第八章 倒易点阵简介
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
θ 2θ θ θ
(hkl)
A
O
Ewald 作图法
1、设以单位矢量S0代表波 、设以单位矢量 长为λ 长为λ的X-RAY,照射在晶 照射在晶 体上并对某个hkl面网产生 体上并对某个 面网产生 衍射， 衍射线方向为S， 衍射， 衍射线方向为S，二 者夹角为2θ 者夹角为 θ。 2、定义S=S-S0为衍射矢量， 、定义 为衍射矢量， 其长度为： 其长度为： S=S-S0=2sin θ / λ=1/d
6
1.倒易矢量ghkl 垂直于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 平行于它的法向Nhkl 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
7
晶带定理
在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。 图示为正空间中晶体的[uvw]晶带 图中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、 （h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒 易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方 向相同. 晶带定理：因为各倒易矢量都和 其晶带轴r=[uvw]垂直，固有 ghkl•r=0 ，即 hu+kv+lw=0, 这就是 晶带定理。
1/λ
P
S/λ
S − S0 g= λ
2θ
A
O
S0 /λ
入射矢量S 入射矢量 0、 衍射矢量S 衍射矢量 及倒易矢量g*的端 及倒易矢量 的端 点均落在球面上 S的方向与大小均 的方向与大小均 由2θ所决定 θ
O g3 P3
S0 2θ θ S S
A
S
g1 P1 P2
g2
Ewald 球与极限球
19
凡是处于Ewald球面上的倒易点均符合衍射条件 球面上的倒易点均符合衍射条件 凡是处于 若同时有m个倒易点落在球面上，将同时有m个衍射发生 个衍射发生， 若同时有 个倒易点落在球面上，将同时有 个衍射发生，衍 个倒易点落在球面上 射线方向即球心A与球面上倒易点连线所指方向。 射线方向即球心 与球面上倒易点连线所指方向。 与球面上倒易点连线所指方向
1/λ S/λ hkl
A
S 0 /λ
O
衍射的极限条件
可见， 可见，能获得衍射的最 大倒易球半径为 g=1/d≤ 2/λ: λ
hkl
即 dhkl <
λ
2
S/λ
的晶面不
θ 1/λ
2θ C S0/λ
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
第八章 倒易点阵简介
倒易点阵几何 衍射条件 爱瓦尔德图解法 粉末衍射法
1
倒易点阵简介
布拉格公式作为结构分析的数学工具,在 大多数场合已经足够,但是,还有一些衍射 效应是布拉格公式无法解释的,例如非布 拉格散射就是如此. 倒易点阵概念的引入,为一般衍射理论奠 定了基础.
2
倒易点阵几何
倒易点阵的概念 倒易点阵的定义 倒易点阵的性质 倒易点阵的性质 晶带定理
26
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及 关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考 球的思考
(1) 晶体结构是客观存在 ， 点阵是一个数学抽象 。 晶体结构是客观存在， 点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易 ， 不是客观实在 ， 倒易点阵是晶体点阵的倒易， 不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 球本身无实在物理意义， 球本身无实在物理意义 仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射 射线和电子在晶体中的衍射， 述了 射线和电子在晶体中的衍射 ， 故成为研究晶 体衍射有力手段。 体衍射有力手段。
(S − S0 )
λ
= h a * + k b* + l c* = g hkl
满足衍射条件的矢量方程。 X射线衍射理论中的劳埃方程和布拉格方 程均可由该矢量方程导出。
布拉格方程推导 g
hkl
1 m
θ
A
θ θ
S 2 (S-S0) (HKL) S0
n O
S-S0=Ssinθ+ S0sinθ= 2sinθ (S-S0)/λ= 2sinθ)/λ=ghkl=1/d 2dsinθ =λ
5
