应、强制分量、自由分量、稳态分量和暂态分量的概念及求 解。
例1 电路如图。已知R1=60，R2=40，C=0.005F， Us=15V，开关在位置1已经很久，t=0时开关由位置1换 到位置2，求t 0的uc和u1。
解：求uc时可将电路简化，如下图所示
等效电阻R为： R= R1+ R2
时间常数为
=RC=100 0.005=0.5s
根据前面的分析知
。
解：t<0时电路处于稳态，采用相量法求解，相量电路如下图（a）。
iL=2.236sin(500t-26.57o)A uc=70.71sin(500t-45o)V
所以
iL(0-)=2.236sin(-26.57o)A=-1A
uc(0-)=70.71sin(-45o)V=-50V 根据换路定则得 iL(0+) = iL(0-)=-1A uc(0+)= uc(0-)=-50V
例2 电路如图所示。uc(0-)=20V，t=0时开关K1闭合， t=0.1s时开关K2闭合。求t 0的电容电压uc(t)。
解： 0t<0.1s时，等效电路如下图（a）所示。 R1C=0.1s uc(0+) = uc(0-) =20V uc(t)=20e-10tV
t 0.1s 时，等效电路如下图（b）所示。
E 1.5 mA R R1
uC (0 ) i1 (0 ) R1 3 V
根据换路定则知
iL (0) i1 (0) 1.5 mA
uC (0 ) uC (0)1 3 V
用数值为uc(0+)的电压源替代电容，用数值为iL(0+)的电流源替代 电感，即为0＋时刻的等效电路，如图所示。
求A:
的解。
u"C Ae
t
uC (t ) u'C u"C us Ae
t
RC
uC (t ) u'C u"C us Ae
代入该电路的起始条件
t
RC
u C (0 ) u C (0 ) 0
0
得:
uC (0 ) us Ae US A 0
t t
uC (t ) Uoe
US (1 e
)
全响应＝零输入响应＋零ห้องสมุดไป่ตู้态响应
显然第一项是电路的零状态解，第二项是电路的零输 入解，因此一阶电路的全响应也可以看成是零状态解加零输 入解，即：全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
则
§6－4 一阶电路的全响应
当一阶电路的外加激励和初始状态都不为零时，由 此产生的电路响应称为一阶电路的全响应。
K
+ _ Us
R
i
C
图所示电路在开关K闭合前电容C上已充有电荷，初始条件 uc(0-)=U0，t=0开关闭合，电源接入电路。
以电容电压uc为变量，t0的KVL方程为
duC RC uC Us dt
§6－2 一阶电路的零输入响应
• 零输入响应
是指电路的外加 激励源为零，而由动 态元件的初始储能引 起的响应。
图1是一个没有外加激励源的RC 电路，电容C上已充有电荷， 且电压值Uc(0-)=U0，t=0时开关K闭合，求t 0时的响应uc。
根据KVL知 uc-Ri = 0
所以
而
一阶常系数齐次微分方程
i
dt
一阶常系数 线性微分方程
uC RC duC uC Us
由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：
u'C 方程的特解 u"C 对应齐次方程的通解
即：
uC (t ) u 'C u"C
1. 不难求得特解 ——
u'C (t ) Us
2. 求齐次方程的通解 —— u"C
duC 通解即： RC uC 0 dt
注意一般情况下
uc(0+)= uc(0-)，但ic(0+)≠ic(0-)； iL(0+) = iL(0-)，但uL(0+)≠uL(0-)。
例2
+
2 K R
i i2
i1
uL
R1 2k R2 1k
1
E
2k
_ 6V
uC
已知: K 在“1”处停留已久，在t=0时合向“2”
i求:i1、i2、uC、u L、u R 2、u R1 、
i L (0 ) i L (0 ) 0 A
i L 不能突变
换路时电压方程 :
开关闭合前 iL 0 A
设 t 0 时开关闭合 求:
U i (0 ) R u L (0 )
u L 发生了突变
iL (0 ), u L (0 )
u L (0 ) 20 0 20 V
iL (0 )
u（0 ） C
u L (0 ) E i1 (0 ) R1 3 V
计算结果
K + _ 6V E 1
2 R 2k
i i2
i1
uL
R1 2k
R2 k
uC
i1 iL i2 i uC u L t 0 1.5mA 1.5mA 0 3V 0 t 0 4.5mA 1.5mA 3mA 3V 3V
§6.1 换路定理及初始值的确定
6.1.1 换路定理
换路: 电路状态的改变。如：
1 . 电路接通、断开电源
2 . 电路中电源的升高或降低
3 . 电路中元件参数的改变
…………..