倒易点阵的性质 倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为 正倒点阵异名基矢点乘为0; a* b= a* c=b* a=b* c=c* b=0 b b c* 同名基矢点乘为1。 同名基矢点乘为 。 a* a=b* b=c* c=1. a b b c* c 2. 在倒易点阵中，由原点 *指向任意坐标为 的阵点的矢量 在倒易点阵中 由原点O 指向任意坐标为hkl的阵点的矢量 点阵中， 倒易矢量)为 ghkl(倒易矢量 为：ghkl=h a*+k b*+lc* 式中 为正点阵中 倒易矢量 c* 式中hkl为正点阵中 的晶面指数 3. 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数， ghkl=1/dhkl d 4. 对正交点阵，有 a*∥a，b*∥b，c*∥c， 对正交点阵， c*∥ a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c， ， ， ， 5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行） 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行） 即倒易矢量g 是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。 平行的。 的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向
P
S/λ
S − S0 g= λ
2θ
1/λ
A
O
S0 /λ
5 、以S0端点 点为原点，作 端点O点为原点 点为原点， 倒易空间，某倒易点（ 倒易空间，某倒易点（代表 某倒易矢量与hkl面网） 某倒易矢量与 面网）的 面网 端点如果在反射球面上， 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足 满足Bragg’s 说明该 Law。某倒易点的端点如果 。 不在反射球面上， 不在反射球面上， 说明不 满足Bragg’s Law，可以直 满足 ， 观地看出那些面网的衍射状 况。
λ
= h a + k b + l c*
现在不明确h、k、l一定是整数。由： h
ϕ = 2π
(S − S0 )
可见，只有当φ=2πn时，才能发生衍射，此时n应 为整数。 由于p、q、r是整数，因此满足衍射条件时h、k、l h 一定是整数。于是得到结论：
λ
⋅ OA = 2π (ha * + k b* + l c * ) ⋅ ( p a + qb + r c) = 2π (hp + kq + lr )
n O
光程差δ = On − Am = OA ⋅ S − OA ⋅ S 0 = OA ⋅( S − S 0 )
相应的位向差为 ϕ = − S0 )
λ
⋅ OA
OA = p a + qb + r c 其中p、q、r是整数
因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 S 位矢量，因此S- S0是矢量，则：( S − S0 ) S * *
4
倒易点阵的定义
设正点阵的原点为O， 设正点阵的原点为 ， 基矢 倒易点阵的原点 为a、b、c，倒易点阵的原点 基矢为a c*， 为 O* ， 基矢为 a* 、 b* 、 c* ， 则有： 则有： a*=b×c/ b c/V, b*=c×a /V, c c*=a b/V. 式中，V为正 式中， 为正 c* a×b/ 点阵中单胞的体积： 点阵中单胞的体积： V=a (b×c) a =b (c×a) =c (a×b) 表明某一倒易基矢垂直于正 点阵中和自己异名的二基矢所 成平面
25
概念回顾
为圆心，1/λ为半径所做的球称为反 以A为圆心，1/λ为半径所做的球称为反 射球， 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球 Ewald球 干涉球， 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格， 围绕 点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为 称为倒易球 形成的球称为倒易球 为圆心，2/λ为半径的球称为极限球 极限球。 以O为圆心，2/λ为半径的球称为极限球。
1/λ C S 0 /λ O S/λ hkl
增大晶体产生衍射几率的方法
hkl
(2) 波长连续， 波长连续， Ewald球的数 使Ewald球的数 量增加， 量增加，即球壁 增厚（Laue法 增厚（Laue法）
S/λ 1/λ
A
S 0 /λ
O
∆λ
增大晶体产生衍射几率的方法
（ 3 ） Ewald 球 不 动 ， 增 加随 加随 机 分 布 的 晶体 数量 ， 相当于围绕O点 相当于围绕 点转动倒易 晶格，使每个倒易点均 形成 倒易 形成 一 个 球 （ 倒 易 球 ） 。 （粉晶法的基础） 粉晶法的基础） 倒易球
hkl S/λ 1/λ A S 0 /λ O
增大晶体产生衍射几率的方法
(1)入射方向不变，转动晶体 入射方向不变， 入射方向不变 即 Ewald 球 不 动 ， 围绕O点 围绕 点 转动倒易 晶格，接触到球面 晶格， 的倒易点代表的晶 面均产生衍射（ 面均产生衍射（周 转晶体法的基础） 转晶体法的基础）。