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。
设：t=0 时换路
0
--- 换路前最终时刻
0
则：
--- 换路后最初时刻
u C (t ) U 0 e
当 t
t
时:
0
u ( ) U 0 36 .8 0
uC
t
0
2
3
4
5
0.0067U0
6
U0 0.368U 0.135U 0.05U 0.018U
这是因为t=3时的电容电压uc只有初始值的5%，而当t =5 时电容电压uc仅为初始值的0.7%,故工程上近似认为uc≈0。
) I0 0
电感相当于恒流源，
其值等于 I
iL (0 ) 0 ，电感相当于断路。 0；
练习 iK iR iC iL R2 UC R3 UL
K
10mA
R1
例4 图所示电路中，us(t) = 100sin500t V，R1=20Ω， R2=40Ω，C=100μF，L=0.04H，K闭合已很久，t=0时开 关K打开。求初始值iL(0+)和UL(0+)
所以 uc (0+)=2.5V 时间常数 =RC=10.2=0.2s 故 回原电路求uR有
例2 图示电路原本处于稳定状态，在t=0时打开开关K，求 t＞0后iL和uL的变化规律。
解：这是一个RL电路零状态响应问题， t＞0 后的等效电路如 图（b）所示，
因此时间常数为：
把电感短路得电感电流的稳态解：
引言 一阶电路的概念
电路的方程是一阶微分方程描述的
动态电路与电阻性电路的区别
+
(t=0)
i1 R1
i2
-
us
+
(t=0) C
-
us
ic
i2
电路的方程： 代数方程
微分或积分方程
§6.1 概述
“稳态”与 “暂态”的概念:
K
+
_
R
R
+
E
uC
C
E _ 电路处于新稳态
uC
电路处于旧稳态
uC
过渡过程 :
uC (0 ) uC (0 )
i L ( 0 ) i L (0 )
6.1.2 初始值的确定
初始值（起始值）：电路中 u、i 在 t=0+ 时 的大小。
下面通过例题说明电路初始条件的求解。
例1
K t=0
uR iL
解:
根据换路定理
U
uL
已知: R=1kΩ, L=1H , U=20 V、
图3所示的RL电路
根据KCL得
代入零初始条件可得电感电流的零状态响应为
所以
其中时间常数
IL IS (1 e
t
)
对应的零状态响应曲线如图
例1 图所示电路，在t<0时处于稳态，开关K 在t=0时闭合 求t 0时的uc(t)、uR(t) 。
解：求电容电压时可将电容元件的左侧电路用戴维南等效电路来 等效，如下图(a)所示。
的初始值，即 t=(0 )时刻的值。
+
解：
K
+ _ 6V E 1
2 R 2k
i i2 R i1 2k
1
换路前的等效电路 R2 1k
+
_E
R
R1
R2
uL
uC
i1 uC
由于开关K换位前电路已达到稳态，所以电感相当于短路， 电容相当于开路，t(0-)时刻的等效电路如上图所示 可求得: i (0 ) i (0 ) L 1
电量
初始值的确定
求初始值的具体步骤是：
1）由换路前 t=0－时刻的电路，求uC (0－) 或 iL (0－) 2）由换路定律得uC (0+) 和iL (0+) ；
3）画 t=0+ 时刻的等效电路： 电容用电压源替代， 电感用电流源替代（取 0+ 时刻值，方向与原假定的 电容电压、电感电流方向相同）；
方程通解
初始条件uc(0-)=U0
t
uC (t ) u'C u"C us Ae
RC
代入该电路的起始条件
U 0 us Ae
0
A U 0 Us
所以
uC (t ) us Ae
t
RC
t
Us (U 0 US )e
改写上式得
全响应＝稳态分量＋暂态分量
所以 代入初始条件确定待定常数K uc(0+) = uc(0-) =U0＝K 所以有
电容电压与电容电流的变化曲线如图2所示，
在t-的区间内，随着t的增长逐渐衰减最终到零。由 式（1）、（2）知在相同的初始值下，电阻R与电容C的乘积 越大，uc、i曲线的衰减就越慢，反之就越快，因此电阻R与 电容C的乘积在RC一阶电路的分析中是一个非常重要的参数， 并定义 =RC 称之为RC一阶电路的时间常数，其单位为秒（s）. 按照理论分析，只有当t- 时电压uc、电流i的曲线才会 衰减到零，也即电路的过渡过程才会结束，但是工程上通常认 为换路后经过3-5 过渡过程就结束了，
所以
A US
UC (t ) US (1 e
t
故齐次方程的通解为 ：
)
其中：
RC
对应的零状态响应曲线如图2， 由此可知当过渡过程结 束后电容电压稳定在电源电 压上，此时电容相当于开路， 所以电容电压的特解也可以 通过换路后的稳态电路进行 求解。 由式（1）可以得到电容电流：
i
i2
+
_E
R1
R2
1.5mA
3V
+ E _
i1
1.5mA
R1 2k
+
R2 1k 3V
uL -
t=0 + 时的等效电路
由0＋时刻的等效电路求得
i
+
i2
i1
E 1.5mA
i1 (0 ) iL (0 ) iL (0 )
+ R2 1k 3V
R1 2k
1.5 mA
_
uL
E uC (0 ) i2 (0 ) R2 3 mA i (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 4.5 mA
RC=0.05s uc(0.1+) = uc(0.1-) =20e-1=7.358V
uc(t)=7.358e-20(t-0.1)V
由此知电容电压的变化规律为
对应的变化曲线如下图（c）所示
例3 图所示电路在t <0时处于稳态，t=0时开关 K打开，求t0的电感电压uL(t) 。
§6－3 一阶电路的零状态响应
暂态
稳态
旧稳态
新稳态
E
t
电路中的 u、i在过渡过程期间，从“旧稳态”进
入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态， 所以过渡过程又称为电路的暂态过程。
一阶电路过渡过程的分析
K t=0
i
C R
+ _E
电压方程
uC
Ri uC 0 duC RC uC 0 dt
初始值（起始值）：电路中 u、i 在 t=0+ 时 的大小。
如果电路的初始状态为零（即换路前电容电压为 零，电感电流为零），那么由外加激励源产生的响应即 被称为零状态响应。 K R i + _ Us
C
图所示的一阶RC电路，开关K闭合前电容电压为零，即uc(0-)=0， t=0时开关K闭合。以电容电压uc为变量，开关K闭合后的KVL方程 为
K + _ Us
R C