15
P
S/λ
S − S0 g= λ
2θ
1/λ
A
O
S0 /λ
3 、S长度为 ，方向垂 长度为1/d， 长度为 直于hkl面网 面网， 直于 面网， 所以 S=g* 即： 衍射矢量就是倒易矢量。 衍射矢量就是倒易矢量。 4 、可以A点为球心，以 点为球心， 点为球心 1/λ为半径作一球面，称为 λ为半径作一球面， 反射球（ ）。衍 反射球（Ewald 球）。衍 射矢量的端点必定在反射 球面上
3
倒易点阵的概念
倒易点阵是一个假想的点阵. 倒易点阵是一个假想的点阵 将空间点阵(真点阵或实点阵 经过倒易变换, 真点阵或实点阵)经过倒易变换 将空间点阵 真点阵或实点阵 经过倒易变换 就得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵 倒易点阵的外形也是点阵, 就得到倒易点阵 倒易点阵的外形也是点阵 但其结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间 但其结点对应真点阵的晶面 倒易点阵的空间 称为倒易空间。 称为倒易空间。
8
衍射条件
设:入射线波长为λ,入 射线方向为单位矢量S0, S 衍射线方向为单位矢量S, S 那么在S方向有衍射线的 条件是:在与S方向相垂 S 直的波阵面上,晶体中各 原子散射线的位向相同。 先计算原点O和任一原子 A的散射线在与S方向的 S 位向差。
g
1 m
θ
hkl
A
θ θ
S 2 (S-S0) (HKL) S0
12
Ewald 作图法
Ewald 图解是衍射条件的几何表达式。 sinθ =λ/2d 令d= λ /ghkl （此时比例系数用X射线的波长） 则sinθ = ghkl /2 即某衍射面（ hkl）所对应的布拉格角的正弦等 于其倒易矢量长度的一半。
13
Ewald 图解 解
反射方向 反射线 P
g
入射线 B 1 反射球
(hkl)
A
O
Ewald 作图法
1、设以单位矢量S0代表波 、设以单位矢量 长为λ 长为λ的X-RAY,照射在晶 照射在晶 体上并对某个hkl面网产生 体上并对某个 面网产生 衍射， 衍射线方向为S， 衍射， 衍射线方向为S，二 者夹角为2θ 者夹角为 θ。 2、定义S=S-S0为衍射矢量， 、定义 为衍射矢量， 其长度为： 其长度为： S=S-S0=2sin θ / λ=1/d
6
1.倒易矢量ghkl 垂直于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 平行于它的法向Nhkl 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
7
晶带定理
在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。 图示为正空间中晶体的[uvw]晶带 图中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、 （h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒 易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方 向相同. 晶带定理：因为各倒易矢量都和 其晶带轴r=[uvw]垂直，固有 ghkl•r=0 ，即 hu+kv+lw=0, 这就是 晶带定理。
1/λ
P
S/λ
S − S0 g= λ
2θ
A
O
S0 /λ
入射矢量S 入射矢量 0、 衍射矢量S 衍射矢量 及倒易矢量g*的端 及倒易矢量 的端 点均落在球面上 S的方向与大小均 的方向与大小均 由2θ所决定 θ
O g3 P3
S0 2θ θ S S
A
S
g1 P1 P2
g2
Ewald 球与极限球
19
凡是处于Ewald球面上的倒易点均符合衍射条件 球面上的倒易点均符合衍射条件 凡是处于 若同时有m个倒易点落在球面上，将同时有m个衍射发生 个衍射发生， 若同时有 个倒易点落在球面上，将同时有 个衍射发生，衍 个倒易点落在球面上 射线方向即球心A与球面上倒易点连线所指方向。 射线方向即球心 与球面上倒易点连线所指方向。 与球面上倒易点连线所指方向
1/λ S/λ hkl
A
S 0 /λ
O
衍射的极限条件
可见， 可见，能获得衍射的最 大倒易球半径为 g=1/d≤ 2/λ: λ
hkl
即 dhkl <
λ
2
S/λ
的晶面不
θ 1/λ
2θ C S0/λ
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
第八章 倒易点阵简介
倒易点阵几何 衍射条件 爱瓦尔德图解法 粉末衍射法
1
倒易点阵简介
布拉格公式作为结构分析的数学工具,在 大多数场合已经足够,但是,还有一些衍射 效应是布拉格公式无法解释的,例如非布 拉格散射就是如此. 倒易点阵概念的引入,为一般衍射理论奠 定了基础.
2
倒易点阵几何
倒易点阵的概念 倒易点阵的定义 倒易点阵的性质 倒易点阵的性质 晶带定理
26
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及 关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考 球的思考
(1) 晶体结构是客观存在 ， 点阵是一个数学抽象 。 晶体结构是客观存在， 点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易 ， 不是客观实在 ， 倒易点阵是晶体点阵的倒易， 不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 球本身无实在物理意义， 球本身无实在物理意义 仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射 射线和电子在晶体中的衍射， 述了 射线和电子在晶体中的衍射 ， 故成为研究晶 体衍射有力手段。 体衍射有力手段。
(S − S0 )
λ
= h a * + k b* + l c* = g hkl
满足衍射条件的矢量方程。 X射线衍射理论中的劳埃方程和布拉格方 程均可由该矢量方程导出。
布拉格方程推导 g
hkl
1 m
θ
A
θ θ
S 2 (S-S0) (HKL) S0
n O
S-S0=Ssinθ+ S0sinθ= 2sinθ (S-S0)/λ= 2sinθ)/λ=ghkl=1/d 2dsinθ =λ
5
倒易点阵的性质 倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为 正倒点阵异名基矢点乘为0; a* b= a* c=b* a=b* c=c* b=0 b b c* 同名基矢点乘为1。 同名基矢点乘为 。 a* a=b* b=c* c=1. a b b c* c 2. 在倒易点阵中，由原点 *指向任意坐标为 的阵点的矢量 在倒易点阵中 由原点O 指向任意坐标为hkl的阵点的矢量 点阵中， 倒易矢量)为 ghkl(倒易矢量 为：ghkl=h a*+k b*+lc* 式中 为正点阵中 倒易矢量 c* 式中hkl为正点阵中 的晶面指数 3. 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数， ghkl=1/dhkl d 4. 对正交点阵，有 a*∥a，b*∥b，c*∥c， 对正交点阵， c*∥ a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c， ， ， ， 5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行） 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行） 即倒易矢量g 是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。 平行的。 的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向
P
S/λ
S − S0 g= λ
2θ
1/λ
A
O
S0 /λ
5 、以S0端点 点为原点，作 端点O点为原点 点为原点， 倒易空间，某倒易点（ 倒易空间，某倒易点（代表 某倒易矢量与hkl面网） 某倒易矢量与 面网）的 面网 端点如果在反射球面上， 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足 满足Bragg’s 说明该 Law。某倒易点的端点如果 。 不在反射球面上， 不在反射球面上， 说明不 满足Bragg’s Law，可以直 满足 ， 观地看出那些面网的衍射状 况。
λ
= h a + k b + l c*
现在不明确h、k、l一定是整数。由： h
ϕ = 2π
(S − S0 )
可见，只有当φ=2πn时，才能发生衍射，此时n应 为整数。 由于p、q、r是整数，因此满足衍射条件时h、k、l h 一定是整数。于是得到结论：
λ
⋅ OA = 2π (ha * + k b* + l c * ) ⋅ ( p a + qb + r c) = 2π (hp + kq + lr )
n O
光程差δ = On − Am = OA ⋅ S − OA ⋅ S 0 = OA ⋅( S − S 0 )
相应的位向差为 ϕ = − S0 )
λ
⋅ OA
OA = p a + qb + r c 其中p、q、r是整数
因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 S 位矢量，因此S- S0是矢量，则：( S − S0 ) S * *
4
倒易点阵的定义
设正点阵的原点为O， 设正点阵的原点为 ， 基矢 倒易点阵的原点 为a、b、c，倒易点阵的原点 基矢为a c*， 为 O* ， 基矢为 a* 、 b* 、 c* ， 则有： 则有： a*=b×c/ b c/V, b*=c×a /V, c c*=a b/V. 式中，V为正 式中， 为正 c* a×b/ 点阵中单胞的体积： 点阵中单胞的体积： V=a (b×c) a =b (c×a) =c (a×b) 表明某一倒易基矢垂直于正 点阵中和自己异名的二基矢所 成平面
25
概念回顾
为圆心，1/λ为半径所做的球称为反 以A为圆心，1/λ为半径所做的球称为反 射球， 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球 Ewald球 干涉球， 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格， 围绕 点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为 称为倒易球 形成的球称为倒易球 为圆心，2/λ为半径的球称为极限球 极限球。 以O为圆心，2/λ为半径的球称为极限球。
1/λ C S 0 /λ O S/λ hkl
增大晶体产生衍射几率的方法
hkl
(2) 波长连续， 波长连续， Ewald球的数 使Ewald球的数 量增加， 量增加，即球壁 增厚（Laue法 增厚（Laue法）
S/λ 1/λ
A
S 0 /λ
O
∆λ
增大晶体产生衍射几率的方法
（ 3 ） Ewald 球 不 动 ， 增 加随 加随 机 分 布 的 晶体 数量 ， 相当于围绕O点 相当于围绕 点转动倒易 晶格，使每个倒易点均 形成 倒易 形成 一 个 球 （ 倒 易 球 ） 。 （粉晶法的基础） 粉晶法的基础） 倒易球
hkl S/λ 1/λ A S 0 /λ O
增大晶体产生衍射几率的方法
(1)入射方向不变，转动晶体 入射方向不变， 入射方向不变 即 Ewald 球 不 动 ， 围绕O点 围绕 点 转动倒易 晶格，接触到球面 晶格， 的倒易点代表的晶 面均产生衍射（ 面均产生衍射（周 转晶体法的基础） 转晶体法的基础）。
15
P
S/λ
S − S0 g= λ
2θ
1/λ
A
O
S0 /λ
3 、S长度为 ，方向垂 长度为1/d， 长度为 直于hkl面网 面网， 直于 面网， 所以 S=g* 即： 衍射矢量就是倒易矢量。 衍射矢量就是倒易矢量。 4 、可以A点为球心，以 点为球心， 点为球心 1/λ为半径作一球面，称为 λ为半径作一球面， 反射球（ ）。衍 反射球（Ewald 球）。衍 射矢量的端点必定在反射 球面上
3
倒易点阵的概念
倒易点阵是一个假想的点阵. 倒易点阵是一个假想的点阵 将空间点阵(真点阵或实点阵 经过倒易变换, 真点阵或实点阵)经过倒易变换 将空间点阵 真点阵或实点阵 经过倒易变换 就得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵 倒易点阵的外形也是点阵, 就得到倒易点阵 倒易点阵的外形也是点阵 但其结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间 但其结点对应真点阵的晶面 倒易点阵的空间 称为倒易空间。 称为倒易空间。
8
衍射条件
设:入射线波长为λ,入 射线方向为单位矢量S0, S 衍射线方向为单位矢量S, S 那么在S方向有衍射线的 条件是:在与S方向相垂 S 直的波阵面上,晶体中各 原子散射线的位向相同。 先计算原点O和任一原子 A的散射线在与S方向的 S 位向差。
g
1 m
θ
hkl
A
θ θ
S 2 (S-S0) (HKL) S0
12
Ewald 作图法
Ewald 图解是衍射条件的几何表达式。 sinθ =λ/2d 令d= λ /ghkl （此时比例系数用X射线的波长） 则sinθ = ghkl /2 即某衍射面（ hkl）所对应的布拉格角的正弦等 于其倒易矢量长度的一半。
13
Ewald 图解 解
反射方向 反射线 P
g
入射线 B 1 反射球